powComplex, imaginary part

Percentage Accurate: 40.2% → 74.2%

Time: 21.6s

Alternatives: 17

Speedup: 3.5×

• 36.0% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (sin (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * sin(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.sin(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.sin(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 40.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (sin (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * sin(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.sin(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.sin(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 74.2% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := \sin t\_1\\ t_3 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ t_4 := e^{y.re \cdot t\_3 - t\_0}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.08 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;t\_4 \cdot t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(t\_1 + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_4 \cdot \left(t\_2 + t\_3 \cdot \left(y.im \cdot \cos t\_1\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2 (sin t_1))
        (t_3 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))))
        (t_4 (exp (- (* y.re t_3) t_0))))
   (if (<= y.re -1.08e-47)
     (* t_4 t_2)
     (if (<= y.re 1e+110)
       (/
        (sin (+ t_1 (* y.im (log (hypot x.re x.im)))))
        (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (* t_4 (+ t_2 (* t_3 (* y.im (cos t_1)))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = sin(t_1);
	double t_3 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	double t_4 = exp(((y_46_re * t_3) - t_0));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.08e-47) {
		tmp = t_4 * t_2;
	} else if (y_46_re <= 1e+110) {
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_4 * (t_2 + (t_3 * (y_46_im * cos(t_1))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.sin(t_1);
	double t_3 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	double t_4 = Math.exp(((y_46_re * t_3) - t_0));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.08e-47) {
		tmp = t_4 * t_2;
	} else if (y_46_re <= 1e+110) {
		tmp = Math.sin((t_1 + (y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_4 * (t_2 + (t_3 * (y_46_im * Math.cos(t_1))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.sin(t_1)
	t_3 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	t_4 = math.exp(((y_46_re * t_3) - t_0))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.08e-47:
		tmp = t_4 * t_2
	elif y_46_re <= 1e+110:
		tmp = math.sin((t_1 + (y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = t_4 * (t_2 + (t_3 * (y_46_im * math.cos(t_1))))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = sin(t_1)
	t_3 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	t_4 = exp(Float64(Float64(y_46_re * t_3) - t_0))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.08e-47)
		tmp = Float64(t_4 * t_2);
	elseif (y_46_re <= 1e+110)
		tmp = Float64(sin(Float64(t_1 + Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(t_4 * Float64(t_2 + Float64(t_3 * Float64(y_46_im * cos(t_1)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = sin(t_1);
	t_3 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	t_4 = exp(((y_46_re * t_3) - t_0));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.08e-47)
		tmp = t_4 * t_2;
	elseif (y_46_re <= 1e+110)
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = t_4 * (t_2 + (t_3 * (y_46_im * cos(t_1))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Exp[N[(N[(y$46$re * t$95$3), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.08e-47], N[(t$95$4 * t$95$2), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1e+110], N[(N[Sin[N[(t$95$1 + N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$4 * N[(t$95$2 + N[(t$95$3 * N[(y$46$im * N[Cos[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -1.08000000000000005e-47

   1. Initial program 45.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 89.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.4%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -1.08000000000000005e-47 < y.re < 1e110

   1. Initial program 42.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 82.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   if 1e110 < y.re

   1. Initial program 30.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im} \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(\left(y.im \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot \color{blue}{\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(y.im \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \color{blue}{\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \log \color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 58.7%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \left(y.im \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.08 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot \left(y.im \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 73.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.08 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0} \cdot \sin t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5.5 \cdot 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(t\_1 + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im)) (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -1.08e-47)
     (*
      (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))
      (sin t_1))
     (if (<= y.re 5.5e+245)
       (/
        (sin (+ t_1 (* y.im (log (hypot x.re x.im)))))
        (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (* t_1 (pow (+ x.im (/ (* (* x.re x.re) 0.5) x.im)) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.08e-47) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * sin(t_1);
	} else if (y_46_re <= 5.5e+245) {
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_1 * pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.08e-47) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * Math.sin(t_1);
	} else if (y_46_re <= 5.5e+245) {
		tmp = Math.sin((t_1 + (y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_1 * Math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.08e-47:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * math.sin(t_1)
	elif y_46_re <= 5.5e+245:
		tmp = math.sin((t_1 + (y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = t_1 * math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.08e-47)
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * sin(t_1));
	elseif (y_46_re <= 5.5e+245)
		tmp = Float64(sin(Float64(t_1 + Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(t_1 * (Float64(x_46_im + Float64(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.08e-47)
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * sin(t_1);
	elseif (y_46_re <= 5.5e+245)
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = t_1 * ((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.08e-47], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 5.5e+245], N[(N[Sin[N[(t$95$1 + N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[Power[N[(x$46$im + N[(N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] / x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -1.08000000000000005e-47

   1. Initial program 45.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 89.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.4%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -1.08000000000000005e-47 < y.re < 5.4999999999999997e245

   1. Initial program 41.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 76.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   if 5.4999999999999997e245 < y.re

   1. Initial program 21.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 42.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 42.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(x.im + \frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)}, y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x.re}^{2}\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x.re \cdot x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 42.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 42.9%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\color{blue}{\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}}^{y.re} \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

       2. atan2-lowering-atan2.f64 57.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)}\right), y.re\right)\right) \]

