Beckmann Sample, near normal, slope_y

Percentage Accurate: 58.0% → 98.3%

Time: 15.2s

Alternatives: 22

Speedup: 2.9×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * sin(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 58.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * sin(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (sin (* 2.0 (* PI u2)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * sinf((2.0f * (((float) M_PI) * u2)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))))
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)} \cdot \sin t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.10000000149011612)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (*
       u2
       (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI (* PI PI))))))
     (*
      (sqrt
       (+ u1 (* (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))) (* u1 u1))))
      (sin t_0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.10000000149011612f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 + ((0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))) * (u1 * u1)))) * sinf(t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.10000000149011612))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 + Float32(Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))) * Float32(u1 * u1)))) * sin(t_0));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.100000001

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{0.5} \cdot \left(u2 \cdot {\pi}^{0.5}\right)\right)}\right) \]

   7. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.100000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 55.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 92.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) + 1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) + u1 \cdot 1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) + u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right) \cdot u1\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot u1\right) \cdot u1\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u1 \cdot u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 92.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right)\right), u1\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 92.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right) + u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 + \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)} \cdot \sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.10000000149011612)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (*
       u2
       (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI (* PI PI))))))
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt
       (*
        u1
        (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.10000000149011612f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.10000000149011612))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.100000001

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{0.5} \cdot \left(u2 \cdot {\pi}^{0.5}\right)\right)}\right) \]

   7. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.100000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 55.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 92.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 96.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.10000000149011612)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (*
       u2
       (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI (* PI PI))))))
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.10000000149011612f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.10000000149011612))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.100000001

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(u2 \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{0.5} \cdot \left(u2 \cdot {\pi}^{0.5}\right)\right)}\right) \]

   7. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.100000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 55.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 90.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.9% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.10000000149011612)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (* u2 (* PI (+ 2.0 (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI PI))))))
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.10000000149011612f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (u2 * (((float) M_PI) * (2.0f + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.10000000149011612))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(u2 * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.100000001

   1. Initial program 59.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-4}{3}}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-4}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + {u2}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left({u2}^{2} \cdot \frac{-4}{3}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right) \]

      8. unpow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(2 + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{2} + \left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.100000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 55.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 90.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(\pi \cdot \left(2 + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 95.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.004550000187009573:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.004550000187009573)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) t_0)
     (*
      (sin t_0)
      (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.004550000187009573f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * t_0;
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.004550000187009573))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * t_0);
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00455000019

   1. Initial program 61.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 97.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00455000019 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 91.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.004550000187009573:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 94.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.004550000187009573:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.004550000187009573)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) t_0)
     (* (sin t_0) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.004550000187009573f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * t_0;
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.004550000187009573))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * t_0);
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00455000019

   1. Initial program 61.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 97.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00455000019 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 88.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.004550000187009573:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 89.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.6399999856948853:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot {\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.6399999856948853)
     (*
      (*
       u2
       (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI (* PI PI)))))
      (sqrt
       (*
        u1
        (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))))))))
     (* (sin t_0) (pow (* u1 u1) 0.25)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.6399999856948853f) {
		tmp = (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * powf((u1 * u1), 0.25f);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.6399999856948853))
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * (Float32(u1 * u1) ^ Float32(0.25)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = u2 * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.6399999856948853))
		tmp = (u2 * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
	else
		tmp = sin(t_0) * ((u1 * u1) ^ single(0.25));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.639999986

   1. Initial program 59.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 93.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 93.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 93.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 93.2%

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.639999986 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)}\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

      3. pow-prod-up N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{\frac{1}{4}} \cdot {u1}^{\frac{1}{4}}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)}\right)\right) \]

      4. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(u1 \cdot u1\right)}^{\frac{1}{4}}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 77.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \frac{1}{4}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.6399999856948853:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot {\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 89.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.6399999856948853:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.6399999856948853)
     (*
      (*
       u2
       (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI (* PI PI)))))
      (sqrt
       (*
        u1
        (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))))))))
     (* (sin t_0) (sqrt u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.6399999856948853f) {
		tmp = (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	} else {
		tmp = sinf(t_0) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.6399999856948853))
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))));
	else
		tmp = Float32(sin(t_0) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = u2 * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.6399999856948853))
		tmp = (u2 * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
	else
		tmp = sin(t_0) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.639999986

