Quadratic roots, narrow range

Percentage Accurate: 55.3% → 99.5%

Time: 17.6s

Alternatives: 10

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < a \land a < 94906265.62425156\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < b \land b < 94906265.62425156\right)\right) \land \left(1.0536712127723509 \cdot 10^{-8} < c \land c < 94906265.62425156\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 55.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{a \cdot \frac{b + \sqrt{b \cdot b + -4 \cdot \left(c \cdot a\right)}}{\frac{a}{-0.5}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ c (* a (/ (+ b (sqrt (+ (* b b) (* -4.0 (* c a))))) (/ a -0.5)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / (a * ((b + sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))) / (a / -0.5)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / (a * ((b + sqrt(((b * b) + ((-4.0d0) * (c * a))))) / (a / (-0.5d0))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / (a * ((b + Math.sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))) / (a / -0.5)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / (a * ((b + math.sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))) / (a / -0.5)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(a * Float64(Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(-4.0 * Float64(c * a))))) / Float64(a / -0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / (a * ((b + sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))) / (a / -0.5)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(a * N[(N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(-4.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(a / -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1 \cdot c}{\color{blue}{a}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

    2. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{a}} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

    3. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

    4. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}\right)\right)\right)}{\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

    5. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}\right)}{\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right) \]

    6. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}\right)}{\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{a}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{a}\right)\right)\right) \]

    12. clear-num N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \frac{1}{\frac{a}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right) \]

    13. div-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \frac{1}{a \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

    15. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot a}\right)\right)\right) \]

    16. un-div-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{2 \cdot a}\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\frac{c}{a}}{\frac{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{\frac{a}{0.5}}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{c}{a}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{\frac{a}{\frac{1}{2}}}\right)}} \]

    2. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \frac{c}{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{\frac{a}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot a}} \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{\frac{a}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \cdot a\right)}\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{\frac{a}{\frac{1}{2}}}\right)\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{\frac{b + \sqrt{b \cdot b + -4 \cdot \left(c \cdot a\right)}}{\frac{a}{-0.5}} \cdot a}} \]

14. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \frac{c}{a \cdot \frac{b + \sqrt{b \cdot b + -4 \cdot \left(c \cdot a\right)}}{\frac{a}{-0.5}}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 91.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} - b}{a \cdot 2} \leq -2.5:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{a \cdot \frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{a \cdot \left(\frac{1}{b} + \frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{b}{c}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (- (sqrt (- (* b b) (* c (* a 4.0)))) b) (* a 2.0)) -2.5)
   (/ 0.5 (* a (/ 1.0 (- (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))) b))))
   (/
    1.0
    (-
     (*
      a
      (+
       (/ 1.0 b)
       (/ (+ (* c a) (/ (* (* 2.0 (* a a)) (* c c)) (* b b))) (* b (* b b)))))
     (/ b c)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (((sqrt(((b * b) - (c * (a * 4.0)))) - b) / (a * 2.0)) <= -2.5) {
		tmp = 0.5 / (a * (1.0 / (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b)));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (((sqrt(((b * b) - (c * (a * 4.0d0)))) - b) / (a * 2.0d0)) <= (-2.5d0)) then
        tmp = 0.5d0 / (a * (1.0d0 / (sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))) - b)))
    else
        tmp = 1.0d0 / ((a * ((1.0d0 / b) + (((c * a) + (((2.0d0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (((Math.sqrt(((b * b) - (c * (a * 4.0)))) - b) / (a * 2.0)) <= -2.5) {
		tmp = 0.5 / (a * (1.0 / (Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b)));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if ((math.sqrt(((b * b) - (c * (a * 4.0)))) - b) / (a * 2.0)) <= -2.5:
		tmp = 0.5 / (a * (1.0 / (math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b)))
	else:
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(c * Float64(a * 4.0)))) - b) / Float64(a * 2.0)) <= -2.5)
		tmp = Float64(0.5 / Float64(a * Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0)))) - b))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(a * Float64(Float64(1.0 / b) + Float64(Float64(Float64(c * a) + Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64(a * a)) * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / Float64(b * Float64(b * b))))) - Float64(b / c)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (((sqrt(((b * b) - (c * (a * 4.0)))) - b) / (a * 2.0)) <= -2.5)
		tmp = 0.5 / (a * (1.0 / (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b)));
	else
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(c * N[(a * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision] / N[(a * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -2.5], N[(0.5 / N[(a * N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(a * N[(N[(1.0 / b), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(2.0 * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(b / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (+.f64 (neg.f64 b) (sqrt.f64 (-.f64 (*.f64 b b) (*.f64 (*.f64 #s(literal 4 binary64) a) c)))) (*.f64 #s(literal 2 binary64) a)) < -2.5

