Main:z from

Percentage Accurate: 91.5% → 97.8%

Time: 25.0s

Alternatives: 18

Speedup: 1.3×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z)))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0d0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0d0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((y + 1.0)) - Math.sqrt(y))) + (Math.sqrt((z + 1.0)) - Math.sqrt(z))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((y + 1.0)) - math.sqrt(y))) + (math.sqrt((z + 1.0)) - math.sqrt(z))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) - sqrt(y))) + Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) - sqrt(z))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 91.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z)))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0d0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0d0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((y + 1.0)) - Math.sqrt(y))) + (Math.sqrt((z + 1.0)) - Math.sqrt(z))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((y + 1.0)) - math.sqrt(y))) + (math.sqrt((z + 1.0)) - math.sqrt(z))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) - sqrt(y))) + Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) - sqrt(z))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.8% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ t_2 := \sqrt{x + 1}\\ t_3 := t\_2 - \sqrt{x}\\ t_4 := \sqrt{1 + z}\\ t_5 := t\_4 - \sqrt{z}\\ t_6 := t\_5 + \left(t\_3 + \left(t\_1 - \sqrt{y}\right)\right)\\ t_7 := y + \left(1 + y\right)\\ \mathbf{if}\;t\_6 \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(t\_5 + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_6 \leq 2.99999999999:\\ \;\;\;\;t\_3 + \left(t\_5 + \frac{t\_7}{\left(\sqrt{y} + t\_1\right) \cdot t\_7}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\left(t\_4 + t\_2\right) + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_2 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_3 (- t_2 (sqrt x)))
        (t_4 (sqrt (+ 1.0 z)))
        (t_5 (- t_4 (sqrt z)))
        (t_6 (+ t_5 (+ t_3 (- t_1 (sqrt y)))))
        (t_7 (+ y (+ 1.0 y))))
   (if (<= t_6 1e-6)
     (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) (+ t_5 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y)))))
     (if (<= t_6 2.99999999999)
       (+ t_3 (+ t_5 (/ t_7 (* (+ (sqrt y) t_1) t_7))))
       (+
        1.0
        (-
         (+ (+ t_4 t_2) (/ 1.0 (+ (sqrt t) (sqrt (+ 1.0 t)))))
         (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z)))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double t_2 = sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = t_2 - sqrt(x);
	double t_4 = sqrt((1.0 + z));
	double t_5 = t_4 - sqrt(z);
	double t_6 = t_5 + (t_3 + (t_1 - sqrt(y)));
	double t_7 = y + (1.0 + y);
	double tmp;
	if (t_6 <= 1e-6) {
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (t_5 + (0.5 * sqrt((1.0 / y))));
	} else if (t_6 <= 2.99999999999) {
		tmp = t_3 + (t_5 + (t_7 / ((sqrt(y) + t_1) * t_7)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (((t_4 + t_2) + (1.0 / (sqrt(t) + sqrt((1.0 + t))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: t_7
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_2 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_3 = t_2 - sqrt(x)
    t_4 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_5 = t_4 - sqrt(z)
    t_6 = t_5 + (t_3 + (t_1 - sqrt(y)))
    t_7 = y + (1.0d0 + y)
    if (t_6 <= 1d-6) then
        tmp = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + (t_5 + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))))
    else if (t_6 <= 2.99999999999d0) then
        tmp = t_3 + (t_5 + (t_7 / ((sqrt(y) + t_1) * t_7)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (((t_4 + t_2) + (1.0d0 / (sqrt(t) + sqrt((1.0d0 + t))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_2 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = t_2 - Math.sqrt(x);
	double t_4 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_5 = t_4 - Math.sqrt(z);
	double t_6 = t_5 + (t_3 + (t_1 - Math.sqrt(y)));
	double t_7 = y + (1.0 + y);
	double tmp;
	if (t_6 <= 1e-6) {
		tmp = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + (t_5 + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))));
	} else if (t_6 <= 2.99999999999) {
		tmp = t_3 + (t_5 + (t_7 / ((Math.sqrt(y) + t_1) * t_7)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (((t_4 + t_2) + (1.0 / (Math.sqrt(t) + Math.sqrt((1.0 + t))))) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_2 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_3 = t_2 - math.sqrt(x)
	t_4 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_5 = t_4 - math.sqrt(z)
	t_6 = t_5 + (t_3 + (t_1 - math.sqrt(y)))
	t_7 = y + (1.0 + y)
	tmp = 0
	if t_6 <= 1e-6:
		tmp = (0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + (t_5 + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y))))
	elif t_6 <= 2.99999999999:
		tmp = t_3 + (t_5 + (t_7 / ((math.sqrt(y) + t_1) * t_7)))
	else:
		tmp = 1.0 + (((t_4 + t_2) + (1.0 / (math.sqrt(t) + math.sqrt((1.0 + t))))) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_2 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_3 = Float64(t_2 - sqrt(x))
	t_4 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_5 = Float64(t_4 - sqrt(z))
	t_6 = Float64(t_5 + Float64(t_3 + Float64(t_1 - sqrt(y))))
	t_7 = Float64(y + Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (t_6 <= 1e-6)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(t_5 + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y)))));
	elseif (t_6 <= 2.99999999999)
		tmp = Float64(t_3 + Float64(t_5 + Float64(t_7 / Float64(Float64(sqrt(y) + t_1) * t_7))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(t_4 + t_2) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(t) + sqrt(Float64(1.0 + t))))) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	t_2 = sqrt((x + 1.0));
	t_3 = t_2 - sqrt(x);
	t_4 = sqrt((1.0 + z));
	t_5 = t_4 - sqrt(z);
	t_6 = t_5 + (t_3 + (t_1 - sqrt(y)));
	t_7 = y + (1.0 + y);
	tmp = 0.0;
	if (t_6 <= 1e-6)
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (t_5 + (0.5 * sqrt((1.0 / y))));
	elseif (t_6 <= 2.99999999999)
		tmp = t_3 + (t_5 + (t_7 / ((sqrt(y) + t_1) * t_7)));
	else
		tmp = 1.0 + (((t_4 + t_2) + (1.0 / (sqrt(t) + sqrt((1.0 + t))))) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(t$95$4 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(t$95$5 + N[(t$95$3 + N[(t$95$1 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$7 = N[(y + N[(1.0 + y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$6, 1e-6], N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$5 + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$6, 2.99999999999], N[(t$95$3 + N[(t$95$5 + N[(t$95$7 / N[(N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision] * t$95$7), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(N[(t$95$4 + t$95$2), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 60.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 5.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 17.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 17.7%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 23.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 23.2%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   if 9.99999999999999955e-7 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.99999999999

