Beckmann Sample, near normal, slope_x

Percentage Accurate: 57.8% → 99.1%

Time: 13.7s

Alternatives: 18

Speedup: 3.1×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 99.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) - {\sin \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \log e\right)\right)}^{2}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (- (log1p (- u1))))
  (+
   0.5
   (- (* 0.5 (cos (* u2 (* PI 2.0)))) (pow (sin (* u2 (* PI (log E)))) 2.0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + ((0.5f * cosf((u2 * (((float) M_PI) * 2.0f)))) - powf(sinf((u2 * (((float) M_PI) * logf(((float) M_E))))), 2.0f)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(Float32(0.5) * cos(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0))))) - (sin(Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * log(Float32(exp(1)))))) ^ Float32(2.0)))))
end

Derivation

1. Initial program 58.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   5. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}, \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   6. fma-lowering-fma.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}, \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. sin-lowering-sin.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   14. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(\pi \cdot u2\right), -\sin \left(\pi \cdot u2\right), 0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right)} \]

7. Taylor expanded in u2 around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \color{blue}{{\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. pow-lowering-pow.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) - {\sin \left(u2 \cdot \pi\right)}^{2}\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. add-log-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left(e^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-un-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left(e^{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

    3. exp-prod N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left({\left(e^{1}\right)}^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

    4. log-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

    7. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(e^{1}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

    8. exp-1-e N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{E}\left(\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

    9. E-lowering-E.f32 99.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{E.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.0%

    \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) - {\sin \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \log e\right)}\right)}^{2}\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (cos (* 2.0 (* u2 PI)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * cosf((2.0f * (u2 * ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(u2 * Float32(pi)))))
end

Derivation

1. Initial program 58.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \cos t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* PI 2.0))))
   (if (<= t_0 0.07999999821186066)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (+ 0.5 (+ 0.5 (* u2 (* u2 (* (* PI PI) -2.0))))))
     (*
      (sqrt
       (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
      (cos t_0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.07999999821186066f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (0.5f + (u2 * (u2 * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -2.0f)))));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * cosf(t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.07999999821186066))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-2.0)))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * cos(t_0));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0799999982

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      5. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}, \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      6. fma-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}, \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqr-cos-a N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(\pi \cdot u2\right), -\sin \left(\pi \cdot u2\right), 0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right)} \]

   7. Taylor expanded in u2 around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \color{blue}{{\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) - {\sin \left(u2 \cdot \pi\right)}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-log-exp N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left(e^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-un-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left(e^{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       3. exp-prod N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left({\left(e^{1}\right)}^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       4. log-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       6. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       7. log-lowering-log.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(e^{1}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       8. exp-1-e N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{E}\left(\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       9. E-lowering-E.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{E.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.3%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) - {\sin \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \log e\right)}\right)}^{2}\right)\right) \]

   12. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. log-E N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {1}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1 \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-rgt-out-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-1 - 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. PI-lowering-PI.f32 99.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(0.5 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right)\right)}\right) \]

   if 0.0799999982 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 90.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.4% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* PI 2.0))))
   (if (<= t_0 0.07999999821186066)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (+ 0.5 (+ 0.5 (* u2 (* u2 (* (* PI PI) -2.0))))))
     (*
      (cos t_0)
      (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.07999999821186066f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (0.5f + (u2 * (u2 * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -2.0f)))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.07999999821186066))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-2.0)))))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0799999982

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      5. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}, \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      6. fma-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}, \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqr-cos-a N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(\pi \cdot u2\right), -\sin \left(\pi \cdot u2\right), 0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right)} \]

   7. Taylor expanded in u2 around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \color{blue}{{\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) - {\sin \left(u2 \cdot \pi\right)}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-log-exp N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left(e^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-un-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left(e^{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       3. exp-prod N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left({\left(e^{1}\right)}^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       4. log-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       6. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       7. log-lowering-log.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(e^{1}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       8. exp-1-e N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{E}\left(\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       9. E-lowering-E.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{E.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.3%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) - {\sin \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \log e\right)}\right)}^{2}\right)\right) \]

