Toniolo and Linder, Equation (3a)

Percentage Accurate: 98.2% → 99.4%

Time: 17.9s

Alternatives: 10

Speedup: 1.4×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (l Om kx ky)
 :precision binary64
 (sqrt
  (*
   (/ 1.0 2.0)
   (+
    1.0
    (/
     1.0
     (sqrt
      (+
       1.0
       (*
        (pow (/ (* 2.0 l) Om) 2.0)
        (+ (pow (sin kx) 2.0) (pow (sin ky) 2.0))))))))))

C

double code(double l, double Om, double kx, double ky) {
	return sqrt(((1.0 / 2.0) * (1.0 + (1.0 / sqrt((1.0 + (pow(((2.0 * l) / Om), 2.0) * (pow(sin(kx), 2.0) + pow(sin(ky), 2.0)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(l, om, kx, ky)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx
    real(8), intent (in) :: ky
    code = sqrt(((1.0d0 / 2.0d0) * (1.0d0 + (1.0d0 / sqrt((1.0d0 + ((((2.0d0 * l) / om) ** 2.0d0) * ((sin(kx) ** 2.0d0) + (sin(ky) ** 2.0d0)))))))))
end function

Java

public static double code(double l, double Om, double kx, double ky) {
	return Math.sqrt(((1.0 / 2.0) * (1.0 + (1.0 / Math.sqrt((1.0 + (Math.pow(((2.0 * l) / Om), 2.0) * (Math.pow(Math.sin(kx), 2.0) + Math.pow(Math.sin(ky), 2.0)))))))));
}

Python

def code(l, Om, kx, ky):
	return math.sqrt(((1.0 / 2.0) * (1.0 + (1.0 / math.sqrt((1.0 + (math.pow(((2.0 * l) / Om), 2.0) * (math.pow(math.sin(kx), 2.0) + math.pow(math.sin(ky), 2.0)))))))))

Julia

function code(l, Om, kx, ky)
	return sqrt(Float64(Float64(1.0 / 2.0) * Float64(1.0 + Float64(1.0 / sqrt(Float64(1.0 + Float64((Float64(Float64(2.0 * l) / Om) ^ 2.0) * Float64((sin(kx) ^ 2.0) + (sin(ky) ^ 2.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(l, Om, kx, ky)
	tmp = sqrt(((1.0 / 2.0) * (1.0 + (1.0 / sqrt((1.0 + ((((2.0 * l) / Om) ^ 2.0) * ((sin(kx) ^ 2.0) + (sin(ky) ^ 2.0)))))))));
end

Wolfram

code[l_, Om_, kx_, ky_] := N[Sqrt[N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(1.0 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[Power[N[(N[(2.0 * l), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[N[Sin[kx], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[ky], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 98.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (l Om kx ky)
 :precision binary64
 (sqrt
  (*
   (/ 1.0 2.0)
   (+
    1.0
    (/
     1.0
     (sqrt
      (+
       1.0
       (*
        (pow (/ (* 2.0 l) Om) 2.0)
        (+ (pow (sin kx) 2.0) (pow (sin ky) 2.0))))))))))

C

double code(double l, double Om, double kx, double ky) {
	return sqrt(((1.0 / 2.0) * (1.0 + (1.0 / sqrt((1.0 + (pow(((2.0 * l) / Om), 2.0) * (pow(sin(kx), 2.0) + pow(sin(ky), 2.0)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(l, om, kx, ky)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx
    real(8), intent (in) :: ky
    code = sqrt(((1.0d0 / 2.0d0) * (1.0d0 + (1.0d0 / sqrt((1.0d0 + ((((2.0d0 * l) / om) ** 2.0d0) * ((sin(kx) ** 2.0d0) + (sin(ky) ** 2.0d0)))))))))
end function

Java

public static double code(double l, double Om, double kx, double ky) {
	return Math.sqrt(((1.0 / 2.0) * (1.0 + (1.0 / Math.sqrt((1.0 + (Math.pow(((2.0 * l) / Om), 2.0) * (Math.pow(Math.sin(kx), 2.0) + Math.pow(Math.sin(ky), 2.0)))))))));
}

Python

def code(l, Om, kx, ky):
	return math.sqrt(((1.0 / 2.0) * (1.0 + (1.0 / math.sqrt((1.0 + (math.pow(((2.0 * l) / Om), 2.0) * (math.pow(math.sin(kx), 2.0) + math.pow(math.sin(ky), 2.0)))))))))

Julia

function code(l, Om, kx, ky)
	return sqrt(Float64(Float64(1.0 / 2.0) * Float64(1.0 + Float64(1.0 / sqrt(Float64(1.0 + Float64((Float64(Float64(2.0 * l) / Om) ^ 2.0) * Float64((sin(kx) ^ 2.0) + (sin(ky) ^ 2.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(l, Om, kx, ky)
	tmp = sqrt(((1.0 / 2.0) * (1.0 + (1.0 / sqrt((1.0 + ((((2.0 * l) / Om) ^ 2.0) * ((sin(kx) ^ 2.0) + (sin(ky) ^ 2.0)))))))));
end

Wolfram

code[l_, Om_, kx_, ky_] := N[Sqrt[N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(1.0 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[Power[N[(N[(2.0 * l), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] * N[(N[Power[N[Sin[kx], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[ky], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} kx_m = \left|kx\right| \\ ky_m = \left|ky\right| \\ [l, Om, kx_m, ky_m] = \mathsf{sort}([l, Om, kx_m, ky_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin ky\_m}^{2} \leq 5 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{ky\_m \cdot \left(ky\_m \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell + \ell \cdot \left(\left(ky\_m \cdot ky\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}{Om}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\ell \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot kx\_m\right)\right) + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(ky\_m \cdot 2\right)\right)\right)}{\frac{Om}{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}}}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

kx_m = (fabs.f64 kx)
ky_m = (fabs.f64 ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (l Om kx_m ky_m)
 :precision binary64
 (if (<= (pow (sin ky_m) 2.0) 5e-34)
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/
      0.5
      (sqrt
       (+
        1.0
        (*
         l
         (*
          4.0
          (/
           (*
            ky_m
            (*
             ky_m
             (* (/ 1.0 Om) (+ l (* l (* (* ky_m ky_m) -0.3333333333333333))))))
           Om))))))))
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/
      0.5
      (sqrt
       (+
        1.0
        (/
         (*
          l
          (+
           (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 kx_m))))
           (- 0.5 (* 0.5 (cos (* ky_m 2.0))))))
         (/ Om (/ (* l 4.0) Om))))))))))