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 69.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 58.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 58.0%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{z}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y}{\left(1 + y\right) + y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y}{\left(1 + y\right) + y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right) \cdot \left(\left(1 + y\right) + y\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y\right), \left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right) \cdot \left(\left(1 + y\right) + y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 58.4%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{\frac{\left(y + \left(1 + y\right)\right) \cdot 1}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right) \cdot \left(y + \left(1 + y\right)\right)}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   if 2.99999999999 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 98.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{t} + \color{blue}{\sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + t}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left({\left(1 + t\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + t\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + {\left(1 + t\right)}^{0.5}}} \]

   5. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{1 + x}\right) + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 59.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) \leq 2.99999999999:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \frac{y + \left(1 + y\right)}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right) \cdot \left(y + \left(1 + y\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{x + 1}\right) + \frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.1% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ t_2 := \sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\\ t_3 := \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \mathbf{if}\;t\_2 + \left(t\_3 + \left(t\_1 - \sqrt{y}\right)\right) \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(t\_2 + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(t\_2 + \left(t\_3 + \frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + t\_1}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_2 (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)))
        (t_3 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))))
   (if (<= (+ t_2 (+ t_3 (- t_1 (sqrt y)))) 1e-6)
     (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) (+ t_2 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y)))))
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+ t_2 (+ t_3 (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) t_1))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double t_2 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	double t_3 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	double tmp;
	if ((t_2 + (t_3 + (t_1 - sqrt(y)))) <= 1e-6) {
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (t_2 + (0.5 * sqrt((1.0 / y))));
	} else {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (t_2 + (t_3 + (((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_1))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)
    t_3 = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    if ((t_2 + (t_3 + (t_1 - sqrt(y)))) <= 1d-6) then
        tmp = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + (t_2 + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))))
    else
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (t_2 + (t_3 + (((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_1))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z);
	double t_3 = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	double tmp;
	if ((t_2 + (t_3 + (t_1 - Math.sqrt(y)))) <= 1e-6) {
		tmp = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + (t_2 + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (t_2 + (t_3 + (((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + t_1))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)
	t_3 = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	tmp = 0
	if (t_2 + (t_3 + (t_1 - math.sqrt(y)))) <= 1e-6:
		tmp = (0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + (t_2 + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y))))
	else:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (t_2 + (t_3 + (((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + t_1))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_2 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))
	t_3 = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_2 + Float64(t_3 + Float64(t_1 - sqrt(y)))) <= 1e-6)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(t_2 + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(t_2 + Float64(t_3 + Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + t_1)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	t_2 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	t_3 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_2 + (t_3 + (t_1 - sqrt(y)))) <= 1e-6)
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (t_2 + (0.5 * sqrt((1.0 / y))));
	else
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (t_2 + (t_3 + (((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + t_1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$2 + N[(t$95$3 + N[(t$95$1 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1e-6], N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 + N[(t$95$3 + N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 60.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 5.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 17.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 17.7%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 23.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 23.2%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   if 9.99999999999999955e-7 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(y + 1\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 96.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 96.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.1% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\\ t_2 := \sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\\ t_3 := \sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\\ t_4 := \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \mathbf{if}\;t\_4 \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\frac{1}{t\_2} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{x \cdot x}}\right) + t\_1\right) + t\_3\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3 + \left(t\_1 + \left(t\_4 + \frac{\left(1 + y\right) - y}{t\_2}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)))
        (t_2 (+ (sqrt y) (sqrt (+ 1.0 y))))
        (t_3 (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t)))
        (t_4 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))))
   (if (<= t_4 1e-6)
     (+
      (+
       (+
        (+ (/ 1.0 t_2) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))))
        (* -0.125 (sqrt (/ (/ 1.0 x) (* x x)))))
       t_1)
      t_3)
