Distance on a great circle

Percentage Accurate: 61.5% → 79.0%

Time: 50.4s

Alternatives: 22

Speedup: 1.2×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
          (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) t_0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Initial Program: 61.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1}}{\sqrt{1 - t\_1}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (+
          (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)
          (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) t_0) t_0))))
   (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt t_1) (sqrt (- 1.0 t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0)
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0d0 - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt(t_1), Math.sqrt((1.0 - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * t_0) * t_0)
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt(t_1), math.sqrt((1.0 - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0))
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(t_1), sqrt(Float64(1.0 - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * t_0) * t_0);
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(t_1), sqrt((1.0 - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Alternative 1: 79.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\\ t_3 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_4 := \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\\ \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\mathsf{fma}\left(t\_2, t\_4, 0 - t\_0\right)\right)}^{2} + t\_1 \cdot \left(t\_3 \cdot t\_3\right)}}{\sqrt{1 + \left(t\_1 \cdot \left(t\_3 \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(t\_2 \cdot t\_4 - t\_0\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(2 \cdot R\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0))))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_2 (sin (/ phi1 2.0)))
        (t_3 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_4 (cos (/ phi2 2.0))))
   (*
    (atan2
     (sqrt (+ (pow (fma t_2 t_4 (- 0.0 t_0)) 2.0) (* t_1 (* t_3 t_3))))
     (sqrt
      (+
       1.0
       (-
        (* t_1 (* t_3 (sin (/ (- lambda1 lambda2) -2.0))))
        (pow (- (* t_2 t_4) t_0) 2.0)))))
    (* 2.0 R))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0));
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_2 = sin((phi1 / 2.0));
	double t_3 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_4 = cos((phi2 / 2.0));
	return atan2(sqrt((pow(fma(t_2, t_4, (0.0 - t_0)), 2.0) + (t_1 * (t_3 * t_3)))), sqrt((1.0 + ((t_1 * (t_3 * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - pow(((t_2 * t_4) - t_0), 2.0))))) * (2.0 * R);
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_2 = sin(Float64(phi1 / 2.0))
	t_3 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_4 = cos(Float64(phi2 / 2.0))
	return Float64(atan(sqrt(Float64((fma(t_2, t_4, Float64(0.0 - t_0)) ^ 2.0) + Float64(t_1 * Float64(t_3 * t_3)))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_1 * Float64(t_3 * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (Float64(Float64(t_2 * t_4) - t_0) ^ 2.0))))) * Float64(2.0 * R))
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[(t$95$2 * t$95$4 + N[(0.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(t$95$3 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$3 * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[(N[(t$95$2 * t$95$4), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(2.0 * R), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 61.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 62.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   14. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   15. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   16. /-lowering-/.f64 76.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 76.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

9. Final simplification 76.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(2 \cdot R\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 62.8% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := \sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right)\\ t_2 := \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\\ t_3 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_4 := \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\\ \mathbf{if}\;{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_3 \cdot t\_0\right) \leq 0.001:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\mathsf{fma}\left(t\_1, t\_2, 0 - t\_4\right)\right)}^{2} + t\_3 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot -0.5\right)\right) - {\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\frac{t\_3 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{-2} + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(t\_3 \cdot \left(t\_0 \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(t\_1 \cdot t\_2 - t\_4\right)}^{2}\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (sin (/ phi1 2.0)))
        (t_2 (cos (/ phi2 2.0)))
        (t_3 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_4 (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0)))))
   (if (<= (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* t_0 (* t_3 t_0))) 0.001)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ (pow (fma t_1 t_2 (- 0.0 t_4)) 2.0) (* t_3 (* t_0 t_0))))
       (sqrt
        (+
         1.0
         (-
          (*
           (cos phi1)
           (*
            (sin (* (- lambda1 lambda2) 0.5))
            (sin (* (- lambda1 lambda2) -0.5))))
          (pow (sin (* phi1 0.5)) 2.0))))))
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt
        (+
         0.5
         (+
          (/ (* t_3 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))) -2.0)
          (* -0.5 (cos (- phi1 phi2))))))
       (sqrt
        (+
         1.0
         (-
          (* t_3 (* t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) -2.0))))
          (pow (- (* t_1 t_2) t_4) 2.0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = sin((phi1 / 2.0));
	double t_2 = cos((phi2 / 2.0));
	double t_3 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_4 = cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0));
	double tmp;
	if ((pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0) + (t_0 * (t_3 * t_0))) <= 0.001) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(fma(t_1, t_2, (0.0 - t_4)), 2.0) + (t_3 * (t_0 * t_0)))), sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * (sin(((lambda1 - lambda2) * 0.5)) * sin(((lambda1 - lambda2) * -0.5)))) - pow(sin((phi1 * 0.5)), 2.0)))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (((t_3 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / -2.0) + (-0.5 * cos((phi1 - phi2)))))), sqrt((1.0 + ((t_3 * (t_0 * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - pow(((t_1 * t_2) - t_4), 2.0)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = sin(Float64(phi1 / 2.0))
	t_2 = cos(Float64(phi2 / 2.0))
	t_3 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_4 = Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))
	tmp = 0.0
	if (Float64((sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_3 * t_0))) <= 0.001)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((fma(t_1, t_2, Float64(0.0 - t_4)) ^ 2.0) + Float64(t_3 * Float64(t_0 * t_0)))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) * 0.5)) * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) * -0.5)))) - (sin(Float64(phi1 * 0.5)) ^ 2.0))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(t_3 * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) / -2.0) + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_3 * Float64(t_0 * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (Float64(Float64(t_1 * t_2) - t_4) ^ 2.0))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$3 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.001], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[(t$95$1 * t$95$2 + N[(0.0 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$3 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[Sin[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(N[(t$95$3 * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision] + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$3 * N[(t$95$0 * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[(N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision] - t$95$4), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (pow.f64 (sin.f64 (/.f64 (-.f64 phi1 phi2) #s(literal 2 binary64))) #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 (*.f64 (cos.f64 phi1) (cos.f64 phi2)) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64))))) < 1e-3

   1. Initial program 64.7%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 64.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 64.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 64.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 77.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 77.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 70.0%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(0.5 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot -0.5\right)\right) - {\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 1e-3 < (+.f64 (pow.f64 (sin.f64 (/.f64 (-.f64 phi1 phi2) #s(literal 2 binary64))) #s(literal 2 binary64)) (*.f64 (*.f64 (*.f64 (cos.f64 phi1) (cos.f64 phi2)) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))) (sin.f64 (/.f64 (-.f64 lambda1 lambda2) #s(literal 2 binary64)))))