C

kx_m = fabs(kx);
ky_m = fabs(ky);
assert(l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m);
double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (pow(sin(ky_m), 2.0) <= 5e-34) {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	} else {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + ((l * ((0.5 - (0.5 * cos((2.0 * kx_m)))) + (0.5 - (0.5 * cos((ky_m * 2.0)))))) / (Om / ((l * 4.0) / Om))))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(l, om, kx_m, ky_m)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx_m
    real(8), intent (in) :: ky_m
    real(8) :: tmp
    if ((sin(ky_m) ** 2.0d0) <= 5d-34) then
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + (l * (4.0d0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0d0 / om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * (-0.3333333333333333d0))))))) / om))))))))
    else
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + ((l * ((0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * kx_m)))) + (0.5d0 - (0.5d0 * cos((ky_m * 2.0d0)))))) / (om / ((l * 4.0d0) / om))))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

kx_m = Math.abs(kx);
ky_m = Math.abs(ky);
assert l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m;
public static double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (Math.pow(Math.sin(ky_m), 2.0) <= 5e-34) {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + ((l * ((0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * kx_m)))) + (0.5 - (0.5 * Math.cos((ky_m * 2.0)))))) / (Om / ((l * 4.0) / Om))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

kx_m = math.fabs(kx)
ky_m = math.fabs(ky)
[l, Om, kx_m, ky_m] = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
def code(l, Om, kx_m, ky_m):
	tmp = 0
	if math.pow(math.sin(ky_m), 2.0) <= 5e-34:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))))
	else:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + ((l * ((0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * kx_m)))) + (0.5 - (0.5 * math.cos((ky_m * 2.0)))))) / (Om / ((l * 4.0) / Om))))))))
	return tmp

Julia

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
l, Om, kx_m, ky_m = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
function code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0
	if ((sin(ky_m) ^ 2.0) <= 5e-34)
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(l * Float64(4.0 * Float64(Float64(ky_m * Float64(ky_m * Float64(Float64(1.0 / Om) * Float64(l + Float64(l * Float64(Float64(ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	else
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(l * Float64(Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * kx_m)))) + Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(ky_m * 2.0)))))) / Float64(Om / Float64(Float64(l * 4.0) / Om))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

kx_m = abs(kx);
ky_m = abs(ky);
l, Om, kx_m, ky_m = num2cell(sort([l, Om, kx_m, ky_m])){:}
function tmp_2 = code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0;
	if ((sin(ky_m) ^ 2.0) <= 5e-34)
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	else
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + ((l * ((0.5 - (0.5 * cos((2.0 * kx_m)))) + (0.5 - (0.5 * cos((ky_m * 2.0)))))) / (Om / ((l * 4.0) / Om))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

kx_m = N[Abs[kx], $MachinePrecision]
ky_m = N[Abs[ky], $MachinePrecision]
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[l_, Om_, kx$95$m_, ky$95$m_] := If[LessEqual[N[Power[N[Sin[ky$95$m], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 5e-34], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(l * N[(4.0 * N[(N[(ky$95$m * N[(ky$95$m * N[(N[(1.0 / Om), $MachinePrecision] * N[(l + N[(l * N[(N[(ky$95$m * ky$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(l * N[(N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * kx$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(ky$95$m * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Om / N[(N[(l * 4.0), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (pow.f64 (sin.f64 ky) #s(literal 2 binary64)) < 5.0000000000000003e-34

   1. Initial program 96.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 73.8%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.8%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 63.2%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]

   10. Taylor expanded in ky around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({ky}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right)}, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({ky}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot ky\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om}\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)}{Om}\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\ell \cdot {ky}^{2}\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({ky}^{2}\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(ky \cdot ky\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 78.1%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right)\right), Om\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 78.1%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\color{blue}{\left(ky \cdot ky\right) \cdot \left(\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)}}{Om}\right)}}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(ky \cdot \left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right) \cdot ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{Om} + \ell \cdot \frac{1}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{Om}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot ky\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 85.3%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 85.3%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\color{blue}{\left(ky \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \ell\right)\right)\right) \cdot ky}}{Om}\right)}}} \]

   if 5.0000000000000003e-34 < (pow.f64 (sin.f64 ky) #s(literal 2 binary64))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}} + \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}\right), \left(\frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\ell \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot kx\right)\right) + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right)}{\frac{Om}{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}}}} + 0.5}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin ky}^{2} \leq 5 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{ky \cdot \left(ky \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell + \ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}{Om}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\ell \cdot \left(\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot kx\right)\right) + \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)\right)}{\frac{Om}{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}}}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.0% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} kx_m = \left|kx\right| \\ ky_m = \left|ky\right| \\ [l, Om, kx_m, ky_m] = \mathsf{sort}([l, Om, kx_m, ky_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin ky\_m}^{2} \leq 5 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{ky\_m \cdot \left(ky\_m \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell + \ell \cdot \left(\left(ky\_m \cdot ky\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}{Om}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky\_m \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}\right)}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

kx_m = (fabs.f64 kx)
ky_m = (fabs.f64 ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (l Om kx_m ky_m)
 :precision binary64
 (if (<= (pow (sin ky_m) 2.0) 5e-34)
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/
      0.5
      (sqrt
       (+
        1.0
        (*
         l
         (*
          4.0
          (/
           (*
            ky_m
            (*
             ky_m
             (* (/ 1.0 Om) (+ l (* l (* (* ky_m ky_m) -0.3333333333333333))))))
           Om))))))))
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/
      0.5
      (sqrt
       (+
        1.0
        (*
         l
         (* 4.0 (/ (/ (/ (* l (- 1.0 (cos (* ky_m 2.0)))) 2.0) Om) Om))))))))))

C

kx_m = fabs(kx);
ky_m = fabs(ky);
assert(l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m);
double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (pow(sin(ky_m), 2.0) <= 5e-34) {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	} else {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((((l * (1.0 - cos((ky_m * 2.0)))) / 2.0) / Om) / Om))))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(l, om, kx_m, ky_m)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx_m
    real(8), intent (in) :: ky_m
    real(8) :: tmp
    if ((sin(ky_m) ** 2.0d0) <= 5d-34) then
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + (l * (4.0d0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0d0 / om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * (-0.3333333333333333d0))))))) / om))))))))
    else
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + (l * (4.0d0 * ((((l * (1.0d0 - cos((ky_m * 2.0d0)))) / 2.0d0) / om) / om))))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

kx_m = Math.abs(kx);
ky_m = Math.abs(ky);
assert l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m;
public static double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (Math.pow(Math.sin(ky_m), 2.0) <= 5e-34) {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((((l * (1.0 - Math.cos((ky_m * 2.0)))) / 2.0) / Om) / Om))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

kx_m = math.fabs(kx)
ky_m = math.fabs(ky)
[l, Om, kx_m, ky_m] = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
def code(l, Om, kx_m, ky_m):
	tmp = 0
	if math.pow(math.sin(ky_m), 2.0) <= 5e-34:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))))
	else:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((((l * (1.0 - math.cos((ky_m * 2.0)))) / 2.0) / Om) / Om))))))))
	return tmp

