math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 65.6% → 99.5%

Time: 10.9s

Alternatives: 18

Speedup: 2.8×

• 49.5% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 65.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -1 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(im\_m \cdot im\_m, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im\_m}^{3} - im\_m\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -1e+14)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (*
       (sin re)
       (-
        (*
         (fma (* im_m im_m) -0.008333333333333333 -0.16666666666666666)
         (pow im_m 3.0))
        im_m))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -1e+14) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = sin(re) * ((fma((im_m * im_m), -0.008333333333333333, -0.16666666666666666) * pow(im_m, 3.0)) - im_m);
	}
	return im_s * tmp;
}

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -1e+14)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(fma(Float64(im_m * im_m), -0.008333333333333333, -0.16666666666666666) * (im_m ^ 3.0)) - im_m));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -1e+14], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333 + -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[Power[im$95$m, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -1e14

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -1e14 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 52.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 89.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + -1 \cdot \sin re\right)} \]

      2. mul-1-neg 89.0%

         \[\leadsto im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + \color{blue}{\left(-\sin re\right)}\right) \]

      3. unsub-neg 89.0%

         \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) - \sin re\right)} \]

      4. distribute-lft-out-- 89.0%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) - im \cdot \sin re} \]

      5. associate-*r* 89.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      6. *-commutative 89.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + -0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) \cdot \left(im \cdot {im}^{2}\right)} - im \cdot \sin re \]

      7. associate-*r* 89.0%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re + \color{blue}{\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re}\right) \cdot \left(im \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re \]

      8. distribute-rgt-out 89.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right)\right)} \cdot \left(im \cdot {im}^{2}\right) - im \cdot \sin re \]

      9. associate-*l* 90.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(im \cdot {im}^{2}\right)\right)} - im \cdot \sin re \]

      10. *-commutative 90.4%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 + -0.008333333333333333 \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(im \cdot {im}^{2}\right)\right) - \color{blue}{\sin re \cdot im} \]

   5. Simplified 90.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left({im}^{2}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 90.5%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.5%

      \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -1 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(im \cdot im, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im\_m} - e^{im\_m}\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -1 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im_m)) (exp im_m))) (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -1e+14)
      (* t_0 t_1)
      (*
       t_1
       (*
        im_m
        (-
         (*
          (* im_m im_m)
          (- (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
         2.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -1e+14) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m)
    t_1 = 0.5d0 * sin(re)
    if (t_0 <= (-1d+14)) then
        tmp = t_0 * t_1
    else
        tmp = t_1 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -1e+14) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)
	t_1 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if t_0 <= -1e+14:
		tmp = t_0 * t_1
	else:
		tmp = t_1 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -1e+14)
		tmp = Float64(t_0 * t_1);
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp(-im_m) - exp(im_m);
	t_1 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -1e+14)
		tmp = t_0 * t_1;
	else
		tmp = t_1 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -1e+14], N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -1e14

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -1e14 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 52.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 90.5%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   5. Applied egg-rr 90.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 90.5%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -1 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im\_m} - e^{im\_m} \leq -1 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= (- (exp (- im_m)) (exp im_m)) -1e+14)
      (* t_0 (- 0.3333333333333333 (exp im_m)))
      (*
       t_0
       (*
        im_m
        (-
         (*
          (* im_m im_m)
          (- (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
         2.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if ((exp(-im_m) - exp(im_m)) <= -1e+14) {
		tmp = t_0 * (0.3333333333333333 - exp(im_m));
	} else {
		tmp = t_0 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 * sin(re)
    if ((exp(-im_m) - exp(im_m)) <= (-1d+14)) then
        tmp = t_0 * (0.3333333333333333d0 - exp(im_m))
    else
        tmp = t_0 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if ((Math.exp(-im_m) - Math.exp(im_m)) <= -1e+14) {
		tmp = t_0 * (0.3333333333333333 - Math.exp(im_m));
	} else {
		tmp = t_0 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if (math.exp(-im_m) - math.exp(im_m)) <= -1e+14:
		tmp = t_0 * (0.3333333333333333 - math.exp(im_m))
	else:
		tmp = t_0 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (Float64(exp(Float64(-im_m)) - exp(im_m)) <= -1e+14)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.3333333333333333 - exp(im_m)));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if ((exp(-im_m) - exp(im_m)) <= -1e+14)
		tmp = t_0 * (0.3333333333333333 - exp(im_m));
	else
		tmp = t_0 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(N[Exp[(-im$95$m)], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -1e+14], N[(t$95$0 * N[(0.3333333333333333 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -1e14

