Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 13.4s

Alternatives: 16

Speedup: 9.2×

• 99.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

\[x \geq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Alternative 1: 100.0% accurate, 9.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{{e}^{\left(x \cdot x\right)}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ (/ (pow E (* x x)) (sqrt PI)) x)
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((pow(((double) M_E), (x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.pow(Math.E, (x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((math.pow(math.e, (x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64((exp(1) ^ Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((2.71828182845904523536 ^ (x * x)) / sqrt(pi)) / x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[E, N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{1 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(e^{1}\right)}^{\left(x \cdot x\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{1}\right), \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. exp-1-e N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{E}\left(\right), \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. E-lowering-E.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{E.f64}\left(\right), \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{E.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{e}^{\left(x \cdot x\right)}}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 9.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
  (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) x)))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / x);
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((exp((x * x)) / sqrt(pi)) / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

9. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.6% accurate, 9.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) x)
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / x) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / x) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / x) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((exp((x * x)) / sqrt(pi)) / x) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

9. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 99.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \color{blue}{\frac{0.75}{x \cdot x}}}{x \cdot x}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 9.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) x) (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / x) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / x) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / x) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / x) * Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((exp((x * x)) / sqrt(pi)) / x) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

9. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 99.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.5% accurate, 10.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) x))

C

double code(double x) {
	return (exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / x;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp((x * x)) / sqrt(pi)) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{x} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{x}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{{x}^{2}}}{x} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{x}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

   8. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot e^{x \cdot x}}{x}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x} \]

    2. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x} \]

    4. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x} \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{x}\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right) \]

    7. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right) \]

    9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f64 99.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right) \]

11. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 91.7% accurate, 11.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\\ t_2 := -1 - t\_1\\ \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(1 + t\_1\right) \cdot t\_2\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + x \cdot \left(x \cdot t\_2\right)}}{\sqrt{\pi}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot t\_0\right)}{\sqrt{\pi}}}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))
        (t_1 (* x (* x t_0)))
        (t_2 (- -1.0 t_1)))
   (if (<= x 3.2e+51)
     (*
      (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
      (/
       (/
        (*
         (+ 1.0 (* (* (* x x) (* x x)) (* (+ 1.0 t_1) t_2)))
         (/ 1.0 (+ 1.0 (* x (* x t_2)))))
        (sqrt PI))
       x))
     (/ (/ (+ 1.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) t_0)))) (sqrt PI)) x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	double t_1 = x * (x * t_0);
	double t_2 = -1.0 - t_1;
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((((1.0 + (((x * x) * (x * x)) * ((1.0 + t_1) * t_2))) * (1.0 / (1.0 + (x * (x * t_2))))) / sqrt(((double) M_PI))) / x);
	} else {
		tmp = ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_0)))) / sqrt(((double) M_PI))) / x;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	double t_1 = x * (x * t_0);
	double t_2 = -1.0 - t_1;
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((((1.0 + (((x * x) * (x * x)) * ((1.0 + t_1) * t_2))) * (1.0 / (1.0 + (x * (x * t_2))))) / Math.sqrt(Math.PI)) / x);
	} else {
		tmp = ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_0)))) / Math.sqrt(Math.PI)) / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)
	t_1 = x * (x * t_0)
	t_2 = -1.0 - t_1
	tmp = 0
	if x <= 3.2e+51:
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((((1.0 + (((x * x) * (x * x)) * ((1.0 + t_1) * t_2))) * (1.0 / (1.0 + (x * (x * t_2))))) / math.sqrt(math.pi)) / x)
	else:
		tmp = ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_0)))) / math.sqrt(math.pi)) / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * t_0))
	t_2 = Float64(-1.0 - t_1)
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(Float64(1.0 + t_1) * t_2))) * Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * t_2))))) / sqrt(pi)) / x));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * t_0)))) / sqrt(pi)) / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666);
	t_1 = x * (x * t_0);
	t_2 = -1.0 - t_1;
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((((1.0 + (((x * x) * (x * x)) * ((1.0 + t_1) * t_2))) * (1.0 / (1.0 + (x * (x * t_2))))) / sqrt(pi)) / x);
	else
		tmp = ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * t_0)))) / sqrt(pi)) / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(-1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 3.2e+51], N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * N[(x * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.2000000000000002e51