Julia

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
l, Om, kx_m, ky_m = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
function code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0
	if ((sin(ky_m) ^ 2.0) <= 5e-34)
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(l * Float64(4.0 * Float64(Float64(ky_m * Float64(ky_m * Float64(Float64(1.0 / Om) * Float64(l + Float64(l * Float64(Float64(ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	else
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(l * Float64(4.0 * Float64(Float64(Float64(Float64(l * Float64(1.0 - cos(Float64(ky_m * 2.0)))) / 2.0) / Om) / Om))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

kx_m = abs(kx);
ky_m = abs(ky);
l, Om, kx_m, ky_m = num2cell(sort([l, Om, kx_m, ky_m])){:}
function tmp_2 = code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0;
	if ((sin(ky_m) ^ 2.0) <= 5e-34)
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	else
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((((l * (1.0 - cos((ky_m * 2.0)))) / 2.0) / Om) / Om))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

kx_m = N[Abs[kx], $MachinePrecision]
ky_m = N[Abs[ky], $MachinePrecision]
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[l_, Om_, kx$95$m_, ky$95$m_] := If[LessEqual[N[Power[N[Sin[ky$95$m], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 5e-34], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(l * N[(4.0 * N[(N[(ky$95$m * N[(ky$95$m * N[(N[(1.0 / Om), $MachinePrecision] * N[(l + N[(l * N[(N[(ky$95$m * ky$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(l * N[(4.0 * N[(N[(N[(N[(l * N[(1.0 - N[Cos[N[(ky$95$m * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (pow.f64 (sin.f64 ky) #s(literal 2 binary64)) < 5.0000000000000003e-34

   1. Initial program 96.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 73.8%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.8%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 63.2%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]

   10. Taylor expanded in ky around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({ky}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right)}, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({ky}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot ky\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om}\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)}{Om}\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\ell \cdot {ky}^{2}\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({ky}^{2}\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(ky \cdot ky\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 78.1%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right)\right), Om\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 78.1%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\color{blue}{\left(ky \cdot ky\right) \cdot \left(\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)}}{Om}\right)}}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(ky \cdot \left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right) \cdot ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{Om} + \ell \cdot \frac{1}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{Om}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot ky\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 85.3%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 85.3%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\color{blue}{\left(ky \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \ell\right)\right)\right) \cdot ky}}{Om}\right)}}} \]

   if 5.0000000000000003e-34 < (pow.f64 (sin.f64 ky) #s(literal 2 binary64))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 95.3%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin ky}^{2} \leq 5 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{ky \cdot \left(ky \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell + \ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}{Om}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}\right)}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 95.1% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} kx_m = \left|kx\right| \\ ky_m = \left|ky\right| \\ [l, Om, kx_m, ky_m] = \mathsf{sort}([l, Om, kx_m, ky_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin ky\_m}^{2} \leq 5 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{ky\_m \cdot \left(ky\_m \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell + \ell \cdot \left(\left(ky\_m \cdot ky\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}{Om}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\frac{2 \cdot \left(\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(ky\_m \cdot 2\right)\right)\right)}{Om}}{Om}}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

kx_m = (fabs.f64 kx)
ky_m = (fabs.f64 ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (l Om kx_m ky_m)
 :precision binary64
 (if (<= (pow (sin ky_m) 2.0) 5e-34)
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/
      0.5
      (sqrt
       (+
        1.0
        (*
         l
         (*
          4.0
          (/
           (*
            ky_m
            (*
             ky_m
             (* (/ 1.0 Om) (+ l (* l (* (* ky_m ky_m) -0.3333333333333333))))))
           Om))))))))
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/
      0.5
      (sqrt
       (+
        1.0
        (/ (/ (* 2.0 (* (* l l) (- 1.0 (cos (* ky_m 2.0))))) Om) Om))))))))

C

kx_m = fabs(kx);
ky_m = fabs(ky);
assert(l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m);
double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (pow(sin(ky_m), 2.0) <= 5e-34) {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	} else {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (((2.0 * ((l * l) * (1.0 - cos((ky_m * 2.0))))) / Om) / Om))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(l, om, kx_m, ky_m)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx_m
    real(8), intent (in) :: ky_m
    real(8) :: tmp
    if ((sin(ky_m) ** 2.0d0) <= 5d-34) then
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + (l * (4.0d0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0d0 / om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * (-0.3333333333333333d0))))))) / om))))))))
    else
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + (((2.0d0 * ((l * l) * (1.0d0 - cos((ky_m * 2.0d0))))) / om) / om))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

kx_m = Math.abs(kx);
ky_m = Math.abs(ky);
assert l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m;
public static double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (Math.pow(Math.sin(ky_m), 2.0) <= 5e-34) {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + (((2.0 * ((l * l) * (1.0 - Math.cos((ky_m * 2.0))))) / Om) / Om))))));
	}
	return tmp;
}

Python

kx_m = math.fabs(kx)
ky_m = math.fabs(ky)
[l, Om, kx_m, ky_m] = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
def code(l, Om, kx_m, ky_m):
	tmp = 0
	if math.pow(math.sin(ky_m), 2.0) <= 5e-34:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))))
	else:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + (((2.0 * ((l * l) * (1.0 - math.cos((ky_m * 2.0))))) / Om) / Om))))))
	return tmp

Julia

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
l, Om, kx_m, ky_m = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
function code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0
	if ((sin(ky_m) ^ 2.0) <= 5e-34)
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(l * Float64(4.0 * Float64(Float64(ky_m * Float64(ky_m * Float64(Float64(1.0 / Om) * Float64(l + Float64(l * Float64(Float64(ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	else
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64(Float64(l * l) * Float64(1.0 - cos(Float64(ky_m * 2.0))))) / Om) / Om))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

kx_m = abs(kx);
ky_m = abs(ky);
l, Om, kx_m, ky_m = num2cell(sort([l, Om, kx_m, ky_m])){:}
function tmp_2 = code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0;
	if ((sin(ky_m) ^ 2.0) <= 5e-34)
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	else
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (((2.0 * ((l * l) * (1.0 - cos((ky_m * 2.0))))) / Om) / Om))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

kx_m = N[Abs[kx], $MachinePrecision]
ky_m = N[Abs[ky], $MachinePrecision]
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[l_, Om_, kx$95$m_, ky$95$m_] := If[LessEqual[N[Power[N[Sin[ky$95$m], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 5e-34], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(l * N[(4.0 * N[(N[(ky$95$m * N[(ky$95$m * N[(N[(1.0 / Om), $MachinePrecision] * N[(l + N[(l * N[(N[(ky$95$m * ky$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[(2.0 * N[(N[(l * l), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[Cos[N[(ky$95$m * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (pow.f64 (sin.f64 ky) #s(literal 2 binary64)) < 5.0000000000000003e-34