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333} - e^{im}\right) \]

   if -1e14 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 52.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 90.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 90.5%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   5. Applied egg-rr 90.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 90.5%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -1 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 94.8% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 32 \lor \neg \left(im\_m \leq 1.7 \cdot 10^{+61}\right):\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (or (<= im_m 32.0) (not (<= im_m 1.7e+61)))
    (*
     (* 0.5 (sin re))
     (*
      im_m
      (-
       (*
        (* im_m im_m)
        (- (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
       2.0)))
    (* 0.5 (- 0.3333333333333333 (exp im_m))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if ((im_m <= 32.0) || !(im_m <= 1.7e+61)) {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	} else {
		tmp = 0.5 * (0.3333333333333333 - exp(im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if ((im_m <= 32.0d0) .or. (.not. (im_m <= 1.7d+61))) then
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0))
    else
        tmp = 0.5d0 * (0.3333333333333333d0 - exp(im_m))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if ((im_m <= 32.0) || !(im_m <= 1.7e+61)) {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	} else {
		tmp = 0.5 * (0.3333333333333333 - Math.exp(im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if (im_m <= 32.0) or not (im_m <= 1.7e+61):
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0))
	else:
		tmp = 0.5 * (0.3333333333333333 - math.exp(im_m))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if ((im_m <= 32.0) || !(im_m <= 1.7e+61))
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(0.3333333333333333 - exp(im_m)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if ((im_m <= 32.0) || ~((im_m <= 1.7e+61)))
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	else
		tmp = 0.5 * (0.3333333333333333 - exp(im_m));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[Or[LessEqual[im$95$m, 32.0], N[Not[LessEqual[im$95$m, 1.7e+61]], $MachinePrecision]], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(0.3333333333333333 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 32 or 1.70000000000000013e61 < im

   1. Initial program 62.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 92.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 92.1%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   5. Applied egg-rr 92.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 92.1%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 92.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]

   if 32 < im < 1.70000000000000013e61

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333} - e^{im}\right) \]

   6. Applied egg-rr 58.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 32 \lor \neg \left(im \leq 1.7 \cdot 10^{+61}\right):\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 63.0% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.05:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot -2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (-
           (*
            (* im_m im_m)
            (- (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
           2.0))))
   (* im_s (if (<= (sin re) -0.05) (* t_0 -2.0) (* t_0 (* 0.5 re))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0);
	double tmp;
	if (sin(re) <= -0.05) {
		tmp = t_0 * -2.0;
	} else {
		tmp = t_0 * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0)
    if (sin(re) <= (-0.05d0)) then
        tmp = t_0 * (-2.0d0)
    else
        tmp = t_0 * (0.5d0 * re)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0);
	double tmp;
	if (Math.sin(re) <= -0.05) {
		tmp = t_0 * -2.0;
	} else {
		tmp = t_0 * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)
	tmp = 0
	if math.sin(re) <= -0.05:
		tmp = t_0 * -2.0
	else:
		tmp = t_0 * (0.5 * re)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0))
	tmp = 0.0
	if (sin(re) <= -0.05)
		tmp = Float64(t_0 * -2.0);
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0);
	tmp = 0.0;
	if (sin(re) <= -0.05)
		tmp = t_0 * -2.0;
	else
		tmp = t_0 * (0.5 * re);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[Sin[re], $MachinePrecision], -0.05], N[(t$95$0 * -2.0), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (sin.f64 re) < -0.050000000000000003

   1. Initial program 58.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 88.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 88.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   5. Applied egg-rr 88.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 88.3%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 88.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 51.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-2} \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]

   if -0.050000000000000003 < (sin.f64 re)