   1. Initial program 59.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 93.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 93.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 93.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 93.2%

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.639999986 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.6399999856948853:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 83.7% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0026000000070780516:\\ \;\;\;\;{u1}^{0.5} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right) + u1 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\pi \cdot u2\right) + u1 \cdot \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(u1 \cdot 0.18229166666666666 + 0.2708333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.0026000000070780516)
   (*
    (pow u1 0.5)
    (+
     (* 2.0 (* PI u2))
     (*
      u1
      (+
       (* 0.5 (* PI u2))
       (*
        u1
        (* (* PI u2) (+ (* u1 0.18229166666666666) 0.2708333333333333)))))))
   (*
    (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))
    (*
     u2
     (+ (* 2.0 PI) (* -1.3333333333333333 (* (* u2 u2) (* PI (* PI PI)))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.0026000000070780516f) {
		tmp = powf(u1, 0.5f) * ((2.0f * (((float) M_PI) * u2)) + (u1 * ((0.5f * (((float) M_PI) * u2)) + (u1 * ((((float) M_PI) * u2) * ((u1 * 0.18229166666666666f) + 0.2708333333333333f))))));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f)))) * (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + (-1.3333333333333333f * ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.0026000000070780516))
		tmp = Float32((u1 ^ Float32(0.5)) * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)) + Float32(u1 * Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(Float32(pi) * u2)) + Float32(u1 * Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(Float32(u1 * Float32(0.18229166666666666)) + Float32(0.2708333333333333))))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))) * Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if ((u2 * (single(2.0) * single(pi))) <= single(0.0026000000070780516))
		tmp = (u1 ^ single(0.5)) * ((single(2.0) * (single(pi) * u2)) + (u1 * ((single(0.5) * (single(pi) * u2)) + (u1 * ((single(pi) * u2) * ((u1 * single(0.18229166666666666)) + single(0.2708333333333333)))))));
	else
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5))))) * (u2 * ((single(2.0) * single(pi)) + (single(-1.3333333333333333) * ((u2 * u2) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00260000001

   1. Initial program 61.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 94.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot {\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 94.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{0.5} \cdot \left({\left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 94.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 94.1%

       \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)}\right)} \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + u1 \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + u1 \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{u1} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + u1 \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + u1 \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + u1 \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + u1 \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{u1} \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{u1} \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(u1 \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{1}{2}\right), \left(u1 \cdot \left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \color{blue}{\left(\frac{35}{192} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{13}{48} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\left(\frac{35}{192} \cdot u1\right) \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\frac{13}{48}} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 94.3%

       \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right) + u1 \cdot \left(\left(u2 \cdot \pi\right) \cdot 0.5 + u1 \cdot \left(\left(u2 \cdot \pi\right) \cdot \left(0.18229166666666666 \cdot u1 + 0.2708333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.00260000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 87.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-4}{3}} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({1}^{2} \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. log-E N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} \cdot {\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. log-E N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({1}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 66.6%

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0026000000070780516:\\ \;\;\;\;{u1}^{0.5} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right) + u1 \cdot \left(0.5 \cdot \left(\pi \cdot u2\right) + u1 \cdot \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(u1 \cdot 0.18229166666666666 + 0.2708333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 83.6% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0026000000070780516:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.0026000000070780516)
   (*
    (sqrt
     (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
    (* 2.0 (* PI u2)))
   (*
    (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))
    (*
     u2
     (+ (* 2.0 PI) (* -1.3333333333333333 (* (* u2 u2) (* PI (* PI PI)))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.0026000000070780516f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * (2.0f * (((float) M_PI) * u2));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f)))) * (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + (-1.3333333333333333f * ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.0026000000070780516))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))) * Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if ((u2 * (single(2.0) * single(pi))) <= single(0.0026000000070780516))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))))))) * (single(2.0) * (single(pi) * u2));
	else
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5))))) * (u2 * ((single(2.0) * single(pi)) + (single(-1.3333333333333333) * ((u2 * u2) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00260000001

   1. Initial program 61.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 94.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 94.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 0.00260000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 87.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-4}{3}} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \color{blue}{\left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(1 \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({1}^{2} \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. log-E N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} \cdot {\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\log \mathsf{E}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. log-E N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({1}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(1 \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 66.6%