   1. Initial program 96.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 73.8%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.8%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 63.2%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]

   10. Taylor expanded in ky around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({ky}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right)}, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({ky}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot ky\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om}\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)}{Om}\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\ell \cdot {ky}^{2}\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({ky}^{2}\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(ky \cdot ky\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 78.1%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right)\right), Om\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 78.1%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\color{blue}{\left(ky \cdot ky\right) \cdot \left(\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)}}{Om}\right)}}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(ky \cdot \left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right) \cdot ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{Om} + \ell \cdot \frac{1}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{Om}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot ky\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 85.3%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 85.3%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\color{blue}{\left(ky \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \ell\right)\right)\right) \cdot ky}}{Om}\right)}}} \]

   if 5.0000000000000003e-34 < (pow.f64 (sin.f64 ky) #s(literal 2 binary64))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 95.3%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot 4\right), \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot 2}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\frac{\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right) \cdot \ell}{Om \cdot 2}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(ky \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(ky \cdot 2\right)\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(Om \cdot 2\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 99.0%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.0%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \left(\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{\ell}{2 \cdot Om}\right)}{Om}}}}} \]

   12. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{Om}\right)}, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \left({\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \left({\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right), Om\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left({\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right), Om\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right), Om\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right), Om\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right), Om\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right), Om\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right)\right), Om\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 94.7%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right)\right), Om\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 94.7%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right)}{Om}}}{Om}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin ky}^{2} \leq 5 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{ky \cdot \left(ky \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell + \ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}{Om}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\frac{2 \cdot \left(\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)\right)}{Om}}{Om}}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 90.2% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} kx_m = \left|kx\right| \\ ky_m = \left|ky\right| \\ [l, Om, kx_m, ky_m] = \mathsf{sort}([l, Om, kx_m, ky_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin ky\_m}^{2} \leq 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{ky\_m \cdot \left(ky\_m \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell + \ell \cdot \left(\left(ky\_m \cdot ky\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}{Om}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + 2 \cdot \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(ky\_m \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot Om}}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

kx_m = (fabs.f64 kx)
ky_m = (fabs.f64 ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (l Om kx_m ky_m)
 :precision binary64
 (if (<= (pow (sin ky_m) 2.0) 1e-23)
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/
      0.5
      (sqrt
       (+
        1.0
        (*
         l
         (*
          4.0
          (/
           (*
            ky_m
            (*
             ky_m
             (* (/ 1.0 Om) (+ l (* l (* (* ky_m ky_m) -0.3333333333333333))))))
           Om))))))))
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/
      0.5
      (sqrt
       (+
        1.0
        (* 2.0 (/ (* (* l l) (- 1.0 (cos (* ky_m 2.0)))) (* Om Om))))))))))

C

kx_m = fabs(kx);
ky_m = fabs(ky);
assert(l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m);
double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (pow(sin(ky_m), 2.0) <= 1e-23) {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	} else {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (2.0 * (((l * l) * (1.0 - cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(l, om, kx_m, ky_m)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx_m
    real(8), intent (in) :: ky_m
    real(8) :: tmp
    if ((sin(ky_m) ** 2.0d0) <= 1d-23) then
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + (l * (4.0d0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0d0 / om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * (-0.3333333333333333d0))))))) / om))))))))
    else
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + (2.0d0 * (((l * l) * (1.0d0 - cos((ky_m * 2.0d0)))) / (om * om))))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

kx_m = Math.abs(kx);
ky_m = Math.abs(ky);
assert l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m;
public static double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (Math.pow(Math.sin(ky_m), 2.0) <= 1e-23) {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + (2.0 * (((l * l) * (1.0 - Math.cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

kx_m = math.fabs(kx)
ky_m = math.fabs(ky)
[l, Om, kx_m, ky_m] = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
def code(l, Om, kx_m, ky_m):
	tmp = 0
	if math.pow(math.sin(ky_m), 2.0) <= 1e-23:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))))
	else:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + (2.0 * (((l * l) * (1.0 - math.cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))))))
	return tmp

Julia

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
l, Om, kx_m, ky_m = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
function code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0
	if ((sin(ky_m) ^ 2.0) <= 1e-23)
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(l * Float64(4.0 * Float64(Float64(ky_m * Float64(ky_m * Float64(Float64(1.0 / Om) * Float64(l + Float64(l * Float64(Float64(ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	else
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(2.0 * Float64(Float64(Float64(l * l) * Float64(1.0 - cos(Float64(ky_m * 2.0)))) / Float64(Om * Om))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

kx_m = abs(kx);
ky_m = abs(ky);
l, Om, kx_m, ky_m = num2cell(sort([l, Om, kx_m, ky_m])){:}
function tmp_2 = code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0;
	if ((sin(ky_m) ^ 2.0) <= 1e-23)
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	else
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (2.0 * (((l * l) * (1.0 - cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

kx_m = N[Abs[kx], $MachinePrecision]
ky_m = N[Abs[ky], $MachinePrecision]
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[l_, Om_, kx$95$m_, ky$95$m_] := If[LessEqual[N[Power[N[Sin[ky$95$m], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1e-23], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(l * N[(4.0 * N[(N[(ky$95$m * N[(ky$95$m * N[(N[(1.0 / Om), $MachinePrecision] * N[(l + N[(l * N[(N[(ky$95$m * ky$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(2.0 * N[(N[(N[(l * l), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[Cos[N[(ky$95$m * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Om * Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (pow.f64 (sin.f64 ky) #s(literal 2 binary64)) < 9.9999999999999996e-24

   1. Initial program 96.1%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 74.2%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 74.2%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 63.8%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]

   10. Taylor expanded in ky around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({ky}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right)}, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({ky}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot ky\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om}\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)}{Om}\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\ell \cdot {ky}^{2}\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({ky}^{2}\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(ky \cdot ky\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 78.5%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right)\right), Om\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 78.5%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\color{blue}{\left(ky \cdot ky\right) \cdot \left(\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)}}{Om}\right)}}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(ky \cdot \left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right) \cdot ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{Om} + \ell \cdot \frac{1}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{Om}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot ky\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 85.6%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 85.6%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\color{blue}{\left(ky \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \ell\right)\right)\right) \cdot ky}}{Om}\right)}}} \]

   if 9.9999999999999996e-24 < (pow.f64 (sin.f64 ky) #s(literal 2 binary64))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 95.3%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]