   1. Initial program 88.2%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 88.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-inv N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \color{blue}{a}} \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{a}} \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{a} \]

      7. frac-times N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot a}} \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}} \cdot a} \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b} \cdot a\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 88.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b} \cdot a}} \]

   if -2.5 < (/.f64 (+.f64 (neg.f64 b) (sqrt.f64 (-.f64 (*.f64 b b) (*.f64 (*.f64 #s(literal 4 binary64) a) c)))) (*.f64 #s(literal 2 binary64) a))

   1. Initial program 48.0%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 48.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right), c\right), \left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{b} + \color{blue}{a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}}\right), \color{blue}{\left(\frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 94.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-b}{c} + a \cdot \left(\frac{1}{b} + a \cdot \left(\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{{b}^{5}} + \frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in b around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + a \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + a \cdot c\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot c + 2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot c\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot a\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot {a}^{2}\right) \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(2 \cdot {a}^{2}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left({a}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(a \cdot a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 94.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 94.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{-b}{c} + a \cdot \left(\frac{1}{b} + \color{blue}{\frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} - b}{a \cdot 2} \leq -2.5:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{a \cdot \frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{a \cdot \left(\frac{1}{b} + \frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{b}{c}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 91.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} - b}{a \cdot 2} \leq -2.5:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{a \cdot \left(\frac{1}{b} + \frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{b}{c}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (- (sqrt (- (* b b) (* c (* a 4.0)))) b) (* a 2.0)) -2.5)
   (/ 0.5 (/ a (- (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))) b)))
   (/
    1.0
    (-
     (*
      a
      (+
       (/ 1.0 b)
       (/ (+ (* c a) (/ (* (* 2.0 (* a a)) (* c c)) (* b b))) (* b (* b b)))))
     (/ b c)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (((sqrt(((b * b) - (c * (a * 4.0)))) - b) / (a * 2.0)) <= -2.5) {
		tmp = 0.5 / (a / (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (((sqrt(((b * b) - (c * (a * 4.0d0)))) - b) / (a * 2.0d0)) <= (-2.5d0)) then
        tmp = 0.5d0 / (a / (sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))) - b))
    else
        tmp = 1.0d0 / ((a * ((1.0d0 / b) + (((c * a) + (((2.0d0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (((Math.sqrt(((b * b) - (c * (a * 4.0)))) - b) / (a * 2.0)) <= -2.5) {
		tmp = 0.5 / (a / (Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if ((math.sqrt(((b * b) - (c * (a * 4.0)))) - b) / (a * 2.0)) <= -2.5:
		tmp = 0.5 / (a / (math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b))
	else:
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (Float64(Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(c * Float64(a * 4.0)))) - b) / Float64(a * 2.0)) <= -2.5)
		tmp = Float64(0.5 / Float64(a / Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0)))) - b)));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(a * Float64(Float64(1.0 / b) + Float64(Float64(Float64(c * a) + Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64(a * a)) * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / Float64(b * Float64(b * b))))) - Float64(b / c)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (((sqrt(((b * b) - (c * (a * 4.0)))) - b) / (a * 2.0)) <= -2.5)
		tmp = 0.5 / (a / (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b));
	else
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[N[(N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(c * N[(a * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision] / N[(a * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -2.5], N[(0.5 / N[(a / N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(a * N[(N[(1.0 / b), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(2.0 * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(b / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (+.f64 (neg.f64 b) (sqrt.f64 (-.f64 (*.f64 b b) (*.f64 (*.f64 #s(literal 4 binary64) a) c)))) (*.f64 #s(literal 2 binary64) a)) < -2.5

