Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 13.4s

Alternatives: 18

Speedup: 6.3×

• 99.5% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

\[x \geq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Alternative 1: 100.0% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{x \cdot x}\\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + t\_0 \cdot \left(0.5 + t\_0 \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (* x x))))
   (*
    (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) (fabs x))
    (+ 1.0 (* t_0 (+ 0.5 (* t_0 (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / (x * x);
	return ((exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x)) * (1.0 + (t_0 * (0.5 + (t_0 * (0.75 + (1.875 / (x * x)))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / (x * x);
	return ((Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x)) * (1.0 + (t_0 * (0.5 + (t_0 * (0.75 + (1.875 / (x * x)))))));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / (x * x)
	return ((math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)) * (1.0 + (t_0 * (0.5 + (t_0 * (0.75 + (1.875 / (x * x)))))))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / Float64(x * x))
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x)) * Float64(1.0 + Float64(t_0 * Float64(0.5 + Float64(t_0 * Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / (x * x);
	tmp = ((exp((x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x)) * (1.0 + (t_0 * (0.5 + (t_0 * (0.75 + (1.875 / (x * x)))))));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(t$95$0 * N[(0.5 + N[(t$95$0 * N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 92.6% accurate, 4.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - t\_0\right)\\ t_2 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_0\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + t\_2 \cdot \left(t\_2 \cdot t\_2\right)}{\frac{\left|x\right|}{{\pi}^{-0.5}} \cdot \left(1 + t\_2 \cdot \left(t\_2 + -1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + t\_2 \cdot t\_1}{\sqrt{\pi} \cdot \left(1 + t\_1\right)}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))
        (t_1 (* (* x x) (- -1.0 t_0)))
        (t_2 (* (* x x) (+ 1.0 t_0))))
   (if (<= (fabs x) 5e+22)
     (/
      (+ 1.0 (* t_2 (* t_2 t_2)))
      (* (/ (fabs x) (pow PI -0.5)) (+ 1.0 (* t_2 (+ t_2 -1.0)))))
     (if (<= (fabs x) 5e+49)
       (/ (/ (+ 1.0 (* t_2 t_1)) (* (sqrt PI) (+ 1.0 t_1))) (fabs x))
       (/
        (/
         (+
          1.0
          (*
           x
           (* x (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))))
         (sqrt PI))
        (fabs x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	double t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	double t_2 = (x * x) * (1.0 + t_0);
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 5e+22) {
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_2 * t_2))) / ((fabs(x) / pow(((double) M_PI), -0.5)) * (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0))));
	} else if (fabs(x) <= 5e+49) {
		tmp = ((1.0 + (t_2 * t_1)) / (sqrt(((double) M_PI)) * (1.0 + t_1))) / fabs(x);
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	double t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	double t_2 = (x * x) * (1.0 + t_0);
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 5e+22) {
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_2 * t_2))) / ((Math.abs(x) / Math.pow(Math.PI, -0.5)) * (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0))));
	} else if (Math.abs(x) <= 5e+49) {
		tmp = ((1.0 + (t_2 * t_1)) / (Math.sqrt(Math.PI) * (1.0 + t_1))) / Math.abs(x);
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)))
	t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0)
	t_2 = (x * x) * (1.0 + t_0)
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 5e+22:
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_2 * t_2))) / ((math.fabs(x) / math.pow(math.pi, -0.5)) * (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0))))
	elif math.fabs(x) <= 5e+49:
		tmp = ((1.0 + (t_2 * t_1)) / (math.sqrt(math.pi) * (1.0 + t_1))) / math.fabs(x)
	else:
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * Float64(-1.0 - t_0))
	t_2 = Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_0))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 5e+22)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_2 * Float64(t_2 * t_2))) / Float64(Float64(abs(x) / (pi ^ -0.5)) * Float64(1.0 + Float64(t_2 * Float64(t_2 + -1.0)))));
	elseif (abs(x) <= 5e+49)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(t_2 * t_1)) / Float64(sqrt(pi) * Float64(1.0 + t_1))) / abs(x));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(pi)) / abs(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	t_2 = (x * x) * (1.0 + t_0);
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 5e+22)
		tmp = (1.0 + (t_2 * (t_2 * t_2))) / ((abs(x) / (pi ^ -0.5)) * (1.0 + (t_2 * (t_2 + -1.0))));
	elseif (abs(x) <= 5e+49)
		tmp = ((1.0 + (t_2 * t_1)) / (sqrt(pi) * (1.0 + t_1))) / abs(x);
	else
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(pi)) / abs(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+22], N[(N[(1.0 + N[(t$95$2 * N[(t$95$2 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] / N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(t$95$2 * N[(t$95$2 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+49], N[(N[(N[(1.0 + N[(t$95$2 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 4.9999999999999996e22