   10. Taylor expanded in ky around inf

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{1 + 2 \cdot \frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{{Om}^{2}}}\right)}\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + 2 \cdot \frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(2 \cdot \frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \left(\frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 88.7%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 88.7%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{\sqrt{1 + 2 \cdot \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{Om \cdot Om}}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin ky}^{2} \leq 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{ky \cdot \left(ky \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell + \ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}{Om}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + 2 \cdot \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot Om}}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 90.0% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} kx_m = \left|kx\right| \\ ky_m = \left|ky\right| \\ [l, Om, kx_m, ky_m] = \mathsf{sort}([l, Om, kx_m, ky_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin ky\_m}^{2} \leq 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{ky\_m \cdot \left(ky\_m \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell + \ell \cdot \left(\left(ky\_m \cdot ky\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}{Om}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{1 + \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(ky\_m \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot Om}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

kx_m = (fabs.f64 kx)
ky_m = (fabs.f64 ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (l Om kx_m ky_m)
 :precision binary64
 (if (<= (pow (sin ky_m) 2.0) 1e-23)
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/
      0.5
      (sqrt
       (+
        1.0
        (*
         l
         (*
          4.0
          (/
           (*
            ky_m
            (*
             ky_m
             (* (/ 1.0 Om) (+ l (* l (* (* ky_m ky_m) -0.3333333333333333))))))
           Om))))))))
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/ 0.5 (+ 1.0 (/ (* (* l l) (- 1.0 (cos (* ky_m 2.0)))) (* Om Om))))))))

C

kx_m = fabs(kx);
ky_m = fabs(ky);
assert(l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m);
double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (pow(sin(ky_m), 2.0) <= 1e-23) {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	} else {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(l, om, kx_m, ky_m)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx_m
    real(8), intent (in) :: ky_m
    real(8) :: tmp
    if ((sin(ky_m) ** 2.0d0) <= 1d-23) then
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + (l * (4.0d0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0d0 / om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * (-0.3333333333333333d0))))))) / om))))))))
    else
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / (1.0d0 + (((l * l) * (1.0d0 - cos((ky_m * 2.0d0)))) / (om * om))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

kx_m = Math.abs(kx);
ky_m = Math.abs(ky);
assert l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m;
public static double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (Math.pow(Math.sin(ky_m), 2.0) <= 1e-23) {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - Math.cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))));
	}
	return tmp;
}

Python

kx_m = math.fabs(kx)
ky_m = math.fabs(ky)
[l, Om, kx_m, ky_m] = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
def code(l, Om, kx_m, ky_m):
	tmp = 0
	if math.pow(math.sin(ky_m), 2.0) <= 1e-23:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))))
	else:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - math.cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))))
	return tmp

Julia

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
l, Om, kx_m, ky_m = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
function code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0
	if ((sin(ky_m) ^ 2.0) <= 1e-23)
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(l * Float64(4.0 * Float64(Float64(ky_m * Float64(ky_m * Float64(Float64(1.0 / Om) * Float64(l + Float64(l * Float64(Float64(ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	else
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(l * l) * Float64(1.0 - cos(Float64(ky_m * 2.0)))) / Float64(Om * Om))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

kx_m = abs(kx);
ky_m = abs(ky);
l, Om, kx_m, ky_m = num2cell(sort([l, Om, kx_m, ky_m])){:}
function tmp_2 = code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0;
	if ((sin(ky_m) ^ 2.0) <= 1e-23)
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (l * (4.0 * ((ky_m * (ky_m * ((1.0 / Om) * (l + (l * ((ky_m * ky_m) * -0.3333333333333333)))))) / Om))))))));
	else
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

kx_m = N[Abs[kx], $MachinePrecision]
ky_m = N[Abs[ky], $MachinePrecision]
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[l_, Om_, kx$95$m_, ky$95$m_] := If[LessEqual[N[Power[N[Sin[ky$95$m], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1e-23], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(l * N[(4.0 * N[(N[(ky$95$m * N[(ky$95$m * N[(N[(1.0 / Om), $MachinePrecision] * N[(l + N[(l * N[(N[(ky$95$m * ky$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[(1.0 + N[(N[(N[(l * l), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[Cos[N[(ky$95$m * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Om * Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (pow.f64 (sin.f64 ky) #s(literal 2 binary64)) < 9.9999999999999996e-24

   1. Initial program 96.1%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 74.2%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 74.2%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 63.8%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]

   10. Taylor expanded in ky around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({ky}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right)}, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({ky}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot ky\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{ky}^{2} \cdot \ell}{Om}\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)}{Om}\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({ky}^{2} \cdot \ell\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\ell \cdot {ky}^{2}\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left({ky}^{2}\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(ky \cdot ky\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right)\right), Om\right), \left(\frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 78.5%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right)\right), Om\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, Om\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 78.5%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\color{blue}{\left(ky \cdot ky\right) \cdot \left(\frac{-0.3333333333333333 \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)}}{Om}\right)}}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(ky \cdot \left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right) \cdot ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{Om} + \frac{\ell}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{Om} + \ell \cdot \frac{1}{Om}\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{Om}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) + \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\ell \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\left(ky \cdot ky\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 85.6%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, Om\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \ell\right)\right)\right), ky\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 85.6%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{\color{blue}{\left(ky \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \ell\right)\right)\right) \cdot ky}}{Om}\right)}}} \]

   if 9.9999999999999996e-24 < (pow.f64 (sin.f64 ky) #s(literal 2 binary64))

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 95.3%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.0%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]

   10. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + \frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 88.1%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 88.1%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{1 + \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{Om \cdot Om}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin ky}^{2} \leq 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \frac{ky \cdot \left(ky \cdot \left(\frac{1}{Om} \cdot \left(\ell + \ell \cdot \left(\left(ky \cdot ky\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)}{Om}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{1 + \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot Om}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 78.3% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} kx_m = \left|kx\right| \\ ky_m = \left|ky\right| \\ [l, Om, kx_m, ky_m] = \mathsf{sort}([l, Om, kx_m, ky_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \leq 3.3 \cdot 10^{-183}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{elif}\;\ell \leq 3.8 \cdot 10^{+142}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{1 + 2 \cdot \left(\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{{\sin ky\_m}^{2}}{Om \cdot Om}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \left(\left(2 \cdot \left(ky\_m \cdot ky\_m\right)\right) \cdot \frac{\ell}{2 \cdot Om}\right)}{Om}}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

kx_m = (fabs.f64 kx)
ky_m = (fabs.f64 ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (l Om kx_m ky_m)
 :precision binary64
 (if (<= l 3.3e-183)
   1.0
   (if (<= l 3.8e+142)
     (sqrt
      (+
       0.5
       (/ 0.5 (+ 1.0 (* 2.0 (* (* l l) (/ (pow (sin ky_m) 2.0) (* Om Om))))))))
     (sqrt
      (+
       0.5
       (/
        0.5
        (sqrt
         (+
          1.0
          (/
           (* (* l 4.0) (* (* 2.0 (* ky_m ky_m)) (/ l (* 2.0 Om))))
           Om)))))))))