   1. Initial program 60.6%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 60.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 61.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 61.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 76.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\frac{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1}{2}\right)\right) \cdot \left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_2}{2}\right)\right) - \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   10. Applied egg-rr 61.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)}{-2} + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) + 0.5}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \leq 0.001:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), 0 - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot -0.5\right)\right) - {\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{-2} + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 77.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := \sqrt{1 + \left(t\_1 \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}\\ t_3 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0 + t\_1 \cdot {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2}}}{t\_2}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -8.2 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 8.4 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0 + t\_1 \cdot {\sin \left(\lambda_1 \cdot 0.5\right)}^{2}}}{t\_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (pow
          (-
           (* (sin (* phi1 0.5)) (cos (* phi2 0.5)))
           (* (cos (* phi1 0.5)) (sin (* phi2 0.5))))
          2.0))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_2
         (sqrt
          (+
           1.0
           (-
            (*
             t_1
             (*
              (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))
              (sin (/ (- lambda1 lambda2) -2.0))))
            (pow
             (-
              (* (sin (/ phi1 2.0)) (cos (/ phi2 2.0)))
              (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0))))
             2.0)))))
        (t_3
         (*
          (* 2.0 R)
          (atan2
           (sqrt (+ t_0 (* t_1 (pow (sin (* lambda2 -0.5)) 2.0))))
           t_2))))
   (if (<= lambda2 -8.2e-21)
     t_3
     (if (<= lambda2 8.4e-7)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2 (sqrt (+ t_0 (* t_1 (pow (sin (* lambda1 0.5)) 2.0)))) t_2))
       t_3))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = pow(((sin((phi1 * 0.5)) * cos((phi2 * 0.5))) - (cos((phi1 * 0.5)) * sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_2 = sqrt((1.0 + ((t_1 * (sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - pow(((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))), 2.0))));
	double t_3 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_0 + (t_1 * pow(sin((lambda2 * -0.5)), 2.0)))), t_2);
	double tmp;
	if (lambda2 <= -8.2e-21) {
		tmp = t_3;
	} else if (lambda2 <= 8.4e-7) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_0 + (t_1 * pow(sin((lambda1 * 0.5)), 2.0)))), t_2);
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = ((sin((phi1 * 0.5d0)) * cos((phi2 * 0.5d0))) - (cos((phi1 * 0.5d0)) * sin((phi2 * 0.5d0)))) ** 2.0d0
    t_1 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_2 = sqrt((1.0d0 + ((t_1 * (sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)) * sin(((lambda1 - lambda2) / (-2.0d0))))) - (((sin((phi1 / 2.0d0)) * cos((phi2 / 2.0d0))) - (cos((phi1 / 2.0d0)) * sin((phi2 / 2.0d0)))) ** 2.0d0))))
    t_3 = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((t_0 + (t_1 * (sin((lambda2 * (-0.5d0))) ** 2.0d0)))), t_2)
    if (lambda2 <= (-8.2d-21)) then
        tmp = t_3
    else if (lambda2 <= 8.4d-7) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((t_0 + (t_1 * (sin((lambda1 * 0.5d0)) ** 2.0d0)))), t_2)
    else
        tmp = t_3
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.pow(((Math.sin((phi1 * 0.5)) * Math.cos((phi2 * 0.5))) - (Math.cos((phi1 * 0.5)) * Math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_1 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + ((t_1 * (Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * Math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - Math.pow(((Math.sin((phi1 / 2.0)) * Math.cos((phi2 / 2.0))) - (Math.cos((phi1 / 2.0)) * Math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0))));
	double t_3 = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((t_0 + (t_1 * Math.pow(Math.sin((lambda2 * -0.5)), 2.0)))), t_2);
	double tmp;
	if (lambda2 <= -8.2e-21) {
		tmp = t_3;
	} else if (lambda2 <= 8.4e-7) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((t_0 + (t_1 * Math.pow(Math.sin((lambda1 * 0.5)), 2.0)))), t_2);
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.pow(((math.sin((phi1 * 0.5)) * math.cos((phi2 * 0.5))) - (math.cos((phi1 * 0.5)) * math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0)
	t_1 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_2 = math.sqrt((1.0 + ((t_1 * (math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - math.pow(((math.sin((phi1 / 2.0)) * math.cos((phi2 / 2.0))) - (math.cos((phi1 / 2.0)) * math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0))))
	t_3 = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((t_0 + (t_1 * math.pow(math.sin((lambda2 * -0.5)), 2.0)))), t_2)
	tmp = 0
	if lambda2 <= -8.2e-21:
		tmp = t_3
	elif lambda2 <= 8.4e-7:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((t_0 + (t_1 * math.pow(math.sin((lambda1 * 0.5)), 2.0)))), t_2)
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(Float64(sin(Float64(phi1 * 0.5)) * cos(Float64(phi2 * 0.5))) - Float64(cos(Float64(phi1 * 0.5)) * sin(Float64(phi2 * 0.5)))) ^ 2.0
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_1 * Float64(sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)) * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (Float64(Float64(sin(Float64(phi1 / 2.0)) * cos(Float64(phi2 / 2.0))) - Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))) ^ 2.0))))
	t_3 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(t_0 + Float64(t_1 * (sin(Float64(lambda2 * -0.5)) ^ 2.0)))), t_2))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -8.2e-21)
		tmp = t_3;
	elseif (lambda2 <= 8.4e-7)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(t_0 + Float64(t_1 * (sin(Float64(lambda1 * 0.5)) ^ 2.0)))), t_2));
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = ((sin((phi1 * 0.5)) * cos((phi2 * 0.5))) - (cos((phi1 * 0.5)) * sin((phi2 * 0.5)))) ^ 2.0;
	t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_2 = sqrt((1.0 + ((t_1 * (sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))) ^ 2.0))));
	t_3 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_0 + (t_1 * (sin((lambda2 * -0.5)) ^ 2.0)))), t_2);
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -8.2e-21)
		tmp = t_3;
	elseif (lambda2 <= 8.4e-7)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_0 + (t_1 * (sin((lambda1 * 0.5)) ^ 2.0)))), t_2);
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$1 * N[(N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$0 + N[(t$95$1 * N[Power[N[Sin[N[(lambda2 * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -8.2e-21], t$95$3, If[LessEqual[lambda2, 8.4e-7], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$0 + N[(t$95$1 * N[Power[N[Sin[N[(lambda1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda2 < -8.19999999999999988e-21 or 8.4e-7 < lambda2

   1. Initial program 45.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 45.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 46.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 46.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 55.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 55.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 55.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2}}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -8.19999999999999988e-21 < lambda2 < 8.4e-7

   1. Initial program 76.9%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 76.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 77.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 77.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 97.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 97.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 97.1%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2}}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -8.2 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 8.4 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\lambda_1 \cdot 0.5\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 71.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_2 := {\left(\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\\ t_3 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_4 := 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_3\right)\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -8.2 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right) + {\sin t\_3}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot 0.5\right)\right) - t\_2\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 42:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 + t\_0 \cdot {\sin \left(\lambda_1 \cdot 0.5\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - t\_4\right) + \frac{t\_0 \cdot \left(1 - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + t\_4\right) + \frac{t\_0 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_2
         (pow
          (-
           (* (sin (* phi1 0.5)) (cos (* phi2 0.5)))
           (* (cos (* phi1 0.5)) (sin (* phi2 0.5))))
          2.0))
        (t_3 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_4 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_3)))))
   (if (<= lambda2 -8.2e-21)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ (* t_0 (* t_1 t_1)) (pow (sin t_3) 2.0)))
       (sqrt
        (+
         1.0
         (-
          (*
           (cos phi1)
           (* (* (cos phi2) (sin (* lambda2 -0.5))) (sin (* lambda2 0.5))))
          t_2)))))
     (if (<= lambda2 42.0)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ t_2 (* t_0 (pow (sin (* lambda1 0.5)) 2.0))))
         (sqrt
          (+
           1.0
           (-
            (* t_0 (* t_1 (sin (/ (- lambda1 lambda2) -2.0))))
            (pow
             (-
              (* (sin (/ phi1 2.0)) (cos (/ phi2 2.0)))
              (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0))))
             2.0))))))
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt
          (+
           (- 0.5 t_4)
           (/
            (*
             t_0
             (-
              1.0
              (+
               (* (cos lambda1) (cos lambda2))
               (* (sin lambda1) (sin lambda2)))))
            2.0)))
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 t_4)
           (/ (* t_0 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))) 2.0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_2 = pow(((sin((phi1 * 0.5)) * cos((phi2 * 0.5))) - (cos((phi1 * 0.5)) * sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_4 = 0.5 * cos((2.0 * t_3));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -8.2e-21) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_0 * (t_1 * t_1)) + pow(sin(t_3), 2.0))), sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin((lambda2 * -0.5))) * sin((lambda2 * 0.5)))) - t_2))));
	} else if (lambda2 <= 42.0) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_2 + (t_0 * pow(sin((lambda1 * 0.5)), 2.0)))), sqrt((1.0 + ((t_0 * (t_1 * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - pow(((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))), 2.0)))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((0.5 - t_4) + ((t_0 * (1.0 - ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))) / 2.0))), sqrt(((0.5 + t_4) + ((t_0 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_2 = ((sin((phi1 * 0.5d0)) * cos((phi2 * 0.5d0))) - (cos((phi1 * 0.5d0)) * sin((phi2 * 0.5d0)))) ** 2.0d0
    t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_4 = 0.5d0 * cos((2.0d0 * t_3))
    if (lambda2 <= (-8.2d-21)) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((t_0 * (t_1 * t_1)) + (sin(t_3) ** 2.0d0))), sqrt((1.0d0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin((lambda2 * (-0.5d0)))) * sin((lambda2 * 0.5d0)))) - t_2))))
    else if (lambda2 <= 42.0d0) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((t_2 + (t_0 * (sin((lambda1 * 0.5d0)) ** 2.0d0)))), sqrt((1.0d0 + ((t_0 * (t_1 * sin(((lambda1 - lambda2) / (-2.0d0))))) - (((sin((phi1 / 2.0d0)) * cos((phi2 / 2.0d0))) - (cos((phi1 / 2.0d0)) * sin((phi2 / 2.0d0)))) ** 2.0d0)))))
    else
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((0.5d0 - t_4) + ((t_0 * (1.0d0 - ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))) / 2.0d0))), sqrt(((0.5d0 + t_4) + ((t_0 * ((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_2 = Math.pow(((Math.sin((phi1 * 0.5)) * Math.cos((phi2 * 0.5))) - (Math.cos((phi1 * 0.5)) * Math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0);
	double t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_4 = 0.5 * Math.cos((2.0 * t_3));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -8.2e-21) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_0 * (t_1 * t_1)) + Math.pow(Math.sin(t_3), 2.0))), Math.sqrt((1.0 + ((Math.cos(phi1) * ((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda2 * -0.5))) * Math.sin((lambda2 * 0.5)))) - t_2))));
	} else if (lambda2 <= 42.0) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((t_2 + (t_0 * Math.pow(Math.sin((lambda1 * 0.5)), 2.0)))), Math.sqrt((1.0 + ((t_0 * (t_1 * Math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - Math.pow(((Math.sin((phi1 / 2.0)) * Math.cos((phi2 / 2.0))) - (Math.cos((phi1 / 2.0)) * Math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0)))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((0.5 - t_4) + ((t_0 * (1.0 - ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + (Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2))))) / 2.0))), Math.sqrt(((0.5 + t_4) + ((t_0 * (-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_2 = math.pow(((math.sin((phi1 * 0.5)) * math.cos((phi2 * 0.5))) - (math.cos((phi1 * 0.5)) * math.sin((phi2 * 0.5)))), 2.0)
	t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_4 = 0.5 * math.cos((2.0 * t_3))
	tmp = 0
	if lambda2 <= -8.2e-21:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((t_0 * (t_1 * t_1)) + math.pow(math.sin(t_3), 2.0))), math.sqrt((1.0 + ((math.cos(phi1) * ((math.cos(phi2) * math.sin((lambda2 * -0.5))) * math.sin((lambda2 * 0.5)))) - t_2))))
	elif lambda2 <= 42.0:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((t_2 + (t_0 * math.pow(math.sin((lambda1 * 0.5)), 2.0)))), math.sqrt((1.0 + ((t_0 * (t_1 * math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - math.pow(((math.sin((phi1 / 2.0)) * math.cos((phi2 / 2.0))) - (math.cos((phi1 / 2.0)) * math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0)))))
	else:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((0.5 - t_4) + ((t_0 * (1.0 - ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + (math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2))))) / 2.0))), math.sqrt(((0.5 + t_4) + ((t_0 * (-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_2 = Float64(Float64(sin(Float64(phi1 * 0.5)) * cos(Float64(phi2 * 0.5))) - Float64(cos(Float64(phi1 * 0.5)) * sin(Float64(phi2 * 0.5)))) ^ 2.0
	t_3 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_4 = Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_3)))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -8.2e-21)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_0 * Float64(t_1 * t_1)) + (sin(t_3) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(cos(phi1) * Float64(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda2 * -0.5))) * sin(Float64(lambda2 * 0.5)))) - t_2)))));
	elseif (lambda2 <= 42.0)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(t_2 + Float64(t_0 * (sin(Float64(lambda1 * 0.5)) ^ 2.0)))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_0 * Float64(t_1 * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (Float64(Float64(sin(Float64(phi1 / 2.0)) * cos(Float64(phi2 / 2.0))) - Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))) ^ 2.0))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(0.5 - t_4) + Float64(Float64(t_0 * Float64(1.0 - Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2))))) / 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + t_4) + Float64(Float64(t_0 * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_2 = ((sin((phi1 * 0.5)) * cos((phi2 * 0.5))) - (cos((phi1 * 0.5)) * sin((phi2 * 0.5)))) ^ 2.0;
	t_3 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_4 = 0.5 * cos((2.0 * t_3));
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -8.2e-21)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_0 * (t_1 * t_1)) + (sin(t_3) ^ 2.0))), sqrt((1.0 + ((cos(phi1) * ((cos(phi2) * sin((lambda2 * -0.5))) * sin((lambda2 * 0.5)))) - t_2))));
	elseif (lambda2 <= 42.0)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((t_2 + (t_0 * (sin((lambda1 * 0.5)) ^ 2.0)))), sqrt((1.0 + ((t_0 * (t_1 * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))) ^ 2.0)))));
	else
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((0.5 - t_4) + ((t_0 * (1.0 - ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (sin(lambda1) * sin(lambda2))))) / 2.0))), sqrt(((0.5 + t_4) + ((t_0 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(phi1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -8.2e-21], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[t$95$3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda2 * -0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 42.0], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$2 + N[(t$95$0 * N[Power[N[Sin[N[(lambda1 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$1 * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(0.5 - t$95$4), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * N[(1.0 - N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + t$95$4), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda2 < -8.19999999999999988e-21