   1. Initial program 65.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 87.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 87.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   5. Applied egg-rr 87.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 87.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 87.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0 60.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sin re \leq -0.05:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \cdot -2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 83.5% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 95000:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 9.2 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;\left(0.3333333333333333 - e^{im\_m}\right) \cdot -2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 95000.0)
    (* im_m (- (sin re)))
    (if (<= im_m 9.2e+41)
      (* (- 0.3333333333333333 (exp im_m)) -2.0)
      (*
       (*
        im_m
        (-
         (*
          (* im_m im_m)
          (- (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
         2.0))
       (* 0.5 re))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 95000.0) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else if (im_m <= 9.2e+41) {
		tmp = (0.3333333333333333 - exp(im_m)) * -2.0;
	} else {
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 95000.0d0) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else if (im_m <= 9.2d+41) then
        tmp = (0.3333333333333333d0 - exp(im_m)) * (-2.0d0)
    else
        tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0)) * (0.5d0 * re)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 95000.0) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else if (im_m <= 9.2e+41) {
		tmp = (0.3333333333333333 - Math.exp(im_m)) * -2.0;
	} else {
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 95000.0:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	elif im_m <= 9.2e+41:
		tmp = (0.3333333333333333 - math.exp(im_m)) * -2.0
	else:
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * (0.5 * re)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 95000.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	elseif (im_m <= 9.2e+41)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 - exp(im_m)) * -2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * Float64(0.5 * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 95000.0)
		tmp = im_m * -sin(re);
	elseif (im_m <= 9.2e+41)
		tmp = (0.3333333333333333 - exp(im_m)) * -2.0;
	else
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * (0.5 * re);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 95000.0], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 9.2e+41], N[(N[(0.3333333333333333 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 95000

   1. Initial program 52.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 68.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 68.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 95000 < im < 9.1999999999999994e41

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333} - e^{im}\right) \]

   6. Applied egg-rr 37.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-2} \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right) \]

   if 9.1999999999999994e41 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 93.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 93.1%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   5. Applied egg-rr 93.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 93.1%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 93.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0 57.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 65.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 95000:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.2 \cdot 10^{+41}:\\ \;\;\;\;\left(0.3333333333333333 - e^{im}\right) \cdot -2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 74.8% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 28:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 28.0)
    (* im_m (- (sin re)))
    (* 0.5 (- 0.3333333333333333 (exp im_m))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 28.0) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = 0.5 * (0.3333333333333333 - exp(im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 28.0d0) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = 0.5d0 * (0.3333333333333333d0 - exp(im_m))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 28.0) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = 0.5 * (0.3333333333333333 - Math.exp(im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 28.0:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = 0.5 * (0.3333333333333333 - math.exp(im_m))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 28.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(0.3333333333333333 - exp(im_m)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 28.0)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = 0.5 * (0.3333333333333333 - exp(im_m));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 28.0], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(0.3333333333333333 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 28

   1. Initial program 52.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 69.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 69.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 69.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 69.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 28 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333} - e^{im}\right) \]

   6. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 66.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 28:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 74.8% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 32:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.25 \cdot \left(27 - e^{im\_m}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 32.0) (* im_m (- (sin re))) (* 0.25 (- 27.0 (exp im_m))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 32.0) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = 0.25 * (27.0 - exp(im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 32.0d0) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = 0.25d0 * (27.0d0 - exp(im_m))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 32.0) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = 0.25 * (27.0 - Math.exp(im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 32.0:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = 0.25 * (27.0 - math.exp(im_m))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 32.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(0.25 * Float64(27.0 - exp(im_m)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 32.0)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = 0.25 * (27.0 - exp(im_m));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 32.0], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(0.25 * N[(27.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 32