   1. Initial program 88.2%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 88.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 88.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   if -2.5 < (/.f64 (+.f64 (neg.f64 b) (sqrt.f64 (-.f64 (*.f64 b b) (*.f64 (*.f64 #s(literal 4 binary64) a) c)))) (*.f64 #s(literal 2 binary64) a))

   1. Initial program 48.0%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 48.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 48.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right), c\right), \left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{b} + \color{blue}{a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}}\right), \color{blue}{\left(\frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 94.8%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-b}{c} + a \cdot \left(\frac{1}{b} + a \cdot \left(\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{{b}^{5}} + \frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in b around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + a \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + a \cdot c\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot c + 2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot c\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot a\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot {a}^{2}\right) \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(2 \cdot {a}^{2}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left({a}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(a \cdot a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 94.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 94.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{-b}{c} + a \cdot \left(\frac{1}{b} + \color{blue}{\frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sqrt{b \cdot b - c \cdot \left(a \cdot 4\right)} - b}{a \cdot 2} \leq -2.5:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{a \cdot \left(\frac{1}{b} + \frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{b}{c}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 91.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 0.00061:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \frac{0.5}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{a \cdot \left(\frac{1}{b} + \frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{b}{c}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b 0.00061)
   (* (- (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))) b) (/ 0.5 a))
   (/
    1.0
    (-
     (*
      a
      (+
       (/ 1.0 b)
       (/ (+ (* c a) (/ (* (* 2.0 (* a a)) (* c c)) (* b b))) (* b (* b b)))))
     (/ b c)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= 0.00061) {
		tmp = (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) * (0.5 / a);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= 0.00061d0) then
        tmp = (sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))) - b) * (0.5d0 / a)
    else
        tmp = 1.0d0 / ((a * ((1.0d0 / b) + (((c * a) + (((2.0d0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= 0.00061) {
		tmp = (Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) * (0.5 / a);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= 0.00061:
		tmp = (math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) * (0.5 / a)
	else:
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= 0.00061)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0)))) - b) * Float64(0.5 / a));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(a * Float64(Float64(1.0 / b) + Float64(Float64(Float64(c * a) + Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64(a * a)) * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / Float64(b * Float64(b * b))))) - Float64(b / c)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 0.00061)
		tmp = (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) * (0.5 / a);
	else
		tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, 0.00061], N[(N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision] * N[(0.5 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(a * N[(N[(1.0 / b), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(2.0 * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(b / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 6.09999999999999974e-4

   1. Initial program 93.4%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 93.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{a \cdot 2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot a}\right), \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right) \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 93.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 93.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)} \]