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0026000000070780516:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \cdot \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + -1.3333333333333333 \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 84.9% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* u2 (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI (* PI PI)))))
  (sqrt
   (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u2 * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 93.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 85.5%

   \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

9. Final simplification 85.5%

   \[\leadsto \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 78.1% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.005200000014156103:\\ \;\;\;\;{u1}^{0.5} \cdot \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(2 + u1 \cdot 0.5\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.005200000014156103)
   (* (pow u1 0.5) (* (* PI u2) (+ 2.0 (* u1 0.5))))
   (*
    (*
     u2
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI (* PI PI)))))
    (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.005200000014156103f) {
		tmp = powf(u1, 0.5f) * ((((float) M_PI) * u2) * (2.0f + (u1 * 0.5f)));
	} else {
		tmp = (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.005200000014156103))
		tmp = Float32((u1 ^ Float32(0.5)) * Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(Float32(2.0) + Float32(u1 * Float32(0.5)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if ((u2 * (single(2.0) * single(pi))) <= single(0.005200000014156103))
		tmp = (u1 ^ single(0.5)) * ((single(pi) * u2) * (single(2.0) + (u1 * single(0.5))));
	else
		tmp = (u2 * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.00520000001

   1. Initial program 61.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 94.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot {\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 94.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{0.5} \cdot \left({\left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 93.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 93.5%

       \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)}\right)} \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

       3. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(2 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{2} + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right) \]

       6. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(2 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(u1 \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 87.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u1, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 87.9%

       \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(\left(u2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 + u1 \cdot 0.5\right)\right)} \]

   if 0.00520000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 52.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 78.1%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 59.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.9%

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.005200000014156103:\\ \;\;\;\;{u1}^{0.5} \cdot \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(2 + u1 \cdot 0.5\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 80.9% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 7.999999979801942 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u1 7.999999979801942e-6)
   (*
    (*
     u2
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI (* PI PI)))))
    (sqrt u1))
   (*
    (sqrt
     (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
    (* 2.0 (* PI u2)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u1 <= 7.999999979801942e-6f) {
		tmp = (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf(u1);
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * (2.0f * (((float) M_PI) * u2));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u1 <= Float32(7.999999979801942e-6))
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(u1));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u1 <= single(7.999999979801942e-6))
		tmp = (u2 * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt(u1);
	else
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25))))))))) * (single(2.0) * (single(pi) * u2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u1 < 7.99999998e-6

   1. Initial program 26.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 96.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 87.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 87.7%

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 7.99999998e-6 < u1

   1. Initial program 82.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 90.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      3. PI-lowering-PI.f32 78.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 78.7%

      \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 82.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 7.999999979801942 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 79.9% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 7.999999979801942 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{u1}^{0.5} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right) + u1 \cdot \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.2708333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u1 7.999999979801942e-6)
   (*
    (*
     u2
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* u2 u2)) (* PI (* PI PI)))))
    (sqrt u1))
   (*
    (pow u1 0.5)
    (+
     (* 2.0 (* PI u2))
     (* u1 (* (* PI u2) (+ 0.5 (* u1 0.2708333333333333))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u1 <= 7.999999979801942e-6f) {
		tmp = (u2 * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (u2 * u2)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf(u1);
	} else {
		tmp = powf(u1, 0.5f) * ((2.0f * (((float) M_PI) * u2)) + (u1 * ((((float) M_PI) * u2) * (0.5f + (u1 * 0.2708333333333333f)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u1 <= Float32(7.999999979801942e-6))
		tmp = Float32(Float32(u2 * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(u2 * u2)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(u1));
	else
		tmp = Float32((u1 ^ Float32(0.5)) * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)) + Float32(u1 * Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.2708333333333333)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u1 <= single(7.999999979801942e-6))
		tmp = (u2 * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (u2 * u2)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt(u1);
	else
		tmp = (u1 ^ single(0.5)) * ((single(2.0) * (single(pi) * u2)) + (u1 * ((single(pi) * u2) * (single(0.5) + (u1 * single(0.2708333333333333))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u1 < 7.99999998e-6

   1. Initial program 26.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 96.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   6. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {u2}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({u2}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(u2 \cdot u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 87.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 87.7%

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

   if 7.99999998e-6 < u1

   1. Initial program 82.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 90.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sqrt-prod N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

      2. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot {\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

      5. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 89.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{0.5} \cdot \left({\left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 78.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 78.5%