   1. Initial program 52.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 69.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 69.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 69.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 69.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 32 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.25} \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   6. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto 0.25 \cdot \left(\color{blue}{27} - e^{im}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 66.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 32:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.25 \cdot \left(27 - e^{im}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 81.2% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 8.6 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 8.6e+26)
    (* im_m (- (sin re)))
    (*
     (*
      im_m
      (-
       (*
        (* im_m im_m)
        (- (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
       2.0))
     (* 0.5 re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 8.6e+26) {
		tmp = im_m * -sin(re);
	} else {
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 8.6d+26) then
        tmp = im_m * -sin(re)
    else
        tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0)) * (0.5d0 * re)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 8.6e+26) {
		tmp = im_m * -Math.sin(re);
	} else {
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 8.6e+26:
		tmp = im_m * -math.sin(re)
	else:
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * (0.5 * re)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 8.6e+26)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-sin(re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * Float64(0.5 * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 8.6e+26)
		tmp = im_m * -sin(re);
	else
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * (0.5 * re);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 8.6e+26], N[(im$95$m * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 8.5999999999999996e26

   1. Initial program 53.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 67.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 67.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 67.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 67.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   if 8.5999999999999996e26 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 87.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 87.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   5. Applied egg-rr 87.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 87.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 87.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in re around 0 55.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 8.6 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 46.4% accurate, 11.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2.25 \cdot 10^{+52}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.3 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \cdot -2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(2 + im\_m \cdot \left(1 - im\_m \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 2.25e+52)
    (* im_m (- re))
    (if (<= im_m 4.3e+99)
      (*
       (*
        im_m
        (-
         (*
          (* im_m im_m)
          (- (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
         2.0))
       -2.0)
      (+
       1.3333333333333333
       (* im_m (+ 2.0 (* im_m (- 1.0 (* im_m 0.3333333333333333))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.25e+52) {
		tmp = im_m * -re;
	} else if (im_m <= 4.3e+99) {
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * -2.0;
	} else {
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (2.0 + (im_m * (1.0 - (im_m * 0.3333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 2.25d+52) then
        tmp = im_m * -re
    else if (im_m <= 4.3d+99) then
        tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0)) * (-2.0d0)
    else
        tmp = 1.3333333333333333d0 + (im_m * (2.0d0 + (im_m * (1.0d0 - (im_m * 0.3333333333333333d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.25e+52) {
		tmp = im_m * -re;
	} else if (im_m <= 4.3e+99) {
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * -2.0;
	} else {
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (2.0 + (im_m * (1.0 - (im_m * 0.3333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 2.25e+52:
		tmp = im_m * -re
	elif im_m <= 4.3e+99:
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * -2.0
	else:
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (2.0 + (im_m * (1.0 - (im_m * 0.3333333333333333)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2.25e+52)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-re));
	elseif (im_m <= 4.3e+99)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * -2.0);
	else
		tmp = Float64(1.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(2.0 + Float64(im_m * Float64(1.0 - Float64(im_m * 0.3333333333333333))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2.25e+52)
		tmp = im_m * -re;
	elseif (im_m <= 4.3e+99)
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * -2.0;
	else
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (2.0 + (im_m * (1.0 - (im_m * 0.3333333333333333)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2.25e+52], N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4.3e+99], N[(N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision], N[(1.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(2.0 + N[(im$95$m * N[(1.0 - N[(im$95$m * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.25e52

   1. Initial program 54.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 65.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 65.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 65.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 65.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 37.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 37.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

      2. mul-1-neg 37.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

   8. Simplified 37.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]

   if 2.25e52 < im < 4.3000000000000001e99

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 93.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 93.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   5. Applied egg-rr 93.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 93.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 93.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 35.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-2} \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]

   if 4.3000000000000001e99 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333} - e^{im}\right) \]

   6. Applied egg-rr 43.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-2} \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right) \]

   7. Taylor expanded in im around 0 43.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot im\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 43.2%

         \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{im \cdot 0.3333333333333333}\right)\right) \]

