Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 37.5s

Alternatives: 24

Speedup: 9.2×

• 99.5% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

\[x \geq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Alternative 1: 100.0% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{{\left(e^{x \cdot 2}\right)}^{\left(\frac{x}{2}\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ (/ 1.0 x) (/ (sqrt PI) (pow (exp (* x 2.0)) (/ x 2.0))))
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / pow(exp((x * 2.0)), (x / 2.0)))) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / Math.pow(Math.exp((x * 2.0)), (x / 2.0)))) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / math.pow(math.exp((x * 2.0)), (x / 2.0)))) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / (exp(Float64(x * 2.0)) ^ Float64(x / 2.0)))) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (exp((x * 2.0)) ^ (x / 2.0)))) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[Power[N[Exp[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left({\left(e^{x}\right)}^{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x}\right), x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{x}}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. sqr-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left({\left(e^{x}\right)}^{\left(\frac{x}{2}\right)} \cdot {\left(e^{x}\right)}^{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left({\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}^{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x} \cdot e^{x}\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{2}\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x}\right), 2\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 2\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{{\left({\left(e^{x}\right)}^{2}\right)}^{\left(\frac{x}{2}\right)}}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{2}\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. pow-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x \cdot 2}\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    3. rem-log-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{\log \left(e^{x \cdot 2}\right)}\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    4. pow-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{\log \left({\left(e^{x}\right)}^{2}\right)}\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    5. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\log \left({\left(e^{x}\right)}^{2}\right)\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    6. pow-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\log \left(e^{x \cdot 2}\right)\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    7. rem-log-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot 2\right)\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{{\left(e^{x \cdot 2}\right)}^{\left(\frac{x}{2}\right)}}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{{\left(e^{x}\right)}^{x}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
  (/ (/ 1.0 x) (/ (sqrt PI) (pow (exp x) x)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / pow(exp(x), x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / Math.pow(Math.exp(x), x)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / math.pow(math.exp(x), x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / (exp(x) ^ x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (exp(x) ^ x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[Power[N[Exp[x], $MachinePrecision], x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left({\left(e^{x}\right)}^{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x}\right), x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{x}}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

9. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{{\left(e^{x}\right)}^{x}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 100.0% accurate, 9.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  1.0
  (/
   (/ (sqrt PI) (exp (* x x)))
   (/ (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x))) x))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / ((sqrt(((double) M_PI)) / exp((x * x))) / ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / ((Math.sqrt(Math.PI) / Math.exp((x * x))) / ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / ((math.sqrt(math.pi) / math.exp((x * x))) / ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(sqrt(pi) / exp(Float64(x * x))) / Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / ((sqrt(pi) / exp((x * x))) / ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\frac{1}{\frac{1}{x}} \cdot \left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\frac{1}{\frac{1}{x}}} \cdot \color{blue}{\frac{1 - \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{1 - \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}} \]

8. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 100.0% accurate, 9.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x))) x)
  (/ (exp (* x x)) (sqrt PI))))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x) * (exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x) * (Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI));
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x) * (math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / x) * Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x) * (exp((x * x)) / sqrt(pi));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\frac{1}{\frac{1}{x}} \cdot \left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{1 - \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{1}{\frac{1}{x}} \cdot \left(1 - \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}} \]

8. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.7% accurate, 9.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ (/ 1.0 x) (/ (sqrt PI) (exp (* x x))))
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / exp((x * x)))) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / Math.exp((x * x)))) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / math.exp((x * x)))) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / exp(Float64(x * x)))) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / exp((x * x)))) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.7% accurate, 9.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) x) (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / x) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / x) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / x) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / x) * Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((exp((x * x)) / sqrt(pi)) / x) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}} \cdot x}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{e^{x \cdot x}}}}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    3. pow-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{{\left(e^{x}\right)}^{x}}}}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    4. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{\left(e^{x}\right)}^{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    7. pow-exp N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    8. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f64 98.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 98.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.5% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{x \cdot \sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (/ (* x (sqrt PI)) (exp (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / ((x * sqrt(((double) M_PI))) / exp((x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / ((x * Math.sqrt(Math.PI)) / Math.exp((x * x)));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / ((x * math.sqrt(math.pi)) / math.exp((x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(x * sqrt(pi)) / exp(Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / ((x * sqrt(pi)) / exp((x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\frac{1}{\frac{1}{x}} \cdot \left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\frac{1}{\frac{1}{x}}} \cdot \color{blue}{\frac{1 - \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{1 - \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}} \]

8. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}}} \]

9. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{x}{e^{{x}^{2}}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{x}{e^{{x}^{2}}}}\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot x}{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot x\right), \color{blue}{\left(e^{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(e^{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

    6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(e^{{x}^{\color{blue}{2}}}\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(e^{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

    8. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 98.8%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 91.7% accurate, 11.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - t\_0\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{x}{{\pi}^{-0.5}}} \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_0\right)\right) \cdot t\_1\right)}{1 + t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))
        (t_1 (* (* x x) (- -1.0 t_0))))
   (if (<= x 3.2e+51)
     (/
      (*
       (/
        (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
        (/ x (pow PI -0.5)))
       (+ 1.0 (* (* (* x x) (+ 1.0 t_0)) t_1)))
      (+ 1.0 t_1))
     (/
      (/ 1.0 (* x (sqrt PI)))
      (/
       1.0
       (+
        1.0
        (*
         (* x x)
         (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	double t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x / pow(((double) M_PI), -0.5))) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1))) / (1.0 + t_1);
	} else {
		tmp = (1.0 / (x * sqrt(((double) M_PI)))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	double t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x / Math.pow(Math.PI, -0.5))) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1))) / (1.0 + t_1);
	} else {
		tmp = (1.0 / (x * Math.sqrt(Math.PI))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)))
	t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0)
	tmp = 0
	if x <= 3.2e+51:
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x / math.pow(math.pi, -0.5))) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1))) / (1.0 + t_1)
	else:
		tmp = (1.0 / (x * math.sqrt(math.pi))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * Float64(-1.0 - t_0))
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x / (pi ^ -0.5))) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_0)) * t_1))) / Float64(1.0 + t_1));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / Float64(x * sqrt(pi))) / Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666)));
	t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x / (pi ^ -0.5))) * (1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1))) / (1.0 + t_1);
	else
		tmp = (1.0 / (x * sqrt(pi))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 3.2e+51], N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x / N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.2000000000000002e51

   1. Initial program 99.4%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 5.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 5.9%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       3. div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}} \]

       4. div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       5. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

   11. Applied egg-rr 5.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}} \]

   13. Applied egg-rr 62.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{x}{{\pi}^{-0.5}}} \cdot \left(1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \]

   if 3.2000000000000002e51 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       3. div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}} \]

       4. div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       5. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