   11. Simplified 57.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.08 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5.5 \cdot 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 73.1% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0} \cdot \sin t\_1\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.08 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(t\_1 + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{e^{t\_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2
         (*
          (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))
          (sin t_1))))
   (if (<= y.re -1.08e-47)
     t_2
     (if (<= y.re 2e+55)
       (/ (sin (+ t_1 (* y.im (log (hypot x.re x.im))))) (exp t_0))
       t_2))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * sin(t_1);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.08e-47) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_re <= 2e+55) {
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / exp(t_0);
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * Math.sin(t_1);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.08e-47) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_re <= 2e+55) {
		tmp = Math.sin((t_1 + (y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / Math.exp(t_0);
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * math.sin(t_1)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.08e-47:
		tmp = t_2
	elif y_46_re <= 2e+55:
		tmp = math.sin((t_1 + (y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / math.exp(t_0)
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * sin(t_1))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.08e-47)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_re <= 2e+55)
		tmp = Float64(sin(Float64(t_1 + Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / exp(t_0));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * sin(t_1);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.08e-47)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_re <= 2e+55)
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / exp(t_0);
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.08e-47], t$95$2, If[LessEqual[y$46$re, 2e+55], N[(N[Sin[N[(t$95$1 + N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -1.08000000000000005e-47 or 2.00000000000000002e55 < y.re

   1. Initial program 40.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 74.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 74.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -1.08000000000000005e-47 < y.re < 2.00000000000000002e55

   1. Initial program 41.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 82.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 82.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 82.7%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.08 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 71.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -8 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\sin t\_1 \cdot {\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.85 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(t\_1 + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot {\left(\sqrt{t\_0}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))) (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -8e-17)
     (* (sin t_1) (pow (* t_0 t_0) (* y.re 0.25)))
     (if (<= y.re 1.85e+59)
       (/
        (sin (+ t_1 (* y.im (log (hypot x.re x.im)))))
        (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
       (* t_1 (pow (sqrt t_0) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -8e-17) {
		tmp = sin(t_1) * pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	} else if (y_46_re <= 1.85e+59) {
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else {
		tmp = t_1 * pow(sqrt(t_0), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -8e-17) {
		tmp = Math.sin(t_1) * Math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	} else if (y_46_re <= 1.85e+59) {
		tmp = Math.sin((t_1 + (y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else {
		tmp = t_1 * Math.pow(Math.sqrt(t_0), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -8e-17:
		tmp = math.sin(t_1) * math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25))
	elif y_46_re <= 1.85e+59:
		tmp = math.sin((t_1 + (y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	else:
		tmp = t_1 * math.pow(math.sqrt(t_0), y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -8e-17)
		tmp = Float64(sin(t_1) * (Float64(t_0 * t_0) ^ Float64(y_46_re * 0.25)));
	elseif (y_46_re <= 1.85e+59)
		tmp = Float64(sin(Float64(t_1 + Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)));
	else
		tmp = Float64(t_1 * (sqrt(t_0) ^ y_46_re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -8e-17)
		tmp = sin(t_1) * ((t_0 * t_0) ^ (y_46_re * 0.25));
	elseif (y_46_re <= 1.85e+59)
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	else
		tmp = t_1 * (sqrt(t_0) ^ y_46_re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -8e-17], N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] * N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], N[(y$46$re * 0.25), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.85e+59], N[(N[Sin[N[(t$95$1 + N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[Power[N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -8.00000000000000057e-17

   1. Initial program 45.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 81.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      3. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. pow-unpow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot y.re\right)}}\right)\right) \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{2}{y.re}}}\right)}\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 81.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 81.9%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}} \]

   if -8.00000000000000057e-17 < y.re < 1.84999999999999999e59

   1. Initial program 41.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 82.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 81.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 81.7%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 1.84999999999999999e59 < y.re

   1. Initial program 35.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 52.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 54.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 54.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 75.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -8 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.85 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 65.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_1 := \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ t_2 := t\_1 \cdot {\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ t_3 := e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -38000:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -6.5 \cdot 10^{-135}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{t\_3}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.55 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{t\_3}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.18 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{t\_3}{{t\_0}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))
        (t_1 (sin (* y.re (atan2 x.im x.re))))
        (t_2 (* t_1 (pow (* t_0 t_0) (* y.re 0.25))))
        (t_3 (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im))))
   (if (<= y.re -38000.0)
     t_2
     (if (<= y.re -6.5e-135)
       (/ t_1 (/ t_3 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (if (<= y.re 3.55e-65)
         (/ (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))) t_3)
         (if (<= y.re 1.18e+55)
           (/ t_1 (/ t_3 (pow t_0 (/ y.re 2.0))))
           t_2))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_2 = t_1 * pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	double t_3 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -38000.0) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_re <= -6.5e-135) {
		tmp = t_1 / (t_3 / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (y_46_re <= 3.55e-65) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_3;
	} else if (y_46_re <= 1.18e+55) {
		tmp = t_1 / (t_3 / pow(t_0, (y_46_re / 2.0)));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_2 = t_1 * Math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	double t_3 = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -38000.0) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_re <= -6.5e-135) {
		tmp = t_1 / (t_3 / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (y_46_re <= 3.55e-65) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_3;
	} else if (y_46_re <= 1.18e+55) {
		tmp = t_1 / (t_3 / Math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_1 = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	t_2 = t_1 * math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25))
	t_3 = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -38000.0:
		tmp = t_2
	elif y_46_re <= -6.5e-135:
		tmp = t_1 / (t_3 / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	elif y_46_re <= 3.55e-65:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_3
	elif y_46_re <= 1.18e+55:
		tmp = t_1 / (t_3 / math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_1 = sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))
	t_2 = Float64(t_1 * (Float64(t_0 * t_0) ^ Float64(y_46_re * 0.25)))
	t_3 = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -38000.0)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_re <= -6.5e-135)
		tmp = Float64(t_1 / Float64(t_3 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	elseif (y_46_re <= 3.55e-65)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_3);
	elseif (y_46_re <= 1.18e+55)
		tmp = Float64(t_1 / Float64(t_3 / (t_0 ^ Float64(y_46_re / 2.0))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_1 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	t_2 = t_1 * ((t_0 * t_0) ^ (y_46_re * 0.25));
	t_3 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -38000.0)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_re <= -6.5e-135)
		tmp = t_1 / (t_3 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 3.55e-65)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_3;
	elseif (y_46_re <= 1.18e+55)
		tmp = t_1 / (t_3 / (t_0 ^ (y_46_re / 2.0)));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 * N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], N[(y$46$re * 0.25), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -38000.0], t$95$2, If[LessEqual[y$46$re, -6.5e-135], N[(t$95$1 / N[(t$95$3 / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.55e-65], N[(N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$3), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.18e+55], N[(t$95$1 / N[(t$95$3 / N[Power[t$95$0, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$2]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y.re < -38000 or 1.1799999999999999e55 < y.re