   1. Initial program 42.7%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 42.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 45.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 45.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   7. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right) - {\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. Simplified 45.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(-0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)\right) - {\left(\cos \left(0.5 \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_1\right) - \cos \left(0.5 \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(0.5 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -8.19999999999999988e-21 < lambda2 < 42

   1. Initial program 76.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 77.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 77.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 97.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 97.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \left(0 - \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   9. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right) + {\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right) + \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) - \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_1\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{2} \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_1\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. Simplified 96.6%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\left(\cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(0.5 \cdot \lambda_1\right)}^{2}}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 42 < lambda2

   1. Initial program 48.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 49.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 49.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -8.2 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot 0.5\right)\right) - {\left(\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 42:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\left(\sin \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \cos \left(\phi_2 \cdot 0.5\right) - \cos \left(\phi_1 \cdot 0.5\right) \cdot \sin \left(\phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot {\sin \left(\lambda_1 \cdot 0.5\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 79.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\\ t_2 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right) + t\_1}}{\sqrt{1 + \left(t\_2 \cdot \left(t\_0 \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - t\_1\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1
         (pow
          (-
           (* (sin (/ phi1 2.0)) (cos (/ phi2 2.0)))
           (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0))))
          2.0))
        (t_2 (* (cos phi1) (cos phi2))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ (* t_2 (* t_0 t_0)) t_1))
     (sqrt
      (+ 1.0 (- (* t_2 (* t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) -2.0)))) t_1)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = pow(((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))), 2.0);
	double t_2 = cos(phi1) * cos(phi2);
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_0 * t_0)) + t_1)), sqrt((1.0 + ((t_2 * (t_0 * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - t_1))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = ((sin((phi1 / 2.0d0)) * cos((phi2 / 2.0d0))) - (cos((phi1 / 2.0d0)) * sin((phi2 / 2.0d0)))) ** 2.0d0
    t_2 = cos(phi1) * cos(phi2)
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_0 * t_0)) + t_1)), sqrt((1.0d0 + ((t_2 * (t_0 * sin(((lambda1 - lambda2) / (-2.0d0))))) - t_1))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.pow(((Math.sin((phi1 / 2.0)) * Math.cos((phi2 / 2.0))) - (Math.cos((phi1 / 2.0)) * Math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0);
	double t_2 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_2 * (t_0 * t_0)) + t_1)), Math.sqrt((1.0 + ((t_2 * (t_0 * Math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - t_1))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.pow(((math.sin((phi1 / 2.0)) * math.cos((phi2 / 2.0))) - (math.cos((phi1 / 2.0)) * math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0)
	t_2 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((t_2 * (t_0 * t_0)) + t_1)), math.sqrt((1.0 + ((t_2 * (t_0 * math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - t_1))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64(Float64(sin(Float64(phi1 / 2.0)) * cos(Float64(phi2 / 2.0))) - Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))) ^ 2.0
	t_2 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_2 * Float64(t_0 * t_0)) + t_1)), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_2 * Float64(t_0 * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = ((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))) ^ 2.0;
	t_2 = cos(phi1) * cos(phi2);
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_0 * t_0)) + t_1)), sqrt((1.0 + ((t_2 * (t_0 * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - t_1))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$2 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$2 * N[(t$95$0 * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 61.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 62.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 76.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 76.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

9. Final simplification 76.5%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 62.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(t\_1 \cdot \left(t\_0 \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ (* t_1 (* t_0 t_0)) (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)))
     (sqrt
      (+
       1.0
       (-
        (* t_1 (* t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) -2.0))))
        (pow
         (-
          (* (sin (/ phi1 2.0)) (cos (/ phi2 2.0)))
          (* (cos (/ phi1 2.0)) (sin (/ phi2 2.0))))
         2.0))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_1 * (t_0 * t_0)) + pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), sqrt((1.0 + ((t_1 * (t_0 * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - pow(((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))), 2.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = cos(phi1) * cos(phi2)
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((t_1 * (t_0 * t_0)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0))), sqrt((1.0d0 + ((t_1 * (t_0 * sin(((lambda1 - lambda2) / (-2.0d0))))) - (((sin((phi1 / 2.0d0)) * cos((phi2 / 2.0d0))) - (cos((phi1 / 2.0d0)) * sin((phi2 / 2.0d0)))) ** 2.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_1 * (t_0 * t_0)) + Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), Math.sqrt((1.0 + ((t_1 * (t_0 * Math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - Math.pow(((Math.sin((phi1 / 2.0)) * Math.cos((phi2 / 2.0))) - (Math.cos((phi1 / 2.0)) * Math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0)))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((t_1 * (t_0 * t_0)) + math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), math.sqrt((1.0 + ((t_1 * (t_0 * math.sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - math.pow(((math.sin((phi1 / 2.0)) * math.cos((phi2 / 2.0))) - (math.cos((phi1 / 2.0)) * math.sin((phi2 / 2.0)))), 2.0)))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_1 * Float64(t_0 * t_0)) + (sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_1 * Float64(t_0 * sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (Float64(Float64(sin(Float64(phi1 / 2.0)) * cos(Float64(phi2 / 2.0))) - Float64(cos(Float64(phi1 / 2.0)) * sin(Float64(phi2 / 2.0)))) ^ 2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_1 * (t_0 * t_0)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt((1.0 + ((t_1 * (t_0 * sin(((lambda1 - lambda2) / -2.0)))) - (((sin((phi1 / 2.0)) * cos((phi2 / 2.0))) - (cos((phi1 / 2.0)) * sin((phi2 / 2.0)))) ^ 2.0)))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$0 * N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[(N[(N[Sin[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[N[(phi1 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(phi2 / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 61.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2} - \frac{\phi_2}{2}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 62.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_1, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\phi_2, 2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\color{blue}{\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