   9. Simplified 43.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + im \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-sqr-sqrt 43.2%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       2. sqrt-prod 43.2%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{im \cdot im}} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       3. sqr-neg 43.2%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       4. add-cube-cbrt 43.2%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\left(-\color{blue}{\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot \sqrt[3]{im}}\right) \cdot \left(-im\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       5. unpow2 43.2%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\left(-\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot \left(-im\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       6. distribute-rgt-neg-out 43.2%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right)} \cdot \left(-im\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       7. add-cube-cbrt 43.2%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right) \cdot \left(-\color{blue}{\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot \sqrt[3]{im}}\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       8. unpow2 43.2%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right) \cdot \left(-\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{im}\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       9. distribute-rgt-neg-out 43.2%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right)}} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       10. sqrt-unprod 0.0%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{{\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)} \cdot \sqrt{{\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)}\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       11. add-sqr-sqrt 56.8%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-neg-out 56.8%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-{\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{im}\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       13. unpow2 56.8%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \left(-\color{blue}{\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right)} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       14. add-cube-cbrt 56.8%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \left(-\color{blue}{im}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       15. cancel-sign-sub-inv 56.8%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \color{blue}{\left(1 - im \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) \]

   11. Applied egg-rr 56.8%

       \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \color{blue}{\left(1 - im \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 40.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.25 \cdot 10^{+52}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.3 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \cdot -2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 - im \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 43.7% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.6 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2.9 \cdot 10^{+98}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(2 + im\_m \cdot \left(1 - im\_m \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.6e+51)
    (* im_m (- re))
    (if (<= im_m 2.9e+98)
      (* im_m re)
      (+
       1.3333333333333333
       (* im_m (+ 2.0 (* im_m (- 1.0 (* im_m 0.3333333333333333))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.6e+51) {
		tmp = im_m * -re;
	} else if (im_m <= 2.9e+98) {
		tmp = im_m * re;
	} else {
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (2.0 + (im_m * (1.0 - (im_m * 0.3333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.6d+51) then
        tmp = im_m * -re
    else if (im_m <= 2.9d+98) then
        tmp = im_m * re
    else
        tmp = 1.3333333333333333d0 + (im_m * (2.0d0 + (im_m * (1.0d0 - (im_m * 0.3333333333333333d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.6e+51) {
		tmp = im_m * -re;
	} else if (im_m <= 2.9e+98) {
		tmp = im_m * re;
	} else {
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (2.0 + (im_m * (1.0 - (im_m * 0.3333333333333333)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.6e+51:
		tmp = im_m * -re
	elif im_m <= 2.9e+98:
		tmp = im_m * re
	else:
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (2.0 + (im_m * (1.0 - (im_m * 0.3333333333333333)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.6e+51)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-re));
	elseif (im_m <= 2.9e+98)
		tmp = Float64(im_m * re);
	else
		tmp = Float64(1.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(2.0 + Float64(im_m * Float64(1.0 - Float64(im_m * 0.3333333333333333))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.6e+51)
		tmp = im_m * -re;
	elseif (im_m <= 2.9e+98)
		tmp = im_m * re;
	else
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (2.0 + (im_m * (1.0 - (im_m * 0.3333333333333333)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.6e+51], N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2.9e+98], N[(im$95$m * re), $MachinePrecision], N[(1.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(2.0 + N[(im$95$m * N[(1.0 - N[(im$95$m * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 1.6000000000000001e51

   1. Initial program 54.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 65.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 65.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 65.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 65.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 37.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 37.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

      2. mul-1-neg 37.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

   8. Simplified 37.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]

   if 1.6000000000000001e51 < im < 2.9000000000000001e98

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 3.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 3.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 3.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 3.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 2.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 2.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

      2. mul-1-neg 2.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

   8. Simplified 2.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{-im} \cdot \sqrt{-im}\right)} \cdot re \]

      2. sqrt-unprod 18.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} \cdot re \]

      3. sqr-neg 18.4%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{im \cdot im}} \cdot re \]

      4. sqrt-prod 18.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} \cdot re \]

      5. add-sqr-sqrt 18.4%

         \[\leadsto \color{blue}{im} \cdot re \]

      6. pow1 18.4%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(im \cdot re\right)}^{1}} \]

   10. Applied egg-rr 18.4%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(im \cdot re\right)}^{1}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow1 18.4%

          \[\leadsto \color{blue}{im \cdot re} \]

