2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.6% → 99.4%

Time: 39.2s

Alternatives: 12

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - t\_0 \cdot -0.3333333333333333\right) + t\_0 \cdot \left(t\_0 + 1\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -1.4444444444444444\right) + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)))
   (+
    eps
    (*
     eps
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))
        (*
         eps
         (-
          (+
           (- 0.3333333333333333 (* t_0 -0.3333333333333333))
           (* t_0 (+ t_0 1.0)))
          (*
           eps
           (+
            (* x (+ -0.3333333333333333 (* (* x x) -1.4444444444444444)))
            (* x -0.3333333333333333))))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * ((tan(x) + pow(tan(x), 3.0)) + (eps * (((0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333)) + (t_0 * (t_0 + 1.0))) - (eps * ((x * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * -1.4444444444444444))) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    code = eps + (eps * (t_0 + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)) + (eps * (((0.3333333333333333d0 - (t_0 * (-0.3333333333333333d0))) + (t_0 * (t_0 + 1.0d0))) - (eps * ((x * ((-0.3333333333333333d0) + ((x * x) * (-1.4444444444444444d0)))) + (x * (-0.3333333333333333d0))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * ((Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0)) + (eps * (((0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333)) + (t_0 * (t_0 + 1.0))) - (eps * ((x * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * -1.4444444444444444))) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * ((math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)) + (eps * (((0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333)) + (t_0 * (t_0 + 1.0))) - (eps * ((x * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * -1.4444444444444444))) + (x * -0.3333333333333333)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + Float64(eps * Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 - Float64(t_0 * -0.3333333333333333)) + Float64(t_0 * Float64(t_0 + 1.0))) - Float64(eps * Float64(Float64(x * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * -1.4444444444444444))) + Float64(x * -0.3333333333333333))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	tmp = eps + (eps * (t_0 + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + (eps * (((0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333)) + (t_0 * (t_0 + 1.0))) - (eps * ((x * (-0.3333333333333333 + ((x * x) * -1.4444444444444444))) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(eps * N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[(0.3333333333333333 - N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(x * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -1.4444444444444444), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) + {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(-0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-13}{9} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-13}{9} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-13}{9} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-13}{9} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-13}{9} \cdot {x}^{2}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{-13}{9}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-13}{9}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-13}{9}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-13}{9}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) + {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -1.4444444444444444 + -0.3333333333333333\right)} + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-13}{9}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-13}{9}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \left(x \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-13}{9}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) + {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -1.4444444444444444 + -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{x \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \]

14. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) + {\tan x}^{2} \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot -1.4444444444444444\right) + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (+
    (pow (tan x) 2.0)
    (* eps (+ (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0)) (* eps 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (pow(tan(x), 2.0) + (eps * ((tan(x) + pow(tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((tan(x) ** 2.0d0) + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)) + (eps * 0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + (eps * ((Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (math.pow(math.tan(x), 2.0) + (eps * ((math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64((tan(x) ^ 2.0) + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + Float64(eps * 0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((tan(x) ^ 2.0) + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) + {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(-0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot 0.3333333333333333}\right)\right) + \varepsilon \]

11. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + 1\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ (+ (pow (tan x) 2.0) 1.0) (* eps (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((pow(tan(x), 2.0) + 1.0) + (eps * (tan(x) + pow(tan(x), 3.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (((tan(x) ** 2.0d0) + 1.0d0) + (eps * (tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + 1.0) + (eps * (Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((math.pow(math.tan(x), 2.0) + 1.0) + (eps * (math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64((tan(x) ^ 2.0) + 1.0) + Float64(eps * Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (((tan(x) ^ 2.0) + 1.0) + (eps * (tan(x) + (tan(x) ^ 3.0))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan \color{blue}{x} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x + \tan \varepsilon}} - \tan \color{blue}{x} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \left(\tan x + \tan \varepsilon\right) - \tan \color{blue}{x} \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, \color{blue}{\tan x + \tan \varepsilon}, \mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right)}, \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{\tan x} + \tan \varepsilon\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right), \left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right)\right)\right), \left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right)\right)\right), \left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   10. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\tan x, \color{blue}{\tan \varepsilon}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   12. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \color{blue}{\varepsilon}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   13. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(0 - \tan x\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \tan x\right)\right) \]

