Cubic critical, narrow range

Percentage Accurate: 55.1% → 99.6%

Time: 17.5s

Alternatives: 7

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < a \land a < 94906265.62425156\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < b \land b < 94906265.62425156\right)\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < c \land c < 94906265.62425156\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 55.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{\left(0 - b\right) - \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ c (- (- 0.0 b) (sqrt (+ (* b b) (* -3.0 (* c a)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / ((0.0 - b) - sqrt(((b * b) + (-3.0 * (c * a)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / ((0.0d0 - b) - sqrt(((b * b) + ((-3.0d0) * (c * a)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / ((0.0 - b) - Math.sqrt(((b * b) + (-3.0 * (c * a)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / ((0.0 - b) - math.sqrt(((b * b) + (-3.0 * (c * a)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(Float64(0.0 - b) - sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(-3.0 * Float64(c * a))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / ((0.0 - b) - sqrt(((b * b) + (-3.0 * (c * a)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(N[(0.0 - b), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(-3.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 53.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{a \cdot \color{blue}{3}} \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{a} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{3}} \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{a}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{3}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 55.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b}{a} \cdot \frac{\frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}}{3}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, 3\right)\right) \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)} \cdot \frac{\frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}}{3} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\left(-3 \cdot c\right) \cdot \frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}}{\color{blue}{3}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot \frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right), \color{blue}{3}\right) \]

    3. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3 \cdot c}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right), 3\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-3 \cdot c\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right), 3\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right), 3\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right)\right), 3\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    12. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(-3 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 99.3%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-3 \cdot c}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}}{3}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \frac{-3 \cdot c}{\color{blue}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}\right)}} \]

    2. times-frac N/A

       \[\leadsto \frac{-3}{3} \cdot \color{blue}{\frac{c}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto -1 \cdot \frac{\color{blue}{c}}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}} \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{c}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}\right)}\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}\right)}\right)\right) \]

    6. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b + \sqrt{b \cdot b + \left(-3 \cdot c\right) \cdot a}\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b + \sqrt{b \cdot b + \left(c \cdot -3\right) \cdot a}\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + \left(c \cdot -3\right) \cdot a}\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + \left(-3 \cdot c\right) \cdot a}\right)\right)\right)\right) \]

    12. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    13. rem-square-sqrt N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}} \]

14. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \frac{c}{\left(0 - b\right) - \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 87.9% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c \cdot -3}{b \cdot 2 + c \cdot \left(-1.5 \cdot \frac{a}{b} + \frac{-1.125 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}}{3} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (* c -3.0)
   (+
    (* b 2.0)
    (* c (+ (* -1.5 (/ a b)) (/ (* -1.125 (* c (* a a))) (* b (* b b)))))))
  3.0))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -3.0) / ((b * 2.0) + (c * ((-1.5 * (a / b)) + ((-1.125 * (c * (a * a))) / (b * (b * b))))))) / 3.0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c * (-3.0d0)) / ((b * 2.0d0) + (c * (((-1.5d0) * (a / b)) + (((-1.125d0) * (c * (a * a))) / (b * (b * b))))))) / 3.0d0
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -3.0) / ((b * 2.0) + (c * ((-1.5 * (a / b)) + ((-1.125 * (c * (a * a))) / (b * (b * b))))))) / 3.0;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((c * -3.0) / ((b * 2.0) + (c * ((-1.5 * (a / b)) + ((-1.125 * (c * (a * a))) / (b * (b * b))))))) / 3.0

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c * -3.0) / Float64(Float64(b * 2.0) + Float64(c * Float64(Float64(-1.5 * Float64(a / b)) + Float64(Float64(-1.125 * Float64(c * Float64(a * a))) / Float64(b * Float64(b * b))))))) / 3.0)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c * -3.0) / ((b * 2.0) + (c * ((-1.5 * (a / b)) + ((-1.125 * (c * (a * a))) / (b * (b * b))))))) / 3.0;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c * -3.0), $MachinePrecision] / N[(N[(b * 2.0), $MachinePrecision] + N[(c * N[(N[(-1.5 * N[(a / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-1.125 * N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 53.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{a \cdot \color{blue}{3}} \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{a} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{3}} \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{a}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{3}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 55.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b}{a} \cdot \frac{\frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}}{3}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, 3\right)\right) \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)} \cdot \frac{\frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}}{3} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\left(-3 \cdot c\right) \cdot \frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}}{\color{blue}{3}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot \frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right), \color{blue}{3}\right) \]

    3. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3 \cdot c}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right), 3\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-3 \cdot c\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right), 3\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right), 3\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right)\right), 3\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    12. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(-3 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 99.3%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-3 \cdot c}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}}{3}} \]

12. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \color{blue}{\left(2 \cdot b + c \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right), 3\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot b\right), \left(c \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 2\right), \left(c \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(c \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b}\right), \left(\frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \left(\frac{a}{b}\right)\right), \left(\frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    8. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{\frac{-9}{8} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    9. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{8} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \left(c \cdot {a}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    15. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 88.5%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

14. Simplified 88.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{-3 \cdot c}{\color{blue}{b \cdot 2 + c \cdot \left(-1.5 \cdot \frac{a}{b} + \frac{-1.125 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}}}{3} \]