     (+ t_3 (+ t_1 (+ t_4 (/ (- (+ 1.0 y) y) t_2)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	double t_2 = sqrt(y) + sqrt((1.0 + y));
	double t_3 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	double t_4 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	double tmp;
	if (t_4 <= 1e-6) {
		tmp = ((((1.0 / t_2) + (0.5 * sqrt((1.0 / x)))) + (-0.125 * sqrt(((1.0 / x) / (x * x))))) + t_1) + t_3;
	} else {
		tmp = t_3 + (t_1 + (t_4 + (((1.0 + y) - y) / t_2)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)
    t_2 = sqrt(y) + sqrt((1.0d0 + y))
    t_3 = sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)
    t_4 = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    if (t_4 <= 1d-6) then
        tmp = ((((1.0d0 / t_2) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x)))) + ((-0.125d0) * sqrt(((1.0d0 / x) / (x * x))))) + t_1) + t_3
    else
        tmp = t_3 + (t_1 + (t_4 + (((1.0d0 + y) - y) / t_2)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z);
	double t_2 = Math.sqrt(y) + Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_3 = Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t);
	double t_4 = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	double tmp;
	if (t_4 <= 1e-6) {
		tmp = ((((1.0 / t_2) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / x)))) + (-0.125 * Math.sqrt(((1.0 / x) / (x * x))))) + t_1) + t_3;
	} else {
		tmp = t_3 + (t_1 + (t_4 + (((1.0 + y) - y) / t_2)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)
	t_2 = math.sqrt(y) + math.sqrt((1.0 + y))
	t_3 = math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)
	t_4 = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	tmp = 0
	if t_4 <= 1e-6:
		tmp = ((((1.0 / t_2) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / x)))) + (-0.125 * math.sqrt(((1.0 / x) / (x * x))))) + t_1) + t_3
	else:
		tmp = t_3 + (t_1 + (t_4 + (((1.0 + y) - y) / t_2)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))
	t_2 = Float64(sqrt(y) + sqrt(Float64(1.0 + y)))
	t_3 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t))
	t_4 = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_4 <= 1e-6)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / t_2) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x)))) + Float64(-0.125 * sqrt(Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(x * x))))) + t_1) + t_3);
	else
		tmp = Float64(t_3 + Float64(t_1 + Float64(t_4 + Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / t_2))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	t_2 = sqrt(y) + sqrt((1.0 + y));
	t_3 = sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t);
	t_4 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	tmp = 0.0;
	if (t_4 <= 1e-6)
		tmp = ((((1.0 / t_2) + (0.5 * sqrt((1.0 / x)))) + (-0.125 * sqrt(((1.0 / x) / (x * x))))) + t_1) + t_3;
	else
		tmp = t_3 + (t_1 + (t_4 + (((1.0 + y) - y) / t_2)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$4, 1e-6], N[(N[(N[(N[(N[(1.0 / t$95$2), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision], N[(t$95$3 + N[(t$95$1 + N[(t$95$4 + N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 87.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(y + 1\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 88.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 88.0%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right) + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{1 + y}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      16. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 93.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{x \cdot x}}\right)} + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 97.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(y + 1\right) - y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(y + 1\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 97.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}}\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right) + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{x \cdot x}}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\\ \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0.04:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(t\_1 + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(t\_1 + \left(\left(1 - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z))))
   (if (<= (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) 0.04)
     (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) (+ t_1 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y)))))
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+ t_1 (+ (- 1.0 (sqrt x)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	double tmp;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.04) {
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (t_1 + (0.5 * sqrt((1.0 / y))));
	} else {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (t_1 + ((1.0 - sqrt(x)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)
    if ((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) <= 0.04d0) then
        tmp = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + (t_1 + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))))
    else
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (t_1 + ((1.0d0 - sqrt(x)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z);
	double tmp;
	if ((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) <= 0.04) {
		tmp = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + (t_1 + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (t_1 + ((1.0 - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)
	tmp = 0
	if (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) <= 0.04:
		tmp = (0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + (t_1 + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y))))
	else:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (t_1 + ((1.0 - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))
	tmp = 0.0
	if (Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.04)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(t_1 + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(t_1 + Float64(Float64(1.0 - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z);
	tmp = 0.0;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.04)
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + (t_1 + (0.5 * sqrt((1.0 / y))));
	else
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (t_1 + ((1.0 - sqrt(x)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.04], N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[(N[(1.0 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 0.0400000000000000008

   1. Initial program 87.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 56.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 42.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 42.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 21.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 21.0%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 22.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 22.5%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   if 0.0400000000000000008 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 95.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.9%