   16. tan-lowering-tan.f64 60.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 60.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, \tan x + \tan \varepsilon, 0 - \tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + 1 \cdot \frac{\color{blue}{{\sin x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   5. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + \color{blue}{\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   7. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left({\tan x}^{2} + 1\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (+
    (pow (tan x) 2.0)
    (+
     (* 0.3333333333333333 (* eps eps))
     (* (* eps x) (+ 1.0 (* (* eps eps) 0.6666666666666666))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (pow(tan(x), 2.0) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((eps * x) * (1.0 + ((eps * eps) * 0.6666666666666666))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((tan(x) ** 2.0d0) + ((0.3333333333333333d0 * (eps * eps)) + ((eps * x) * (1.0d0 + ((eps * eps) * 0.6666666666666666d0))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((eps * x) * (1.0 + ((eps * eps) * 0.6666666666666666))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (math.pow(math.tan(x), 2.0) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((eps * x) * (1.0 + ((eps * eps) * 0.6666666666666666))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64((tan(x) ^ 2.0) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)) + Float64(Float64(eps * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(eps * eps) * 0.6666666666666666)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((tan(x) ^ 2.0) + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((eps * x) * (1.0 + ((eps * eps) * 0.6666666666666666))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(eps * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(eps * eps), $MachinePrecision] * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) + {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(-0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(\left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot x\right), \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{2}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.6%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right) + \varepsilon \]

11. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+ eps (* eps (+ (pow (tan x) 2.0) (* 0.3333333333333333 (* eps eps))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (pow(tan(x), 2.0) + (0.3333333333333333 * (eps * eps))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((tan(x) ** 2.0d0) + (0.3333333333333333d0 * (eps * eps))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + (0.3333333333333333 * (eps * eps))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (math.pow(math.tan(x), 2.0) + (0.3333333333333333 * (eps * eps))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64((tan(x) ^ 2.0) + Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((tan(x) ^ 2.0) + (0.3333333333333333 * (eps * eps))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) + {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(-0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.4%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right) + \varepsilon \]

11. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.3% accurate, 6.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (+
    (* 0.3333333333333333 (* eps eps))
    (*
     (* x x)
     (+
      1.0
      (*
       (* x x)
       (+
        0.6666666666666666
        (*
         (* x x)
         (+ 0.37777777777777777 (* (* x x) 0.19682539682539682)))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((0.3333333333333333d0 * (eps * eps)) + ((x * x) * (1.0d0 + ((x * x) * (0.6666666666666666d0 + ((x * x) * (0.37777777777777777d0 + ((x * x) * 0.19682539682539682d0)))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)) + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.6666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.37777777777777777 + Float64(Float64(x * x) * 0.19682539682539682))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.37777777777777777 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.19682539682539682), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) + {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(-0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.4%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right) + \varepsilon \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    12. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \left(\frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \left({x}^{2} \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 98.9%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) + \varepsilon \]

14. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.2% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\varepsilon + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  (+ eps (* 0.3333333333333333 (* eps (* eps eps))))
  (*
   (* x x)
   (+
    eps
    (*
     (* x x)
     (+
      (* 0.37777777777777777 (* eps (* x x)))
      (* eps 0.6666666666666666)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return (eps + (0.3333333333333333 * (eps * (eps * eps)))) + ((x * x) * (eps + ((x * x) * ((0.37777777777777777 * (eps * (x * x))) + (eps * 0.6666666666666666)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (eps + (0.3333333333333333d0 * (eps * (eps * eps)))) + ((x * x) * (eps + ((x * x) * ((0.37777777777777777d0 * (eps * (x * x))) + (eps * 0.6666666666666666d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return (eps + (0.3333333333333333 * (eps * (eps * eps)))) + ((x * x) * (eps + ((x * x) * ((0.37777777777777777 * (eps * (x * x))) + (eps * 0.6666666666666666)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return (eps + (0.3333333333333333 * (eps * (eps * eps)))) + ((x * x) * (eps + ((x * x) * ((0.37777777777777777 * (eps * (x * x))) + (eps * 0.6666666666666666)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(eps + Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * Float64(eps * eps)))) + Float64(Float64(x * x) * Float64(eps + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(0.37777777777777777 * Float64(eps * Float64(x * x))) + Float64(eps * 0.6666666666666666))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = (eps + (0.3333333333333333 * (eps * (eps * eps)))) + ((x * x) * (eps + ((x * x) * ((0.37777777777777777 * (eps * (x * x))) + (eps * 0.6666666666666666)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(eps + N[(0.3333333333333333 * N[(eps * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(eps + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(0.37777777777777777 * N[(eps * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) + {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(-0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.4%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right) + \varepsilon \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{3} + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(\varepsilon + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{3}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{3}\right)\right)\right), \left({x}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

