Kahan's exp quotient

Percentage Accurate: 53.2% → 100.0%

Time: 8.9s

Alternatives: 11

Speedup: 11.7×

• 25.6% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - 1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) 1.0) x))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 1.0) / x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 1.0d0) / x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 1.0) / x;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 1.0) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 1.0) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - 1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) 1.0) x))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 1.0) / x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 1.0d0) / x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 1.0) / x;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 1.0) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 1.0) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (expm1 x) x))

C

double code(double x) {
	return expm1(x) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.expm1(x) / x;
}

Python

def code(x):
	return math.expm1(x) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(expm1(x) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Exp[x] - 1), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 46.1%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

   2. expm1-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

   3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 71.4% accurate, 3.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\\ \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right) + -1}{x \cdot 0.5 + -1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* x (+ 0.16666666666666666 (* x 0.041666666666666664))))))
   (/ (+ (* (* x x) (* t_0 t_0)) -1.0) (+ (* x 0.5) -1.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664)));
	return (((x * x) * (t_0 * t_0)) + -1.0) / ((x * 0.5) + -1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 + (x * (0.16666666666666666d0 + (x * 0.041666666666666664d0)))
    code = (((x * x) * (t_0 * t_0)) + (-1.0d0)) / ((x * 0.5d0) + (-1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664)));
	return (((x * x) * (t_0 * t_0)) + -1.0) / ((x * 0.5) + -1.0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664)))
	return (((x * x) * (t_0 * t_0)) + -1.0) / ((x * 0.5) + -1.0)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * 0.041666666666666664))))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(t_0 * t_0)) + -1.0) / Float64(Float64(x * 0.5) + -1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664)));
	tmp = (((x * x) * (t_0 * t_0)) + -1.0) / ((x * 0.5) + -1.0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(x * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision] / N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 46.1%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

   2. expm1-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

   3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 77.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

7. Simplified 77.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}{x} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} + x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)}{\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot x}{\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\right), \left(\left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   8. swap-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   13. cancel-sign-sub-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   16. metadata-eval 77.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{24}, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

9. Applied egg-rr 77.0%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\frac{\left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right) \cdot x}{0.16666666666666666 + -0.041666666666666664 \cdot x}}\right)\right)}{x} \]

11. Applied egg-rr 61.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) - 1}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) - 1}} \]

12. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}, 1\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 78.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), 1\right)\right) \]

14. Simplified 78.7%

    \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) - 1}{\color{blue}{0.5 \cdot x} - 1} \]

15. Final simplification 78.7%

    \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) + -1}{x \cdot 0.5 + -1} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 3: 72.0% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 4 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{t\_0 + -1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(1 + t\_0\right)\right)}{x}}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          x
          (+ 0.5 (* x (+ 0.16666666666666666 (* x 0.041666666666666664)))))))
   (if (<= x 4e-33)
     (/ -1.0 (+ t_0 -1.0))
     (/ (/ (* x (* x (+ 1.0 t_0))) x) x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))));
	double tmp;
	if (x <= 4e-33) {
		tmp = -1.0 / (t_0 + -1.0);
	} else {
		tmp = ((x * (x * (1.0 + t_0))) / x) / x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (0.5d0 + (x * (0.16666666666666666d0 + (x * 0.041666666666666664d0))))
    if (x <= 4d-33) then
        tmp = (-1.0d0) / (t_0 + (-1.0d0))
    else
        tmp = ((x * (x * (1.0d0 + t_0))) / x) / x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))));
	double tmp;
	if (x <= 4e-33) {
		tmp = -1.0 / (t_0 + -1.0);
	} else {
		tmp = ((x * (x * (1.0 + t_0))) / x) / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))
	tmp = 0
	if x <= 4e-33:
		tmp = -1.0 / (t_0 + -1.0)
	else:
		tmp = ((x * (x * (1.0 + t_0))) / x) / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * 0.041666666666666664)))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 4e-33)
		tmp = Float64(-1.0 / Float64(t_0 + -1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + t_0))) / x) / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 4e-33)
		tmp = -1.0 / (t_0 + -1.0);
	else
		tmp = ((x * (x * (1.0 + t_0))) / x) / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(x * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 4e-33], N[(-1.0 / N[(t$95$0 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.0000000000000002e-33

   1. Initial program 28.7%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 74.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Simplified 74.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}{x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} + x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)}{\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot x}{\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\right), \left(\left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. swap-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. metadata-eval 74.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{24}, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   9. Applied egg-rr 74.3%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\frac{\left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right) \cdot x}{0.16666666666666666 + -0.041666666666666664 \cdot x}}\right)\right)}{x} \]