C

kx_m = fabs(kx);
ky_m = fabs(ky);
assert(l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m);
double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (l <= 3.3e-183) {
		tmp = 1.0;
	} else if (l <= 3.8e+142) {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (2.0 * ((l * l) * (pow(sin(ky_m), 2.0) / (Om * Om))))))));
	} else {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (((l * 4.0) * ((2.0 * (ky_m * ky_m)) * (l / (2.0 * Om)))) / Om))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(l, om, kx_m, ky_m)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx_m
    real(8), intent (in) :: ky_m
    real(8) :: tmp
    if (l <= 3.3d-183) then
        tmp = 1.0d0
    else if (l <= 3.8d+142) then
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / (1.0d0 + (2.0d0 * ((l * l) * ((sin(ky_m) ** 2.0d0) / (om * om))))))))
    else
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + (((l * 4.0d0) * ((2.0d0 * (ky_m * ky_m)) * (l / (2.0d0 * om)))) / om))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

kx_m = Math.abs(kx);
ky_m = Math.abs(ky);
assert l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m;
public static double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (l <= 3.3e-183) {
		tmp = 1.0;
	} else if (l <= 3.8e+142) {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (2.0 * ((l * l) * (Math.pow(Math.sin(ky_m), 2.0) / (Om * Om))))))));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + (((l * 4.0) * ((2.0 * (ky_m * ky_m)) * (l / (2.0 * Om)))) / Om))))));
	}
	return tmp;
}

Python

kx_m = math.fabs(kx)
ky_m = math.fabs(ky)
[l, Om, kx_m, ky_m] = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
def code(l, Om, kx_m, ky_m):
	tmp = 0
	if l <= 3.3e-183:
		tmp = 1.0
	elif l <= 3.8e+142:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (2.0 * ((l * l) * (math.pow(math.sin(ky_m), 2.0) / (Om * Om))))))))
	else:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + (((l * 4.0) * ((2.0 * (ky_m * ky_m)) * (l / (2.0 * Om)))) / Om))))))
	return tmp

Julia

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
l, Om, kx_m, ky_m = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
function code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0
	if (l <= 3.3e-183)
		tmp = 1.0;
	elseif (l <= 3.8e+142)
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / Float64(1.0 + Float64(2.0 * Float64(Float64(l * l) * Float64((sin(ky_m) ^ 2.0) / Float64(Om * Om))))))));
	else
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(l * 4.0) * Float64(Float64(2.0 * Float64(ky_m * ky_m)) * Float64(l / Float64(2.0 * Om)))) / Om))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

kx_m = abs(kx);
ky_m = abs(ky);
l, Om, kx_m, ky_m = num2cell(sort([l, Om, kx_m, ky_m])){:}
function tmp_2 = code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0;
	if (l <= 3.3e-183)
		tmp = 1.0;
	elseif (l <= 3.8e+142)
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (2.0 * ((l * l) * ((sin(ky_m) ^ 2.0) / (Om * Om))))))));
	else
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (((l * 4.0) * ((2.0 * (ky_m * ky_m)) * (l / (2.0 * Om)))) / Om))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

kx_m = N[Abs[kx], $MachinePrecision]
ky_m = N[Abs[ky], $MachinePrecision]
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[l_, Om_, kx$95$m_, ky$95$m_] := If[LessEqual[l, 3.3e-183], 1.0, If[LessEqual[l, 3.8e+142], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[(1.0 + N[(2.0 * N[(N[(l * l), $MachinePrecision] * N[(N[Power[N[Sin[ky$95$m], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] / N[(Om * Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[(l * 4.0), $MachinePrecision] * N[(N[(2.0 * N[(ky$95$m * ky$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(l / N[(2.0 * Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if l < 3.3e-183

   1. Initial program 97.3%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 66.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 3.3e-183 < l < 3.7999999999999999e142

   1. Initial program 98.7%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 93.2%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 93.2%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]

   8. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + 2 \cdot \frac{{\ell}^{2} \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(2 \cdot \frac{{\ell}^{2} \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \left(\frac{{\ell}^{2} \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \left({\ell}^{2} \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 93.1%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 93.1%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{1 + 2 \cdot \left(\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)}}} \]

   if 3.7999999999999999e142 < l

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 84.8%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 84.8%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 63.6%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot 4\right), \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot 2}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\frac{\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right) \cdot \ell}{Om \cdot 2}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(ky \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(ky \cdot 2\right)\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(Om \cdot 2\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 60.6%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 60.6%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \left(\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{\ell}{2 \cdot Om}\right)}{Om}}}}} \]

   12. Taylor expanded in ky around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot {ky}^{2}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left({ky}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(ky \cdot ky\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 87.3%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 87.3%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)} \cdot \frac{\ell}{2 \cdot Om}\right)}{Om}}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 71.6% accurate, 3.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} kx_m = \left|kx\right| \\ ky_m = \left|ky\right| \\ [l, Om, kx_m, ky_m] = \mathsf{sort}([l, Om, kx_m, ky_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;Om \leq 4.7 \cdot 10^{-112}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5}\\ \mathbf{elif}\;Om \leq 6.2 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{1 + \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(ky\_m \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot Om}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

kx_m = (fabs.f64 kx)
ky_m = (fabs.f64 ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (l Om kx_m ky_m)
 :precision binary64
 (if (<= Om 4.7e-112)
   (sqrt 0.5)
   (if (<= Om 6.2e+144)
     (sqrt
      (+
       0.5
       (/ 0.5 (+ 1.0 (/ (* (* l l) (- 1.0 (cos (* ky_m 2.0)))) (* Om Om))))))
     1.0)))