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 4.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 4.5%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

   12. Applied egg-rr 36.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{\left|x\right|}{{\pi}^{-0.5}} \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) - 1\right)\right)}} \]

   if 4.9999999999999996e22 < (fabs.f64 x) < 5.0000000000000004e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 5.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 5.4%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       2. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   12. Applied egg-rr 86.3%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi} \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

   if 5.0000000000000004e49 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      8. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 94.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{\left|x\right|}{{\pi}^{-0.5}} \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) + -1\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 91.6% accurate, 4.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - t\_1\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_1\right)\right) \cdot t\_2}{\frac{\left|x\right|}{{\pi}^{-0.5}} \cdot \left(1 + t\_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\left|x\right| \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 - t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - t\_1}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666))))
        (t_1 (* (* x x) t_0))
        (t_2 (* (* x x) (- -1.0 t_1))))
   (if (<= (fabs x) 5e+30)
     (/
      (+ 1.0 (* (* (* x x) (+ 1.0 t_1)) t_2))
      (* (/ (fabs x) (pow PI -0.5)) (+ 1.0 t_2)))
     (if (<= (fabs x) 2e+77)
       (/
        (/
         (+
          1.0
          (/
           (* (* x x) (- 1.0 (* t_0 (* t_0 (* x (* x (* x x)))))))
           (- 1.0 t_1)))
         (sqrt PI))
        (fabs x))
       (/ (/ (* x (* x (* (* x x) 0.5))) (sqrt PI)) (fabs x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666));
	double t_1 = (x * x) * t_0;
	double t_2 = (x * x) * (-1.0 - t_1);
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 5e+30) {
		tmp = (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_1)) * t_2)) / ((fabs(x) / pow(((double) M_PI), -0.5)) * (1.0 + t_2));
	} else if (fabs(x) <= 2e+77) {
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - t_1))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
	} else {
		tmp = ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666));
	double t_1 = (x * x) * t_0;
	double t_2 = (x * x) * (-1.0 - t_1);
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 5e+30) {
		tmp = (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_1)) * t_2)) / ((Math.abs(x) / Math.pow(Math.PI, -0.5)) * (1.0 + t_2));
	} else if (Math.abs(x) <= 2e+77) {
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - t_1))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
	} else {
		tmp = ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))
	t_1 = (x * x) * t_0
	t_2 = (x * x) * (-1.0 - t_1)
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 5e+30:
		tmp = (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_1)) * t_2)) / ((math.fabs(x) / math.pow(math.pi, -0.5)) * (1.0 + t_2))
	elif math.fabs(x) <= 2e+77:
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - t_1))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)
	else:
		tmp = ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(x * x) * Float64(-1.0 - t_1))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 5e+30)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_1)) * t_2)) / Float64(Float64(abs(x) / (pi ^ -0.5)) * Float64(1.0 + t_2)));
	elseif (abs(x) <= 2e+77)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 - Float64(t_0 * Float64(t_0 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))))))) / Float64(1.0 - t_1))) / sqrt(pi)) / abs(x));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(Float64(x * x) * 0.5))) / sqrt(pi)) / abs(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666));
	t_1 = (x * x) * t_0;
	t_2 = (x * x) * (-1.0 - t_1);
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 5e+30)
		tmp = (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_1)) * t_2)) / ((abs(x) / (pi ^ -0.5)) * (1.0 + t_2));
	elseif (abs(x) <= 2e+77)
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - t_1))) / sqrt(pi)) / abs(x);
	else
		tmp = ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / sqrt(pi)) / abs(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+30], N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] / N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 2e+77], N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 4.9999999999999998e30

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 96.9%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 4.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 4.4%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