   if 6.09999999999999974e-4 < b

   1. Initial program 51.4%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 51.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. div-sub N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 51.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      4. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right), c\right), \left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{b} + \color{blue}{a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}}\right), \color{blue}{\left(\frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 93.7%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-b}{c} + a \cdot \left(\frac{1}{b} + a \cdot \left(\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{{b}^{5}} + \frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in b around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + a \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + a \cdot c\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot c + 2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot c\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot a\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot {a}^{2}\right) \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(2 \cdot {a}^{2}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left({a}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(a \cdot a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 93.7%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 93.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{-b}{c} + a \cdot \left(\frac{1}{b} + \color{blue}{\frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 0.00061:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \frac{0.5}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{a \cdot \left(\frac{1}{b} + \frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{b}{c}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{a}{-0.5} \cdot \frac{\frac{c}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + -4 \cdot \left(c \cdot a\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* (/ a -0.5) (/ (/ c a) (+ b (sqrt (+ (* b b) (* -4.0 (* c a))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (a / -0.5) * ((c / a) / (b + sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (a / (-0.5d0)) * ((c / a) / (b + sqrt(((b * b) + ((-4.0d0) * (c * a))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (a / -0.5) * ((c / a) / (b + Math.sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (a / -0.5) * ((c / a) / (b + math.sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(a / -0.5) * Float64(Float64(c / a) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(-4.0 * Float64(c * a)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (a / -0.5) * ((c / a) / (b + sqrt(((b * b) + (-4.0 * (c * a))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(a / -0.5), $MachinePrecision] * N[(N[(c / a), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(-4.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1 \cdot c}{\color{blue}{a}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

    2. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)}{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{a}} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

    3. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

    4. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}\right)\right)\right)}{\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]

    5. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}\right)}{\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right) \]

    6. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}\right)}{\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(c\right)}{a}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{a}\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}}{a}\right)\right)\right) \]

    12. clear-num N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \frac{1}{\frac{a}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right) \]

    13. div-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \frac{1}{a \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right) \]

    14. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

    15. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot a}\right)\right)\right) \]

    16. un-div-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{2 \cdot a}\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\frac{c}{a}}{\frac{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{\frac{a}{0.5}}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\frac{c}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \cdot \frac{a}{\frac{1}{2}}\right) \]

    2. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{c}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a}{\frac{1}{2}}\right)\right)} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{c}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{a}{\frac{1}{2}}\right)\right)}\right) \]

13. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{c}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + -4 \cdot \left(c \cdot a\right)}} \cdot \frac{a}{-0.5}} \]

14. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \frac{a}{-0.5} \cdot \frac{\frac{c}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + -4 \cdot \left(c \cdot a\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 6: 91.0% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{a \cdot \left(\frac{1}{b} + \frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{b}{c}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  1.0
  (-
   (*
    a
    (+
     (/ 1.0 b)
     (/ (+ (* c a) (/ (* (* 2.0 (* a a)) (* c c)) (* b b))) (* b (* b b)))))
   (/ b c))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 1.0d0 / ((a * ((1.0d0 / b) + (((c * a) + (((2.0d0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
}

Python

def code(a, b, c):
	return 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(a * Float64(Float64(1.0 / b) + Float64(Float64(Float64(c * a) + Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64(a * a)) * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / Float64(b * Float64(b * b))))) - Float64(b / c)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 1.0 / ((a * ((1.0 / b) + (((c * a) + (((2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b))) / (b * (b * b))))) - (b / c));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(1.0 / N[(N[(a * N[(N[(1.0 / b), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(2.0 * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(b / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right), c\right), \left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{b} + \color{blue}{a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}}\right), \color{blue}{\left(\frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 92.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-b}{c} + a \cdot \left(\frac{1}{b} + a \cdot \left(\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{{b}^{5}} + \frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + a \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + a \cdot c\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot c + 2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot c\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot a\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{2}}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot {a}^{2}\right) \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(2 \cdot {a}^{2}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left({a}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(a \cdot a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    21. *-lowering-*.f64 92.0%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 92.0%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{-b}{c} + a \cdot \left(\frac{1}{b} + \color{blue}{\frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right)} \]

13. Final simplification 92.0%

    \[\leadsto \frac{1}{a \cdot \left(\frac{1}{b} + \frac{c \cdot a + \frac{\left(2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{b}{c}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 7: 88.1% accurate, 6.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{a + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot b}}{b} - \frac{b}{c}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ 1.0 (- (/ (+ a (/ (* c (* a a)) (* b b))) b) (/ b c))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 1.0 / (((a + ((c * (a * a)) / (b * b))) / b) - (b / c));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 1.0d0 / (((a + ((c * (a * a)) / (b * b))) / b) - (b / c))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 1.0 / (((a + ((c * (a * a)) / (b * b))) / b) - (b / c));
}