C

kx_m = fabs(kx);
ky_m = fabs(ky);
assert(l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m);
double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (Om <= 4.7e-112) {
		tmp = sqrt(0.5);
	} else if (Om <= 6.2e+144) {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))));
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(l, om, kx_m, ky_m)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx_m
    real(8), intent (in) :: ky_m
    real(8) :: tmp
    if (om <= 4.7d-112) then
        tmp = sqrt(0.5d0)
    else if (om <= 6.2d+144) then
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / (1.0d0 + (((l * l) * (1.0d0 - cos((ky_m * 2.0d0)))) / (om * om))))))
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

kx_m = Math.abs(kx);
ky_m = Math.abs(ky);
assert l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m;
public static double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (Om <= 4.7e-112) {
		tmp = Math.sqrt(0.5);
	} else if (Om <= 6.2e+144) {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - Math.cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))));
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

kx_m = math.fabs(kx)
ky_m = math.fabs(ky)
[l, Om, kx_m, ky_m] = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
def code(l, Om, kx_m, ky_m):
	tmp = 0
	if Om <= 4.7e-112:
		tmp = math.sqrt(0.5)
	elif Om <= 6.2e+144:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - math.cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))))
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
l, Om, kx_m, ky_m = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
function code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0
	if (Om <= 4.7e-112)
		tmp = sqrt(0.5);
	elseif (Om <= 6.2e+144)
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(l * l) * Float64(1.0 - cos(Float64(ky_m * 2.0)))) / Float64(Om * Om))))));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

kx_m = abs(kx);
ky_m = abs(ky);
l, Om, kx_m, ky_m = num2cell(sort([l, Om, kx_m, ky_m])){:}
function tmp_2 = code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0;
	if (Om <= 4.7e-112)
		tmp = sqrt(0.5);
	elseif (Om <= 6.2e+144)
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

kx_m = N[Abs[kx], $MachinePrecision]
ky_m = N[Abs[ky], $MachinePrecision]
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[l_, Om_, kx$95$m_, ky$95$m_] := If[LessEqual[Om, 4.7e-112], N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision], If[LessEqual[Om, 6.2e+144], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[(1.0 + N[(N[(N[(l * l), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[Cos[N[(ky$95$m * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Om * Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1.0]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if Om < 4.7000000000000004e-112

   1. Initial program 97.5%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in l around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 63.9%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right) \]

   5. Simplified 63.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5}} \]

   if 4.7000000000000004e-112 < Om < 6.2000000000000003e144

   1. Initial program 98.2%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 85.8%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.8%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 81.6%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]

   10. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + \frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 75.9%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 75.9%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{1 + \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{Om \cdot Om}}}} \]

   if 6.2000000000000003e144 < Om

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 70.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;Om \leq 4.7 \cdot 10^{-112}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5}\\ \mathbf{elif}\;Om \leq 6.2 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{1 + \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot Om}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 90.0% accurate, 3.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} kx_m = \left|kx\right| \\ ky_m = \left|ky\right| \\ [l, Om, kx_m, ky_m] = \mathsf{sort}([l, Om, kx_m, ky_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;ky\_m \leq 8.5 \cdot 10^{+104}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \left(\left(2 \cdot \left(ky\_m \cdot ky\_m\right)\right) \cdot \frac{\ell}{2 \cdot Om}\right)}{Om}}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{1 + \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(ky\_m \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot Om}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

kx_m = (fabs.f64 kx)
ky_m = (fabs.f64 ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (l Om kx_m ky_m)
 :precision binary64
 (if (<= ky_m 8.5e+104)
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/
      0.5
      (sqrt
       (+
        1.0
        (/ (* (* l 4.0) (* (* 2.0 (* ky_m ky_m)) (/ l (* 2.0 Om)))) Om))))))
   (sqrt
    (+
     0.5
     (/ 0.5 (+ 1.0 (/ (* (* l l) (- 1.0 (cos (* ky_m 2.0)))) (* Om Om))))))))

C

kx_m = fabs(kx);
ky_m = fabs(ky);
assert(l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m);
double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (ky_m <= 8.5e+104) {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (((l * 4.0) * ((2.0 * (ky_m * ky_m)) * (l / (2.0 * Om)))) / Om))))));
	} else {
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(l, om, kx_m, ky_m)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx_m
    real(8), intent (in) :: ky_m
    real(8) :: tmp
    if (ky_m <= 8.5d+104) then
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / sqrt((1.0d0 + (((l * 4.0d0) * ((2.0d0 * (ky_m * ky_m)) * (l / (2.0d0 * om)))) / om))))))
    else
        tmp = sqrt((0.5d0 + (0.5d0 / (1.0d0 + (((l * l) * (1.0d0 - cos((ky_m * 2.0d0)))) / (om * om))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

kx_m = Math.abs(kx);
ky_m = Math.abs(ky);
assert l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m;
public static double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (ky_m <= 8.5e+104) {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / Math.sqrt((1.0 + (((l * 4.0) * ((2.0 * (ky_m * ky_m)) * (l / (2.0 * Om)))) / Om))))));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - Math.cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))));
	}
	return tmp;
}

Python

kx_m = math.fabs(kx)
ky_m = math.fabs(ky)
[l, Om, kx_m, ky_m] = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
def code(l, Om, kx_m, ky_m):
	tmp = 0
	if ky_m <= 8.5e+104:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / math.sqrt((1.0 + (((l * 4.0) * ((2.0 * (ky_m * ky_m)) * (l / (2.0 * Om)))) / Om))))))
	else:
		tmp = math.sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - math.cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))))
	return tmp

Julia

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
l, Om, kx_m, ky_m = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
function code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0
	if (ky_m <= 8.5e+104)
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(l * 4.0) * Float64(Float64(2.0 * Float64(ky_m * ky_m)) * Float64(l / Float64(2.0 * Om)))) / Om))))));
	else
		tmp = sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 / Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(l * l) * Float64(1.0 - cos(Float64(ky_m * 2.0)))) / Float64(Om * Om))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

kx_m = abs(kx);
ky_m = abs(ky);
l, Om, kx_m, ky_m = num2cell(sort([l, Om, kx_m, ky_m])){:}
function tmp_2 = code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0;
	if (ky_m <= 8.5e+104)
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / sqrt((1.0 + (((l * 4.0) * ((2.0 * (ky_m * ky_m)) * (l / (2.0 * Om)))) / Om))))));
	else
		tmp = sqrt((0.5 + (0.5 / (1.0 + (((l * l) * (1.0 - cos((ky_m * 2.0)))) / (Om * Om))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

kx_m = N[Abs[kx], $MachinePrecision]
ky_m = N[Abs[ky], $MachinePrecision]
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[l_, Om_, kx$95$m_, ky$95$m_] := If[LessEqual[ky$95$m, 8.5e+104], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[(l * 4.0), $MachinePrecision] * N[(N[(2.0 * N[(ky$95$m * ky$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(l / N[(2.0 * Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 / N[(1.0 + N[(N[(N[(l * l), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[Cos[N[(ky$95$m * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Om * Om), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if ky < 8.4999999999999999e104

   1. Initial program 97.7%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 82.4%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 82.4%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 78.1%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot 4\right), \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot 2}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\frac{\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right) \cdot \ell}{Om \cdot 2}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \left(\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(ky \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(ky \cdot 2\right)\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \left(\frac{\ell}{Om \cdot 2}\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(Om \cdot 2\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(2 \cdot Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 77.0%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(ky, 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 77.0%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \left(\left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right) \cdot \frac{\ell}{2 \cdot Om}\right)}{Om}}}}} \]