7. Final simplification 62.2%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\left(\sin \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\phi_2}{2}\right) - \cos \left(\frac{\phi_1}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_2}{2}\right)\right)}^{2}\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 61.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_3 := \cos t\_2\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_2}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(t\_3, t\_3, \frac{t\_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}\right)}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_2 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_3 (cos t_2)))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ (pow (sin t_2) 2.0) (* t_0 (* t_1 t_0))))
      (sqrt
       (fma t_3 t_3 (/ (* t_1 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))) 2.0))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_3 = cos(t_2);
	return R * (2.0 * atan2(sqrt((pow(sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), sqrt(fma(t_3, t_3, ((t_1 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))));
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_2 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_3 = cos(t_2)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64((sin(t_2) ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_1 * t_0)))), sqrt(fma(t_3, t_3, Float64(Float64(t_1 * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) / 2.0))))))
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Cos[t$95$2], $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(t$95$3 * t$95$3 + N[(N[(t$95$1 * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 61.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}\right)}}}\right) \]

5. Final simplification 61.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(\cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), \cos \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}\right)}}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 61.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ t_2 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right) + {\sin t\_1}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \frac{t\_2 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}\right) + \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_1\right) - 0.5\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (/ (- phi1 phi2) 2.0))
        (t_2 (* (cos phi1) (cos phi2))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ (* t_2 (* t_0 t_0)) (pow (sin t_1) 2.0)))
     (sqrt
      (+
       (+ 1.0 (/ (* t_2 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))) 2.0))
       (- (* 0.5 (cos (* 2.0 t_1))) 0.5)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_2 = cos(phi1) * cos(phi2);
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_0 * t_0)) + pow(sin(t_1), 2.0))), sqrt(((1.0 + ((t_2 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)) + ((0.5 * cos((2.0 * t_1))) - 0.5))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    t_2 = cos(phi1) * cos(phi2)
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_0 * t_0)) + (sin(t_1) ** 2.0d0))), sqrt(((1.0d0 + ((t_2 * ((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0d0)) + ((0.5d0 * cos((2.0d0 * t_1))) - 0.5d0))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double t_2 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_2 * (t_0 * t_0)) + Math.pow(Math.sin(t_1), 2.0))), Math.sqrt(((1.0 + ((t_2 * (-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)) + ((0.5 * Math.cos((2.0 * t_1))) - 0.5))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = (phi1 - phi2) / 2.0
	t_2 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((t_2 * (t_0 * t_0)) + math.pow(math.sin(t_1), 2.0))), math.sqrt(((1.0 + ((t_2 * (-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)) + ((0.5 * math.cos((2.0 * t_1))) - 0.5))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	t_2 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_2 * Float64(t_0 * t_0)) + (sin(t_1) ^ 2.0))), sqrt(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_2 * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) / 2.0)) + Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_1))) - 0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	t_2 = cos(phi1) * cos(phi2);
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_0 * t_0)) + (sin(t_1) ^ 2.0))), sqrt(((1.0 + ((t_2 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)) + ((0.5 * cos((2.0 * t_1))) - 0.5))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$2 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(1.0 + N[(N[(t$95$2 * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 61.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 61.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(1 + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}\right) - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

7. Final simplification 61.0%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(1 + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}\right) + \left(0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) - 0.5\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 61.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_2}^{2} + t\_0 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_2\right)\right) + \frac{t\_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_2 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))
   (*
    R
    (*
     2.0
     (atan2
      (sqrt (+ (pow (sin t_2) 2.0) (* t_0 (* t_1 t_0))))
      (sqrt
       (+
        (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_2))))
        (/ (* t_1 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))) 2.0))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return R * (2.0 * atan2(sqrt((pow(sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_2)))) + ((t_1 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    code = r * (2.0d0 * atan2(sqrt(((sin(t_2) ** 2.0d0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_2)))) + ((t_1 * ((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return R * (2.0 * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_2)))) + ((t_1 * (-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0
	return R * (2.0 * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_2), 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_2)))) + ((t_1 * (-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_2 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	return Float64(R * Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64((sin(t_2) ^ 2.0) + Float64(t_0 * Float64(t_1 * t_0)))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_2)))) + Float64(Float64(t_1 * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) / 2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	tmp = R * (2.0 * atan2(sqrt(((sin(t_2) ^ 2.0) + (t_0 * (t_1 * t_0)))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_2)))) + ((t_1 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, N[(R * N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 61.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) - \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}}\right) \]

5. Final simplification 61.0%

   \[\leadsto R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 61.6% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_1 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(-0.5 + \frac{t\_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}\right) + \left(1 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_1 (* (cos phi1) (cos phi2))))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ (* t_1 (* t_0 t_0)) (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)))
     (sqrt
      (+
       (+ -0.5 (/ (* t_1 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))) 2.0))
       (+ 1.0 (* 0.5 (cos (- phi1 phi2))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_1 * (t_0 * t_0)) + pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), sqrt(((-0.5 + ((t_1 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)) + (1.0 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_1 = cos(phi1) * cos(phi2)
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((t_1 * (t_0 * t_0)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0))), sqrt((((-0.5d0) + ((t_1 * ((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0d0)) + (1.0d0 + (0.5d0 * cos((phi1 - phi2)))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_1 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_1 * (t_0 * t_0)) + Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), Math.sqrt(((-0.5 + ((t_1 * (-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)) + (1.0 + (0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((t_1 * (t_0 * t_0)) + math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), math.sqrt(((-0.5 + ((t_1 * (-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)) + (1.0 + (0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_1 * Float64(t_0 * t_0)) + (sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt(Float64(Float64(-0.5 + Float64(Float64(t_1 * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))) / 2.0)) + Float64(1.0 + Float64(0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_1 = cos(phi1) * cos(phi2);
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_1 * (t_0 * t_0)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt(((-0.5 + ((t_1 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))) / 2.0)) + (1.0 + (0.5 * cos((phi1 - phi2)))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$1 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(-0.5 + N[(N[(t$95$1 * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 61.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 61.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\frac{{\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)}^{2} - 1}{\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) - 1}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) - 1}{\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) - 1}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) - 1}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. associate--r- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2} - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 61.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{\left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)}{2} + -0.5\right) + \left(0.5 \cdot \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) + 1\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

9. Final simplification 61.0%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{\left(-0.5 + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}\right) + \left(1 + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 61.0% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ t_1 := \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\\ t_2 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_3 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_4 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_5 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -50:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(t\_4 \cdot \left(1 - t\_1\right)\right) - 0.5 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(t\_0 + t\_4 \cdot \left(-1 + t\_1\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_4 \cdot \left(t\_2 \cdot t\_2\right) + {\sin t\_5}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(t\_4, 0.5 - \frac{t\_3}{2}, 0.5 + -0.5 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_5\right)\right) + \frac{t\_4 \cdot \left(-1 + t\_3\right)}{2}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- phi1 phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda2 lambda1)))
        (t_2 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_3 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_4 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_5 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))
   (if (<= (- lambda1 lambda2) -50.0)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (- (* 0.5 (* t_4 (- 1.0 t_1))) (* 0.5 t_0))))
       (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ t_0 (* t_4 (+ -1.0 t_1))))))))
     (if (<= (- lambda1 lambda2) 1e-20)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (* t_4 (* t_2 t_2)) (pow (sin t_5) 2.0)))
         (sqrt (- 1.0 (pow (sin (* 0.5 (- phi1 phi2))) 2.0)))))
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (fma t_4 (- 0.5 (/ t_3 2.0)) (+ 0.5 (* -0.5 t_0))))
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_5))))
           (/ (* t_4 (+ -1.0 t_3)) 2.0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((phi1 - phi2));
	double t_1 = cos((lambda2 - lambda1));
	double t_2 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_3 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_4 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_5 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -50.0) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((0.5 * (t_4 * (1.0 - t_1))) - (0.5 * t_0)))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_0 + (t_4 * (-1.0 + t_1)))))));
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 1e-20) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_4 * (t_2 * t_2)) + pow(sin(t_5), 2.0))), sqrt((1.0 - pow(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(fma(t_4, (0.5 - (t_3 / 2.0)), (0.5 + (-0.5 * t_0)))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_5)))) + ((t_4 * (-1.0 + t_3)) / 2.0))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda2 - lambda1))
	t_2 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_3 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_4 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_5 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	tmp = 0.0
	if (Float64(lambda1 - lambda2) <= -50.0)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.5 * Float64(t_4 * Float64(1.0 - t_1))) - Float64(0.5 * t_0)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(t_0 + Float64(t_4 * Float64(-1.0 + t_1))))))));
	elseif (Float64(lambda1 - lambda2) <= 1e-20)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_4 * Float64(t_2 * t_2)) + (sin(t_5) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 - (sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))) ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(fma(t_4, Float64(0.5 - Float64(t_3 / 2.0)), Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_0)))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_5)))) + Float64(Float64(t_4 * Float64(-1.0 + t_3)) / 2.0)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], -50.0], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(0.5 * N[(t$95$4 * N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(t$95$0 + N[(t$95$4 * N[(-1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], 1e-20], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$4 * N[(t$95$2 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[t$95$5], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[Power[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(t$95$4 * N[(0.5 - N[(t$95$3 / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$4 * N[(-1.0 + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (-.f64 lambda1 lambda2) < -50

