qlog (example 3.10)

Percentage Accurate: 4.2% → 100.0%

Time: 29.1s

Alternatives: 9

Speedup: 207.0×

Specification

\[\left|x\right| \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	return log((1.0 - x)) / log((1.0 + x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((1.0d0 - x)) / log((1.0d0 + x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((1.0 - x)) / Math.log((1.0 + x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((1.0 - x)) / math.log((1.0 + x))

Julia

function code(x)
	return Float64(log(Float64(1.0 - x)) / log(Float64(1.0 + x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((1.0 - x)) / log((1.0 + x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Log[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Log[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 4.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	return log((1.0 - x)) / log((1.0 + x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((1.0d0 - x)) / log((1.0d0 + x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((1.0 - x)) / Math.log((1.0 + x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((1.0 - x)) / math.log((1.0 + x))

Julia

function code(x)
	return Float64(log(Float64(1.0 - x)) / log(Float64(1.0 + x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((1.0 - x)) / log((1.0 + x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Log[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Log[N[(1.0 + x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{log1p}\left(0 - x\right)}{\mathsf{log1p}\left(x\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (log1p (- 0.0 x)) (log1p x)))

C

double code(double x) {
	return log1p((0.0 - x)) / log1p(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log1p((0.0 - x)) / Math.log1p(x);
}

Python

def code(x):
	return math.log1p((0.0 - x)) / math.log1p(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(log1p(Float64(0.0 - x)) / log1p(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Log[1 + N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Log[1 + x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 3.6%

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\log \left(1 - x\right), \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}\right) \]

   2. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(1 - x\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 + x\right)}\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \log \left(\color{blue}{1} + x\right)\right) \]

   4. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. log1p-lowering-log1p.f64 5.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 5.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(1 - x\right)}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   2. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. log1p-lowering-log1p.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   4. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(\left(0 - x\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0 - x\right)}}{\mathsf{log1p}\left(x\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log1p.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{-x}\right)}{\mathsf{log1p}\left(x\right)} \]

9. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{log1p}\left(0 - x\right)}{\mathsf{log1p}\left(x\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 6.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)\right)} \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ x (* x (+ 1.0 (* x (+ -0.5 (* x (+ (* x -0.25) 0.3333333333333333)))))))
  (+ -1.0 (* x (+ -0.5 (* x (+ (* x -0.25) -0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x) {
	return (x / (x * (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333))))))) * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x / (x * (1.0d0 + (x * ((-0.5d0) + (x * ((x * (-0.25d0)) + 0.3333333333333333d0))))))) * ((-1.0d0) + (x * ((-0.5d0) + (x * ((x * (-0.25d0)) + (-0.3333333333333333d0))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x / (x * (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333))))))) * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333)))));
}

Python

def code(x):
	return (x / (x * (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333))))))) * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x / Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(-0.5 + Float64(x * Float64(Float64(x * -0.25) + 0.3333333333333333))))))) * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(-0.5 + Float64(x * Float64(Float64(x * -0.25) + -0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x / (x * (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333))))))) * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x / N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(-0.5 + N[(x * N[(N[(x * -0.25), $MachinePrecision] + 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(x * N[(-0.5 + N[(x * N[(N[(x * -0.25), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 3.6%

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\log \left(1 - x\right), \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}\right) \]

   2. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(1 - x\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 + x\right)}\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \log \left(\color{blue}{1} + x\right)\right) \]

   4. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. log1p-lowering-log1p.f64 5.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 5.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(1 - x\right)}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot x\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

7. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}}{\mathsf{log1p}\left(x\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.3%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.25\right)\right)\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. div-inv N/A

       \[\leadsto \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \cdot x\right) \cdot \frac{\color{blue}{1}}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)} \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)} \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)}\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \frac{1}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 99.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \frac{\frac{1}{x}}{1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)\right)}{\frac{1}{x}}}}\right)\right) \]

    2. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{x}{\color{blue}{\frac{1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)\right)}{\frac{1}{x}}}}\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)\right)}{\frac{1}{x}}\right)}\right)\right) \]

    4. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \left(\frac{1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)\right)}{1} \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    5. /-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)\right)\right) \cdot x\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{4}\right), \color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 99.3%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{x}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)\right)}} \]

15. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \frac{x}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)\right)} \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.6% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ 1.0 (+ 1.0 (* x (+ -0.5 (* x (+ (* x -0.25) 0.3333333333333333))))))
  (+ -1.0 (* x (+ -0.5 (* x (+ (* x -0.25) -0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333)))))) * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / (1.0d0 + (x * ((-0.5d0) + (x * ((x * (-0.25d0)) + 0.3333333333333333d0)))))) * ((-1.0d0) + (x * ((-0.5d0) + (x * ((x * (-0.25d0)) + (-0.3333333333333333d0))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333)))))) * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333)))));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333)))))) * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(-0.5 + Float64(x * Float64(Float64(x * -0.25) + 0.3333333333333333)))))) * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(-0.5 + Float64(x * Float64(Float64(x * -0.25) + -0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333)))))) * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / N[(1.0 + N[(x * N[(-0.5 + N[(x * N[(N[(x * -0.25), $MachinePrecision] + 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(x * N[(-0.5 + N[(x * N[(N[(x * -0.25), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 3.6%

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\log \left(1 - x\right), \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}\right) \]

   2. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(1 - x\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 + x\right)}\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \log \left(\color{blue}{1} + x\right)\right) \]

   4. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. log1p-lowering-log1p.f64 5.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 5.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(1 - x\right)}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot x\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

7. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}}{\mathsf{log1p}\left(x\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.3%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.25\right)\right)\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)}} \]

    2. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \frac{-1 \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{-1 \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot x\right)} \]

    4. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \frac{-1 \cdot \left(x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x}} \]

    5. times-frac N/A

       \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\frac{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)}{x}} \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{\color{blue}{x} \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)}{x} \]

    7. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \frac{1}{1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)} \cdot \frac{\color{blue}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)}}{x} \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)}{x}\right)}\right) \]

12. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \left(\left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot 1\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \color{blue}{-1}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right) + -1\right)} \]

15. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \frac{1}{1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
16. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)}{1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+ -1.0 (* x (+ -0.5 (* x (+ (* x -0.25) -0.3333333333333333)))))
  (+ 1.0 (* x (+ -0.5 (* x (+ (* x -0.25) 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x) {
	return (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333))))) / (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-1.0d0) + (x * ((-0.5d0) + (x * ((x * (-0.25d0)) + (-0.3333333333333333d0)))))) / (1.0d0 + (x * ((-0.5d0) + (x * ((x * (-0.25d0)) + 0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333))))) / (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333)))));
}

Python

def code(x):
	return (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333))))) / (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(-0.5 + Float64(x * Float64(Float64(x * -0.25) + -0.3333333333333333))))) / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(-0.5 + Float64(x * Float64(Float64(x * -0.25) + 0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + -0.3333333333333333))))) / (1.0 + (x * (-0.5 + (x * ((x * -0.25) + 0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-1.0 + N[(x * N[(-0.5 + N[(x * N[(N[(x * -0.25), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x * N[(-0.5 + N[(x * N[(N[(x * -0.25), $MachinePrecision] + 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 3.6%

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\log \left(1 - x\right), \color{blue}{\log \left(1 + x\right)}\right) \]

   2. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(1 - x\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 + x\right)}\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \log \left(\color{blue}{1} + x\right)\right) \]

   4. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. log1p-lowering-log1p.f64 5.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 5.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\log \left(1 - x\right)}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot x\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{log1p.f64}\left(x\right)\right) \]

7. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}}{\mathsf{log1p}\left(x\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{-1}{4} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.3%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot -0.25\right)\right)\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)}{x}}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)}{x}\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right) \]

12. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot 1}{1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right) + -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{4} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), -1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right), \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right) + -1}}{1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)} \]

15. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \frac{-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + -0.3333333333333333\right)\right)}{1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.25 + 0.3333333333333333\right)\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.5% accurate, 15.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot -0.4166666666666667\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ -1.0 (* x (+ -1.0 (* x (+ -0.5 (* x -0.4166666666666667)))))))

C

double code(double x) {
	return -1.0 + (x * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * -0.4166666666666667)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (-1.0d0) + (x * ((-1.0d0) + (x * ((-0.5d0) + (x * (-0.4166666666666667d0))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0 + (x * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * -0.4166666666666667)))));
}

Python

def code(x):
	return -1.0 + (x * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * -0.4166666666666667)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(-0.5 + Float64(x * -0.4166666666666667))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0 + (x * (-1.0 + (x * (-0.5 + (x * -0.4166666666666667)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(-1.0 + N[(x * N[(-1.0 + N[(x * N[(-0.5 + N[(x * -0.4166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 3.6%