   11. Applied egg-rr 74.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) - 1}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) - 1}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Simplified 75.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1}}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) - 1} \]

   if 4.0000000000000002e-33 < x

   1. Initial program 88.1%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 83.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Simplified 83.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}{x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} + x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)}{\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot x}{\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\right), \left(\left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. swap-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. metadata-eval 83.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{24}, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   9. Applied egg-rr 83.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\frac{\left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right) \cdot x}{0.16666666666666666 + -0.041666666666666664 \cdot x}}\right)\right)}{x} \]

   11. Applied egg-rr 87.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right) \cdot x}{x}}}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + -1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)}{x}}{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 70.8% accurate, 5.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.26:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + -1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.26)
   (/
    -1.0
    (+
     (* x (+ 0.5 (* x (+ 0.16666666666666666 (* x 0.041666666666666664)))))
     -1.0))
   (/ (* 0.041666666666666664 (* x (* x (* x x)))) x)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.26) {
		tmp = -1.0 / ((x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))) + -1.0);
	} else {
		tmp = (0.041666666666666664 * (x * (x * (x * x)))) / x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.26d0) then
        tmp = (-1.0d0) / ((x * (0.5d0 + (x * (0.16666666666666666d0 + (x * 0.041666666666666664d0))))) + (-1.0d0))
    else
        tmp = (0.041666666666666664d0 * (x * (x * (x * x)))) / x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.26) {
		tmp = -1.0 / ((x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))) + -1.0);
	} else {
		tmp = (0.041666666666666664 * (x * (x * (x * x)))) / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.26:
		tmp = -1.0 / ((x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))) + -1.0)
	else:
		tmp = (0.041666666666666664 * (x * (x * (x * x)))) / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.26)
		tmp = Float64(-1.0 / Float64(Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * 0.041666666666666664))))) + -1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.041666666666666664 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))) / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.26)
		tmp = -1.0 / ((x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))) + -1.0);
	else
		tmp = (0.041666666666666664 * (x * (x * (x * x)))) / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.26], N[(-1.0 / N[(N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(x * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.041666666666666664 * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.26000000000000001

   1. Initial program 28.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 75.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Simplified 75.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}{x} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} + x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)}{\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot x}{\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\right), \left(\left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(x \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. swap-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \left(\frac{1}{6} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{24}\right)\right), x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. metadata-eval 75.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{576}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{24}, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   9. Applied egg-rr 75.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\frac{\left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right) \cdot x}{0.16666666666666666 + -0.041666666666666664 \cdot x}}\right)\right)}{x} \]

   11. Applied egg-rr 75.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) - 1}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) - 1}} \]

   12. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Simplified 76.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1}}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) - 1} \]

   if 1.26000000000000001 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 80.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Simplified 80.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}{x} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{4}\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({x}^{4}\right)\right), x\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({x}^{\left(3 + 1\right)}\right)\right), x\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({x}^{3} \cdot x\right)\right), x\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(x \cdot {x}^{3}\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right)\right), x\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 80.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 80.3%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.26:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + -1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 69.8% accurate, 6.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (*
   x
   (+
    1.0
    (* x (+ 0.5 (* x (+ 0.16666666666666666 (* x 0.041666666666666664)))))))
  x))

C

double code(double x) {
	return (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))))) / x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * (0.16666666666666666d0 + (x * 0.041666666666666664d0))))))) / x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))))) / x;
}

Python

def code(x):
	return (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))))) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * 0.041666666666666664))))))) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))))) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * N[(0.16666666666666666 + N[(x * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 46.1%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

   2. expm1-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

   3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 77.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

7. Simplified 77.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}{x} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 70.2% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 6.5:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 - x \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 6.5)
   (+ 1.0 (* x (- 0.5 (* x -0.16666666666666666))))
   (/ (* 0.041666666666666664 (* x (* x (* x x)))) x)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 6.5) {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 - (x * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = (0.041666666666666664 * (x * (x * (x * x)))) / x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 6.5d0) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (0.5d0 - (x * (-0.16666666666666666d0))))
    else
        tmp = (0.041666666666666664d0 * (x * (x * (x * x)))) / x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 6.5) {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 - (x * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = (0.041666666666666664 * (x * (x * (x * x)))) / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 6.5:
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 - (x * -0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = (0.041666666666666664 * (x * (x * (x * x)))) / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 6.5)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 - Float64(x * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.041666666666666664 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))) / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 6.5)
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 - (x * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = (0.041666666666666664 * (x * (x * (x * x)))) / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 6.5], N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 - N[(x * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.041666666666666664 * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 6.5

   1. Initial program 28.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval 76.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 - x \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   if 6.5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 80.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Simplified 80.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}{x} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{4}\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({x}^{4}\right)\right), x\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({x}^{\left(3 + 1\right)}\right)\right), x\right) \]