   1. Initial program 56.8%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 56.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(-1 \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(-1 \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right) - 1\right)\right)\right)\right)}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -50 < (-.f64 lambda1 lambda2) < 9.99999999999999945e-21

   1. Initial program 73.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 73.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)}\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 73.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 73.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 9.99999999999999945e-21 < (-.f64 lambda1 lambda2)

   1. Initial program 56.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 56.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \frac{1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, \frac{1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, \frac{1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2}, \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, \frac{1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2}, {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right), \left(\frac{1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{2}\right), \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 56.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, 0.5 - \frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{2}, 0.5 + \cos \left(\left(\phi_1 - \phi_2\right) \cdot 1\right) \cdot -0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -50:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, 0.5 - \frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{2}, 0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 59.3% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin t\_2}^{2} + \frac{t\_0 \cdot \left(1 - t\_1\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot t\_2\right)\right) + \frac{t\_0 \cdot \left(-1 + t\_1\right)}{2}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ (pow (sin t_2) 2.0) (/ (* t_0 (- 1.0 t_1)) 2.0)))
     (sqrt
      (+ (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 t_2)))) (/ (* t_0 (+ -1.0 t_1)) 2.0)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((pow(sin(t_2), 2.0) + ((t_0 * (1.0 - t_1)) / 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_2)))) + ((t_0 * (-1.0 + t_1)) / 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_1 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0d0
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((sin(t_2) ** 2.0d0) + ((t_0 * (1.0d0 - t_1)) / 2.0d0))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * t_2)))) + ((t_0 * ((-1.0d0) + t_1)) / 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_1 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((Math.pow(Math.sin(t_2), 2.0) + ((t_0 * (1.0 - t_1)) / 2.0))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * t_2)))) + ((t_0 * (-1.0 + t_1)) / 2.0))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_1 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((math.pow(math.sin(t_2), 2.0) + ((t_0 * (1.0 - t_1)) / 2.0))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * t_2)))) + ((t_0 * (-1.0 + t_1)) / 2.0))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64((sin(t_2) ^ 2.0) + Float64(Float64(t_0 * Float64(1.0 - t_1)) / 2.0))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * t_2)))) + Float64(Float64(t_0 * Float64(-1.0 + t_1)) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = (phi1 - phi2) / 2.0;
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((sin(t_2) ^ 2.0) + ((t_0 * (1.0 - t_1)) / 2.0))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * t_2)))) + ((t_0 * (-1.0 + t_1)) / 2.0))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[Power[N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * t$95$2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * N[(-1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 57.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sqr-sin-a N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\phi_1 - \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 58.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 58.8%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

7. Final simplification 58.8%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 13: 61.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ t_1 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_2 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_3 := t\_2 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\\ t_4 := \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -50:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(t\_2 \cdot \left(1 - t\_4\right)\right) - 0.5 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(t\_0 + t\_2 \cdot \left(-1 + t\_4\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{t\_3}{-2} + \left(0.5 + -0.5 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(t\_3 + t\_0\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- phi1 phi2)))
        (t_1 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_2 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_3 (* t_2 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))))
        (t_4 (cos (- lambda2 lambda1))))
   (if (<= (- lambda1 lambda2) -50.0)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       (sqrt (+ 0.5 (- (* 0.5 (* t_2 (- 1.0 t_4))) (* 0.5 t_0))))
       (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ t_0 (* t_2 (+ -1.0 t_4))))))))
     (if (<= (- lambda1 lambda2) 1e-20)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (* t_2 (* t_1 t_1)) (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)))
         (sqrt (- 1.0 (pow (sin (* 0.5 (- phi1 phi2))) 2.0)))))
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (/ t_3 -2.0) (+ 0.5 (* -0.5 t_0))))
         (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ t_3 t_0))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((phi1 - phi2));
	double t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_2 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_3 = t_2 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_4 = cos((lambda2 - lambda1));
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -50.0) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((0.5 * (t_2 * (1.0 - t_4))) - (0.5 * t_0)))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_0 + (t_2 * (-1.0 + t_4)))))));
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 1e-20) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_1 * t_1)) + pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), sqrt((1.0 - pow(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_3 / -2.0) + (0.5 + (-0.5 * t_0)))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_3 + t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((phi1 - phi2))
    t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_2 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_3 = t_2 * ((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2)))
    t_4 = cos((lambda2 - lambda1))
    if ((lambda1 - lambda2) <= (-50.0d0)) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((0.5d0 * (t_2 * (1.0d0 - t_4))) - (0.5d0 * t_0)))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (t_0 + (t_2 * ((-1.0d0) + t_4)))))))
    else if ((lambda1 - lambda2) <= 1d-20) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_1 * t_1)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0))), sqrt((1.0d0 - (sin((0.5d0 * (phi1 - phi2))) ** 2.0d0))))
    else
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((t_3 / (-2.0d0)) + (0.5d0 + ((-0.5d0) * t_0)))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (t_3 + t_0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((phi1 - phi2));
	double t_1 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_2 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_3 = t_2 * (-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2)));
	double t_4 = Math.cos((lambda2 - lambda1));
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -50.0) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((0.5 * (t_2 * (1.0 - t_4))) - (0.5 * t_0)))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_0 + (t_2 * (-1.0 + t_4)))))));
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 1e-20) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_2 * (t_1 * t_1)) + Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), Math.sqrt((1.0 - Math.pow(Math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_3 / -2.0) + (0.5 + (-0.5 * t_0)))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_3 + t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((phi1 - phi2))
	t_1 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_2 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_3 = t_2 * (-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2)))
	t_4 = math.cos((lambda2 - lambda1))
	tmp = 0
	if (lambda1 - lambda2) <= -50.0:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((0.5 * (t_2 * (1.0 - t_4))) - (0.5 * t_0)))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_0 + (t_2 * (-1.0 + t_4)))))))
	elif (lambda1 - lambda2) <= 1e-20:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((t_2 * (t_1 * t_1)) + math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), math.sqrt((1.0 - math.pow(math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0))))
	else:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((t_3 / -2.0) + (0.5 + (-0.5 * t_0)))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_3 + t_0)))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	t_1 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_2 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_3 = Float64(t_2 * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2))))
	t_4 = cos(Float64(lambda2 - lambda1))
	tmp = 0.0
	if (Float64(lambda1 - lambda2) <= -50.0)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.5 * Float64(t_2 * Float64(1.0 - t_4))) - Float64(0.5 * t_0)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(t_0 + Float64(t_2 * Float64(-1.0 + t_4))))))));
	elseif (Float64(lambda1 - lambda2) <= 1e-20)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_2 * Float64(t_1 * t_1)) + (sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 - (sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))) ^ 2.0)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_3 / -2.0) + Float64(0.5 + Float64(-0.5 * t_0)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(t_3 + t_0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((phi1 - phi2));
	t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_2 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_3 = t_2 * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)));
	t_4 = cos((lambda2 - lambda1));
	tmp = 0.0;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -50.0)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((0.5 * (t_2 * (1.0 - t_4))) - (0.5 * t_0)))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_0 + (t_2 * (-1.0 + t_4)))))));
	elseif ((lambda1 - lambda2) <= 1e-20)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_1 * t_1)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt((1.0 - (sin((0.5 * (phi1 - phi2))) ^ 2.0))));
	else
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_3 / -2.0) + (0.5 + (-0.5 * t_0)))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_3 + t_0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], -50.0], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(0.5 * N[(t$95$2 * N[(1.0 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(t$95$0 + N[(t$95$2 * N[(-1.0 + t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], 1e-20], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$2 * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[Power[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$3 / -2.0), $MachinePrecision] + N[(0.5 + N[(-0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(t$95$3 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (-.f64 lambda1 lambda2) < -50

   1. Initial program 56.8%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 56.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(-1 \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(-1 \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right) - 1\right)\right)\right)\right)}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -50 < (-.f64 lambda1 lambda2) < 9.99999999999999945e-21

   1. Initial program 73.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 73.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)}\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 73.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 73.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if 9.99999999999999945e-21 < (-.f64 lambda1 lambda2)