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      7. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 5.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 5.4%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 45.9%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 - x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

   if 3.2000000000000002e51 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      7. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \color{blue}{1}\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 91.7% accurate, 11.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\\ t_1 := x \cdot \left(x + x \cdot t\_0\right)\\ t_2 := 1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\\ t_3 := x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ t_4 := \sqrt{\frac{1}{\pi}}\\ t_5 := -1 - t\_3\\ \mathbf{if}\;x \leq 4 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \frac{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(1 + t\_3\right) \cdot t\_5\right)}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot t\_5\right)\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\pi}\right)}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \frac{t\_4 \cdot \frac{1 - t\_1 \cdot t\_1}{1 - t\_1}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_4 \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_0\right)\right)}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) 0.5))
        (t_1 (* x (+ x (* x t_0))))
        (t_2
         (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x))))
        (t_3 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))
        (t_4 (sqrt (/ 1.0 PI)))
        (t_5 (- -1.0 t_3)))
   (if (<= x 4e+38)
     (*
      t_2
      (/
       (+ 1.0 (* (* (* x x) (* x x)) (* (+ 1.0 t_3) t_5)))
       (* (+ 1.0 (* x (* x t_5))) (* x (sqrt PI)))))
     (if (<= x 1.35e+77)
       (* t_2 (/ (* t_4 (/ (- 1.0 (* t_1 t_1)) (- 1.0 t_1))) x))
       (/ (* t_4 (+ 1.0 (* (* x x) (+ 1.0 t_0)))) x)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * 0.5;
	double t_1 = x * (x + (x * t_0));
	double t_2 = 1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x));
	double t_3 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
	double t_4 = sqrt((1.0 / ((double) M_PI)));
	double t_5 = -1.0 - t_3;
	double tmp;
	if (x <= 4e+38) {
		tmp = t_2 * ((1.0 + (((x * x) * (x * x)) * ((1.0 + t_3) * t_5))) / ((1.0 + (x * (x * t_5))) * (x * sqrt(((double) M_PI)))));
	} else if (x <= 1.35e+77) {
		tmp = t_2 * ((t_4 * ((1.0 - (t_1 * t_1)) / (1.0 - t_1))) / x);
	} else {
		tmp = (t_4 * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + t_0)))) / x;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * 0.5;
	double t_1 = x * (x + (x * t_0));
	double t_2 = 1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x));
	double t_3 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
	double t_4 = Math.sqrt((1.0 / Math.PI));
	double t_5 = -1.0 - t_3;
	double tmp;
	if (x <= 4e+38) {
		tmp = t_2 * ((1.0 + (((x * x) * (x * x)) * ((1.0 + t_3) * t_5))) / ((1.0 + (x * (x * t_5))) * (x * Math.sqrt(Math.PI))));
	} else if (x <= 1.35e+77) {
		tmp = t_2 * ((t_4 * ((1.0 - (t_1 * t_1)) / (1.0 - t_1))) / x);
	} else {
		tmp = (t_4 * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + t_0)))) / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * 0.5
	t_1 = x * (x + (x * t_0))
	t_2 = 1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))
	t_3 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))
	t_4 = math.sqrt((1.0 / math.pi))
	t_5 = -1.0 - t_3
	tmp = 0
	if x <= 4e+38:
		tmp = t_2 * ((1.0 + (((x * x) * (x * x)) * ((1.0 + t_3) * t_5))) / ((1.0 + (x * (x * t_5))) * (x * math.sqrt(math.pi))))
	elif x <= 1.35e+77:
		tmp = t_2 * ((t_4 * ((1.0 - (t_1 * t_1)) / (1.0 - t_1))) / x)
	else:
		tmp = (t_4 * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + t_0)))) / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * 0.5)
	t_1 = Float64(x * Float64(x + Float64(x * t_0)))
	t_2 = Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x)))
	t_3 = Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))
	t_4 = sqrt(Float64(1.0 / pi))
	t_5 = Float64(-1.0 - t_3)
	tmp = 0.0
	if (x <= 4e+38)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(Float64(1.0 + t_3) * t_5))) / Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * t_5))) * Float64(x * sqrt(pi)))));
	elseif (x <= 1.35e+77)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(Float64(t_4 * Float64(Float64(1.0 - Float64(t_1 * t_1)) / Float64(1.0 - t_1))) / x));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_4 * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_0)))) / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * 0.5;
	t_1 = x * (x + (x * t_0));
	t_2 = 1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x));
	t_3 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
	t_4 = sqrt((1.0 / pi));
	t_5 = -1.0 - t_3;
	tmp = 0.0;
	if (x <= 4e+38)
		tmp = t_2 * ((1.0 + (((x * x) * (x * x)) * ((1.0 + t_3) * t_5))) / ((1.0 + (x * (x * t_5))) * (x * sqrt(pi))));
	elseif (x <= 1.35e+77)
		tmp = t_2 * ((t_4 * ((1.0 - (t_1 * t_1)) / (1.0 - t_1))) / x);
	else
		tmp = (t_4 * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + t_0)))) / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x + N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(-1.0 - t$95$3), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 4e+38], N[(t$95$2 * N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + t$95$3), $MachinePrecision] * t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + N[(x * N[(x * t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.35e+77], N[(t$95$2 * N[(N[(t$95$4 * N[(N[(1.0 - N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$4 * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 3.99999999999999991e38