   12. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. log-E N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {1}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1 \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-rgt-out-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-1 - 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. PI-lowering-PI.f32 99.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(0.5 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right)\right)}\right) \]

   if 0.0799999982 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 89.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* PI 2.0))))
   (if (<= t_0 0.07999999821186066)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (+ 0.5 (+ 0.5 (* u2 (* u2 (* (* PI PI) -2.0))))))
     (* (cos t_0) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.07999999821186066f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (0.5f + (u2 * (u2 * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -2.0f)))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.07999999821186066))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) + Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-2.0)))))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0799999982

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      5. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}, \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      6. fma-lowering-fma.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}, \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqr-cos-a N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{fma.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \left(\pi \cdot u2\right), -\sin \left(\pi \cdot u2\right), 0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right)} \]

   7. Taylor expanded in u2 around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \left(-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot {\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \color{blue}{{\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({\color{blue}{\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\left(u2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \left({\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\sin \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) - {\sin \left(u2 \cdot \pi\right)}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-log-exp N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left(e^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-un-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left(e^{1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       3. exp-prod N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \log \left({\left(e^{1}\right)}^{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       4. log-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       6. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \log \left(e^{1}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       7. log-lowering-log.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(e^{1}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       8. exp-1-e N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{E}\left(\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

       9. E-lowering-E.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{E.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.3%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) - {\sin \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \log e\right)}\right)}^{2}\right)\right) \]

   12. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. log-E N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - {1}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-1 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 1 \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-rgt-out-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-1 - 1\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. PI-lowering-PI.f32 99.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 99.1%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(0.5 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right)\right)}\right) \]

   if 0.0799999982 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 86.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* PI 2.0))))
   (if (<= t_0 0.07999999821186066)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))
     (* (cos t_0) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.07999999821186066f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.07999999821186066))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0799999982

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   if 0.0799999982 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 86.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 94.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.004550000187009573:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* PI 2.0))))
   (if (<= t_0 0.004550000187009573)
     (sqrt (- (log1p (- u1))))
     (* (cos t_0) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.004550000187009573f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.004550000187009573))
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00455000019

   1. Initial program 60.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   if 0.00455000019 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 88.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.004550000187009573:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 90.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot {\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* PI 2.0))))
   (if (<= t_0 0.07999999821186066)
     (*
      (sqrt
       (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
      (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))
     (* (cos t_0) (pow (* u1 u1) 0.25)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.07999999821186066f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * powf((u1 * u1), 0.25f);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.07999999821186066))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * (Float32(u1 * u1) ^ Float32(0.25)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = u2 * (single(pi) * single(2.0));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.07999999821186066))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))))))) * (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2))));
	else
		tmp = cos(t_0) * ((u1 * u1) ^ single(0.25));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0799999982

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 59.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.0%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 94.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 94.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]

   if 0.0799999982 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 74.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(0 - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right) \cdot \left(0 - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)\right)}^{0.25}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\color{blue}{\left({u1}^{2}\right)}, \frac{1}{4}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.3%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right)}}^{0.25} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \cdot {\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 90.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* PI 2.0))))
   (if (<= t_0 0.07999999821186066)
     (*
      (sqrt
       (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
      (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))
     (* (cos t_0) (sqrt u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (((float) M_PI) * 2.0f);
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.07999999821186066f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.07999999821186066))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = u2 * (single(pi) * single(2.0));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.07999999821186066))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))))))) * (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2))));
	else
		tmp = cos(t_0) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0799999982

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 59.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.0%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 94.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 94.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]

   if 0.0799999982 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right) \leq 0.07999999821186066:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 84.1% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
  (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))))))) * (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2))));
end

Derivation

1. Initial program 58.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 53.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.1%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 84.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 84.5%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 82.3% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 0.0026000000070780516:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u1 0.0026000000070780516)
   (*
    (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))
    (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))))
   (sqrt
    (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u1 <= 0.0026000000070780516f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f)))) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u1 <= Float32(0.0026000000070780516))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))));
	else
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u1 <= single(0.0026000000070780516))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5))))) * (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2))));
	else
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u1 < 0.00260000001