15. Final simplification 88.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot -3}{b \cdot 2 + c \cdot \left(-1.5 \cdot \frac{a}{b} + \frac{-1.125 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}}{3} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 3: 82.0% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c \cdot -3}{b \cdot 2 + -1.5 \cdot \frac{c \cdot a}{b}}}{3} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (/ (* c -3.0) (+ (* b 2.0) (* -1.5 (/ (* c a) b)))) 3.0))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -3.0) / ((b * 2.0) + (-1.5 * ((c * a) / b)))) / 3.0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c * (-3.0d0)) / ((b * 2.0d0) + ((-1.5d0) * ((c * a) / b)))) / 3.0d0
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -3.0) / ((b * 2.0) + (-1.5 * ((c * a) / b)))) / 3.0;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((c * -3.0) / ((b * 2.0) + (-1.5 * ((c * a) / b)))) / 3.0

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c * -3.0) / Float64(Float64(b * 2.0) + Float64(-1.5 * Float64(Float64(c * a) / b)))) / 3.0)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c * -3.0) / ((b * 2.0) + (-1.5 * ((c * a) / b)))) / 3.0;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c * -3.0), $MachinePrecision] / N[(N[(b * 2.0), $MachinePrecision] + N[(-1.5 * N[(N[(c * a), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 53.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{\color{blue}{3} \cdot a} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{a \cdot \color{blue}{3}} \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{a} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{3}} \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{a}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}}{3}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 55.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b}{a} \cdot \frac{\frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}}{3}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, 3\right)\right) \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)} \cdot \frac{\frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}}{3} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\left(-3 \cdot c\right) \cdot \frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}}{\color{blue}{3}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot \frac{1}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right), \color{blue}{3}\right) \]

    3. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3 \cdot c}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right), 3\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-3 \cdot c\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right), 3\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right), 3\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right)\right), 3\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    12. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(-3 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 99.3%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-3 \cdot c}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}}{3}} \]

12. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \color{blue}{\left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{b} + 2 \cdot b\right)}\right), 3\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \left(2 \cdot b + \frac{-3}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)\right), 3\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot b\right), \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)\right)\right), 3\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 2\right), \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)\right)\right), 3\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)\right)\right), 3\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \left(\frac{a \cdot c}{b}\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot c\right), b\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot a\right), b\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 82.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-3, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), b\right)\right)\right)\right), 3\right) \]

14. Simplified 82.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{-3 \cdot c}{\color{blue}{b \cdot 2 + -1.5 \cdot \frac{c \cdot a}{b}}}}{3} \]

15. Final simplification 82.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot -3}{b \cdot 2 + -1.5 \cdot \frac{c \cdot a}{b}}}{3} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 4: 81.5% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -0.5 + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (* c -0.5) (/ (* -0.375 (* c (* c a))) (* b b))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (c * a))) / (b * b))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c * (-0.5d0)) + (((-0.375d0) * (c * (c * a))) / (b * b))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (c * a))) / (b * b))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (c * a))) / (b * b))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c * -0.5) + Float64(Float64(-0.375 * Float64(c * Float64(c * a))) / Float64(b * b))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c * -0.5) + ((-0.375 * (c * (c * a))) / (b * b))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.375 * N[(c * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 53.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2} \cdot c + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c + \frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left({c}^{2} \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(\left(c \cdot c\right) \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot \left(a \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 82.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right) \]

7. Simplified 82.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5 + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot b}}{b}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 81.3% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \left(\frac{-0.5}{b} + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* c (+ (/ -0.5 b) (/ (* (* c a) -0.375) (* b (* b b))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-0.5 / b) + (((c * a) * -0.375) / (b * (b * b))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * (((-0.5d0) / b) + (((c * a) * (-0.375d0)) / (b * (b * b))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-0.5 / b) + (((c * a) * -0.375) / (b * (b * b))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((-0.5 / b) + (((c * a) * -0.375) / (b * (b * b))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(-0.5 / b) + Float64(Float64(Float64(c * a) * -0.375) / Float64(b * Float64(b * b)))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((-0.5 / b) + (((c * a) * -0.375) / (b * (b * b))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(-0.5 / b), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * -0.375), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 53.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{\left(\frac{-3}{8} \cdot a\right) \cdot c}{{b}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot a}{{b}^{3}} \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)}\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right) + \color{blue}{\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)}\right)\right) \]

   9. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{-3}{8}} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)\right)\right) \]

   11. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}{b}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)} \cdot c\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{b}\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{-3}{8}} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)} \cdot c\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot a}{{b}^{3}} \cdot c\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), \left(\frac{\left(\frac{-3}{8} \cdot a\right) \cdot c}{\color{blue}{{b}^{3}}}\right)\right)\right) \]

   16. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), \left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)}{{\color{blue}{b}}^{3}}\right)\right)\right) \]

   17. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 82.3%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(\frac{-0.5}{b} + \frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \]

8. Final simplification 82.3%

   \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-0.5}{b} + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 64.6% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ (* c -0.5) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -0.5) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-0.5d0)) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -0.5) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -0.5) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -0.5) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -0.5) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 53.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 65.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

7. Simplified 65.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 64.5% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (* c (/ -0.5 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-0.5d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-0.5 / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-0.5 / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-0.5 / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 53.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 65.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

7. Simplified 65.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2}}{b}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2}}{b} \cdot \color{blue}{c} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{b}\right), \color{blue}{c}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 65.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), c\right) \]

9. Applied egg-rr 65.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.5}{b} \cdot c} \]

10. Final simplification 65.8%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-0.5}{b} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024145 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.0536712127723509e-8 a) (< a 94906265.62425156)) (and (< 1.0536712127723509e-8 b) (< b 94906265.62425156))) (and (< 1.0536712127723509e-8 c) (< c 94906265.62425156)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))