Python

def code(a, b, c):
	return 1.0 / (((a + ((c * (a * a)) / (b * b))) / b) - (b / c))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(a + Float64(Float64(c * Float64(a * a)) / Float64(b * b))) / b) - Float64(b / c)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 1.0 / (((a + ((c * (a * a)) / (b * b))) / b) - (b / c));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(1.0 / N[(N[(N[(a + N[(N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] - N[(b / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right), c\right), \left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \left(a \cdot \left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right) + \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{b} + \color{blue}{a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}} + \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{5}}\right), \color{blue}{\left(\frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 92.0%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{-b}{c} + a \cdot \left(\frac{1}{b} + a \cdot \left(\frac{\left(2 \cdot a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{{b}^{5}} + \frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \color{blue}{\left(\frac{a + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}}{b}\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(a, \left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot c\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot {a}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 89.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

12. Simplified 89.3%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{-b}{c} + \color{blue}{\frac{a + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot b}}{b}}} \]

13. Final simplification 89.3%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{a + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot b}}{b} - \frac{b}{c}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 82.0% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{a}{b} - \frac{b}{c}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ 1.0 (- (/ a b) (/ b c))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 1.0 / ((a / b) - (b / c));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 1.0d0 / ((a / b) - (b / c))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 1.0 / ((a / b) - (b / c));
}

Python

def code(a, b, c):
	return 1.0 / ((a / b) - (b / c))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(a / b) - Float64(b / c)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 1.0 / ((a / b) - (b / c));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(1.0 / N[(N[(a / b), $MachinePrecision] - N[(b / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a}{b}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{a}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{c}}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a}{b}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{b}{c}\right)}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \frac{b}{c}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \left(\frac{-1 \cdot b}{\color{blue}{c}}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot b\right), \color{blue}{c}\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right), c\right)\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f64 84.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(b\right), c\right)\right)\right) \]

9. Simplified 84.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a}{b} + \frac{-b}{c}}} \]

10. Final simplification 84.2%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{a}{b} - \frac{b}{c}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 64.5% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (- 0.0 (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0 - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.0d0 - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0 - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.0 - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.0 - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.0 - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.0 - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 66.5%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

7. Simplified 66.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{-1 \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), b\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 66.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), b\right) \]

10. Simplified 66.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-c}{b}} \]

11. Final simplification 66.5%

    \[\leadsto 0 - \frac{c}{b} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 1.6% accurate, 38.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{b}{a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ b a))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return b / a;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = b / a
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return b / a;
}

Python

def code(a, b, c):
	return b / a

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(b / a)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = b / a;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(b / a), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}}\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot 2} \cdot \frac{b}{a \cdot 2}\right)}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b \cdot b}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)}}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1 \cdot c}{\color{blue}{a}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), a\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \frac{1}{\frac{\frac{0.5}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}{\color{blue}{\frac{-c}{a}}}} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{b} + \frac{b}{a}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{c}{b}\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{neg.f64}\left(c\right)}, a\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot c}{b}\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\color{blue}{c}\right), a\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), b\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\color{blue}{c}\right), a\right)\right)\right) \]

    4. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), b\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right)\right)\right) \]

    5. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), b\right), \left(\frac{b}{a}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 84.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, a\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), a\right)\right)\right) \]

12. Simplified 84.1%

    \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\frac{-c}{b} + \frac{b}{a}}}{\frac{-c}{a}}} \]

13. Taylor expanded in c around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a}} \]
14. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 1.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right) \]

15. Simplified 1.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a}} \]
16. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024145 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, narrow range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.0536712127723509e-8 a) (< a 94906265.62425156)) (and (< 1.0536712127723509e-8 b) (< b 94906265.62425156))) (and (< 1.0536712127723509e-8 c) (< c 94906265.62425156)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))