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0.04:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\left(1 - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 92.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ t_2 := \sqrt{1 + t}\\ t_3 := y + \left(1 + y\right)\\ \mathbf{if}\;t\_2 - \sqrt{t} \leq 2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(t\_1 - \sqrt{z}\right) + \frac{t\_3}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right) \cdot t\_3}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t\_1 + \left(t\_2 + 2\right)\right) - \sqrt{t}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z))) (t_2 (sqrt (+ 1.0 t))) (t_3 (+ y (+ 1.0 y))))
   (if (<= (- t_2 (sqrt t)) 2e-8)
     (+
      (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))
      (+ (- t_1 (sqrt z)) (/ t_3 (* (+ (sqrt y) (sqrt (+ 1.0 y))) t_3))))
     (- (+ t_1 (+ t_2 2.0)) (sqrt t)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = sqrt((1.0 + t));
	double t_3 = y + (1.0 + y);
	double tmp;
	if ((t_2 - sqrt(t)) <= 2e-8) {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (t_3 / ((sqrt(y) + sqrt((1.0 + y))) * t_3)));
	} else {
		tmp = (t_1 + (t_2 + 2.0)) - sqrt(t);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + t))
    t_3 = y + (1.0d0 + y)
    if ((t_2 - sqrt(t)) <= 2d-8) then
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (t_3 / ((sqrt(y) + sqrt((1.0d0 + y))) * t_3)))
    else
        tmp = (t_1 + (t_2 + 2.0d0)) - sqrt(t)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double t_3 = y + (1.0 + y);
	double tmp;
	if ((t_2 - Math.sqrt(t)) <= 2e-8) {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + ((t_1 - Math.sqrt(z)) + (t_3 / ((Math.sqrt(y) + Math.sqrt((1.0 + y))) * t_3)));
	} else {
		tmp = (t_1 + (t_2 + 2.0)) - Math.sqrt(t);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + t))
	t_3 = y + (1.0 + y)
	tmp = 0
	if (t_2 - math.sqrt(t)) <= 2e-8:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + ((t_1 - math.sqrt(z)) + (t_3 / ((math.sqrt(y) + math.sqrt((1.0 + y))) * t_3)))
	else:
		tmp = (t_1 + (t_2 + 2.0)) - math.sqrt(t)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	t_3 = Float64(y + Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_2 - sqrt(t)) <= 2e-8)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(Float64(t_1 - sqrt(z)) + Float64(t_3 / Float64(Float64(sqrt(y) + sqrt(Float64(1.0 + y))) * t_3))));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_1 + Float64(t_2 + 2.0)) - sqrt(t));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	t_2 = sqrt((1.0 + t));
	t_3 = y + (1.0 + y);
	tmp = 0.0;
	if ((t_2 - sqrt(t)) <= 2e-8)
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (t_3 / ((sqrt(y) + sqrt((1.0 + y))) * t_3)));
	else
		tmp = (t_1 + (t_2 + 2.0)) - sqrt(t);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(y + N[(1.0 + y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$2 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2e-8], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 / N[(N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$1 + N[(t$95$2 + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t)) < 2e-8

   1. Initial program 87.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 87.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{z}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y}{\left(1 + y\right) + y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y}{\left(1 + y\right) + y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right) \cdot \left(\left(1 + y\right) + y\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y\right), \left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right) \cdot \left(\left(1 + y\right) + y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 90.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{\frac{\left(y + \left(1 + y\right)\right) \cdot 1}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right) \cdot \left(y + \left(1 + y\right)\right)}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   if 2e-8 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t))

   1. Initial program 97.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 58.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 27.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 14.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 21.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right) \]

   13. Simplified 21.9%

       \[\leadsto \left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{\sqrt{t}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \leq 2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \frac{y + \left(1 + y\right)}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right) \cdot \left(y + \left(1 + y\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} + 2\right)\right) - \sqrt{t}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 91.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + t}\\ t_2 := \sqrt{1 + z}\\ \mathbf{if}\;t\_1 - \sqrt{t} \leq 2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} + \left(\left(t\_2 - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t\_2 + \left(t\_1 + 2\right)\right) - \sqrt{t}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 t))) (t_2 (sqrt (+ 1.0 z))))
   (if (<= (- t_1 (sqrt t)) 2e-8)
     (+
      (/ (- (+ x 1.0) x) (+ (sqrt x) (sqrt (+ x 1.0))))
      (+ (- t_2 (sqrt z)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y))))
     (- (+ t_2 (+ t_1 2.0)) (sqrt t)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + t));
	double t_2 = sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if ((t_1 - sqrt(t)) <= 2e-8) {
		tmp = (((x + 1.0) - x) / (sqrt(x) + sqrt((x + 1.0)))) + ((t_2 - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (t_2 + (t_1 + 2.0)) - sqrt(t);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + t))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + z))
    if ((t_1 - sqrt(t)) <= 2d-8) then
        tmp = (((x + 1.0d0) - x) / (sqrt(x) + sqrt((x + 1.0d0)))) + ((t_2 - sqrt(z)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)))
    else
        tmp = (t_2 + (t_1 + 2.0d0)) - sqrt(t)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if ((t_1 - Math.sqrt(t)) <= 2e-8) {
		tmp = (((x + 1.0) - x) / (Math.sqrt(x) + Math.sqrt((x + 1.0)))) + ((t_2 - Math.sqrt(z)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (t_2 + (t_1 + 2.0)) - Math.sqrt(t);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + t))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + z))
	tmp = 0
	if (t_1 - math.sqrt(t)) <= 2e-8:
		tmp = (((x + 1.0) - x) / (math.sqrt(x) + math.sqrt((x + 1.0)))) + ((t_2 - math.sqrt(z)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (t_2 + (t_1 + 2.0)) - math.sqrt(t)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_1 - sqrt(t)) <= 2e-8)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(x + 1.0) - x) / Float64(sqrt(x) + sqrt(Float64(x + 1.0)))) + Float64(Float64(t_2 - sqrt(z)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_2 + Float64(t_1 + 2.0)) - sqrt(t));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + t));
	t_2 = sqrt((1.0 + z));
	tmp = 0.0;
	if ((t_1 - sqrt(t)) <= 2e-8)
		tmp = (((x + 1.0) - x) / (sqrt(x) + sqrt((x + 1.0)))) + ((t_2 - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)));
	else
		tmp = (t_2 + (t_1 + 2.0)) - sqrt(t);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$1 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2e-8], N[(N[(N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$2 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$2 + N[(t$95$1 + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t)) < 2e-8