       2. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

       3. flip-+ N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}{\color{blue}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       4. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}} \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 22.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\frac{\left|x\right|}{{\pi}^{-0.5}} \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}} \]

   if 4.9999999999999998e30 < (fabs.f64 x) < 1.99999999999999997e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 59.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 59.2%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       3. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   12. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

   if 1.99999999999999997e77 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{4}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       2. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\frac{\left|x\right|}{{\pi}^{-0.5}} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\left|x\right| \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 - \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 91.1% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - t\_0\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_0\right)\right) \cdot t\_1}{\sqrt{\pi} \cdot \left(1 + t\_1\right)}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))
        (t_1 (* (* x x) (- -1.0 t_0))))
   (if (<= (fabs x) 5e+49)
     (/
      (/ (+ 1.0 (* (* (* x x) (+ 1.0 t_0)) t_1)) (* (sqrt PI) (+ 1.0 t_1)))
      (fabs x))
     (/
      (/
       (+
        1.0
        (*
         x
         (* x (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))))
       (sqrt PI))
      (fabs x)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	double t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 5e+49) {
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1)) / (sqrt(((double) M_PI)) * (1.0 + t_1))) / fabs(x);
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	double t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 5e+49) {
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1)) / (Math.sqrt(Math.PI) * (1.0 + t_1))) / Math.abs(x);
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)))
	t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0)
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 5e+49:
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1)) / (math.sqrt(math.pi) * (1.0 + t_1))) / math.fabs(x)
	else:
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * Float64(-1.0 - t_0))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 5e+49)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_0)) * t_1)) / Float64(sqrt(pi) * Float64(1.0 + t_1))) / abs(x));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(pi)) / abs(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 5e+49)
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1)) / (sqrt(pi) * (1.0 + t_1))) / abs(x);
	else
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(pi)) / abs(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+49], N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 5.0000000000000004e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 97.9%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 4.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 4.9%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       2. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   12. Applied egg-rr 48.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi} \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

   if 5.0000000000000004e49 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      8. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 90.1% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 - t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot t\_0}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))
   (if (<= (fabs x) 2e+77)
     (/
      (/
       (+
        1.0
        (/
         (* (* x x) (- 1.0 (* t_0 (* t_0 (* x (* x (* x x)))))))
         (- 1.0 (* (* x x) t_0))))
       (sqrt PI))
      (fabs x))
     (/ (/ (* x (* x (* (* x x) 0.5))) (sqrt PI)) (fabs x)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666));
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 2e+77) {
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - ((x * x) * t_0)))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
	} else {
		tmp = ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666));
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 2e+77) {
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - ((x * x) * t_0)))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
	} else {
		tmp = ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 2e+77:
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - ((x * x) * t_0)))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)
	else:
		tmp = ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 2e+77)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 - Float64(t_0 * Float64(t_0 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))))))) / Float64(1.0 - Float64(Float64(x * x) * t_0)))) / sqrt(pi)) / abs(x));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(Float64(x * x) * 0.5))) / sqrt(pi)) / abs(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666));
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 2e+77)
		tmp = ((1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - ((x * x) * t_0)))) / sqrt(pi)) / abs(x);
	else
		tmp = ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / sqrt(pi)) / abs(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 2e+77], N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 1.99999999999999997e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 33.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 33.8%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       3. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   12. Applied egg-rr 55.6%