   1. Initial program 40.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 69.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 69.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      3. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. pow-unpow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot y.re\right)}}\right)\right) \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{2}{y.re}}}\right)}\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 69.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 69.2%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}} \]

   if -38000 < y.re < -6.50000000000000056e-135

   1. Initial program 45.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 81.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 80.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if -6.50000000000000056e-135 < y.re < 3.55000000000000014e-65

   1. Initial program 39.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 85.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 70.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 70.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 3.55000000000000014e-65 < y.re < 1.1799999999999999e55

   1. Initial program 47.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 70.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 48.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}}\right)\right) \]

      2. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{\mathsf{neg}\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. distribute-neg-frac2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\log 1 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\log \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\log \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right), \left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\log 1, \left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 63.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{-\left(0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 68.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -38000:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -6.5 \cdot 10^{-135}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.55 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.18 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 65.3% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := \sin t\_1\\ t_3 := t\_2 \cdot {\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ t_4 := e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.35:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.8 \cdot 10^{-137}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{t\_4}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5.2 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{t\_4}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.18 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{\frac{t\_4}{{t\_0}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2 (sin t_1))
        (t_3 (* t_2 (pow (* t_0 t_0) (* y.re 0.25))))
        (t_4 (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im))))
   (if (<= y.re -1.35)
     t_3
     (if (<= y.re -2.8e-137)
       (/ t_1 t_4)
       (if (<= y.re 5.2e-65)
         (/ (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))) t_4)
         (if (<= y.re 1.18e+55)
           (/ t_2 (/ t_4 (pow t_0 (/ y.re 2.0))))
           t_3))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = sin(t_1);
	double t_3 = t_2 * pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	double t_4 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.35) {
		tmp = t_3;
	} else if (y_46_re <= -2.8e-137) {
		tmp = t_1 / t_4;
	} else if (y_46_re <= 5.2e-65) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_4;
	} else if (y_46_re <= 1.18e+55) {
		tmp = t_2 / (t_4 / pow(t_0, (y_46_re / 2.0)));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.sin(t_1);
	double t_3 = t_2 * Math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	double t_4 = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.35) {
		tmp = t_3;
	} else if (y_46_re <= -2.8e-137) {
		tmp = t_1 / t_4;
	} else if (y_46_re <= 5.2e-65) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_4;
	} else if (y_46_re <= 1.18e+55) {
		tmp = t_2 / (t_4 / Math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.sin(t_1)
	t_3 = t_2 * math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25))
	t_4 = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.35:
		tmp = t_3
	elif y_46_re <= -2.8e-137:
		tmp = t_1 / t_4
	elif y_46_re <= 5.2e-65:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_4
	elif y_46_re <= 1.18e+55:
		tmp = t_2 / (t_4 / math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)))
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = sin(t_1)
	t_3 = Float64(t_2 * (Float64(t_0 * t_0) ^ Float64(y_46_re * 0.25)))
	t_4 = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.35)
		tmp = t_3;
	elseif (y_46_re <= -2.8e-137)
		tmp = Float64(t_1 / t_4);
	elseif (y_46_re <= 5.2e-65)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_4);
	elseif (y_46_re <= 1.18e+55)
		tmp = Float64(t_2 / Float64(t_4 / (t_0 ^ Float64(y_46_re / 2.0))));
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = sin(t_1);
	t_3 = t_2 * ((t_0 * t_0) ^ (y_46_re * 0.25));
	t_4 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.35)
		tmp = t_3;
	elseif (y_46_re <= -2.8e-137)
		tmp = t_1 / t_4;
	elseif (y_46_re <= 5.2e-65)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_4;
	elseif (y_46_re <= 1.18e+55)
		tmp = t_2 / (t_4 / (t_0 ^ (y_46_re / 2.0)));
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$2 * N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], N[(y$46$re * 0.25), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.35], t$95$3, If[LessEqual[y$46$re, -2.8e-137], N[(t$95$1 / t$95$4), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 5.2e-65], N[(N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$4), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.18e+55], N[(t$95$2 / N[(t$95$4 / N[Power[t$95$0, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y.re < -1.3500000000000001 or 1.1799999999999999e55 < y.re

   1. Initial program 40.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 69.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 69.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      3. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. pow-unpow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot y.re\right)}}\right)\right) \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{2}{y.re}}}\right)}\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 69.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 69.7%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}} \]

   if -1.3500000000000001 < y.re < -2.7999999999999999e-137

   1. Initial program 44.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 79.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 78.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      6. atan2-lowering-atan2.f64 78.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 78.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if -2.7999999999999999e-137 < y.re < 5.20000000000000019e-65