   12. Simplified 18.4%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot re} \]

   if 2.9000000000000001e98 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333} - e^{im}\right) \]

   6. Applied egg-rr 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-2} \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right) \]

   7. Taylor expanded in im around 0 41.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot im\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 41.6%

         \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{im \cdot 0.3333333333333333}\right)\right) \]

   9. Simplified 41.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + im \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-sqr-sqrt 41.6%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       2. sqrt-prod 41.6%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{im \cdot im}} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       3. sqr-neg 41.6%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       4. add-cube-cbrt 41.6%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\left(-\color{blue}{\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot \sqrt[3]{im}}\right) \cdot \left(-im\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       5. unpow2 41.6%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\left(-\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot \left(-im\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       6. distribute-rgt-neg-out 41.6%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right)} \cdot \left(-im\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       7. add-cube-cbrt 41.6%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right) \cdot \left(-\color{blue}{\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot \sqrt[3]{im}}\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       8. unpow2 41.6%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right) \cdot \left(-\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{im}\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       9. distribute-rgt-neg-out 41.6%

          \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \sqrt{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right)}} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       10. sqrt-unprod 0.0%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{{\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)} \cdot \sqrt{{\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)}\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       11. add-sqr-sqrt 53.8%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \left(-\sqrt[3]{im}\right)\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-neg-out 53.8%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-{\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{im}\right)} \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       13. unpow2 53.8%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \left(-\color{blue}{\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right)} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       14. add-cube-cbrt 53.8%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 + \left(-\color{blue}{im}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]

       15. cancel-sign-sub-inv 53.8%

           \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \color{blue}{\left(1 - im \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) \]

   11. Applied egg-rr 53.8%

       \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \color{blue}{\left(1 - im \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 39.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.6 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.9 \cdot 10^{+98}:\\ \;\;\;\;im \cdot re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im \cdot \left(1 - im \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 46.6% accurate, 14.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.4 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \cdot 8\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 3.4e+50)
    (* im_m (- re))
    (*
     (*
      im_m
      (-
       (*
        (* im_m im_m)
        (- (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
       2.0))
     8.0))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.4e+50) {
		tmp = im_m * -re;
	} else {
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * 8.0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 3.4d+50) then
        tmp = im_m * -re
    else
        tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0)) * 8.0d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 3.4e+50) {
		tmp = im_m * -re;
	} else {
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * 8.0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 3.4e+50:
		tmp = im_m * -re
	else:
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * 8.0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.4e+50)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-re));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * 8.0);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.4e+50)
		tmp = im_m * -re;
	else
		tmp = (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)) * 8.0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.4e+50], N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 8.0), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.3999999999999998e50

   1. Initial program 54.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 66.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 66.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 38.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 38.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

      2. mul-1-neg 38.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

   8. Simplified 38.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]

   if 3.3999999999999998e50 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 94.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 94.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   5. Applied egg-rr 94.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 94.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 94.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 55.0%

      \[\leadsto \color{blue}{8} \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 41.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.4 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \cdot 8\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 46.6% accurate, 14.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 6.2 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 6.2e+49)
    (* im_m (- re))
    (*
     0.5
     (*
      im_m
      (-
       (*
        (* im_m im_m)
        (- (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666) 0.3333333333333333))
       2.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 6.2e+49) {
		tmp = im_m * -re;
	} else {
		tmp = 0.5 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 6.2d+49) then
        tmp = im_m * -re
    else
        tmp = 0.5d0 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)) - 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 6.2e+49) {
		tmp = im_m * -re;
	} else {
		tmp = 0.5 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 6.2e+49:
		tmp = im_m * -re
	else:
		tmp = 0.5 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 6.2e+49)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-re));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 6.2e+49)
		tmp = im_m * -re;
	else
		tmp = 0.5 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * -0.016666666666666666) - 0.3333333333333333)) - 2.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 6.2e+49], N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 6.19999999999999985e49

   1. Initial program 54.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 66.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 66.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 38.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 38.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

