bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.9% → 97.5%

Time: 17.6s

Alternatives: 8

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 2.938641488215689e+257

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.5% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\frac{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)}{x \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot -3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  x
  (/
   (-
    0.16666666666666666
    (* x (* x (+ -0.005555555555555556 (* (* x x) 0.0003527336860670194)))))
   (*
    x
    (+ 0.027777777777777776 (* (* x (* x (* x x))) -3.08641975308642e-5))))))

C

double code(double x) {
	return x / ((0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))) / (x * (0.027777777777777776 + ((x * (x * (x * x))) * -3.08641975308642e-5))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / ((0.16666666666666666d0 - (x * (x * ((-0.005555555555555556d0) + ((x * x) * 0.0003527336860670194d0))))) / (x * (0.027777777777777776d0 + ((x * (x * (x * x))) * (-3.08641975308642d-5)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / ((0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))) / (x * (0.027777777777777776 + ((x * (x * (x * x))) * -3.08641975308642e-5))));
}

Python

def code(x):
	return x / ((0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))) / (x * (0.027777777777777776 + ((x * (x * (x * x))) * -3.08641975308642e-5))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x / Float64(Float64(0.16666666666666666 - Float64(x * Float64(x * Float64(-0.005555555555555556 + Float64(Float64(x * x) * 0.0003527336860670194))))) / Float64(x * Float64(0.027777777777777776 + Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) * -3.08641975308642e-5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / ((0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))) / (x * (0.027777777777777776 + ((x * (x * (x * x))) * -3.08641975308642e-5))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[(N[(0.16666666666666666 - N[(x * N[(x * N[(-0.005555555555555556 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * N[(0.027777777777777776 + N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -3.08641975308642e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 97.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)}{\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)} \cdot x\right)\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right) \cdot x}{\color{blue}{\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)}}\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{\left(0.027777777777777776 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right) \cdot x}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{32400} \cdot {x}^{4}\right)}, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\frac{-1}{32400} \cdot {x}^{4}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{4} \cdot \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 97.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 97.2%

    \[\leadsto x \cdot \frac{\color{blue}{\left(0.027777777777777776 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot -3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)} \cdot x}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{6} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)}{\left(\frac{1}{36} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{32400}\right) \cdot x}}} \]

    2. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{6} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)}{\left(\frac{1}{36} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{32400}\right) \cdot x}}} \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{6} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)}{\left(\frac{1}{36} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{32400}\right) \cdot x}\right)}\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{6} - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{36} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{32400}\right) \cdot x\right)}\right)\right) \]

    5. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{1}{36} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{32400}\right)} \cdot x\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{36} + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{32400}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{36} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{32400}}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{36} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{32400}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{36} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{32400}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{36} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{32400}\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{36} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{-1}{32400}\right)}\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 97.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)}{x \cdot \left(0.027777777777777776 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot -3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.5% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \frac{x \cdot \left(0.027777777777777776 + -3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (/
   (* x (+ 0.027777777777777776 (* -3.08641975308642e-5 (* (* x x) (* x x)))))
   (-
    0.16666666666666666
    (* x (* x (+ -0.005555555555555556 (* (* x x) 0.0003527336860670194))))))))

C

double code(double x) {
	return x * ((x * (0.027777777777777776 + (-3.08641975308642e-5 * ((x * x) * (x * x))))) / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * ((x * (0.027777777777777776d0 + ((-3.08641975308642d-5) * ((x * x) * (x * x))))) / (0.16666666666666666d0 - (x * (x * ((-0.005555555555555556d0) + ((x * x) * 0.0003527336860670194d0))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * ((x * (0.027777777777777776 + (-3.08641975308642e-5 * ((x * x) * (x * x))))) / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))));
}