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

   if 1.99999999999999997e77 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{4}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       2. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 - \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 87.2% accurate, 6.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot \left(-1 - t\_0\right)\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + t\_0\right) \cdot t\_1\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right| \cdot \left(1 + t\_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.5))) (t_1 (* x (* x (- -1.0 t_0)))))
   (if (<= (fabs x) 5e+49)
     (/
      (+ 1.0 (* (* x x) (* (+ 1.0 t_0) t_1)))
      (* (fabs (* x (sqrt PI))) (+ 1.0 t_1)))
     (/
      (/
       (+
        1.0
        (*
         x
         (* x (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))))
       (sqrt PI))
      (fabs x)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.5);
	double t_1 = x * (x * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 5e+49) {
		tmp = (1.0 + ((x * x) * ((1.0 + t_0) * t_1))) / (fabs((x * sqrt(((double) M_PI)))) * (1.0 + t_1));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.5);
	double t_1 = x * (x * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 5e+49) {
		tmp = (1.0 + ((x * x) * ((1.0 + t_0) * t_1))) / (Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI))) * (1.0 + t_1));
	} else {
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.5)
	t_1 = x * (x * (-1.0 - t_0))
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 5e+49:
		tmp = (1.0 + ((x * x) * ((1.0 + t_0) * t_1))) / (math.fabs((x * math.sqrt(math.pi))) * (1.0 + t_1))
	else:
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.5))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * Float64(-1.0 - t_0)))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 5e+49)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(1.0 + t_0) * t_1))) / Float64(abs(Float64(x * sqrt(pi))) * Float64(1.0 + t_1)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(pi)) / abs(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.5);
	t_1 = x * (x * (-1.0 - t_0));
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 5e+49)
		tmp = (1.0 + ((x * x) * ((1.0 + t_0) * t_1))) / (abs((x * sqrt(pi))) * (1.0 + t_1));
	else
		tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(pi)) / abs(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+49], N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 5.0000000000000004e49

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 97.9%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 4.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 4.2%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

       2. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}{\color{blue}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

       3. flip-+ N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}}{\color{blue}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       4. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}{\color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}} \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 31.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right| \cdot \left(1 - x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)\right)}} \]

   if 5.0000000000000004e49 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

      8. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       16. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right| \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.6% accurate, 6.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) (fabs x))
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((exp((x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.6% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) (fabs x)) (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x)) * Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((exp((x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{\color{blue}{x}}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 99.6% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return (exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return (math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp((x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   8. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 84.2% accurate, 8.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x)))
  (/
   (/
    (+
     1.0
     (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))
    (sqrt PI))
   (fabs x))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi)) / abs(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi)) / abs(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

11. Final simplification 85.5%

    \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 84.2% accurate, 9.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (+
    1.0
    (* x (* x (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))))
   (sqrt PI))
  (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(pi)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / sqrt(pi)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   8. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    8. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    13. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 85.5%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

12. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 12: 84.1% accurate, 9.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   1.0
   (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))
  (fabs (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))) / abs(Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / abs((x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

10. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}} \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\left|x\right|}{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)}\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left|x\right|\right), \color{blue}{\left(\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right)\right) \]

    5. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \left(\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 85.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\left|x\right|}{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

    2. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    3. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    4. rem-sqrt-square N/A

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\left|x\right| \cdot \left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|} \]

    5. fabs-mul N/A

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot x\right|} \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot x\right|\right)}\right) \]

14. Applied egg-rr 85.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 13: 76.6% accurate, 9.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{x \cdot x} + 0.5\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (/ (* (* (* x x) (* x x)) (+ (/ 1.0 (* x x)) 0.5)) (sqrt PI)) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return ((((x * x) * (x * x)) * ((1.0 / (x * x)) + 0.5)) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((((x * x) * (x * x)) * ((1.0 / (x * x)) + 0.5)) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return ((((x * x) * (x * x)) * ((1.0 / (x * x)) + 0.5)) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(Float64(1.0 / Float64(x * x)) + 0.5)) / sqrt(pi)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((((x * x) * (x * x)) * ((1.0 / (x * x)) + 0.5)) / sqrt(pi)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 79.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

10. Simplified 79.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    3. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 79.5%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

13. Simplified 79.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x}\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

14. Final simplification 79.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{x \cdot x} + 0.5\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 14: 76.6% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (/ (+ 1.0 (* x (* x (+ 1.0 (* x (* x 0.5)))))) (fabs x)) (sqrt PI)))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * 0.5)))))) / fabs(x)) / sqrt(((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * 0.5)))))) / Math.abs(x)) / Math.sqrt(Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * 0.5)))))) / math.fabs(x)) / math.sqrt(math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.5)))))) / abs(x)) / sqrt(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * 0.5)))))) / abs(x)) / sqrt(pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 79.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

10. Simplified 79.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

    2. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}{\color{blue}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    3. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}{\left|x\right|}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    7. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    11. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    14. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 79.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right)}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 15: 76.6% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (/ (* x (* x (* (* x x) 0.5))) (sqrt PI)) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(Float64(x * x) * 0.5))) / sqrt(pi)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * (x * ((x * x) * 0.5))) / sqrt(pi)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 79.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