    5. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)}\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \]

    13. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right) + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)} + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)} + \frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{17}{45} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\varepsilon + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 0.37777777777777777 + \varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \]

14. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto \left(\varepsilon + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.37777777777777777 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.2% accurate, 7.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (+
    (* 0.3333333333333333 (* eps eps))
    (*
     (* x x)
     (+
      1.0
      (* (* x x) (+ 0.6666666666666666 (* (* x x) 0.37777777777777777)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((0.3333333333333333d0 * (eps * eps)) + ((x * x) * (1.0d0 + ((x * x) * (0.6666666666666666d0 + ((x * x) * 0.37777777777777777d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777)))))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777)))))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)) + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.6666666666666666 + Float64(Float64(x * x) * 0.37777777777777777))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.6666666666666666 + ((x * x) * 0.37777777777777777)))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.37777777777777777), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) + {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(-0.3333333333333333 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.4%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right) + \varepsilon \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(\frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 98.8%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right)\right)} + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) + \varepsilon \]

14. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.37777777777777777\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.2% accurate, 13.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + x \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* eps (+ 1.0 (+ (* 0.3333333333333333 (* eps eps)) (* x (+ eps x))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (x * (eps + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + ((0.3333333333333333d0 * (eps * eps)) + (x * (eps + x))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (x * (eps + x))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (x * (eps + x))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(eps * eps)) + Float64(x * Float64(eps + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + ((0.3333333333333333 * (eps * eps)) + (x * (eps + x))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(N[(0.3333333333333333 * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(eps + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(\varepsilon \cdot x + x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

    2. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + \color{blue}{x \cdot \left(\varepsilon + x\right)}\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.1% accurate, 22.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* x (* eps (+ eps x)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (eps * (eps + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (x * (eps * (eps + x)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (x * (eps * (eps + x)));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (x * (eps * (eps + x)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (x * (eps * (eps + x)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(x * N[(eps * N[(eps + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan \color{blue}{x} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}{\tan x + \tan \varepsilon}} - \tan \color{blue}{x} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} \cdot \left(\tan x + \tan \varepsilon\right) - \tan \color{blue}{x} \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, \color{blue}{\tan x + \tan \varepsilon}, \mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right) \]

   5. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \color{blue}{\left(\tan x + \tan \varepsilon\right)}, \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{\tan x} + \tan \varepsilon\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right), \left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right)\right)\right), \left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right)\right)\right), \left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   10. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\tan x, \color{blue}{\tan \varepsilon}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   12. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \color{blue}{\varepsilon}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   13. tan-lowering-tan.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\tan x\right)\right)\right) \]

   14. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(0 - \tan x\right)\right) \]

   15. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \tan x\right)\right) \]

   16. tan-lowering-tan.f64 60.5%

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 60.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}, \tan x + \tan \varepsilon, 0 - \tan x\right)} \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\left(1 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + 1 \cdot \frac{\color{blue}{{\sin x}^{2}}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

   5. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + 1\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + \color{blue}{\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   7. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + -1 \cdot \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{{\sin x}^{3}}{{\cos x}^{3}}\right)\right) + \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x + {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({\varepsilon}^{2} + \color{blue}{\varepsilon \cdot x}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \color{blue}{\varepsilon} \cdot x\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon + x\right)}\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon + x\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 98.1% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ 1.0 (* x x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (1.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (1.0 + (x * x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (1.0 + (x * x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(1.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (1.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2} + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \frac{4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + {x}^{2}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 98.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 97.7% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 60.4%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \varepsilon, \color{blue}{\cos \varepsilon}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \cos \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 98.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right) \]

5. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

6. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024141 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))