   1. Initial program 39.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 85.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 70.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 70.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 5.20000000000000019e-65 < y.re < 1.1799999999999999e55

   1. Initial program 47.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 70.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 48.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}}\right)\right) \]

      2. distribute-frac-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{\mathsf{neg}\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. distribute-neg-frac2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right)\right) \]

      5. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\log 1 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\log \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\log \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right), \left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\log 1, \left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 63.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{-\left(0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 67.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.35:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.8 \cdot 10^{-137}:\\ \;\;\;\;\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5.2 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.18 \cdot 10^{+55}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 65.3% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_1 := e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ t_2 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.65:\\ \;\;\;\;\sin t\_2 \cdot {\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1.45 \cdot 10^{-136}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.2 \cdot 10^{-87}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.8 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot {\left(\sqrt{t\_0}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))
        (t_1 (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
        (t_2 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -1.65)
     (* (sin t_2) (pow (* t_0 t_0) (* y.re 0.25)))
     (if (<= y.re -1.45e-136)
       (/ t_2 t_1)
       (if (<= y.re 4.2e-87)
         (/ (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))) t_1)
         (if (<= y.re 4.8e+58)
           (*
            y.re
            (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
           (* t_2 (pow (sqrt t_0) y.re))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double t_2 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.65) {
		tmp = sin(t_2) * pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	} else if (y_46_re <= -1.45e-136) {
		tmp = t_2 / t_1;
	} else if (y_46_re <= 4.2e-87) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_1;
	} else if (y_46_re <= 4.8e+58) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_2 * pow(sqrt(t_0), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double t_2 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.65) {
		tmp = Math.sin(t_2) * Math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	} else if (y_46_re <= -1.45e-136) {
		tmp = t_2 / t_1;
	} else if (y_46_re <= 4.2e-87) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_1;
	} else if (y_46_re <= 4.8e+58) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_2 * Math.pow(Math.sqrt(t_0), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_1 = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	t_2 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.65:
		tmp = math.sin(t_2) * math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25))
	elif y_46_re <= -1.45e-136:
		tmp = t_2 / t_1
	elif y_46_re <= 4.2e-87:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_1
	elif y_46_re <= 4.8e+58:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = t_2 * math.pow(math.sqrt(t_0), y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_1 = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	t_2 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.65)
		tmp = Float64(sin(t_2) * (Float64(t_0 * t_0) ^ Float64(y_46_re * 0.25)));
	elseif (y_46_re <= -1.45e-136)
		tmp = Float64(t_2 / t_1);
	elseif (y_46_re <= 4.2e-87)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_1);
	elseif (y_46_re <= 4.8e+58)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = Float64(t_2 * (sqrt(t_0) ^ y_46_re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_1 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	t_2 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.65)
		tmp = sin(t_2) * ((t_0 * t_0) ^ (y_46_re * 0.25));
	elseif (y_46_re <= -1.45e-136)
		tmp = t_2 / t_1;
	elseif (y_46_re <= 4.2e-87)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_1;
	elseif (y_46_re <= 4.8e+58)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = t_2 * (sqrt(t_0) ^ y_46_re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.65], N[(N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision] * N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], N[(y$46$re * 0.25), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -1.45e-136], N[(t$95$2 / t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 4.2e-87], N[(N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 4.8e+58], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 * N[Power[N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y.re < -1.6499999999999999

   1. Initial program 45.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 83.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 83.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      3. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. pow-unpow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot y.re\right)}}\right)\right) \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{2}{y.re}}}\right)}\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 83.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 83.0%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}} \]

   if -1.6499999999999999 < y.re < -1.44999999999999997e-136

   1. Initial program 44.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 79.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 78.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      6. atan2-lowering-atan2.f64 78.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 78.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if -1.44999999999999997e-136 < y.re < 4.20000000000000014e-87

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 85.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 71.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 71.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 4.20000000000000014e-87 < y.re < 4.8e58

   1. Initial program 41.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 38.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.9%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 56.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 56.8%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if 4.8e58 < y.re