   11. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{x}{{\pi}^{-0.5}}} \cdot \left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 91.7% accurate, 11.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\\ t_1 := -1 - t\_0\\ t_2 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_0\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{{\pi}^{-0.5}}{x} \cdot \left(1 + x \cdot \left(t\_2 \cdot \left(x \cdot t\_1\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + t\_2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666))))
        (t_1 (- -1.0 t_0))
        (t_2 (* (* x x) (+ 1.0 t_0))))
   (if (<= x 3.2e+51)
     (*
      (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
      (/
       (* (/ (pow PI -0.5) x) (+ 1.0 (* x (* t_2 (* x t_1)))))
       (+ 1.0 (* (* x x) t_1))))
     (/ (/ 1.0 (* x (sqrt PI))) (/ 1.0 (+ 1.0 t_2))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666));
	double t_1 = -1.0 - t_0;
	double t_2 = (x * x) * (1.0 + t_0);
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * (((pow(((double) M_PI), -0.5) / x) * (1.0 + (x * (t_2 * (x * t_1))))) / (1.0 + ((x * x) * t_1)));
	} else {
		tmp = (1.0 / (x * sqrt(((double) M_PI)))) / (1.0 / (1.0 + t_2));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666));
	double t_1 = -1.0 - t_0;
	double t_2 = (x * x) * (1.0 + t_0);
	double tmp;
	if (x <= 3.2e+51) {
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * (((Math.pow(Math.PI, -0.5) / x) * (1.0 + (x * (t_2 * (x * t_1))))) / (1.0 + ((x * x) * t_1)));
	} else {
		tmp = (1.0 / (x * Math.sqrt(Math.PI))) / (1.0 / (1.0 + t_2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))
	t_1 = -1.0 - t_0
	t_2 = (x * x) * (1.0 + t_0)
	tmp = 0
	if x <= 3.2e+51:
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * (((math.pow(math.pi, -0.5) / x) * (1.0 + (x * (t_2 * (x * t_1))))) / (1.0 + ((x * x) * t_1)))
	else:
		tmp = (1.0 / (x * math.sqrt(math.pi))) / (1.0 / (1.0 + t_2))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)))
	t_1 = Float64(-1.0 - t_0)
	t_2 = Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_0))
	tmp = 0.0
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(Float64((pi ^ -0.5) / x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(t_2 * Float64(x * t_1))))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * t_1))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / Float64(x * sqrt(pi))) / Float64(1.0 / Float64(1.0 + t_2)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666));
	t_1 = -1.0 - t_0;
	t_2 = (x * x) * (1.0 + t_0);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 3.2e+51)
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((((pi ^ -0.5) / x) * (1.0 + (x * (t_2 * (x * t_1))))) / (1.0 + ((x * x) * t_1)));
	else
		tmp = (1.0 / (x * sqrt(pi))) / (1.0 / (1.0 + t_2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 3.2e+51], N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(t$95$2 * N[(x * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 3.2000000000000002e51

   1. Initial program 99.4%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 5.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 5.9%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-/r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 62.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{{\pi}^{-0.5}}{x} \cdot \left(1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

   if 3.2000000000000002e51 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       3. div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}} \]

       4. div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       5. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

   11. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}} \]

   12. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

   14. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 3.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{{\pi}^{-0.5}}{x} \cdot \left(1 + x \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 90.2% accurate, 11.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 - t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot t\_0}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))
   (if (<= x 2e+77)
     (/
      (/
       (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
       (* x (sqrt PI)))
      (/
       1.0
       (+
        1.0
        (/
         (* (* x x) (- 1.0 (* t_0 (* t_0 (* x (* x (* x x)))))))
         (- 1.0 (* (* x x) t_0))))))
     (*
      (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
      (/
       (/ 1.0 x)
       (/ (sqrt PI) (+ 1.0 (* x (* x (+ 1.0 (* 0.5 (* x x))))))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666));
	double tmp;
	if (x <= 2e+77) {
		tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * sqrt(((double) M_PI)))) / (1.0 / (1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - ((x * x) * t_0)))));
	} else {
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666));
	double tmp;
	if (x <= 2e+77) {
		tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * Math.sqrt(Math.PI))) / (1.0 / (1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - ((x * x) * t_0)))));
	} else {
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))
	tmp = 0
	if x <= 2e+77:
		tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * math.sqrt(math.pi))) / (1.0 / (1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - ((x * x) * t_0)))))
	else:
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e+77)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * sqrt(pi))) / Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 - Float64(t_0 * Float64(t_0 * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))))))) / Float64(1.0 - Float64(Float64(x * x) * t_0))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(x * x)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2e+77)
		tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * sqrt(pi))) / (1.0 / (1.0 + (((x * x) * (1.0 - (t_0 * (t_0 * (x * (x * (x * x))))))) / (1.0 - ((x * x) * t_0)))));
	else
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2e+77], N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.99999999999999997e77

   1. Initial program 99.6%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 35.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 35.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       3. div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}} \]

       4. div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       5. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

   11. Applied egg-rr 35.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{1 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{1 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(1 - x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 67.6%