   1. Initial program 87.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 87.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x + 1\right) - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x + 1\right) - x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(x + 1\right), x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 88.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 88.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   if 2e-8 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t))

   1. Initial program 97.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 58.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 27.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 14.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 21.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right) \]

   13. Simplified 21.9%

       \[\leadsto \left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{\sqrt{t}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 55.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \leq 2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} + 2\right)\right) - \sqrt{t}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 91.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ t_2 := \sqrt{1 + t}\\ \mathbf{if}\;t\_2 - \sqrt{t} \leq 2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(t\_1 - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t\_1 + \left(t\_2 + 2\right)\right) - \sqrt{t}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z))) (t_2 (sqrt (+ 1.0 t))))
   (if (<= (- t_2 (sqrt t)) 2e-8)
     (+
      (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))
      (+ (- t_1 (sqrt z)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y))))
     (- (+ t_1 (+ t_2 2.0)) (sqrt t)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = sqrt((1.0 + t));
	double tmp;
	if ((t_2 - sqrt(t)) <= 2e-8) {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (t_1 + (t_2 + 2.0)) - sqrt(t);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + t))
    if ((t_2 - sqrt(t)) <= 2d-8) then
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)))
    else
        tmp = (t_1 + (t_2 + 2.0d0)) - sqrt(t)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double tmp;
	if ((t_2 - Math.sqrt(t)) <= 2e-8) {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + ((t_1 - Math.sqrt(z)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (t_1 + (t_2 + 2.0)) - Math.sqrt(t);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + t))
	tmp = 0
	if (t_2 - math.sqrt(t)) <= 2e-8:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + ((t_1 - math.sqrt(z)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (t_1 + (t_2 + 2.0)) - math.sqrt(t)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_2 - sqrt(t)) <= 2e-8)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(Float64(t_1 - sqrt(z)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_1 + Float64(t_2 + 2.0)) - sqrt(t));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	t_2 = sqrt((1.0 + t));
	tmp = 0.0;
	if ((t_2 - sqrt(t)) <= 2e-8)
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)));
	else
		tmp = (t_1 + (t_2 + 2.0)) - sqrt(t);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$2 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2e-8], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$1 + N[(t$95$2 + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t)) < 2e-8

   1. Initial program 87.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 87.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   if 2e-8 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 t #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 t))

   1. Initial program 97.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 58.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 27.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 27.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 14.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 21.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right) \]

   13. Simplified 21.9%

       \[\leadsto \left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{\sqrt{t}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 54.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \leq 2 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} + 2\right)\right) - \sqrt{t}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 91.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\\ \mathbf{if}\;z \leq 7 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \sqrt{x}\right) + \left(t\_1 + \left(1 + \left(\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) - \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(t\_1 + \frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y))))
   (if (<= z 7e-22)
     (+
      (- 1.0 (sqrt x))
      (+ t_1 (+ 1.0 (- (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t)) (sqrt z)))))
     (+
      (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))
      (+ t_1 (/ (- (+ 1.0 z) z) (+ (sqrt z) (pow (+ 1.0 z) 0.5))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y);
	double tmp;
	if (z <= 7e-22) {
		tmp = (1.0 - sqrt(x)) + (t_1 + (1.0 + ((sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) - sqrt(z))));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (t_1 + (((1.0 + z) - z) / (sqrt(z) + pow((1.0 + z), 0.5))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)
    if (z <= 7d-22) then
        tmp = (1.0d0 - sqrt(x)) + (t_1 + (1.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) - sqrt(z))))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (t_1 + (((1.0d0 + z) - z) / (sqrt(z) + ((1.0d0 + z) ** 0.5d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y);
	double tmp;
	if (z <= 7e-22) {
		tmp = (1.0 - Math.sqrt(x)) + (t_1 + (1.0 + ((Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) - Math.sqrt(z))));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (t_1 + (((1.0 + z) - z) / (Math.sqrt(z) + Math.pow((1.0 + z), 0.5))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)
	tmp = 0
	if z <= 7e-22:
		tmp = (1.0 - math.sqrt(x)) + (t_1 + (1.0 + ((math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) - math.sqrt(z))))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (t_1 + (((1.0 + z) - z) / (math.sqrt(z) + math.pow((1.0 + z), 0.5))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))
	tmp = 0.0
	if (z <= 7e-22)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - sqrt(x)) + Float64(t_1 + Float64(1.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) - sqrt(z)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(t_1 + Float64(Float64(Float64(1.0 + z) - z) / Float64(sqrt(z) + (Float64(1.0 + z) ^ 0.5)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y);
	tmp = 0.0;
	if (z <= 7e-22)
		tmp = (1.0 - sqrt(x)) + (t_1 + (1.0 + ((sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) - sqrt(z))));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (t_1 + (((1.0 + z) - z) / (sqrt(z) + ((1.0 + z) ^ 0.5))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 7e-22], N[(N[(1.0 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[(1.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + N[(N[(N[(1.0 + z), $MachinePrecision] - z), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + z), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 7.00000000000000011e-22