10. Simplified 79.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{4}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    2. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    6. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 79.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), 1\right) \]

13. Simplified 79.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1 \]

14. Final simplification 79.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 16: 52.0% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{x \cdot x + 1}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (/ (+ (* x x) 1.0) (sqrt PI)) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return (((x * x) + 1.0) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (((x * x) + 1.0) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return (((x * x) + 1.0) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) + 1.0) / sqrt(pi)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((x * x) + 1.0) / sqrt(pi)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   4. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   8. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 56.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

12. Simplified 56.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]

13. Final simplification 56.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot x + 1}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 17: 2.3% accurate, 10.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1.8229166666666667 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (/ (sqrt (/ 1.0 PI)) (fabs x)) 1.8229166666666667))

C

double code(double x) {
	return (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) / fabs(x)) * 1.8229166666666667;
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) / Math.abs(x)) * 1.8229166666666667;
}

Python

def code(x):
	return (math.sqrt((1.0 / math.pi)) / math.fabs(x)) * 1.8229166666666667

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) / abs(x)) * 1.8229166666666667)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (sqrt((1.0 / pi)) / abs(x)) * 1.8229166666666667;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 1.8229166666666667), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{15}{8} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{35}{16} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \frac{21}{8} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)}{{x}^{6}}} \]

7. Simplified 0.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1.875 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(2.625 + \left(x \cdot x\right) \cdot 2.1875\right)\right)}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \frac{\frac{15}{8} \cdot \frac{15}{8} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{21}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{35}{16}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{21}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{35}{16}\right)\right)}{\frac{15}{8} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{21}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{35}{16}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{15}{8} \cdot \frac{15}{8} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{21}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{35}{16}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{21}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{35}{16}\right)\right)\right)}{\left|x\right| \cdot \left(\frac{15}{8} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{21}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{35}{16}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\frac{15}{8} \cdot \frac{15}{8} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{21}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{35}{16}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{21}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{35}{16}\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{15}{8} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{21}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{35}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 4.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(3.515625 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(2.625 + \left(x \cdot x\right) \cdot 2.1875\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(2.625 + \left(x \cdot x\right) \cdot 2.1875\right)\right)\right)\right)}{\left|x\right| \cdot \left(1.875 - x \cdot \left(x \cdot \left(2.625 + \left(x \cdot x\right) \cdot 2.1875\right)\right)\right)}}}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{225}{64}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{21}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{35}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{21}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{35}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{21}{8} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{225}{64}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{21}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{35}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{21}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{35}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{21}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 4.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{225}{64}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{21}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{35}{16}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{21}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{35}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{21}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 4.7%

    \[\leadsto \frac{\frac{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(3.515625 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(2.625 + \left(x \cdot x\right) \cdot 2.1875\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(2.625 + \left(x \cdot x\right) \cdot 2.1875\right)\right)\right)\right)}{\left|x\right| \cdot \left(1.875 - x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 2.625\right)}\right)}}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

13. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{175}{96} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} \]
14. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\frac{175}{96}} \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\frac{175}{96}}\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\left|x\right|}\right), \frac{175}{96}\right) \]

    4. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \frac{175}{96}\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \frac{175}{96}\right) \]

    6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \frac{175}{96}\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \frac{175}{96}\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \frac{175}{96}\right) \]

    9. fabs-lowering-fabs.f64 2.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \frac{175}{96}\right) \]

15. Simplified 2.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot 1.8229166666666667} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 18: 2.3% accurate, 10.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{\pi}^{-0.5}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (pow PI -0.5) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return pow(((double) M_PI), -0.5) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(Math.PI, -0.5) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return math.pow(math.pi, -0.5) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64((pi ^ -0.5) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi ^ -0.5) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|\color{blue}{x}\right|} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   7. fabs-lowering-fabs.f64 2.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

10. Simplified 2.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

    2. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{-1}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    3. sqrt-pow1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    5. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    7. fabs-lowering-fabs.f64 2.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 2.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\pi}^{-0.5}}{\left|x\right|}} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024145 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5"
  :precision binary64
  :pre (>= x 0.5)
  (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x)))) (+ (+ (+ (/ 1.0 (fabs x)) (* (/ 1.0 2.0) (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 3.0 4.0) (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 15.0 8.0) (* (* (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x)))))))