      3. pow-plus N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({x}^{3} \cdot x\right)\right), x\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(x \cdot {x}^{3}\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right)\right), x\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 80.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 80.3%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 68.0% accurate, 7.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2.0)
   1.0
   (* (* x x) (+ 0.16666666666666666 (* x 0.041666666666666664)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (x * x) * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2.0d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = (x * x) * (0.16666666666666666d0 + (x * 0.041666666666666664d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (x * x) * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 2.0:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = (x * x) * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * 0.041666666666666664)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = (x * x) * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2.0], 1.0, N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(x * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2

   1. Initial program 28.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 2 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 80.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Simplified 80.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}{x} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)} \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot x}\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right) + \color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot x\right) \]

      7. lft-mult-inverse N/A

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{24} \cdot x\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + \color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot x\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}} \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 70.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]

   10. Simplified 70.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 68.1% accurate, 8.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.9:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2.9) 1.0 (* 0.041666666666666664 (* x (* x x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.9) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = 0.041666666666666664 * (x * (x * x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2.9d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = 0.041666666666666664d0 * (x * (x * x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.9) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = 0.041666666666666664 * (x * (x * x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 2.9:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = 0.041666666666666664 * (x * (x * x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.9)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(0.041666666666666664 * Float64(x * Float64(x * x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.9)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = 0.041666666666666664 * (x * (x * x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2.9], 1.0, N[(0.041666666666666664 * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.89999999999999991

   1. Initial program 28.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 2.89999999999999991 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 80.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Simplified 80.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}{x} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot {x}^{3}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right) \]

      2. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 70.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 70.1%

       \[\leadsto \color{blue}{0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 63.7% accurate, 10.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.5:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2.5) 1.0 (* (* x x) 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.5) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2.5d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = (x * x) * 0.16666666666666666d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.5) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 2.5:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = (x * x) * 0.16666666666666666
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.5)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.5)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2.5], 1.0, N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.5

   1. Initial program 28.6%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 76.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 2.5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. expm1-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

      3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

      5. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} - \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. metadata-eval 55.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 55.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 - x \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 55.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right) \]

   10. Simplified 55.0%

       \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.5:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 67.0% accurate, 11.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ 1.0 (* x (* x (* x 0.041666666666666664)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 + (x * (x * (x * 0.041666666666666664)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 + (x * (x * (x * 0.041666666666666664d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 + (x * (x * (x * 0.041666666666666664)));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 + (x * (x * (x * 0.041666666666666664)))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.041666666666666664))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 + (x * (x * (x * 0.041666666666666664)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(x * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 46.1%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

   2. expm1-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

   3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{24} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 74.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 74.5%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 73.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 73.7%

    \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 51.1% accurate, 105.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 46.1%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x} - 1\right), \color{blue}{x}\right) \]

   2. expm1-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right), x\right) \]

   3. expm1-lowering-expm1.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{expm1.f64}\left(x\right), x\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 58.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
8. Add Preprocessing

Developer Target 1: 52.8% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - 1\\ \mathbf{if}\;x < 1 \land x > -1:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{\log \left(e^{x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) 1.0)))
   (if (and (< x 1.0) (> x -1.0)) (/ t_0 (log (exp x))) (/ t_0 x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - 1.0;
	double tmp;
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0)) {
		tmp = t_0 / log(exp(x));
	} else {
		tmp = t_0 / x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - 1.0d0
    if ((x < 1.0d0) .and. (x > (-1.0d0))) then
        tmp = t_0 / log(exp(x))
    else
        tmp = t_0 / x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - 1.0;
	double tmp;
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0)) {
		tmp = t_0 / Math.log(Math.exp(x));
	} else {
		tmp = t_0 / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - 1.0
	tmp = 0
	if (x < 1.0) and (x > -1.0):
		tmp = t_0 / math.log(math.exp(x))
	else:
		tmp = t_0 / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - 1.0)
	tmp = 0.0
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0))
		tmp = Float64(t_0 / log(exp(x)));
	else
		tmp = Float64(t_0 / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - 1.0;
	tmp = 0.0;
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0))
		tmp = t_0 / log(exp(x));
	else
		tmp = t_0 / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]}, If[And[Less[x, 1.0], Greater[x, -1.0]], N[(t$95$0 / N[Log[N[Exp[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / x), $MachinePrecision]]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024144 
(FPCore (x)
  :name "Kahan's exp quotient"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (and (< x 1) (> x -1)) (/ (- (exp x) 1) (log (exp x))) (/ (- (exp x) 1) x)))

  (/ (- (exp x) 1.0) x))