      2. mul-1-neg 38.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

   8. Simplified 38.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]

   if 6.19999999999999985e49 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 94.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{2} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow2 94.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   5. Applied egg-rr 94.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)} - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 94.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{im \cdot im}, -0.008333333333333333, -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{3} - im\right) \]

   7. Applied egg-rr 94.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 55.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right) - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 41.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 6.2 \cdot 10^{+49}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 - 0.3333333333333333\right) - 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 36.6% accurate, 18.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 8.5 \cdot 10^{+174} \lor \neg \left(im\_m \leq 8.2 \cdot 10^{+250}\right):\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m + 2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (or (<= im_m 8.5e+174) (not (<= im_m 8.2e+250)))
    (* im_m (- re))
    (+ 1.3333333333333333 (* im_m (+ im_m 2.0))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if ((im_m <= 8.5e+174) || !(im_m <= 8.2e+250)) {
		tmp = im_m * -re;
	} else {
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (im_m + 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if ((im_m <= 8.5d+174) .or. (.not. (im_m <= 8.2d+250))) then
        tmp = im_m * -re
    else
        tmp = 1.3333333333333333d0 + (im_m * (im_m + 2.0d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if ((im_m <= 8.5e+174) || !(im_m <= 8.2e+250)) {
		tmp = im_m * -re;
	} else {
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (im_m + 2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if (im_m <= 8.5e+174) or not (im_m <= 8.2e+250):
		tmp = im_m * -re
	else:
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (im_m + 2.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if ((im_m <= 8.5e+174) || !(im_m <= 8.2e+250))
		tmp = Float64(im_m * Float64(-re));
	else
		tmp = Float64(1.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m + 2.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if ((im_m <= 8.5e+174) || ~((im_m <= 8.2e+250)))
		tmp = im_m * -re;
	else
		tmp = 1.3333333333333333 + (im_m * (im_m + 2.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[Or[LessEqual[im$95$m, 8.5e+174], N[Not[LessEqual[im$95$m, 8.2e+250]], $MachinePrecision]], N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision], N[(1.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 8.5000000000000007e174 or 8.19999999999999999e250 < im

   1. Initial program 61.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 56.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 56.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 35.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 35.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

      2. mul-1-neg 35.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

   8. Simplified 35.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]

   if 8.5000000000000007e174 < im < 8.19999999999999999e250

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333} - e^{im}\right) \]

   6. Applied egg-rr 50.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-2} \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right) \]

   7. Taylor expanded in im around 0 50.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1.3333333333333333 + im \cdot \left(2 + im\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 50.0%

         \[\leadsto 1.3333333333333333 + im \cdot \color{blue}{\left(im + 2\right)} \]

   9. Simplified 50.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1.3333333333333333 + im \cdot \left(im + 2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 36.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 8.5 \cdot 10^{+174} \lor \neg \left(im \leq 8.2 \cdot 10^{+250}\right):\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1.3333333333333333 + im \cdot \left(im + 2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 40.1% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2.65 \cdot 10^{+135}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.25 - 0.5\right) - 0.3333333333333333\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 2.65e+135)
    (* im_m (- re))
    (- (* im_m (- (* im_m -0.25) 0.5)) 0.3333333333333333))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.65e+135) {
		tmp = im_m * -re;
	} else {
		tmp = (im_m * ((im_m * -0.25) - 0.5)) - 0.3333333333333333;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 2.65d+135) then
        tmp = im_m * -re
    else
        tmp = (im_m * ((im_m * (-0.25d0)) - 0.5d0)) - 0.3333333333333333d0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.65e+135) {
		tmp = im_m * -re;
	} else {
		tmp = (im_m * ((im_m * -0.25) - 0.5)) - 0.3333333333333333;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 2.65e+135:
		tmp = im_m * -re
	else:
		tmp = (im_m * ((im_m * -0.25) - 0.5)) - 0.3333333333333333
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2.65e+135)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-re));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * -0.25) - 0.5)) - 0.3333333333333333);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2.65e+135)
		tmp = im_m * -re;
	else
		tmp = (im_m * ((im_m * -0.25) - 0.5)) - 0.3333333333333333;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2.65e+135], N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * -0.25), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.65000000000000008e135