   1. Initial program 56.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 56.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}{1 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(1 \cdot 1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. 1-sub-cos N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. sub-1-cos N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) - 1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) - -1 \cdot -1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) - -1 \cdot -1}{\mathsf{neg}\left(\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + 1\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) - -1 \cdot -1}{\mathsf{neg}\left(\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) \cdot \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) - -1 \cdot -1}{\mathsf{neg}\left(\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) - -1\right)\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 56.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + -1}{-\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}}}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + -1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}{2} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \frac{\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + -1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}{2} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, \frac{\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + -1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sqr-sin-a N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, \frac{\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + -1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}{2}, \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, \frac{\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + -1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}{2}, {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right), \left(\frac{\frac{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + -1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}}{2}\right), \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 56.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2, \frac{1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{2}, 0.5 + \cos \left(1 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot -0.5\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   10. Applied egg-rr 56.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)}{-2} + \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -50:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{-2} + \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 61.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\\ t_1 := \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\\ t_2 := \cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\\ t_3 := \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\\ t_4 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(t\_2 \cdot \left(1 - t\_3\right)\right) - 0.5 \cdot t\_0\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(t\_0 + t\_2 \cdot \left(-1 + t\_3\right)\right)}}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -50:\\ \;\;\;\;t\_4\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{t\_2 \cdot \left(t\_1 \cdot t\_1\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_4\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- phi1 phi2)))
        (t_1 (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)))
        (t_2 (* (cos phi1) (cos phi2)))
        (t_3 (cos (- lambda2 lambda1)))
        (t_4
         (*
          (* 2.0 R)
          (atan2
           (sqrt (+ 0.5 (- (* 0.5 (* t_2 (- 1.0 t_3))) (* 0.5 t_0))))
           (sqrt (+ 0.5 (* 0.5 (+ t_0 (* t_2 (+ -1.0 t_3))))))))))
   (if (<= (- lambda1 lambda2) -50.0)
     t_4
     (if (<= (- lambda1 lambda2) 1e-20)
       (*
        (* 2.0 R)
        (atan2
         (sqrt (+ (* t_2 (* t_1 t_1)) (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)))
         (sqrt (- 1.0 (pow (sin (* 0.5 (- phi1 phi2))) 2.0)))))
       t_4))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((phi1 - phi2));
	double t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_2 = cos(phi1) * cos(phi2);
	double t_3 = cos((lambda2 - lambda1));
	double t_4 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((0.5 * (t_2 * (1.0 - t_3))) - (0.5 * t_0)))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_0 + (t_2 * (-1.0 + t_3)))))));
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -50.0) {
		tmp = t_4;
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 1e-20) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_1 * t_1)) + pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), sqrt((1.0 - pow(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0))));
	} else {
		tmp = t_4;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((phi1 - phi2))
    t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0))
    t_2 = cos(phi1) * cos(phi2)
    t_3 = cos((lambda2 - lambda1))
    t_4 = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((0.5d0 * (t_2 * (1.0d0 - t_3))) - (0.5d0 * t_0)))), sqrt((0.5d0 + (0.5d0 * (t_0 + (t_2 * ((-1.0d0) + t_3)))))))
    if ((lambda1 - lambda2) <= (-50.0d0)) then
        tmp = t_4
    else if ((lambda1 - lambda2) <= 1d-20) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_1 * t_1)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0))), sqrt((1.0d0 - (sin((0.5d0 * (phi1 - phi2))) ** 2.0d0))))
    else
        tmp = t_4
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((phi1 - phi2));
	double t_1 = Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	double t_2 = Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2);
	double t_3 = Math.cos((lambda2 - lambda1));
	double t_4 = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((0.5 * (t_2 * (1.0 - t_3))) - (0.5 * t_0)))), Math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_0 + (t_2 * (-1.0 + t_3)))))));
	double tmp;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -50.0) {
		tmp = t_4;
	} else if ((lambda1 - lambda2) <= 1e-20) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt(((t_2 * (t_1 * t_1)) + Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), Math.sqrt((1.0 - Math.pow(Math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0))));
	} else {
		tmp = t_4;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((phi1 - phi2))
	t_1 = math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_2 = math.cos(phi1) * math.cos(phi2)
	t_3 = math.cos((lambda2 - lambda1))
	t_4 = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((0.5 * (t_2 * (1.0 - t_3))) - (0.5 * t_0)))), math.sqrt((0.5 + (0.5 * (t_0 + (t_2 * (-1.0 + t_3)))))))
	tmp = 0
	if (lambda1 - lambda2) <= -50.0:
		tmp = t_4
	elif (lambda1 - lambda2) <= 1e-20:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt(((t_2 * (t_1 * t_1)) + math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0))), math.sqrt((1.0 - math.pow(math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), 2.0))))
	else:
		tmp = t_4
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(phi1 - phi2))
	t_1 = sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0))
	t_2 = Float64(cos(phi1) * cos(phi2))
	t_3 = cos(Float64(lambda2 - lambda1))
	t_4 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.5 * Float64(t_2 * Float64(1.0 - t_3))) - Float64(0.5 * t_0)))), sqrt(Float64(0.5 + Float64(0.5 * Float64(t_0 + Float64(t_2 * Float64(-1.0 + t_3))))))))
	tmp = 0.0
	if (Float64(lambda1 - lambda2) <= -50.0)
		tmp = t_4;
	elseif (Float64(lambda1 - lambda2) <= 1e-20)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(Float64(t_2 * Float64(t_1 * t_1)) + (sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt(Float64(1.0 - (sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))) ^ 2.0)))));
	else
		tmp = t_4;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((phi1 - phi2));
	t_1 = sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0));
	t_2 = cos(phi1) * cos(phi2);
	t_3 = cos((lambda2 - lambda1));
	t_4 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((0.5 * (t_2 * (1.0 - t_3))) - (0.5 * t_0)))), sqrt((0.5 + (0.5 * (t_0 + (t_2 * (-1.0 + t_3)))))));
	tmp = 0.0;
	if ((lambda1 - lambda2) <= -50.0)
		tmp = t_4;
	elseif ((lambda1 - lambda2) <= 1e-20)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt(((t_2 * (t_1 * t_1)) + (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))), sqrt((1.0 - (sin((0.5 * (phi1 - phi2))) ^ 2.0))));
	else
		tmp = t_4;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(0.5 * N[(t$95$2 * N[(1.0 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(0.5 * N[(t$95$0 + N[(t$95$2 * N[(-1.0 + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], -50.0], t$95$4, If[LessEqual[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision], 1e-20], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(t$95$2 * N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 - N[Power[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$4]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 lambda1 lambda2) < -50 or 9.99999999999999945e-21 < (-.f64 lambda1 lambda2)

   1. Initial program 56.6%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(-1 \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}}{\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(-1 \cdot \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right) - 1\right)\right)\right)\right)}}}, \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) + -1\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -50 < (-.f64 lambda1 lambda2) < 9.99999999999999945e-21

   1. Initial program 73.3%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 73.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)}\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 73.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 73.7%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq -50:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 - \lambda_2 \leq 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) + {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}}}{\sqrt{1 - {\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 57.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := 1 - t\_0\\ t_2 := \sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{2}}\\ t_3 := \cos \phi_2 \cdot 0.5\\ t_4 := \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_3 \cdot t\_1 - t\_3\right)}}{t\_2}\\ t_5 := \cos \phi_1 \cdot 0.5\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -2550:\\ \;\;\;\;t\_4\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(t\_1 \cdot t\_5 - t\_5\right)}}{t\_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_4\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (- 1.0 t_0))
        (t_2
         (sqrt
          (+
           (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
           (/ (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -1.0 t_0)) 2.0))))
        (t_3 (* (cos phi2) 0.5))
        (t_4 (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ 0.5 (- (* t_3 t_1) t_3))) t_2)))
        (t_5 (* (cos phi1) 0.5)))
   (if (<= phi2 -2550.0)
     t_4
     (if (<= phi2 5e-7)
       (* (* 2.0 R) (atan2 (sqrt (+ 0.5 (- (* t_1 t_5) t_5))) t_2))
       t_4))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = 1.0 - t_0;
	double t_2 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	double t_3 = cos(phi2) * 0.5;
	double t_4 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_3 * t_1) - t_3))), t_2);
	double t_5 = cos(phi1) * 0.5;
	double tmp;
	if (phi2 <= -2550.0) {
		tmp = t_4;
	} else if (phi2 <= 5e-7) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_1 * t_5) - t_5))), t_2);
	} else {
		tmp = t_4;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = 1.0d0 - t_0
    t_2 = sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-1.0d0) + t_0)) / 2.0d0)))
    t_3 = cos(phi2) * 0.5d0
    t_4 = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_3 * t_1) - t_3))), t_2)
    t_5 = cos(phi1) * 0.5d0
    if (phi2 <= (-2550.0d0)) then
        tmp = t_4
    else if (phi2 <= 5d-7) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + ((t_1 * t_5) - t_5))), t_2)
    else
        tmp = t_4
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = 1.0 - t_0;
	double t_2 = Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	double t_3 = Math.cos(phi2) * 0.5;
	double t_4 = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_3 * t_1) - t_3))), t_2);
	double t_5 = Math.cos(phi1) * 0.5;
	double tmp;
	if (phi2 <= -2550.0) {
		tmp = t_4;
	} else if (phi2 <= 5e-7) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + ((t_1 * t_5) - t_5))), t_2);
	} else {
		tmp = t_4;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = 1.0 - t_0
	t_2 = math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)))
	t_3 = math.cos(phi2) * 0.5
	t_4 = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_3 * t_1) - t_3))), t_2)
	t_5 = math.cos(phi1) * 0.5
	tmp = 0
	if phi2 <= -2550.0:
		tmp = t_4
	elif phi2 <= 5e-7:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + ((t_1 * t_5) - t_5))), t_2)
	else:
		tmp = t_4
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(1.0 - t_0)
	t_2 = sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-1.0 + t_0)) / 2.0)))
	t_3 = Float64(cos(phi2) * 0.5)
	t_4 = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_3 * t_1) - t_3))), t_2))
	t_5 = Float64(cos(phi1) * 0.5)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -2550.0)
		tmp = t_4;
	elseif (phi2 <= 5e-7)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(t_1 * t_5) - t_5))), t_2));
	else
		tmp = t_4;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = 1.0 - t_0;
	t_2 = sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0)));
	t_3 = cos(phi2) * 0.5;
	t_4 = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_3 * t_1) - t_3))), t_2);
	t_5 = cos(phi1) * 0.5;
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -2550.0)
		tmp = t_4;
	elseif (phi2 <= 5e-7)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + ((t_1 * t_5) - t_5))), t_2);
	else
		tmp = t_4;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$3 * t$95$1), $MachinePrecision] - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -2550.0], t$95$4, If[LessEqual[phi2, 5e-7], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(t$95$1 * t$95$5), $MachinePrecision] - t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$4]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -2550 or 4.99999999999999977e-7 < phi2