   1. Initial program 35.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 52.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 54.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 54.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 70.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.65:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1.45 \cdot 10^{-136}:\\ \;\;\;\;\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.2 \cdot 10^{-87}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.8 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 65.1% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_1 := e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ t_2 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -4.4:\\ \;\;\;\;\sin t\_2 \cdot {\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.6 \cdot 10^{-137}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.35 \cdot 10^{-104}:\\ \;\;\;\;\frac{y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 7 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot {\left(\sqrt{t\_0}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))
        (t_1 (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
        (t_2 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -4.4)
     (* (sin t_2) (pow (* t_0 t_0) (* y.re 0.25)))
     (if (<= y.re -2.6e-137)
       (/ t_2 t_1)
       (if (<= y.re 1.35e-104)
         (/ (* y.im (log (hypot x.im x.re))) t_1)
         (if (<= y.re 7e+58)
           (*
            y.re
            (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
           (* t_2 (pow (sqrt t_0) y.re))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double t_2 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.4) {
		tmp = sin(t_2) * pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	} else if (y_46_re <= -2.6e-137) {
		tmp = t_2 / t_1;
	} else if (y_46_re <= 1.35e-104) {
		tmp = (y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))) / t_1;
	} else if (y_46_re <= 7e+58) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_2 * pow(sqrt(t_0), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double t_2 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.4) {
		tmp = Math.sin(t_2) * Math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	} else if (y_46_re <= -2.6e-137) {
		tmp = t_2 / t_1;
	} else if (y_46_re <= 1.35e-104) {
		tmp = (y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))) / t_1;
	} else if (y_46_re <= 7e+58) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_2 * Math.pow(Math.sqrt(t_0), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_1 = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	t_2 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -4.4:
		tmp = math.sin(t_2) * math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25))
	elif y_46_re <= -2.6e-137:
		tmp = t_2 / t_1
	elif y_46_re <= 1.35e-104:
		tmp = (y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))) / t_1
	elif y_46_re <= 7e+58:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = t_2 * math.pow(math.sqrt(t_0), y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_1 = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	t_2 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -4.4)
		tmp = Float64(sin(t_2) * (Float64(t_0 * t_0) ^ Float64(y_46_re * 0.25)));
	elseif (y_46_re <= -2.6e-137)
		tmp = Float64(t_2 / t_1);
	elseif (y_46_re <= 1.35e-104)
		tmp = Float64(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))) / t_1);
	elseif (y_46_re <= 7e+58)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = Float64(t_2 * (sqrt(t_0) ^ y_46_re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_1 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	t_2 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -4.4)
		tmp = sin(t_2) * ((t_0 * t_0) ^ (y_46_re * 0.25));
	elseif (y_46_re <= -2.6e-137)
		tmp = t_2 / t_1;
	elseif (y_46_re <= 1.35e-104)
		tmp = (y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))) / t_1;
	elseif (y_46_re <= 7e+58)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = t_2 * (sqrt(t_0) ^ y_46_re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -4.4], N[(N[Sin[t$95$2], $MachinePrecision] * N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], N[(y$46$re * 0.25), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -2.6e-137], N[(t$95$2 / t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.35e-104], N[(N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 7e+58], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 * N[Power[N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y.re < -4.4000000000000004

   1. Initial program 45.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 83.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 83.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      3. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. pow-unpow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot y.re\right)}}\right)\right) \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{2}{y.re}}}\right)}\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 83.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 83.0%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}} \]

   if -4.4000000000000004 < y.re < -2.6e-137

   1. Initial program 44.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 79.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 78.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      6. atan2-lowering-atan2.f64 78.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 78.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if -2.6e-137 < y.re < 1.3499999999999999e-104

   1. Initial program 40.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 86.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 86.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 86.4%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 72.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 72.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

       2. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

       5. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{x.im}, x.re\right)\right)\right)\right) \]

       6. hypot-lowering-hypot.f64 70.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{x.im}, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 70.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]

   if 1.3499999999999999e-104 < y.re < 6.9999999999999995e58

   1. Initial program 39.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 37.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 37.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 54.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if 6.9999999999999995e58 < y.re

   1. Initial program 35.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 52.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 54.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 54.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 69.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -4.4:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.6 \cdot 10^{-137}:\\ \;\;\;\;\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.35 \cdot 10^{-104}:\\ \;\;\;\;\frac{y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 7 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 57.4% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2.6:\\ \;\;\;\;\sin t\_1 \cdot {\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.1 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot {\left(\sqrt{t\_0}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))) (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -2.6)
     (* (sin t_1) (pow (* t_0 t_0) (* y.re 0.25)))
     (if (<= y.re 4.1e+58)
       (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
       (* t_1 (pow (sqrt t_0) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.6) {
		tmp = sin(t_1) * pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	} else if (y_46_re <= 4.1e+58) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_1 * pow(sqrt(t_0), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)
    t_1 = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    if (y_46re <= (-2.6d0)) then
        tmp = sin(t_1) * ((t_0 * t_0) ** (y_46re * 0.25d0))
    else if (y_46re <= 4.1d+58) then
        tmp = y_46re * (atan2(x_46im, x_46re) * exp((atan2(x_46im, x_46re) * (0.0d0 - y_46im))))
    else
        tmp = t_1 * (sqrt(t_0) ** y_46re)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.6) {
		tmp = Math.sin(t_1) * Math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25));
	} else if (y_46_re <= 4.1e+58) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_1 * Math.pow(Math.sqrt(t_0), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -2.6:
		tmp = math.sin(t_1) * math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re * 0.25))
	elif y_46_re <= 4.1e+58:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = t_1 * math.pow(math.sqrt(t_0), y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -2.6)
		tmp = Float64(sin(t_1) * (Float64(t_0 * t_0) ^ Float64(y_46_re * 0.25)));
	elseif (y_46_re <= 4.1e+58)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = Float64(t_1 * (sqrt(t_0) ^ y_46_re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -2.6)
		tmp = sin(t_1) * ((t_0 * t_0) ^ (y_46_re * 0.25));
	elseif (y_46_re <= 4.1e+58)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = t_1 * (sqrt(t_0) ^ y_46_re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -2.6], N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] * N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], N[(y$46$re * 0.25), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 4.1e+58], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[Power[N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -2.60000000000000009

   1. Initial program 45.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 83.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 83.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)} \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      3. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. pow-unpow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot y.re\right)}}\right)\right) \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{2}{y.re}}}\right)}\right)\right) \]

      6. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{2}}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{y.re}}\right)\right)\right) \]

      14. associate-/r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{2}}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval 83.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \frac{1}{4}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 83.0%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}} \]

   if -2.60000000000000009 < y.re < 4.1e58

   1. Initial program 41.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 38.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.1%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if 4.1e58 < y.re