       \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)}\right)} \]

   11. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + u1 \cdot \left(\frac{13}{48} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(u1 \cdot \left(\frac{13}{48} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{u1} \cdot \left(\frac{13}{48} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(u1 \cdot \left(\frac{13}{48} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(u1 \cdot \left(\frac{13}{48} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \color{blue}{\left(\frac{13}{48} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\left(\frac{13}{48} \cdot u1\right) \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{13}{48} \cdot u1 + \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{13}{48} \cdot u1 + \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{13}{48} \cdot u1} + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{13}{48} \cdot \color{blue}{u1} + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{13}{48} \cdot u1\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 77.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{13}{48}, u1\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 77.0%

       \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right) + u1 \cdot \left(\left(u2 \cdot \pi\right) \cdot \left(0.2708333333333333 \cdot u1 + 0.5\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u1 \leq 7.999999979801942 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{u1}^{0.5} \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right) + u1 \cdot \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.2708333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 74.5% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {u1}^{0.5} \cdot \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(2 + u1 \cdot 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (pow u1 0.5) (* (* PI u2) (+ 2.0 (* u1 0.5)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return powf(u1, 0.5f) * ((((float) M_PI) * u2) * (2.0f + (u1 * 0.5f)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32((u1 ^ Float32(0.5)) * Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(Float32(2.0) + Float32(u1 * Float32(0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u1 ^ single(0.5)) * ((single(pi) * u2) * (single(2.0) + (u1 * single(0.5))));
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 93.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot {\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   5. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{0.5} \cdot \left({\left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 78.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 78.8%

    \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)}\right)} \]

11. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(u1 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right) \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    3. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(2 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{2} + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(2 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)}\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \left(u1 \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 74.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u1, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 74.9%

    \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(\left(u2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 + u1 \cdot 0.5\right)\right)} \]

14. Final simplification 74.9%

    \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(2 + u1 \cdot 0.5\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 17: 66.3% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot {\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (* PI u2) (* 2.0 (pow (* u1 u1) 0.25))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (((float) M_PI) * u2) * (2.0f * powf((u1 * u1), 0.25f));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(Float32(2.0) * (Float32(u1 * u1) ^ Float32(0.25))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (single(pi) * u2) * (single(2.0) * ((u1 * u1) ^ single(0.25)));
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 76.1%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{u1}\right)\right), \left(\color{blue}{u2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 65.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 65.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left({u1}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left({u1}^{\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left({\left({u1}^{2}\right)}^{\frac{1}{4}}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left({\left(u1 \cdot u1\right)}^{\frac{1}{4}}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{pow.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 65.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 65.7%

    \[\leadsto \left(2 \cdot \color{blue}{{\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}}\right) \cdot \left(u2 \cdot \pi\right) \]

11. Final simplification 65.7%

    \[\leadsto \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot {\left(u1 \cdot u1\right)}^{0.25}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 18: 66.3% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (* (* PI u2) (* 2.0 (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (((float) M_PI) * u2) * (2.0f * sqrtf(u1));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(Float32(2.0) * sqrt(u1)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (single(pi) * u2) * (single(2.0) * sqrt(u1));
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 76.1%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{u1}\right)\right), \left(\color{blue}{u2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 65.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 65.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)} \]

9. Final simplification 65.7%

   \[\leadsto \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 19: 66.3% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot \sqrt{u1}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (* 2.0 (* PI (* u2 (sqrt u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return 2.0f * (((float) M_PI) * (u2 * sqrtf(u1)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(u2 * sqrt(u1))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(2.0) * (single(pi) * (u2 * sqrt(u1)));
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 76.1%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

6. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\sqrt{u1}\right)\right), \left(\color{blue}{u2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 65.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 65.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{u1}\right) \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)} \]

9. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(\sqrt{u1} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(\sqrt{u1} \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1} \cdot u2\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), u2\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    5. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), u2\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 65.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right), u2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

11. Simplified 65.7%

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(\sqrt{u1} \cdot u2\right) \cdot \pi\right)} \]