   1. Initial program 47.0%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 46.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_2\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      14. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      16. cos-lowering-cos.f64 47.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 47.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -2550 < phi2 < 4.99999999999999977e-7

   1. Initial program 72.9%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 66.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 66.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 66.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -2550:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(\cos \phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(\cos \phi_2 \cdot 0.5\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - \cos \phi_2 \cdot 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 42.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \cos \phi_1 \cdot 0.5\\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - t\_0\right) \cdot t\_1 - t\_1\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + t\_0\right)}{2}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (- lambda1 lambda2))) (t_1 (* (cos phi1) 0.5)))
   (*
    (* 2.0 R)
    (atan2
     (sqrt (+ 0.5 (- (* (- 1.0 t_0) t_1) t_1)))
     (sqrt
      (+
       (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 (/ (- phi1 phi2) 2.0)))))
       (/ (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (+ -1.0 t_0)) 2.0)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = cos(phi1) * 0.5;
	return (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * t_1) - t_1))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = cos((lambda1 - lambda2))
    t_1 = cos(phi1) * 0.5d0
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sqrt((0.5d0 + (((1.0d0 - t_0) * t_1) - t_1))), sqrt(((0.5d0 + (0.5d0 * cos((2.0d0 * ((phi1 - phi2) / 2.0d0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((-1.0d0) + t_0)) / 2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.cos(phi1) * 0.5;
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * t_1) - t_1))), Math.sqrt(((0.5 + (0.5 * Math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.cos(phi1) * 0.5
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * t_1) - t_1))), math.sqrt(((0.5 + (0.5 * math.cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = Float64(cos(phi1) * 0.5)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(1.0 - t_0) * t_1) - t_1))), sqrt(Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))))) + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(-1.0 + t_0)) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos((lambda1 - lambda2));
	t_1 = cos(phi1) * 0.5;
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sqrt((0.5 + (((1.0 - t_0) * t_1) - t_1))), sqrt(((0.5 + (0.5 * cos((2.0 * ((phi1 - phi2) / 2.0))))) + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (-1.0 + t_0)) / 2.0))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]}, N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(N[(1.0 - t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 57.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{\left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right)\right)}{2}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) - \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. cos-lowering-cos.f64 44.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 1\right)\right), -1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 44.1%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_1\right) \cdot \left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) - 0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot 1\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)}{2}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Final simplification 44.1%

   \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{0.5 + \left(\left(1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5\right) - \cos \phi_1 \cdot 0.5\right)}}{\sqrt{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\right) + \frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}{2}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 17: 16.4% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + -1\right)\right)}{2} - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (* 2.0 R)
  (atan2
   (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0))
   (sqrt
    (+
     1.0
     (-
      (/
       (*
        (* (cos phi1) (cos phi2))
        (+
         (* (sin lambda1) (sin lambda2))
         (+ (* (cos lambda1) (cos lambda2)) -1.0)))
       2.0)
      (+ 0.5 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt((1.0 + ((((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + -1.0))) / 2.0) - (0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)), sqrt((1.0d0 + ((((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + (-1.0d0)))) / 2.0d0) - (0.5d0 + ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), Math.sqrt((1.0 + ((((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + ((Math.cos(lambda1) * Math.cos(lambda2)) + -1.0))) / 2.0) - (0.5 + (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), math.sqrt((1.0 + ((((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + ((math.cos(lambda1) * math.cos(lambda2)) + -1.0))) / 2.0) - (0.5 + (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(Float64(cos(lambda1) * cos(lambda2)) + -1.0))) / 2.0) - Float64(0.5 + Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt((1.0 + ((((cos(phi1) * cos(phi2)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + ((cos(lambda1) * cos(lambda2)) + -1.0))) / 2.0) - (0.5 + (-0.5 * cos((phi1 - phi2))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision] - N[(0.5 + N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 61.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 44.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 16.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \cos 0\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(1 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. cos-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    5. cos-diff N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(-1 + \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    6. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(-1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \cos \lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    10. cos-lowering-cos.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    11. cos-lowering-cos.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    13. sin-lowering-sin.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    14. sin-lowering-sin.f64 16.5%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 + \cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) + \sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}}{2} - \left(0.5 + \cos \left(1 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot -0.5\right)\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

15. Final simplification 16.5%

    \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + -1\right)\right)}{2} - \left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 18: 16.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot 0.5\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (* 2.0 R)
  (atan2
   (sin (* 0.5 (- phi1 phi2)))
   (sqrt
    (+
     1.0
     (-
      (*
       (* (cos phi1) (cos phi2))
       (* (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0)) (sin (* lambda2 0.5))))
      (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0)))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * atan2(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), sqrt((1.0 + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * sin((lambda2 * 0.5)))) - pow(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sin((0.5d0 * (phi1 - phi2))), sqrt((1.0d0 + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0d0)) * sin((lambda2 * 0.5d0)))) - (sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)) ** 2.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), Math.sqrt((1.0 + (((Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2)) * (Math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * Math.sin((lambda2 * 0.5)))) - Math.pow(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0)))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sin((0.5 * (phi1 - phi2))), math.sqrt((1.0 + (((math.cos(phi1) * math.cos(phi2)) * (math.sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * math.sin((lambda2 * 0.5)))) - math.pow(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), 2.0)))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sin(Float64(0.5 * Float64(phi1 - phi2))), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(cos(phi1) * cos(phi2)) * Float64(sin(Float64(Float64(lambda1 - lambda2) / 2.0)) * sin(Float64(lambda2 * 0.5)))) - (sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sin((0.5 * (phi1 - phi2))), sqrt((1.0 + (((cos(phi1) * cos(phi2)) * (sin(((lambda1 - lambda2) / 2.0)) * sin((lambda2 * 0.5)))) - (sin(((phi1 - phi2) / 2.0)) ^ 2.0)))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sin[N[(0.5 * N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Sin[N[(N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda2 * 0.5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 61.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 44.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 16.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

11. Taylor expanded in lambda1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

13. Simplified 16.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \lambda_2\right)}\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

14. Final simplification 16.5%

    \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_2 \cdot 0.5\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 19: 16.3% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{\left(-0.5 + \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right)\right) + \left(1 - -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (* 2.0 R)
  (atan2
   (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0))
   (sqrt
    (+
     (+
      -0.5
      (* (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2))) (* (cos phi1) (/ (cos phi2) 2.0))))
     (- 1.0 (* -0.5 (cos (- phi1 phi2)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt(((-0.5 + ((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0)))) + (1.0 - (-0.5 * cos((phi1 - phi2)))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)), sqrt((((-0.5d0) + (((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2))) * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0d0)))) + (1.0d0 - ((-0.5d0) * cos((phi1 - phi2)))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), Math.sqrt(((-0.5 + ((-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2))) * (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) / 2.0)))) + (1.0 - (-0.5 * Math.cos((phi1 - phi2)))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), math.sqrt(((-0.5 + ((-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2))) * (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) / 2.0)))) + (1.0 - (-0.5 * math.cos((phi1 - phi2)))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt(Float64(Float64(-0.5 + Float64(Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2))) * Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) / 2.0)))) + Float64(1.0 - Float64(-0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt(((-0.5 + ((-1.0 + cos((lambda1 - lambda2))) * (cos(phi1) * (cos(phi2) / 2.0)))) + (1.0 - (-0.5 * cos((phi1 - phi2)))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(N[(-0.5 + N[(N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 - N[(-0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 61.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 44.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 16.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \cos 0\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(1 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

14. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{\color{blue}{\left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right) + -0.5\right) - \left(-0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) - 1\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