   1. Initial program 35.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 52.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 54.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 54.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2.6:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(y.re \cdot 0.25\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.1 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 57.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.8:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.6 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* y.re (atan2 x.im x.re))
          (pow (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))) y.re))))
   (if (<= y.re -1.8)
     t_0
     (if (<= y.re 4.6e+60)
       (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
       t_0))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)) * pow(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.8) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 4.6e+60) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (y_46re * atan2(x_46im, x_46re)) * (sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))) ** y_46re)
    if (y_46re <= (-1.8d0)) then
        tmp = t_0
    else if (y_46re <= 4.6d+60) then
        tmp = y_46re * (atan2(x_46im, x_46re) * exp((atan2(x_46im, x_46re) * (0.0d0 - y_46im))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)) * Math.pow(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.8) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 4.6e+60) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)) * math.pow(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.8:
		tmp = t_0
	elif y_46_re <= 4.6e+60:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)) * (sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))) ^ y_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.8)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 4.6e+60)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)) * (sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))) ^ y_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.8)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 4.6e+60)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Power[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.8], t$95$0, If[LessEqual[y$46$re, 4.6e+60], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -1.80000000000000004 or 4.60000000000000034e60 < y.re

   1. Initial program 40.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 67.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 67.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \]

   if -1.80000000000000004 < y.re < 4.60000000000000034e60

   1. Initial program 41.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 38.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.1%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 63.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.8:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4.6 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 51.3% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -7.8:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot {x.re}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5.2 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -7.8)
     (* (sin t_0) (pow x.re y.re))
     (if (<= y.re 5.2e+59)
       (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
       (* t_0 (pow (+ x.im (/ (* (* x.re x.re) 0.5) x.im)) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -7.8) {
		tmp = sin(t_0) * pow(x_46_re, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 5.2e+59) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_0 * pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    if (y_46re <= (-7.8d0)) then
        tmp = sin(t_0) * (x_46re ** y_46re)
    else if (y_46re <= 5.2d+59) then
        tmp = y_46re * (atan2(x_46im, x_46re) * exp((atan2(x_46im, x_46re) * (0.0d0 - y_46im))))
    else
        tmp = t_0 * ((x_46im + (((x_46re * x_46re) * 0.5d0) / x_46im)) ** y_46re)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -7.8) {
		tmp = Math.sin(t_0) * Math.pow(x_46_re, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 5.2e+59) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_0 * Math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -7.8:
		tmp = math.sin(t_0) * math.pow(x_46_re, y_46_re)
	elif y_46_re <= 5.2e+59:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = t_0 * math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -7.8)
		tmp = Float64(sin(t_0) * (x_46_re ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 5.2e+59)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = Float64(t_0 * (Float64(x_46_im + Float64(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -7.8)
		tmp = sin(t_0) * (x_46_re ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= 5.2e+59)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = t_0 * ((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -7.8], N[(N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision] * N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 5.2e+59], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[Power[N[(x$46$im + N[(N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] / x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -7.79999999999999982

   1. Initial program 45.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 83.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 83.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.re}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.re}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 73.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.re, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 73.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]

   if -7.79999999999999982 < y.re < 5.19999999999999999e59

   1. Initial program 41.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 38.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.1%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if 5.19999999999999999e59 < y.re

   1. Initial program 35.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 52.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(x.im + \frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)}, y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x.re}^{2}\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x.re \cdot x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 49.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 49.3%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\color{blue}{\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}}^{y.re} \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

       2. atan2-lowering-atan2.f64 51.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)}\right), y.re\right)\right) \]

   11. Simplified 51.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 60.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -7.8:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5.2 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 44.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_1 := \sin t\_0\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -0.034:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot {x.re}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -9 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.95 \cdot 10^{-87}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re))) (t_1 (sin t_0)))
   (if (<= y.re -0.034)
     (* t_1 (pow x.re y.re))
     (if (<= y.re -9e-139)
       t_1
       (if (<= y.re 1.95e-87)
         (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re))))
         (if (<= y.re 2.4e+14)
           t_1
           (* t_0 (pow (+ x.im (/ (* (* x.re x.re) 0.5) x.im)) y.re))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = sin(t_0);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -0.034) {
		tmp = t_1 * pow(x_46_re, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= -9e-139) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 1.95e-87) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	} else if (y_46_re <= 2.4e+14) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = t_0 * pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = Math.sin(t_0);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -0.034) {
		tmp = t_1 * Math.pow(x_46_re, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= -9e-139) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 1.95e-87) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	} else if (y_46_re <= 2.4e+14) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = t_0 * Math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_1 = math.sin(t_0)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -0.034:
		tmp = t_1 * math.pow(x_46_re, y_46_re)
	elif y_46_re <= -9e-139:
		tmp = t_1
	elif y_46_re <= 1.95e-87:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	elif y_46_re <= 2.4e+14:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = t_0 * math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = sin(t_0)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -0.034)
		tmp = Float64(t_1 * (x_46_re ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= -9e-139)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 1.95e-87)
		tmp = sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	elseif (y_46_re <= 2.4e+14)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = Float64(t_0 * (Float64(x_46_im + Float64(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_1 = sin(t_0);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -0.034)
		tmp = t_1 * (x_46_re ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= -9e-139)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 1.95e-87)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	elseif (y_46_re <= 2.4e+14)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = t_0 * ((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -0.034], N[(t$95$1 * N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -9e-139], t$95$1, If[LessEqual[y$46$re, 1.95e-87], N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.4e+14], t$95$1, N[(t$95$0 * N[Power[N[(x$46$im + N[(N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] / x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y.re < -0.034000000000000002