12. Final simplification 65.7%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot \sqrt{u1}\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 20: 21.1% accurate, 12.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 0.6666666666666666}{u1} + \left(\pi \cdot u2 + \frac{\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 0.7777777777777778}{u1 \cdot u1}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (* u1 u1)
  (+
   (/ (* (* PI u2) 0.6666666666666666) u1)
   (+ (* PI u2) (/ (* (* PI u2) 0.7777777777777778) (* u1 u1))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u1 * u1) * ((((((float) M_PI) * u2) * 0.6666666666666666f) / u1) + ((((float) M_PI) * u2) + (((((float) M_PI) * u2) * 0.7777777777777778f) / (u1 * u1))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(0.6666666666666666)) / u1) + Float32(Float32(Float32(pi) * u2) + Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(0.7777777777777778)) / Float32(u1 * u1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u1 * u1) * ((((single(pi) * u2) * single(0.6666666666666666)) / u1) + ((single(pi) * u2) + (((single(pi) * u2) * single(0.7777777777777778)) / (u1 * u1))));
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 93.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot {\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   5. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{0.5} \cdot \left({\left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 78.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 78.8%

    \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)}\right)} \]

11. Taylor expanded in u1 around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1} + \left(\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1} + \left(\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1}} + \left(\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1}} + \left(\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1}\right), \color{blue}{\left(\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    5. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{2}{3} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{u1}\right), \left(\color{blue}{\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), u1\right), \left(\color{blue}{\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), u1\right), \left(\color{blue}{\frac{7}{9}} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), u1\right), \left(\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), u1\right), \left(\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), u1\right), \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}}}\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{7}{9}} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{7}{9} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{u1}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

    14. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{\frac{7}{9} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{{u1}^{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

    15. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{7}{9} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left({u1}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 20.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{0.6666666666666666 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)}{u1} + \left(u2 \cdot \pi + \frac{0.7777777777777778 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)}{u1 \cdot u1}\right)\right)} \]

14. Final simplification 20.9%

    \[\leadsto \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\frac{\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 0.6666666666666666}{u1} + \left(\pi \cdot u2 + \frac{\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 0.7777777777777778}{u1 \cdot u1}\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 21: 18.3% accurate, 20.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\pi \cdot u2 + \frac{\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 0.6666666666666666}{u1}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (* u1 u1) (+ (* PI u2) (/ (* (* PI u2) 0.6666666666666666) u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u1 * u1) * ((((float) M_PI) * u2) + (((((float) M_PI) * u2) * 0.6666666666666666f) / u1));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(Float32(pi) * u2) + Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * u2) * Float32(0.6666666666666666)) / u1)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u1 * u1) * ((single(pi) * u2) + (((single(pi) * u2) * single(0.6666666666666666)) / u1));
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 93.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot {\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   5. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{0.5} \cdot \left({\left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 78.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 78.8%

    \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)}\right)} \]

11. Taylor expanded in u1 around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u1 \cdot u1\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1}} + u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1}}\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1}\right)}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1}\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{u1}\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{u1}}\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{u1}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), u1\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), u1\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 18.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), u1\right)\right)\right) \]

13. Simplified 18.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(u2 \cdot \pi + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)}{u1}\right)} \]

14. Final simplification 18.4%

    \[\leadsto \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\pi \cdot u2 + \frac{\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 0.6666666666666666}{u1}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 22: 14.4% accurate, 44.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\pi \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (* (* u1 u1) (* PI u2)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (u1 * u1) * (((float) M_PI) * u2);
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(u1 * u1) * Float32(Float32(pi) * u2))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (u1 * u1) * (single(pi) * u2);
end

Derivation

1. Initial program 58.5%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 93.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)}\right) \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{u1} \cdot {\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sqrt{u1} \cdot \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{u1}\right), \color{blue}{\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   5. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({u1}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\color{blue}{{\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.5%

   \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{0.5} \cdot \left({\left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + u1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 78.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 78.8%

    \[\leadsto {u1}^{0.5} \cdot \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)}\right)} \]

11. Taylor expanded in u1 around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{u1}^{2} \cdot \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{{u1}^{2}} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left({u1}^{2}\right)}\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({\color{blue}{u1}}^{2}\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({u1}^{2}\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(u1 \cdot \color{blue}{u1}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 14.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u1, \color{blue}{u1}\right)\right) \]

13. Simplified 14.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u2 \cdot \pi\right) \cdot \left(u1 \cdot u1\right)} \]

14. Final simplification 14.4%

    \[\leadsto \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(\pi \cdot u2\right) \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024145 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))