   1. Initial program 96.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 50.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + t}\right) - \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{t} + \sqrt{z}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) - \color{blue}{\sqrt{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 50.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 50.8%

       \[\leadsto \left(1 - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) - \sqrt{z}\right)\right)}\right) \]

   if 7.00000000000000011e-22 < z

   1. Initial program 88.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 35.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 45.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 45.0%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\color{blue}{\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}}}\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + z}} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + z}} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + z}} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z} + \color{blue}{\sqrt{1 + z}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + z}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left({\left(1 + z\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 45.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 45.1%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{\sqrt{z} + {\left(1 + z\right)}^{0.5}}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 90.1% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ \mathbf{if}\;t \leq 53000000000:\\ \;\;\;\;\left(t\_1 + \left(\sqrt{1 + t} + 2\right)\right) - \sqrt{t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \sqrt{x}\right) + \left(\left(t\_1 - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z))))
   (if (<= t 53000000000.0)
     (- (+ t_1 (+ (sqrt (+ 1.0 t)) 2.0)) (sqrt t))
     (+ (- 1.0 (sqrt x)) (+ (- t_1 (sqrt z)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (t <= 53000000000.0) {
		tmp = (t_1 + (sqrt((1.0 + t)) + 2.0)) - sqrt(t);
	} else {
		tmp = (1.0 - sqrt(x)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    if (t <= 53000000000.0d0) then
        tmp = (t_1 + (sqrt((1.0d0 + t)) + 2.0d0)) - sqrt(t)
    else
        tmp = (1.0d0 - sqrt(x)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (t <= 53000000000.0) {
		tmp = (t_1 + (Math.sqrt((1.0 + t)) + 2.0)) - Math.sqrt(t);
	} else {
		tmp = (1.0 - Math.sqrt(x)) + ((t_1 - Math.sqrt(z)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	tmp = 0
	if t <= 53000000000.0:
		tmp = (t_1 + (math.sqrt((1.0 + t)) + 2.0)) - math.sqrt(t)
	else:
		tmp = (1.0 - math.sqrt(x)) + ((t_1 - math.sqrt(z)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	tmp = 0.0
	if (t <= 53000000000.0)
		tmp = Float64(Float64(t_1 + Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) + 2.0)) - sqrt(t));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 - sqrt(x)) + Float64(Float64(t_1 - sqrt(z)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	tmp = 0.0;
	if (t <= 53000000000.0)
		tmp = (t_1 + (sqrt((1.0 + t)) + 2.0)) - sqrt(t);
	else
		tmp = (1.0 - sqrt(x)) + ((t_1 - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t, 53000000000.0], N[(N[(t$95$1 + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 5.3e10

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 28.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 28.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 14.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 21.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right) \]

   13. Simplified 21.9%

       \[\leadsto \left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{\sqrt{t}} \]

   if 5.3e10 < t

   1. Initial program 87.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 72.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 87.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 87.4%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 52.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 52.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 37.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 53000000000:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} + 2\right)\right) - \sqrt{t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 87.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + 2\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= z 1.4e+14)
   (- (+ (sqrt (+ 1.0 z)) 2.0) (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z))))
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (/ 1.0 (+ (sqrt y) (sqrt (+ 1.0 y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 1.4e+14) {
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + 2.0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z)));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (1.0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (z <= 1.4d+14) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + z)) + 2.0d0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z)))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (1.0d0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0d0 + y))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 1.4e+14) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + z)) + 2.0) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z)));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (1.0 / (Math.sqrt(y) + Math.sqrt((1.0 + y))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if z <= 1.4e+14:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + z)) + 2.0) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z)))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (1.0 / (math.sqrt(y) + math.sqrt((1.0 + y))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (z <= 1.4e+14)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + 2.0) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(y) + sqrt(Float64(1.0 + y)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (z <= 1.4e+14)
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + 2.0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z)));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (1.0 / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[z, 1.4e+14], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 1.4e14

   1. Initial program 96.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 50.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 14.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + 2\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), 2\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), 2\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 20.4%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 20.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} + 2\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   if 1.4e14 < z