   1. Initial program 44.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 41.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 41.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 87.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]

   if 0.00260000001 < u1

   1. Initial program 93.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 81.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 71.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 71.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot 1 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 83.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 0.0026000000070780516:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 82.6% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))
  (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f)))))) * (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333))))))) * (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2))));
end

Derivation

1. Initial program 58.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 53.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 53.1%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 83.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 83.1%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 13: 80.5% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0007999999797903001:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0007999999797903001)
   (sqrt
    (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
   (* (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))) (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0007999999797903001f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2)))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0007999999797903001))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.0007999999797903001))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2)))) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 7.9999998e-4

   1. Initial program 60.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 97.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 94.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 94.0%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot 1 \]

   if 7.9999998e-4 < u2

   1. Initial program 52.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 37.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 37.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 56.0%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0007999999797903001:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 79.4% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0007999999797903001:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0007999999797903001)
   (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))
   (* (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))) (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0007999999797903001f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2)))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0007999999797903001))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.0007999999797903001))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2)))) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 7.9999998e-4

   1. Initial program 60.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 97.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 92.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 92.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot 1 \]

   if 7.9999998e-4 < u2

   1. Initial program 52.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 37.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 37.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 56.0%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 80.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0007999999797903001:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 76.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0006000000284984708:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0006000000284984708)
   (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))
   (* (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -2.0 (* u2 u2)))) (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0006000000284984708f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-2.0f * (u2 * u2)))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0006000000284984708))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(u2 * u2)))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.0006000000284984708))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5)))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-2.0) * (u2 * u2)))) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 6.00000028e-4

   1. Initial program 60.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), 1\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 88.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 88.4%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot 1 \]

   if 6.00000028e-4 < u2

   1. Initial program 53.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 38.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 56.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0006000000284984708:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 76.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0006000000284984708:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right) + 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0006000000284984708)
   (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))
   (* (sqrt u1) (+ (* u2 (* u2 (* (* PI PI) -2.0))) 1.0))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0006000000284984708f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	} else {
		tmp = sqrtf(u1) * ((u2 * (u2 * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * -2.0f))) + 1.0f);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0006000000284984708))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5)))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(u1) * Float32(Float32(u2 * Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(-2.0)))) + Float32(1.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.0006000000284984708))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5)))));
	else
		tmp = sqrt(u1) * ((u2 * (u2 * ((single(pi) * single(pi)) * single(-2.0)))) + single(1.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 6.00000028e-4

   1. Initial program 60.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), 1\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 88.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 88.4%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot 1 \]

   if 6.00000028e-4 < u2

   1. Initial program 53.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 75.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(0 - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right) \cdot \left(0 - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)\right)}^{0.25}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   5. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\color{blue}{\left({u1}^{2}\right)}, \frac{1}{4}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 77.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 77.4%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right)}}^{0.25} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   8. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} + -2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} + -2 \cdot \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{u1}}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} + \left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{u1}} \]

      3. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto 1 \cdot \sqrt{u1} + \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \cdot \sqrt{u1} \]

      4. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \left(\color{blue}{1} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. PI-lowering-PI.f32 56.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 56.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(1 + u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0006000000284984708:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -2\right)\right) + 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 73.0% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt((u1 * (1.0e0 + (u1 * 0.5e0))))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 58.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 80.5%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), 1\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 73.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

10. Simplified 73.6%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot 1 \]

11. Final simplification 73.6%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 18: 64.9% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (sqrt u1))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(u1);
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt(u1)
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(u1)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(u1);
end

Derivation

1. Initial program 58.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 73.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(0 - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right) \cdot \left(0 - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)\right)}^{0.25}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

5. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\color{blue}{\left({u1}^{2}\right)}, \frac{1}{4}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 76.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

7. Simplified 76.0%

   \[\leadsto {\color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right)}}^{0.25} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 64.4%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right) \]

10. Simplified 64.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024145 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))