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}}} \]

   if 1.99999999999999997e77 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 - \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 88.0% accurate, 12.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.125 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot 0.004629629629629629\right)}{0.25 + t\_0 \cdot \left(t\_0 - 0.5\right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.16666666666666666))))
   (if (<= x 2e+77)
     (/
      (/
       (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
       (* x (sqrt PI)))
      (/
       1.0
       (+
        1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          1.0
          (/
           (*
            (* x x)
            (+ 0.125 (* (* (* x x) (* x (* x (* x x)))) 0.004629629629629629)))
           (+ 0.25 (* t_0 (- t_0 0.5)))))))))
     (*
      (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
      (/
       (/ 1.0 x)
       (/ (sqrt PI) (+ 1.0 (* x (* x (+ 1.0 (* 0.5 (* x x))))))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (x <= 2e+77) {
		tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * sqrt(((double) M_PI)))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (((x * x) * (x * (x * (x * x)))) * 0.004629629629629629))) / (0.25 + (t_0 * (t_0 - 0.5))))))));
	} else {
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.16666666666666666);
	double tmp;
	if (x <= 2e+77) {
		tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * Math.sqrt(Math.PI))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (((x * x) * (x * (x * (x * x)))) * 0.004629629629629629))) / (0.25 + (t_0 * (t_0 - 0.5))))))));
	} else {
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.16666666666666666)
	tmp = 0
	if x <= 2e+77:
		tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * math.sqrt(math.pi))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (((x * x) * (x * (x * (x * x)))) * 0.004629629629629629))) / (0.25 + (t_0 * (t_0 - 0.5))))))))
	else:
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e+77)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * sqrt(pi))) / Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.125 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * Float64(x * Float64(x * x)))) * 0.004629629629629629))) / Float64(0.25 + Float64(t_0 * Float64(t_0 - 0.5)))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(x * x)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.16666666666666666);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2e+77)
		tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / (x * sqrt(pi))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (((x * x) * (x * (x * (x * x)))) * 0.004629629629629629))) / (0.25 + (t_0 * (t_0 - 0.5))))))));
	else
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2e+77], N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.125 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.004629629629629629), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.25 + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.99999999999999997e77

   1. Initial program 99.6%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 35.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 35.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       3. div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}} \]

       4. div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

       5. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

   11. Applied egg-rr 35.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. flip3-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\frac{1}{2}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}^{3}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left({\frac{1}{2}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({\frac{1}{2}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}^{3}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 56.7%

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(0.125 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot 0.004629629629629629\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.25 + \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) - 0.5\right)}}\right)}} \]

   if 1.99999999999999997e77 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.125 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot 0.004629629629629629\right)}{0.25 + \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) - 0.5\right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 88.0% accurate, 12.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\\ \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.125 + 0.004629629629629629 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)}{0.25 + t\_1 \cdot \left(t\_1 - 0.5\right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))) (t_1 (* (* x x) 0.16666666666666666)))
   (if (<= x 2e+77)
     (*
      (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
      (/
       (/ 1.0 x)
       (/
        (sqrt PI)
        (+
         1.0
         (*
          (* x x)
          (+
           1.0
           (/
            (* (* x x) (+ 0.125 (* 0.004629629629629629 (* t_0 t_0))))
            (+ 0.25 (* t_1 (- t_1 0.5))))))))))
     (*
      (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
      (/
       (/ 1.0 x)
       (/ (sqrt PI) (+ 1.0 (* x (* x (+ 1.0 (* 0.5 (* x x))))))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double t_1 = (x * x) * 0.16666666666666666;
	double tmp;
	if (x <= 2e+77) {
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (0.004629629629629629 * (t_0 * t_0)))) / (0.25 + (t_1 * (t_1 - 0.5)))))))));
	} else {
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double t_1 = (x * x) * 0.16666666666666666;
	double tmp;
	if (x <= 2e+77) {
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (0.004629629629629629 * (t_0 * t_0)))) / (0.25 + (t_1 * (t_1 - 0.5)))))))));
	} else {
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * x)
	t_1 = (x * x) * 0.16666666666666666
	tmp = 0
	if x <= 2e+77:
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (0.004629629629629629 * (t_0 * t_0)))) / (0.25 + (t_1 * (t_1 - 0.5)))))))))
	else:
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e+77)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.125 + Float64(0.004629629629629629 * Float64(t_0 * t_0)))) / Float64(0.25 + Float64(t_1 * Float64(t_1 - 0.5))))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(x * x)))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * x);
	t_1 = (x * x) * 0.16666666666666666;
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2e+77)
		tmp = (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (((x * x) * (0.125 + (0.004629629629629629 * (t_0 * t_0)))) / (0.25 + (t_1 * (t_1 - 0.5)))))))));
	else
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2e+77], N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.125 + N[(0.004629629629629629 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.25 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.99999999999999997e77