   1. Initial program 45.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 83.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 83.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.re}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.re}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 73.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.re, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 73.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]

   if -0.034000000000000002 < y.re < -9.00000000000000046e-139 or 1.9499999999999999e-87 < y.re < 2.4e14

   1. Initial program 47.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 78.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 78.8%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 40.5%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 40.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -9.00000000000000046e-139 < y.re < 1.9499999999999999e-87

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 85.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 71.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 71.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 37.1%

       \[\leadsto \frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\color{blue}{1}} \]

   if 2.4e14 < y.re

   1. Initial program 32.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 50.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(x.im + \frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)}, y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x.re}^{2}\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x.re \cdot x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 46.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 46.9%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\color{blue}{\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}}^{y.re} \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

       2. atan2-lowering-atan2.f64 48.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)}\right), y.re\right)\right) \]

   11. Simplified 48.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}^{y.re} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 50.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -0.034:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -9 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.95 \cdot 10^{-87}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 48.3% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_1 := \sin t\_0\\ t_2 := t\_0 \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -15:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.8 \cdot 10^{-138}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.45 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_1 (sin t_0))
        (t_2 (* t_0 (pow (+ x.im (/ (* (* x.re x.re) 0.5) x.im)) y.re))))
   (if (<= y.re -15.0)
     t_2
     (if (<= y.re -2.8e-138)
       t_1
       (if (<= y.re 1.45e-84)
         (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re))))
         (if (<= y.re 2.4e+14) t_1 t_2))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = sin(t_0);
	double t_2 = t_0 * pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -15.0) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_re <= -2.8e-138) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 1.45e-84) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	} else if (y_46_re <= 2.4e+14) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = Math.sin(t_0);
	double t_2 = t_0 * Math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -15.0) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_re <= -2.8e-138) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 1.45e-84) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	} else if (y_46_re <= 2.4e+14) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_1 = math.sin(t_0)
	t_2 = t_0 * math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -15.0:
		tmp = t_2
	elif y_46_re <= -2.8e-138:
		tmp = t_1
	elif y_46_re <= 1.45e-84:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	elif y_46_re <= 2.4e+14:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = sin(t_0)
	t_2 = Float64(t_0 * (Float64(x_46_im + Float64(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -15.0)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_re <= -2.8e-138)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 1.45e-84)
		tmp = sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	elseif (y_46_re <= 2.4e+14)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_1 = sin(t_0);
	t_2 = t_0 * ((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -15.0)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_re <= -2.8e-138)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 1.45e-84)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	elseif (y_46_re <= 2.4e+14)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 * N[Power[N[(x$46$im + N[(N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] / x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -15.0], t$95$2, If[LessEqual[y$46$re, -2.8e-138], t$95$1, If[LessEqual[y$46$re, 1.45e-84], N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.4e+14], t$95$1, t$95$2]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -15 or 2.4e14 < y.re

   1. Initial program 38.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 67.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 67.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(x.im + \frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)}, y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x.re}^{2}\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x.re \cdot x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 59.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 59.8%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\color{blue}{\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}}^{y.re} \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

       2. atan2-lowering-atan2.f64 58.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)}\right), y.re\right)\right) \]

   11. Simplified 58.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}^{y.re} \]

   if -15 < y.re < -2.80000000000000001e-138 or 1.4500000000000001e-84 < y.re < 2.4e14

   1. Initial program 48.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 77.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 77.3%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 39.8%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 39.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -2.80000000000000001e-138 < y.re < 1.4500000000000001e-84

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 85.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 71.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 71.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 37.1%

       \[\leadsto \frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\color{blue}{1}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 48.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -15:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.8 \cdot 10^{-138}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.45 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 51.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -14.5:\\ \;\;\;\;\sin t\_0 \cdot {x.re}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 7.5 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -14.5)
     (* (sin t_0) (pow x.re y.re))
     (if (<= y.re 7.5e+59)
       (/ t_0 (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
       (* t_0 (pow (+ x.im (/ (* (* x.re x.re) 0.5) x.im)) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -14.5) {
		tmp = sin(t_0) * pow(x_46_re, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 7.5e+59) {
		tmp = t_0 / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else {
		tmp = t_0 * pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    if (y_46re <= (-14.5d0)) then
        tmp = sin(t_0) * (x_46re ** y_46re)
    else if (y_46re <= 7.5d+59) then
        tmp = t_0 / exp((atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))
    else
        tmp = t_0 * ((x_46im + (((x_46re * x_46re) * 0.5d0) / x_46im)) ** y_46re)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -14.5) {
		tmp = Math.sin(t_0) * Math.pow(x_46_re, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 7.5e+59) {
		tmp = t_0 / Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else {
		tmp = t_0 * Math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -14.5:
		tmp = math.sin(t_0) * math.pow(x_46_re, y_46_re)
	elif y_46_re <= 7.5e+59:
		tmp = t_0 / math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	else:
		tmp = t_0 * math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -14.5)
		tmp = Float64(sin(t_0) * (x_46_re ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 7.5e+59)
		tmp = Float64(t_0 / exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)));
	else
		tmp = Float64(t_0 * (Float64(x_46_im + Float64(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -14.5)
		tmp = sin(t_0) * (x_46_re ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= 7.5e+59)
		tmp = t_0 / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	else
		tmp = t_0 * ((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -14.5], N[(N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision] * N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 7.5e+59], N[(t$95$0 / N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[Power[N[(x$46$im + N[(N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] / x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -14.5