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

      2. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      7. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 5.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 5.1%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-/l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 26.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\left(x \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \left(1 - x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

   if 3.99999999999999991e38 < x < 1.3499999999999999e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 4.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(1 + x \cdot x\right) + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-+l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(1 + \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 - \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\frac{1 - \left(x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right)}{1 - x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

   if 1.3499999999999999e77 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{x} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{x}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{{x}^{2}}}{x} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{x}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot e^{x \cdot x}}{x}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), x\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{x} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 89.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4 \cdot 10^{+38}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{\pi}\right)}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 - \left(x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right)}{1 - x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 87.6% accurate, 12.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\frac{1}{\pi}}\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\\ t_2 := x \cdot \left(x + x \cdot t\_1\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{t\_0 \cdot \frac{1 - t\_2 \cdot t\_2}{1 - t\_2}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0 \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_1\right)\right)}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (/ 1.0 PI)))
        (t_1 (* (* x x) 0.5))
        (t_2 (* x (+ x (* x t_1)))))
   (if (<= x 1.35e+77)
     (*
      (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
      (/ (* t_0 (/ (- 1.0 (* t_2 t_2)) (- 1.0 t_2))) x))
     (/ (* t_0 (+ 1.0 (* (* x x) (+ 1.0 t_1)))) x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sqrt((1.0 / ((double) M_PI)));
	double t_1 = (x * x) * 0.5;
	double t_2 = x * (x + (x * t_1));
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+77) {
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((t_0 * ((1.0 - (t_2 * t_2)) / (1.0 - t_2))) / x);
	} else {
		tmp = (t_0 * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + t_1)))) / x;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sqrt((1.0 / Math.PI));
	double t_1 = (x * x) * 0.5;
	double t_2 = x * (x + (x * t_1));
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+77) {
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((t_0 * ((1.0 - (t_2 * t_2)) / (1.0 - t_2))) / x);
	} else {
		tmp = (t_0 * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + t_1)))) / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sqrt((1.0 / math.pi))
	t_1 = (x * x) * 0.5
	t_2 = x * (x + (x * t_1))
	tmp = 0
	if x <= 1.35e+77:
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((t_0 * ((1.0 - (t_2 * t_2)) / (1.0 - t_2))) / x)
	else:
		tmp = (t_0 * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + t_1)))) / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sqrt(Float64(1.0 / pi))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * 0.5)
	t_2 = Float64(x * Float64(x + Float64(x * t_1)))
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+77)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(t_0 * Float64(Float64(1.0 - Float64(t_2 * t_2)) / Float64(1.0 - t_2))) / x));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_1)))) / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sqrt((1.0 / pi));
	t_1 = (x * x) * 0.5;
	t_2 = x * (x + (x * t_1));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.35e+77)
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((t_0 * ((1.0 - (t_2 * t_2)) / (1.0 - t_2))) / x);
	else
		tmp = (t_0 * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + t_1)))) / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(x * N[(x + N[(x * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 1.35e+77], N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$0 * N[(N[(1.0 - N[(t$95$2 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.3499999999999999e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(1 + x \cdot x\right) + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-+l+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(1 + \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 - \left(x \cdot x + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 49.5%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\frac{1 - \left(x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right)}{1 - x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

   if 1.3499999999999999e77 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{x} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{x}} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{{x}^{2}}}{x} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{x}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

      8. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot e^{x \cdot x}}{x}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), x\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 - \left(x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)\right)}{1 - x \cdot \left(x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 83.5% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{x \cdot \sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
  (/
   (+
    1.0
    (* x (* x (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))))
   (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / (x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / (x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / (x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (x * (x * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))) / (x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 81.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 81.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

13. Applied egg-rr 81.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{x \cdot \sqrt{\pi}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

14. Final simplification 81.9%

    \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)}{x \cdot \sqrt{\pi}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 83.6% accurate, 15.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x)))
  (/
   (/
    (+
     1.0
     (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))
    (sqrt PI))
   x)))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(((double) M_PI))) / x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / Math.sqrt(Math.PI)) / x);
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / math.sqrt(math.pi)) / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi)) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi)) / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 81.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 81.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

12. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 81.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 81.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right) \]

15. Final simplification 81.8%

    \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 11: 83.6% accurate, 15.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
  (/
   (/
    (+
     1.0
     (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))
    (sqrt PI))
   x)))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(((double) M_PI))) / x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / Math.sqrt(Math.PI)) / x);
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / math.sqrt(math.pi)) / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi)) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi)) / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 81.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 81.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

12. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{\color{blue}{x}}^{2}}\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 81.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 81.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)} \]

15. Final simplification 81.8%

    \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 12: 83.6% accurate, 16.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (+
    1.0
    (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))))
   (sqrt PI))
  x))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(((double) M_PI))) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / Math.sqrt(Math.PI)) / x;
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / math.sqrt(math.pi)) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi)) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))) / sqrt(pi)) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right) \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   7. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   12. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 81.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 81.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

12. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \color{blue}{1}\right) \]
13. Step-by-step derivation

14. Simplified 81.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \color{blue}{1} \]

15. Final simplification 81.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{x} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 13: 76.1% accurate, 17.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) 0.5))))) x))

C

double code(double x) {
	return (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * 0.5))))) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * 0.5))))) / x;
}

Python

def code(x):
	return (math.sqrt((1.0 / math.pi)) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * 0.5))))) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * 0.5))))) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (sqrt((1.0 / pi)) * (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * 0.5))))) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{x} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{x}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{{x}^{2}}}{x} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{x}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right), x\right) \]

   8. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot e^{x \cdot x}}{x}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), x\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 74.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

12. Simplified 74.7%

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{x} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 14: 68.3% accurate, 17.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \frac{1.25}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (* x (* x x))) (+ 0.5 (/ 1.25 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * (x * (x * x))) * (0.5 + (1.25 / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * (x * (x * x))) * (0.5 + (1.25 / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return (math.sqrt((1.0 / math.pi)) * (x * (x * x))) * (0.5 + (1.25 / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(x * Float64(x * x))) * Float64(0.5 + Float64(1.25 / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (sqrt((1.0 / pi)) * (x * (x * x))) * (0.5 + (1.25 / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(1.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 74.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(1 + x \cdot x\right) + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\left(\frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot {x}^{3}} \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot {x}^{3}\right) + \color{blue}{\left(\frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \cdot {x}^{3} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(\frac{5}{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \cdot {x}^{3} \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(\left(\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{3} \]

    5. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot {x}^{3}\right)} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \left(\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot \left({x}^{3} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

    7. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)} \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)}\right) \]

12. Simplified 69.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \frac{1.25}{x \cdot x}\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 15: 68.3% accurate, 18.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (* x (* (* x x) 0.5))))

C

double code(double x) {
	return sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * (x * ((x * x) * 0.5));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * (x * ((x * x) * 0.5));
}

Python

def code(x):
	return math.sqrt((1.0 / math.pi)) * (x * ((x * x) * 0.5))

Julia

function code(x)
	return Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(x * Float64(Float64(x * x) * 0.5)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sqrt((1.0 / pi)) * (x * ((x * x) * 0.5));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 74.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(1 + x \cdot x\right) + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{3}\right)} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{3}\right)}\right) \]

    4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

    7. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)\right)\right) \]

    9. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right), x\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right), x\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right), x\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 69.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right), x\right)\right) \]

12. Simplified 69.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right) \cdot x\right)} \]

13. Final simplification 69.6%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 16: 5.4% accurate, 20.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (sqrt PI)))

C

double code(double x) {
	return x / sqrt(((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return x / Math.sqrt(Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return x / math.sqrt(math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(x / sqrt(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / sqrt(pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left({x}^{2} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left({x}^{2} + 1\right)}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{{x}^{2} + 1}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\frac{{x}^{2} + 1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{{x}^{2} + 1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2} + 1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{{x}^{2} + 1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({x}^{2} + 1\right), x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + {x}^{2}\right), x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 53.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{1 + x \cdot x}{x}\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f64 5.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 5.6%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. sqrt-div N/A

       \[\leadsto x \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    3. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

    5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f64 5.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 5.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024144 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5"
  :precision binary64
  :pre (>= x 0.5)
  (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x)))) (+ (+ (+ (/ 1.0 (fabs x)) (* (/ 1.0 2.0) (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 3.0 4.0) (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 15.0 8.0) (* (* (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x)))))))