   1. Initial program 58.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 60.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 60.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 60.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 60.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 35.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 35.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

      2. mul-1-neg 35.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

   8. Simplified 35.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]

   if 2.65000000000000008e135 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333} - e^{im}\right) \]

   6. Applied egg-rr 54.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right) \]

   7. Taylor expanded in im around 0 51.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-0.25 \cdot im - 0.5\right) - 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 37.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.65 \cdot 10^{+135}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(im \cdot -0.25 - 0.5\right) - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 32.7% accurate, 34.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.06 \cdot 10^{+247}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot re\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (if (<= re 1.06e+247) (* im_m (- re)) (* im_m re))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 1.06e+247) {
		tmp = im_m * -re;
	} else {
		tmp = im_m * re;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.06d+247) then
        tmp = im_m * -re
    else
        tmp = im_m * re
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 1.06e+247) {
		tmp = im_m * -re;
	} else {
		tmp = im_m * re;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 1.06e+247:
		tmp = im_m * -re
	else:
		tmp = im_m * re
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.06e+247)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-re));
	else
		tmp = Float64(im_m * re);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.06e+247)
		tmp = im_m * -re;
	else
		tmp = im_m * re;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 1.06e+247], N[(im$95$m * (-re)), $MachinePrecision], N[(im$95$m * re), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.05999999999999995e247

   1. Initial program 64.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 53.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 53.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 35.3%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 35.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

      2. mul-1-neg 35.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

   8. Simplified 35.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]

   if 1.05999999999999995e247 < re

   1. Initial program 58.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0 48.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 48.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

      2. neg-mul-1 48.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

   5. Simplified 48.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0 1.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 1.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

      2. mul-1-neg 1.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

   8. Simplified 1.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 0.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{-im} \cdot \sqrt{-im}\right)} \cdot re \]

      2. sqrt-unprod 21.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} \cdot re \]

      3. sqr-neg 21.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{im \cdot im}} \cdot re \]

      4. sqrt-prod 18.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} \cdot re \]

      5. add-sqr-sqrt 55.9%

         \[\leadsto \color{blue}{im} \cdot re \]

      6. pow1 55.9%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(im \cdot re\right)}^{1}} \]

   10. Applied egg-rr 55.9%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(im \cdot re\right)}^{1}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow1 55.9%

          \[\leadsto \color{blue}{im \cdot re} \]

   12. Simplified 55.9%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 36.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.06 \cdot 10^{+247}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot re\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 20.2% accurate, 102.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot re\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m re)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * re);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * re)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * re);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * re)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * re))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * re);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 63.9%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot \sin re} \]

   2. neg-mul-1 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot \sin re \]

5. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0 33.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 33.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right) \cdot re} \]

   2. mul-1-neg 33.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right)} \cdot re \]

8. Simplified 33.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot re} \]
9. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 18.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{-im} \cdot \sqrt{-im}\right)} \cdot re \]

   2. sqrt-unprod 31.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(-im\right) \cdot \left(-im\right)}} \cdot re \]

   3. sqr-neg 31.1%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{im \cdot im}} \cdot re \]

   4. sqrt-prod 11.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{im}\right)} \cdot re \]

   5. add-sqr-sqrt 22.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im} \cdot re \]

   6. pow1 22.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(im \cdot re\right)}^{1}} \]

10. Applied egg-rr 22.6%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(im \cdot re\right)}^{1}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. unpow1 22.6%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot re} \]

12. Simplified 22.6%

    \[\leadsto \color{blue}{im \cdot re} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 18: 2.8% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s -0.3333333333333333))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -0.3333333333333333;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (-0.3333333333333333d0)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * -0.3333333333333333;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * -0.3333333333333333

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * -0.3333333333333333)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * -0.3333333333333333;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 63.9%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 27.6%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333} - e^{im}\right) \]

6. Applied egg-rr 16.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5} \cdot \left(0.3333333333333333 - e^{im}\right) \]

7. Taylor expanded in im around 0 2.8%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333} \]
8. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024141 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))