   1. Initial program 45.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 83.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 83.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({x.re}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{x.re}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({x.re}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 73.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x.re, \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 73.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}} \]

   if -14.5 < y.re < 7.4999999999999996e59

   1. Initial program 41.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      6. atan2-lowering-atan2.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 7.4999999999999996e59 < y.re

   1. Initial program 35.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 52.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(x.im + \frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)}, y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x.re}^{2}\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x.re \cdot x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 49.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 49.3%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\color{blue}{\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}}^{y.re} \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

       2. atan2-lowering-atan2.f64 51.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)}\right), y.re\right)\right) \]

   11. Simplified 51.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 60.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -14.5:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {x.re}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 7.5 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 48.2% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_1 := \sin t\_0\\ t_2 := t\_0 \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -15:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1.9 \cdot 10^{-136}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5 \cdot 10^{-133}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_1 (sin t_0))
        (t_2 (* t_0 (pow (+ x.im (/ (* (* x.re x.re) 0.5) x.im)) y.re))))
   (if (<= y.re -15.0)
     t_2
     (if (<= y.re -1.9e-136)
       t_1
       (if (<= y.re 5e-133)
         (* y.im (log (hypot x.im x.re)))
         (if (<= y.re 2.4e+14) t_1 t_2))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = sin(t_0);
	double t_2 = t_0 * pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -15.0) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_re <= -1.9e-136) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 5e-133) {
		tmp = y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	} else if (y_46_re <= 2.4e+14) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = Math.sin(t_0);
	double t_2 = t_0 * Math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -15.0) {
		tmp = t_2;
	} else if (y_46_re <= -1.9e-136) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_46_re <= 5e-133) {
		tmp = y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re));
	} else if (y_46_re <= 2.4e+14) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_1 = math.sin(t_0)
	t_2 = t_0 * math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -15.0:
		tmp = t_2
	elif y_46_re <= -1.9e-136:
		tmp = t_1
	elif y_46_re <= 5e-133:
		tmp = y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))
	elif y_46_re <= 2.4e+14:
		tmp = t_1
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = sin(t_0)
	t_2 = Float64(t_0 * (Float64(x_46_im + Float64(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -15.0)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_re <= -1.9e-136)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 5e-133)
		tmp = Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)));
	elseif (y_46_re <= 2.4e+14)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_1 = sin(t_0);
	t_2 = t_0 * ((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -15.0)
		tmp = t_2;
	elseif (y_46_re <= -1.9e-136)
		tmp = t_1;
	elseif (y_46_re <= 5e-133)
		tmp = y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	elseif (y_46_re <= 2.4e+14)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 * N[Power[N[(x$46$im + N[(N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] / x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -15.0], t$95$2, If[LessEqual[y$46$re, -1.9e-136], t$95$1, If[LessEqual[y$46$re, 5e-133], N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.4e+14], t$95$1, t$95$2]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -15 or 2.4e14 < y.re

   1. Initial program 38.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 67.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 67.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(x.im + \frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)}, y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x.re}^{2}\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x.re \cdot x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 59.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 59.8%

      \[\leadsto \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\color{blue}{\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}}^{y.re} \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right)}, y.re\right)\right) \]

       2. atan2-lowering-atan2.f64 58.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)}\right), y.re\right)\right) \]

   11. Simplified 58.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}^{y.re} \]

   if -15 < y.re < -1.9000000000000001e-136 or 4.9999999999999999e-133 < y.re < 2.4e14

   1. Initial program 48.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 81.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 77.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 77.5%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 38.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 38.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -1.9000000000000001e-136 < y.re < 4.9999999999999999e-133

   1. Initial program 39.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 85.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.8%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 72.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 72.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}\right) \]

       2. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right) \]

       5. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

       6. hypot-lowering-hypot.f64 36.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 36.0%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 48.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -15:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1.9 \cdot 10^{-136}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5 \cdot 10^{-133}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.4 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 20.8% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.5 \cdot 10^{-135}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 5 \cdot 10^{-133}:\\ \;\;\;\;y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -1.5e-135)
     t_0
     (if (<= y.re 5e-133) (* y.im (log (hypot x.im x.re))) t_0))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.5e-135) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 5e-133) {
		tmp = y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.5e-135) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 5e-133) {
		tmp = y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.5e-135:
		tmp = t_0
	elif y_46_re <= 5e-133:
		tmp = y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.5e-135)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 5e-133)
		tmp = Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.5e-135)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 5e-133)
		tmp = y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.5e-135], t$95$0, If[LessEqual[y$46$re, 5e-133], N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -1.50000000000000006e-135 or 4.9999999999999999e-133 < y.re

   1. Initial program 41.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 55.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 55.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 17.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 17.6%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

   if -1.50000000000000006e-135 < y.re < 4.9999999999999999e-133

   1. Initial program 39.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 85.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.8%

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 72.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 72.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}\right) \]

       2. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right) \]

       5. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

       6. hypot-lowering-hypot.f64 36.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 36.0%

       \[\leadsto \color{blue}{y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 17: 13.5% accurate, 8.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im) :precision binary64 (* y.re (atan2 x.im x.re)))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    code = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	return y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	return Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 41.2%

   \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y.im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

   4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.re}^{2} + {x.im}^{2}\right)\right), y.re\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.re}^{2}\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left({x.im}^{2}\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 43.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), y.re\right)\right) \]

5. Simplified 43.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}} \]

6. Taylor expanded in y.re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 16.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

8. Simplified 16.7%

   \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024144 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "powComplex, imaginary part"
  :precision binary64
  (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (sin (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))))