   1. Initial program 87.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 31.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 45.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 45.0%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{z}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y}{\left(1 + y\right) + y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y}{\left(1 + y\right) + y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right) \cdot \left(\left(1 + y\right) + y\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + y\right) \cdot \left(1 + y\right) - y \cdot y\right), \left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right) \cdot \left(\left(1 + y\right) + y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 48.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{\frac{\left(y + \left(1 + y\right)\right) \cdot 1}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right) \cdot \left(y + \left(1 + y\right)\right)}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   10. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + y}}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 48.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 48.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 84.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1.26 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + 2\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= z 1.26e+14)
   (- (+ (sqrt (+ 1.0 z)) 2.0) (+ (sqrt x) (+ (sqrt y) (sqrt z))))
   (+ 1.0 (- (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt x)) (sqrt y)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 1.26e+14) {
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + 2.0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z)));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (z <= 1.26d+14) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + z)) + 2.0d0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z)))
    else
        tmp = 1.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 1.26e+14) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + z)) + 2.0) - (Math.sqrt(x) + (Math.sqrt(y) + Math.sqrt(z)));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(x)) - Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if z <= 1.26e+14:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + z)) + 2.0) - (math.sqrt(x) + (math.sqrt(y) + math.sqrt(z)))
	else:
		tmp = 1.0 + ((math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(x)) - math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (z <= 1.26e+14)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + 2.0) - Float64(sqrt(x) + Float64(sqrt(y) + sqrt(z))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (z <= 1.26e+14)
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + 2.0) - (sqrt(x) + (sqrt(y) + sqrt(z)));
	else
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[z, 1.26e+14], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 1.26e14

   1. Initial program 96.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 50.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 14.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + 2\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), 2\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), 2\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 20.4%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 20.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} + 2\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   if 1.26e14 < z

   1. Initial program 87.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 31.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 45.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 45.0%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 20.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 20.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

       3. associate--r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \color{blue}{\sqrt{y}}\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 31.5%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 69.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 2.45 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} + 2\right)\right) - \sqrt{t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= t 2.45e+30)
   (- (+ (sqrt (+ 1.0 z)) (+ (sqrt (+ 1.0 t)) 2.0)) (sqrt t))
   (+ 1.0 (- (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt x)) (sqrt y)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (t <= 2.45e+30) {
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + (sqrt((1.0 + t)) + 2.0)) - sqrt(t);
	} else {
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (t <= 2.45d+30) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + z)) + (sqrt((1.0d0 + t)) + 2.0d0)) - sqrt(t)
    else
        tmp = 1.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (t <= 2.45e+30) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + z)) + (Math.sqrt((1.0 + t)) + 2.0)) - Math.sqrt(t);
	} else {
		tmp = 1.0 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(x)) - Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if t <= 2.45e+30:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + z)) + (math.sqrt((1.0 + t)) + 2.0)) - math.sqrt(t)
	else:
		tmp = 1.0 + ((math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(x)) - math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (t <= 2.45e+30)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) + 2.0)) - sqrt(t));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (t <= 2.45e+30)
		tmp = (sqrt((1.0 + z)) + (sqrt((1.0 + t)) + 2.0)) - sqrt(t);
	else
		tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[t, 2.45e+30], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 2.44999999999999992e30

   1. Initial program 95.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 59.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 29.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 29.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in y around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(2 + \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \left(\sqrt{1 + t}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{t} + \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 15.0%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 15.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{t} + \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in t around inf

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.1%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right) \]

   13. Simplified 22.1%

       \[\leadsto \left(\left(2 + \sqrt{1 + t}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{\sqrt{t}} \]

   if 2.44999999999999992e30 < t

   1. Initial program 89.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 73.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 89.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.4%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 22.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

       3. associate--r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \color{blue}{\sqrt{y}}\right)\right) \]

       4. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 30.7%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 26.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 2.45 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} + 2\right)\right) - \sqrt{t}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 66.0% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 35000000:\\ \;\;\;\;\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{x + 1}\right) - \sqrt{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= y 35000000.0)
   (- (+ 1.0 (sqrt (+ 1.0 y))) (+ (sqrt x) (sqrt y)))
   (- (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))) (sqrt (+ x 1.0))) (sqrt x))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 35000000.0) {
		tmp = (1.0 + sqrt((1.0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	} else {
		tmp = ((0.5 * sqrt((1.0 / y))) + sqrt((x + 1.0))) - sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (y <= 35000000.0d0) then
        tmp = (1.0d0 + sqrt((1.0d0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    else
        tmp = ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))) + sqrt((x + 1.0d0))) - sqrt(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 35000000.0) {
		tmp = (1.0 + Math.sqrt((1.0 + y))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	} else {
		tmp = ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))) + Math.sqrt((x + 1.0))) - Math.sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if y <= 35000000.0:
		tmp = (1.0 + math.sqrt((1.0 + y))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	else:
		tmp = ((0.5 * math.sqrt((1.0 / y))) + math.sqrt((x + 1.0))) - math.sqrt(x)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (y <= 35000000.0)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + sqrt(Float64(1.0 + y))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))) + sqrt(Float64(x + 1.0))) - sqrt(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 35000000.0)
		tmp = (1.0 + sqrt((1.0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	else
		tmp = ((0.5 * sqrt((1.0 / y))) + sqrt((x + 1.0))) - sqrt(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[y, 35000000.0], N[(N[(1.0 + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 3.5e7