   12. Taylor expanded in ky around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot {ky}^{2}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left({ky}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(ky \cdot ky\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 78.3%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(ky, ky\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(2, Om\right)\right)\right)\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 78.3%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right)} \cdot \frac{\ell}{2 \cdot Om}\right)}{Om}}}} \]

   if 8.4999999999999999e104 < ky

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in kx around 0

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(4 \cdot \frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot {\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{{\sin ky}^{2}}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\left({\sin ky}^{2}\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin ky, 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(ky\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \color{blue}{\left(4 \cdot \left(\ell \cdot \frac{{\sin ky}^{2}}{Om \cdot Om}\right)\right)}}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\ell \cdot \frac{\sin ky \cdot \sin ky}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om \cdot Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \left(\frac{\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}}{Om}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(4, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\ell \cdot \left(\sin ky \cdot \sin ky\right)}{Om}\right), Om\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(4 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\ell \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{2}}{Om}}{Om}}\right)}}} \]

   10. Taylor expanded in l around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(1 + \frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{{Om}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{{Om}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2} \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot ky\right)\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \left({Om}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \left(Om \cdot Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 97.5%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, ky\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(Om, Om\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 97.5%

       \[\leadsto \sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\color{blue}{1 + \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot ky\right)\right)}{Om \cdot Om}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;ky \leq 8.5 \cdot 10^{+104}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \frac{\left(\ell \cdot 4\right) \cdot \left(\left(2 \cdot \left(ky \cdot ky\right)\right) \cdot \frac{\ell}{2 \cdot Om}\right)}{Om}}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{1 + \frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \left(1 - \cos \left(ky \cdot 2\right)\right)}{Om \cdot Om}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 67.1% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} kx_m = \left|kx\right| \\ ky_m = \left|ky\right| \\ [l, Om, kx_m, ky_m] = \mathsf{sort}([l, Om, kx_m, ky_m])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;Om \leq 8.8 \cdot 10^{+33}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

kx_m = (fabs.f64 kx)
ky_m = (fabs.f64 ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (l Om kx_m ky_m)
 :precision binary64
 (if (<= Om 8.8e+33) (sqrt 0.5) 1.0))

C

kx_m = fabs(kx);
ky_m = fabs(ky);
assert(l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m);
double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (Om <= 8.8e+33) {
		tmp = sqrt(0.5);
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(l, om, kx_m, ky_m)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx_m
    real(8), intent (in) :: ky_m
    real(8) :: tmp
    if (om <= 8.8d+33) then
        tmp = sqrt(0.5d0)
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

kx_m = Math.abs(kx);
ky_m = Math.abs(ky);
assert l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m;
public static double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	double tmp;
	if (Om <= 8.8e+33) {
		tmp = Math.sqrt(0.5);
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

kx_m = math.fabs(kx)
ky_m = math.fabs(ky)
[l, Om, kx_m, ky_m] = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
def code(l, Om, kx_m, ky_m):
	tmp = 0
	if Om <= 8.8e+33:
		tmp = math.sqrt(0.5)
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
l, Om, kx_m, ky_m = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
function code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0
	if (Om <= 8.8e+33)
		tmp = sqrt(0.5);
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

kx_m = abs(kx);
ky_m = abs(ky);
l, Om, kx_m, ky_m = num2cell(sort([l, Om, kx_m, ky_m])){:}
function tmp_2 = code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 0.0;
	if (Om <= 8.8e+33)
		tmp = sqrt(0.5);
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

kx_m = N[Abs[kx], $MachinePrecision]
ky_m = N[Abs[ky], $MachinePrecision]
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[l_, Om_, kx$95$m_, ky$95$m_] := If[LessEqual[Om, 8.8e+33], N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision], 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if Om < 8.79999999999999975e33

   1. Initial program 97.9%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in l around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 63.7%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right) \]

   5. Simplified 63.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5}} \]

   if 8.79999999999999975e33 < Om

   1. Initial program 98.5%

      \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in l around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 62.4% accurate, 722.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} kx_m = \left|kx\right| \\ ky_m = \left|ky\right| \\ [l, Om, kx_m, ky_m] = \mathsf{sort}([l, Om, kx_m, ky_m])\\ \\ 1 \end{array} \]

FPCore

kx_m = (fabs.f64 kx)
ky_m = (fabs.f64 ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (l Om kx_m ky_m) :precision binary64 1.0)

C

kx_m = fabs(kx);
ky_m = fabs(ky);
assert(l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m);
double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	return 1.0;
}

Fortran

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(l, om, kx_m, ky_m)
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: om
    real(8), intent (in) :: kx_m
    real(8), intent (in) :: ky_m
    code = 1.0d0
end function

Java

kx_m = Math.abs(kx);
ky_m = Math.abs(ky);
assert l < Om && Om < kx_m && kx_m < ky_m;
public static double code(double l, double Om, double kx_m, double ky_m) {
	return 1.0;
}

Python

kx_m = math.fabs(kx)
ky_m = math.fabs(ky)
[l, Om, kx_m, ky_m] = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
def code(l, Om, kx_m, ky_m):
	return 1.0

Julia

kx_m = abs(kx)
ky_m = abs(ky)
l, Om, kx_m, ky_m = sort([l, Om, kx_m, ky_m])
function code(l, Om, kx_m, ky_m)
	return 1.0
end

MATLAB

kx_m = abs(kx);
ky_m = abs(ky);
l, Om, kx_m, ky_m = num2cell(sort([l, Om, kx_m, ky_m])){:}
function tmp = code(l, Om, kx_m, ky_m)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

kx_m = N[Abs[kx], $MachinePrecision]
ky_m = N[Abs[ky], $MachinePrecision]
NOTE: l, Om, kx_m, and ky_m should be sorted in increasing order before calling this function.
code[l_, Om_, kx$95$m_, ky$95$m_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} + 1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   4. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1 + {\left(\frac{2 \cdot \ell}{Om}\right)}^{2} \cdot \left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.5 + \frac{0.5}{\sqrt{1 + \ell \cdot \left(\left({\sin kx}^{2} + {\sin ky}^{2}\right) \cdot \frac{\frac{\ell \cdot 4}{Om}}{Om}\right)}}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in l around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 62.3%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024145 
(FPCore (l Om kx ky)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (3a)"
  :precision binary64
  (sqrt (* (/ 1.0 2.0) (+ 1.0 (/ 1.0 (sqrt (+ 1.0 (* (pow (/ (* 2.0 l) Om) 2.0) (+ (pow (sin kx) 2.0) (pow (sin ky) 2.0))))))))))