Python

def code(x):
	return x * ((x * (0.027777777777777776 + (-3.08641975308642e-5 * ((x * x) * (x * x))))) / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(0.027777777777777776 + Float64(-3.08641975308642e-5 * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x))))) / Float64(0.16666666666666666 - Float64(x * Float64(x * Float64(-0.005555555555555556 + Float64(Float64(x * x) * 0.0003527336860670194)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((x * (0.027777777777777776 + (-3.08641975308642e-5 * ((x * x) * (x * x))))) / (0.16666666666666666 - (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[(x * N[(0.027777777777777776 + N[(-3.08641975308642e-5 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.16666666666666666 - N[(x * N[(x * N[(-0.005555555555555556 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 97.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{6} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)}{\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)} \cdot x\right)\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right) \cdot x}{\color{blue}{\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)}}\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{\left(0.027777777777777776 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right) \cdot x}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{36} + \frac{-1}{32400} \cdot {x}^{4}\right)}, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\frac{-1}{32400} \cdot {x}^{4}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \left({x}^{4} \cdot \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 97.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \frac{-1}{32400}\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 97.2%

    \[\leadsto x \cdot \frac{\color{blue}{\left(0.027777777777777776 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot -3.08641975308642 \cdot 10^{-5}\right)} \cdot x}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)} \]

11. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto x \cdot \frac{x \cdot \left(0.027777777777777776 + -3.08641975308642 \cdot 10^{-5} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.3% accurate, 10.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right) + x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   (*
    x
    (* x (* x (+ -0.005555555555555556 (* (* x x) 0.0003527336860670194)))))
   (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return x * ((x * (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))) + (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * ((x * (x * (x * ((-0.005555555555555556d0) + ((x * x) * 0.0003527336860670194d0))))) + (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * ((x * (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))) + (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return x * ((x * (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))) + (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * Float64(-0.005555555555555556 + Float64(Float64(x * x) * 0.0003527336860670194))))) + Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((x * (x * (x * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194))))) + (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[(x * N[(x * N[(x * N[(-0.005555555555555556 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 97.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right) + \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot x}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot x\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot x\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{180} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 97.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right) + x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.3% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (*
   x
   (+
    0.16666666666666666
    (* (* x x) (+ -0.005555555555555556 (* (* x x) 0.0003527336860670194)))))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((x * x) * ((-0.005555555555555556d0) + ((x * x) * 0.0003527336860670194d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))));
}

Python

def code(x):
	return x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.005555555555555556 + Float64(Float64(x * x) * 0.0003527336860670194))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + ((x * x) * (-0.005555555555555556 + ((x * x) * 0.0003527336860670194)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.005555555555555556 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 97.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.9% accurate, 18.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* x x) (+ 0.16666666666666666 (* -0.005555555555555556 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * (0.16666666666666666d0 + ((-0.005555555555555556d0) * (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.005555555555555556 * Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.005555555555555556 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{180}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{180}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{180} + \color{blue}{\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2835} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{2835}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 97.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2835}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.005555555555555556 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0003527336860670194\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{180}}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{180}}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{180}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{180}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.005555555555555556\right)} \]

9. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.9% accurate, 18.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* x (+ 0.16666666666666666 (* -0.005555555555555556 (* x x))))))

C

double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * (0.16666666666666666d0 + ((-0.005555555555555556d0) * (x * x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x))));
}

Python

def code(x):
	return x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(-0.005555555555555556 * Float64(x * x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * (0.16666666666666666 + (-0.005555555555555556 * (x * x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(-0.005555555555555556 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{180} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{180}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{180}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{180}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.005555555555555556\right)\right)} \]

6. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.6% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]

5. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right), \color{blue}{x}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{6}\right), x\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right), x\right) \]

7. Applied egg-rr 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} \]

8. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.6% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 59.6%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]

5. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024145 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs x) 17/200) (let ((x2 (* x x))) (* x2 (fma (fma (fma -1/37800 x2 1/2835) x2 -1/180) x2 1/6))) (log (/ (sinh x) x))))

  (log (/ (sinh x) x)))