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right) - 1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right) + -1 \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto -1 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right)} \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-5}{12} \cdot x + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-5}{12} \cdot x + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{\frac{-5}{12} \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-5}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-5}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-5}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot -0.4166666666666667\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.3% accurate, 23.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-1 + x \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right) - x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (+ -1.0 (* x (* x -0.5))) x))

C

double code(double x) {
	return (-1.0 + (x * (x * -0.5))) - x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-1.0d0) + (x * (x * (-0.5d0)))) - x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-1.0 + (x * (x * -0.5))) - x;
}

Python

def code(x):
	return (-1.0 + (x * (x * -0.5))) - x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(x * -0.5))) - x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-1.0 + (x * (x * -0.5))) - x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-1.0 + N[(x * N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 3.6%

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right) - 1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right) + -1 \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto -1 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right)} \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-5}{12} \cdot x - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-5}{12} \cdot x + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-5}{12} \cdot x + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{\frac{-5}{12} \cdot x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-5}{12} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-5}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-5}{12}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(-0.5 + x \cdot -0.4166666666666667\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right) + \color{blue}{-1} \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(-1 \cdot x + \left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right) \cdot x\right) + -1 \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) + \left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right) \cdot x\right) + -1 \]

   4. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right) \cdot x + -1\right)} \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right) \cdot x + -1\right)}\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(0 - x\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right) \cdot x} + -1\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right) \cdot x} + -1\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \frac{-5}{12}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-5}{12}\right)\right)\right)\right), -1\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0 - x\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-0.5 + x \cdot -0.4166666666666667\right)\right) + -1\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {x}^{2}\right)}, -1\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right), -1\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) \cdot x\right), -1\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right), -1\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right), -1\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right), -1\right)\right) \]

10. Simplified 99.1%

    \[\leadsto \left(0 - x\right) + \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.5\right)} + -1\right) \]

11. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \left(-1 + x \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\right) - x \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.3% accurate, 23.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot -0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ -1.0 (* x (+ -1.0 (* x -0.5)))))

C

double code(double x) {
	return -1.0 + (x * (-1.0 + (x * -0.5)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (-1.0d0) + (x * ((-1.0d0) + (x * (-0.5d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0 + (x * (-1.0 + (x * -0.5)));
}

Python

def code(x):
	return -1.0 + (x * (-1.0 + (x * -0.5)))

Julia

function code(x)
	return Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(-1.0 + Float64(x * -0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0 + (x * (-1.0 + (x * -0.5)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(-1.0 + N[(x * N[(-1.0 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 3.6%

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x - 1\right) - 1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x - 1\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x - 1\right) + -1 \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto -1 + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x - 1\right)} \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x - 1\right)\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot x - 1\right)}\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} \cdot x + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} \cdot x + -1\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot -0.5\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.9% accurate, 69.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 - x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- -1.0 x))

C

double code(double x) {
	return -1.0 - x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (-1.0d0) - x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0 - x;
}

Python

def code(x):
	return -1.0 - x

Julia

function code(x)
	return Float64(-1.0 - x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0 - x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(-1.0 - x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 3.6%

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot x - 1} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto -1 \cdot x + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto -1 \cdot x + -1 \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto -1 + \color{blue}{-1 \cdot x} \]

   4. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto -1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right) \]

   5. unsub-neg N/A

      \[\leadsto -1 - \color{blue}{x} \]

   6. --lowering--.f64 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{x}\right) \]

5. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 - x} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 9: 97.8% accurate, 207.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 3.6%

   \[\frac{\log \left(1 - x\right)}{\log \left(1 + x\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-1} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{log1p}\left(-x\right)}{\mathsf{log1p}\left(x\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (log1p (- x)) (log1p x)))

C

double code(double x) {
	return log1p(-x) / log1p(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log1p(-x) / Math.log1p(x);
}

Python

def code(x):
	return math.log1p(-x) / math.log1p(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(log1p(Float64(-x)) / log1p(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Log[1 + (-x)], $MachinePrecision] / N[Log[1 + x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024141 
(FPCore (x)
  :name "qlog (example 3.10)"
  :precision binary64
  :pre (<= (fabs x) 1.0)

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (log1p (- x)) (log1p x)))

  (/ (log (- 1.0 x)) (log (+ 1.0 x))))