   1. Initial program 96.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 60.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 60.5%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 23.1%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 23.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 19.4%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 19.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right)} - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right) \]

   if 3.5e7 < y

   1. Initial program 87.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 61.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 43.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 47.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 47.3%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 18.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

   13. Simplified 18.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 19.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 35000000:\\ \;\;\;\;\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \sqrt{x + 1}\right) - \sqrt{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 63.8% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+ 1.0 (- (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt x)) (sqrt y))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 1.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 1.0 + ((Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(x)) - Math.sqrt(y));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 1.0 + ((math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(x)) - math.sqrt(y))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(1.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 1.0 + ((sqrt((1.0 + y)) - sqrt(x)) - sqrt(y));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(1.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 65.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 52.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 52.8%

   \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in z around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.7%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 14.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate--l+ N/A

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

    3. associate--r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \color{blue}{\sqrt{y}}\right)\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

    5. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right) \]

    6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

    8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right) \]

    9. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right) \]

13. Simplified 22.6%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 15: 35.9% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 65.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 52.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 52.8%

   \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in z around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.7%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 14.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

11. Taylor expanded in y around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

    4. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.2%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

13. Simplified 14.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} \]

14. Final simplification 14.2%

    \[\leadsto \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 16: 7.8% accurate, 7.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 * sqrt((1.0 / y));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 * Math.sqrt((1.0 / y));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.5 * math.sqrt((1.0 / y))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.5 * sqrt((1.0 / y));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 65.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 52.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 52.8%

   \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

8. Taylor expanded in y around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 25.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 25.7%

    \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]

11. Taylor expanded in y around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 8.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right) \]

13. Simplified 8.2%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 17: 6.2% accurate, 7.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 t))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 * sqrt((1.0 / t));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.5d0 * sqrt((1.0d0 / t))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 * Math.sqrt((1.0 / t));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.5 * math.sqrt((1.0 / t))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / t)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.5 * sqrt((1.0 / t));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 65.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 36.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 36.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]

   14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{\sqrt{y}} + \sqrt{z}\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 13.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in t around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{t}}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{t}\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 8.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, t\right)\right)\right) \]

13. Simplified 8.2%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{t}}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 18: 1.9% accurate, 8.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0 - \sqrt{x} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (- 0.0 (sqrt x)))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.0 - sqrt(x);
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.0d0 - sqrt(x)
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.0 - Math.sqrt(x);
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.0 - math.sqrt(x)

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.0 - sqrt(x))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0 - sqrt(x);
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.0 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 92.6%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 65.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 36.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 36.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \sqrt{x}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sqrt{x}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\sqrt{x}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 1.6%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

10. Simplified 1.6%

    \[\leadsto \color{blue}{0 - \sqrt{x}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sqrt{x}\right) \]

    2. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right)\right) \]

    3. sqrt-lowering-sqrt.f64 1.6%

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 1.6%

    \[\leadsto \color{blue}{-\sqrt{x}} \]

13. Final simplification 1.6%

    \[\leadsto 0 - \sqrt{x} \]
14. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right) + \frac{1}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+
    (/ 1.0 (+ (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))
    (/ 1.0 (+ (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y))))
   (/ 1.0 (+ (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z))))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((1.0 / (sqrt((x + 1.0)) + sqrt(x))) + (1.0 / (sqrt((y + 1.0)) + sqrt(y)))) + (1.0 / (sqrt((z + 1.0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((1.0d0 / (sqrt((x + 1.0d0)) + sqrt(x))) + (1.0d0 / (sqrt((y + 1.0d0)) + sqrt(y)))) + (1.0d0 / (sqrt((z + 1.0d0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((1.0 / (Math.sqrt((x + 1.0)) + Math.sqrt(x))) + (1.0 / (Math.sqrt((y + 1.0)) + Math.sqrt(y)))) + (1.0 / (Math.sqrt((z + 1.0)) + Math.sqrt(z)))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((1.0 / (math.sqrt((x + 1.0)) + math.sqrt(x))) + (1.0 / (math.sqrt((y + 1.0)) + math.sqrt(y)))) + (1.0 / (math.sqrt((z + 1.0)) + math.sqrt(z)))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + sqrt(x))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) + sqrt(y)))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) + sqrt(z)))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((1.0 / (sqrt((x + 1.0)) + sqrt(x))) + (1.0 / (sqrt((y + 1.0)) + sqrt(y)))) + (1.0 / (sqrt((z + 1.0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024145 
(FPCore (x y z t)
  :name "Main:z from "
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (+ (+ (+ (/ 1 (+ (sqrt (+ x 1)) (sqrt x))) (/ 1 (+ (sqrt (+ y 1)) (sqrt y)))) (/ 1 (+ (sqrt (+ z 1)) (sqrt z)))) (- (sqrt (+ t 1)) (sqrt t))))

  (+ (+ (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y))) (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z))) (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))