   1. Initial program 99.6%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 35.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 35.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. flip3-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{{\frac{1}{2}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}^{3}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left({\frac{1}{2}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}^{3}\right)}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left({\frac{1}{2}}^{3} + {\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 56.7%

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.125 + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)\right) \cdot 0.004629629629629629\right)}{0.25 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 - 0.5\right)}}\right)}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

   if 1.99999999999999997e77 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

   7. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.125 + 0.004629629629629629 \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{0.25 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 - 0.5\right)}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 84.5% accurate, 14.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{\frac{x \cdot x}{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/
   (/ 1.0 x)
   (/
    (sqrt PI)
    (+
     1.0
     (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))))
  (+ 1.0 (/ 1.0 (/ (* x x) (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))))))))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))))) * (1.0 + (1.0 / ((x * x) / (0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))))) * (1.0 + (1.0 / ((x * x) / (0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))))));
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))))) * (1.0 + (1.0 / ((x * x) / (0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))))) * Float64(1.0 + Float64(1.0 / Float64(Float64(x * x) / Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))))) * (1.0 + (1.0 / ((x * x) / (0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(1.0 / N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 84.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 84.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}}}\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{x \cdot x}{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right)}\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(\frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 84.6%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 84.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\frac{x \cdot x}{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}}}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 14: 84.5% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x))) x)
  (/
   (+
    1.0
    (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))))
   (sqrt PI))))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(((double) M_PI)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / Math.sqrt(Math.PI));
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / math.sqrt(math.pi))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / x) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / x) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(pi));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\frac{1}{\frac{1}{x}} \cdot \left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 84.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 84.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\frac{1}{\frac{1}{x}} \cdot \left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

11. Applied egg-rr 84.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 84.5% accurate, 15.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x)))
  (/
   (/ 1.0 x)
   (/
    (sqrt PI)
    (+
     1.0
     (*
      (* x x)
      (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 84.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 84.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 84.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 84.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right) \]

13. Final simplification 84.5%

    \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 16: 84.5% accurate, 15.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
  (/
   (/ 1.0 x)
   (/
    (sqrt PI)
    (+
     1.0
     (*
      (* x x)
      (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 84.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 84.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 84.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 84.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

13. Final simplification 84.5%

    \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 17: 84.4% accurate, 16.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/ 1.0 (* x (sqrt PI)))
  (/
   1.0
   (+
    1.0
    (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / (x * sqrt(((double) M_PI)))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / (x * Math.sqrt(Math.PI))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / (x * math.sqrt(math.pi))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / Float64(x * sqrt(pi))) / Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / (x * sqrt(pi))) / (1.0 / (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 84.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 84.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1}{x}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

    3. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}} \]

    4. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

    5. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}}} \]

11. Applied egg-rr 84.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}}} \]

12. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

14. Simplified 84.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1}}{x \cdot \sqrt{\pi}}}{\frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 18: 76.4% accurate, 16.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
  (/ (/ 1.0 x) (/ (sqrt PI) (+ 1.0 (* x (* x (+ 1.0 (* 0.5 (* x x))))))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(x * x)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (1.0 + (x * (x * (1.0 + (0.5 * (x * x))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 77.3%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 77.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

13. Final simplification 77.3%

    \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 19: 52.2% accurate, 16.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x)))
  (/ (/ 1.0 x) (/ (sqrt PI) (+ 1.0 (* x x))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / (1.0 + (x * x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / (1.0 + (x * x))));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / (1.0 + (x * x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / Float64(1.0 + Float64(x * x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 / x) / (sqrt(pi) / (1.0 + (x * x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 50.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 50.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 50.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 50.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot x}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right) \]