15. Final simplification 16.5%

    \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{\left(-0.5 + \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \frac{\cos \phi_2}{2}\right)\right) + \left(1 - -0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 20: 16.3% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 + -1\right)\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (* 2.0 R)
  (atan2
   (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0))
   (sqrt
    (+
     0.5
     (+
      (* 0.5 (cos (- phi1 phi2)))
      (* 0.5 (* (cos phi1) (* (cos phi2) (+ (cos lambda2) -1.0))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt((0.5 + ((0.5 * cos((phi1 - phi2))) + (0.5 * (cos(phi1) * (cos(phi2) * (cos(lambda2) + -1.0))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)), sqrt((0.5d0 + ((0.5d0 * cos((phi1 - phi2))) + (0.5d0 * (cos(phi1) * (cos(phi2) * (cos(lambda2) + (-1.0d0)))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), Math.sqrt((0.5 + ((0.5 * Math.cos((phi1 - phi2))) + (0.5 * (Math.cos(phi1) * (Math.cos(phi2) * (Math.cos(lambda2) + -1.0))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), math.sqrt((0.5 + ((0.5 * math.cos((phi1 - phi2))) + (0.5 * (math.cos(phi1) * (math.cos(phi2) * (math.cos(lambda2) + -1.0))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.5 * cos(Float64(phi1 - phi2))) + Float64(0.5 * Float64(cos(phi1) * Float64(cos(phi2) * Float64(cos(lambda2) + -1.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt((0.5 + ((0.5 * cos((phi1 - phi2))) + (0.5 * (cos(phi1) * (cos(phi2) * (cos(lambda2) + -1.0))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(0.5 * N[Cos[N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 61.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 44.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 16.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \cos 0\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(1 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

13. Taylor expanded in lambda1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) - 1\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) - 1\right)\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    2. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    4. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) - 1\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right) - 1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

15. Simplified 16.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 + -1\right)\right)\right) + 0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

16. Final simplification 16.5%

    \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(\phi_1 - \phi_2\right) + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 + -1\right)\right)\right)\right)}} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 21: 15.3% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot 0.5\\ t_1 := -1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.8 \cdot 10^{+36}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_2}{\sqrt{0.5 + \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot t\_1\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{t\_2}{\sqrt{0.5 + \left(t\_0 + t\_1 \cdot t\_0\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) 0.5))
        (t_1 (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2))))
        (t_2 (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0))))
   (if (<= phi1 -5.8e+36)
     (*
      (* 2.0 R)
      (atan2
       t_2
       (sqrt (+ 0.5 (+ (* (cos phi1) 0.5) (* 0.5 (* (cos phi1) t_1)))))))
     (* (* 2.0 R) (atan2 t_2 (sqrt (+ 0.5 (+ t_0 (* t_1 t_0)))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * 0.5;
	double t_1 = -1.0 + cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = sin(((phi1 - phi2) / 2.0));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.8e+36) {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_2, sqrt((0.5 + ((cos(phi1) * 0.5) + (0.5 * (cos(phi1) * t_1))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_2, sqrt((0.5 + (t_0 + (t_1 * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi2) * 0.5d0
    t_1 = (-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2))
    t_2 = sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0))
    if (phi1 <= (-5.8d+36)) then
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(t_2, sqrt((0.5d0 + ((cos(phi1) * 0.5d0) + (0.5d0 * (cos(phi1) * t_1))))))
    else
        tmp = (2.0d0 * r) * atan2(t_2, sqrt((0.5d0 + (t_0 + (t_1 * t_0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi2) * 0.5;
	double t_1 = -1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.8e+36) {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(t_2, Math.sqrt((0.5 + ((Math.cos(phi1) * 0.5) + (0.5 * (Math.cos(phi1) * t_1))))));
	} else {
		tmp = (2.0 * R) * Math.atan2(t_2, Math.sqrt((0.5 + (t_0 + (t_1 * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi2) * 0.5
	t_1 = -1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2))
	t_2 = math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0))
	tmp = 0
	if phi1 <= -5.8e+36:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(t_2, math.sqrt((0.5 + ((math.cos(phi1) * 0.5) + (0.5 * (math.cos(phi1) * t_1))))))
	else:
		tmp = (2.0 * R) * math.atan2(t_2, math.sqrt((0.5 + (t_0 + (t_1 * t_0)))))
	return tmp

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * 0.5)
	t_1 = Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2)))
	t_2 = sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -5.8e+36)
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(t_2, sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(cos(phi1) * 0.5) + Float64(0.5 * Float64(cos(phi1) * t_1)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 * R) * atan(t_2, sqrt(Float64(0.5 + Float64(t_0 + Float64(t_1 * t_0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi2) * 0.5;
	t_1 = -1.0 + cos((lambda1 - lambda2));
	t_2 = sin(((phi1 - phi2) / 2.0));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -5.8e+36)
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_2, sqrt((0.5 + ((cos(phi1) * 0.5) + (0.5 * (cos(phi1) * t_1))))));
	else
		tmp = (2.0 * R) * atan2(t_2, sqrt((0.5 + (t_0 + (t_1 * t_0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -5.8e+36], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$2 / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[t$95$2 / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(t$95$0 + N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -5.8e36

   1. Initial program 54.4%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 48.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 20.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 20.5%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Applied egg-rr 20.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \cos 0\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(1 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   13. Taylor expanded in phi2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       9. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       13. cos-lowering-cos.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       14. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   15. Simplified 21.0%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right) + 0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   if -5.8e36 < phi1

   1. Initial program 63.2%

      \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

   3. Simplified 63.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      9. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 43.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   8. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 15.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. Simplified 15.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   12. Applied egg-rr 15.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \cos 0\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(1 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

   13. Taylor expanded in phi1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       2. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       4. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       5. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   15. Simplified 14.9%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(\left(0.5 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right) + 0.5 \cdot \cos \phi_2\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 16.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.8 \cdot 10^{+36}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(\cos \phi_2 \cdot 0.5 + \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot 0.5\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 14.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (*
  (* 2.0 R)
  (atan2
   (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0))
   (sqrt
    (+
     0.5
     (+
      (* (cos phi1) 0.5)
      (* 0.5 (* (cos phi1) (+ -1.0 (cos (- lambda1 lambda2)))))))))))

C

double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt((0.5 + ((cos(phi1) * 0.5) + (0.5 * (cos(phi1) * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(r, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: r
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = (2.0d0 * r) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0d0)), sqrt((0.5d0 + ((cos(phi1) * 0.5d0) + (0.5d0 * (cos(phi1) * ((-1.0d0) + cos((lambda1 - lambda2)))))))))
end function

Java

public static double code(double R, double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return (2.0 * R) * Math.atan2(Math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), Math.sqrt((0.5 + ((Math.cos(phi1) * 0.5) + (0.5 * (Math.cos(phi1) * (-1.0 + Math.cos((lambda1 - lambda2)))))))));
}

Python

def code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return (2.0 * R) * math.atan2(math.sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), math.sqrt((0.5 + ((math.cos(phi1) * 0.5) + (0.5 * (math.cos(phi1) * (-1.0 + math.cos((lambda1 - lambda2)))))))))

Julia

function code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return Float64(Float64(2.0 * R) * atan(sin(Float64(Float64(phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt(Float64(0.5 + Float64(Float64(cos(phi1) * 0.5) + Float64(0.5 * Float64(cos(phi1) * Float64(-1.0 + cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(R, lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = (2.0 * R) * atan2(sin(((phi1 - phi2) / 2.0)), sqrt((0.5 + ((cos(phi1) * 0.5) + (0.5 * (cos(phi1) * (-1.0 + cos((lambda1 - lambda2)))))))));
end

Wolfram

code[R_, lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[(N[(2.0 * R), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[Sin[N[(N[(phi1 - phi2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[N[(0.5 + N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.9%

   \[R \cdot \left(2 \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)}}{\sqrt{1 - \left({\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}\right) \]

3. Simplified 61.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sqrt{{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2} + \left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in lambda1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) + {\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + \cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)}^{2}\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + -1 \cdot \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   9. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot {\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2}\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), 2\right), \left(\left({\sin \left(\frac{-1}{2} \cdot \lambda_2\right)}^{2} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

7. Simplified 44.5%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sqrt{{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}^{2} + {\sin \left(\lambda_2 \cdot -0.5\right)}^{2} \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \phi_1\right)}}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

8. Taylor expanded in lambda2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right), -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

10. Simplified 16.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(0.5 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right)}}{\sqrt{1 + \left(\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{-2}\right)\right) - {\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}^{2}\right)}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

12. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{1 + \left(\frac{\left(\cos \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \cos 0\right)}{2} - \left(0.5 + \cos \left(1 \cdot \left(\phi_1 - \phi_2\right)\right) \cdot -0.5\right)\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

13. Taylor expanded in phi2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    2. associate--l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    4. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    9. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - 1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    10. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), -1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    13. cos-lowering-cos.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

    14. --lowering--.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\phi_1, \phi_2\right), 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), -1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \phi_1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(R, 2\right)\right) \]

15. Simplified 13.6%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\color{blue}{\sqrt{0.5 + \left(0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + -1\right)\right) + 0.5 \cdot \cos \phi_1\right)}}} \cdot \left(R \cdot 2\right) \]

16. Final simplification 13.6%

    \[\leadsto \left(2 \cdot R\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)}{\sqrt{0.5 + \left(\cos \phi_1 \cdot 0.5 + 0.5 \cdot \left(\cos \phi_1 \cdot \left(-1 + \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}} \]
17. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024145 
(FPCore (R lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Distance on a great circle"
  :precision binary64
  (* R (* 2.0 (atan2 (sqrt (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))) (sqrt (- 1.0 (+ (pow (sin (/ (- phi1 phi2) 2.0)) 2.0) (* (* (* (cos phi1) (cos phi2)) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))) (sin (/ (- lambda1 lambda2) 2.0))))))))))