13. Final simplification 50.6%

    \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot x}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 20: 52.2% accurate, 17.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left(1 + x \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x))) (/ (* (+ 1.0 (* x x)) (sqrt (/ 1.0 PI))) x)))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + (x * x)) * sqrt((1.0 / ((double) M_PI)))) / x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + (x * x)) * Math.sqrt((1.0 / Math.PI))) / x);
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + (x * x)) * math.sqrt((1.0 / math.pi))) / x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * x)) * sqrt(Float64(1.0 / pi))) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + (x * x)) * sqrt((1.0 / pi))) / x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left({x}^{2} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left({x}^{2} + 1\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left({x}^{2} + 1\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left({x}^{2} + 1\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2} + 1\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2} + 1\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(1 + {x}^{2}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 50.5%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 50.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(1 + x \cdot x\right)}{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

13. Final simplification 50.5%

    \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left(1 + x \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{x} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 21: 5.4% accurate, 18.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(1 + \frac{1.5}{x \cdot x}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (+ 1.0 (/ 1.5 (* x x))))))

C

double code(double x) {
	return x * (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * (1.0 + (1.5 / (x * x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return x * (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * (1.0 + (1.5 / (x * x))));
}

Python

def code(x):
	return x * (math.sqrt((1.0 / math.pi)) * (1.0 + (1.5 / (x * x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(1.0 + Float64(1.5 / Float64(x * x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (sqrt((1.0 / pi)) * (1.0 + (1.5 / (x * x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(1.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 50.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 50.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right) \]

    3. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + 1\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + 1\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), 1\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{3}{2}}{{x}^{2}}\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \left({x}^{2}\right)\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \left(x \cdot x\right)\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), 1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), 1\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    12. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), 1\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f64 5.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), 1\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 5.4%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(\frac{1.5}{x \cdot x} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)} \]

13. Final simplification 5.4%

    \[\leadsto x \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(1 + \frac{1.5}{x \cdot x}\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 22: 52.2% accurate, 18.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (/ 1.0 x) (/ (sqrt PI) (+ 1.0 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) / (sqrt(((double) M_PI)) / (1.0 + (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) / (Math.sqrt(Math.PI) / (1.0 + (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) / (math.sqrt(math.pi) / (1.0 + (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(sqrt(pi) / Float64(1.0 + Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) / (sqrt(pi) / (1.0 + (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 50.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 50.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 50.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot x}} \cdot \color{blue}{1} \]

13. Final simplification 50.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{1 + x \cdot x}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 23: 5.4% accurate, 19.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (sqrt (/ 1.0 PI))))

C

double code(double x) {
	return x * sqrt((1.0 / ((double) M_PI)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return x * Math.sqrt((1.0 / Math.PI));
}

Python

def code(x):
	return x * math.sqrt((1.0 / math.pi))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * sqrt(Float64(1.0 / pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * sqrt((1.0 / pi));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 50.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 50.6%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{\color{blue}{1 + x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f64 5.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 5.4%

    \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 24: 2.3% accurate, 20.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{\pi}^{-0.5}}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (pow PI -0.5) x))

C

double code(double x) {
	return pow(((double) M_PI), -0.5) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(Math.PI, -0.5) / x;
}

Python

def code(x):
	return math.pow(math.pi, -0.5) / x

Julia

function code(x)
	return Float64((pi ^ -0.5) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi ^ -0.5) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.9%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{\pi}}{e^{x \cdot x}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f64 2.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 2.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \]

10. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{x}} \]

    2. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{x} \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{x}\right) \]

    4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), x\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f64 2.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), x\right) \]

12. Simplified 2.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{x}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{x}\right) \]

    2. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), x\right) \]

    3. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{-1}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), x\right) \]

    4. pow-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)}\right), x\right) \]

    5. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), x\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), x\right) \]

    7. metadata-eval 2.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), x\right) \]

14. Applied egg-rr 2.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\pi}^{-0.5}}{x}} \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024141 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5"
  :precision binary64
  :pre (>= x 0.5)
  (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x)))) (+ (+ (+ (/ 1.0 (fabs x)) (* (/ 1.0 2.0) (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 3.0 4.0) (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 15.0 8.0) (* (* (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x)))))))