math.sin on complex, real part

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 12.3s

Alternatives: 25

Speedup: 1.5×

• 49.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp((0.0d0 - im)) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp((0.0 - im)) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp((0.0d0 - im)) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp((0.0 - im)) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\frac{0.5}{e^{im}}, \sin re, 0.5 \cdot \left(e^{im} \cdot \sin re\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (fma (/ 0.5 (exp im)) (sin re) (* 0.5 (* (exp im) (sin re)))))

C

double code(double re, double im) {
	return fma((0.5 / exp(im)), sin(re), (0.5 * (exp(im) * sin(re))));
}

Julia

function code(re, im)
	return fma(Float64(0.5 / exp(im)), sin(re), Float64(0.5 * Float64(exp(im) * sin(re))))
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 / N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[re], $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Exp[im], $MachinePrecision] * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(e^{0 - im} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{e^{im}} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

   3. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(e^{0 - im} \cdot \frac{1}{2}, \color{blue}{\sin re}, e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right) \]

   4. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(e^{0 - im} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}, \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   5. exp-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{e^{0}}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \sin re, \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{e^{0} \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \sin \color{blue}{re}, \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   7. exp-0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \sin re, \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \sin re, \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}, \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   10. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \sin re, \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   11. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(e^{im} \cdot \left(\sin re \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\left(e^{im} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sin re \cdot e^{im}\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \left(e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

   18. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(e^{im}\right)\right)\right)\right) \]

   19. exp-lowering-exp.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.5}{e^{im}}, \sin re, 0.5 \cdot \left(\sin re \cdot e^{im}\right)\right)} \]

5. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{0.5}{e^{im}}, \sin re, 0.5 \cdot \left(e^{im} \cdot \sin re\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \cdot \left(e^{im} \cdot \sin re\right) + \frac{0.5 \cdot \sin re}{e^{im}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (+ (* 0.5 (* (exp im) (sin re))) (/ (* 0.5 (sin re)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * (exp(im) * sin(re))) + ((0.5 * sin(re)) / exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * (exp(im) * sin(re))) + ((0.5d0 * sin(re)) / exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * (Math.exp(im) * Math.sin(re))) + ((0.5 * Math.sin(re)) / Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * (math.exp(im) * math.sin(re))) + ((0.5 * math.sin(re)) / math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * Float64(exp(im) * sin(re))) + Float64(Float64(0.5 * sin(re)) / exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * (exp(im) * sin(re))) + ((0.5 * sin(re)) / exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[(N[Exp[im], $MachinePrecision] * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) + \color{blue}{e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{0 - im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{0 - im}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   4. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right), \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   5. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{e^{im}}\right), \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot \sin re}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \sin re\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(e^{im}\right)\right), \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   10. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\left(e^{im} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sin re \cdot \color{blue}{e^{im}}\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(e^{im}\right)}\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(e^{\color{blue}{im}}\right)\right)\right)\right) \]

   18. exp-lowering-exp.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sin re}{e^{im}} + 0.5 \cdot \left(\sin re \cdot e^{im}\right)} \]

5. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{im} \cdot \sin re\right) + \frac{0.5 \cdot \sin re}{e^{im}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 3: 100.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5 \cdot \sin re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (/ (* 0.5 (sin re)) (/ 1.0 (* 2.0 (cosh im)))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) / (1.0 / (2.0 * cosh(im)));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) / (1.0d0 / (2.0d0 * cosh(im)))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) / (1.0 / (2.0 * Math.cosh(im)));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) / (1.0 / (2.0 * math.cosh(im)))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) / Float64(1.0 / Float64(2.0 * cosh(im))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) / (1.0 / (2.0 * cosh(im)));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(2.0 * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{{\left(e^{0 - im}\right)}^{3} + {\left(e^{im}\right)}^{3}}{\color{blue}{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} + \left(e^{im} \cdot e^{im} - e^{0 - im} \cdot e^{im}\right)}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} + \left(e^{im} \cdot e^{im} - e^{0 - im} \cdot e^{im}\right)}{{\left(e^{0 - im}\right)}^{3} + {\left(e^{im}\right)}^{3}}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \sin re}{\color{blue}{\frac{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} + \left(e^{im} \cdot e^{im} - e^{0 - im} \cdot e^{im}\right)}{{\left(e^{0 - im}\right)}^{3} + {\left(e^{im}\right)}^{3}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} + \left(e^{im} \cdot e^{im} - e^{0 - im} \cdot e^{im}\right)}{{\left(e^{0 - im}\right)}^{3} + {\left(e^{im}\right)}^{3}}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \sin re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} + \left(e^{im} \cdot e^{im} - e^{0 - im} \cdot e^{im}\right)}}{{\left(e^{0 - im}\right)}^{3} + {\left(e^{im}\right)}^{3}}\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} + \color{blue}{\left(e^{im} \cdot e^{im} - e^{0 - im} \cdot e^{im}\right)}}{{\left(e^{0 - im}\right)}^{3} + {\left(e^{im}\right)}^{3}}\right)\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(e^{0 - im}\right)}^{3} + {\left(e^{im}\right)}^{3}}{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} + \left(e^{im} \cdot e^{im} - e^{0 - im} \cdot e^{im}\right)}}}\right)\right) \]

   8. exp-0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{0}}{\frac{\color{blue}{{\left(e^{0 - im}\right)}^{3} + {\left(e^{im}\right)}^{3}}}{e^{0 - im} \cdot e^{0 - im} + \left(e^{im} \cdot e^{im} - e^{0 - im} \cdot e^{im}\right)}}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sin re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 100.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin re \cdot \cosh im \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* (sin re) (cosh im)))

C

double code(double re, double im) {
	return sin(re) * cosh(im);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = sin(re) * cosh(im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.sin(re) * Math.cosh(im);
}

Python

def code(re, im):
	return math.sin(re) * math.cosh(im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(sin(re) * cosh(im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = sin(re) * cosh(im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

   7. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   10. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   12. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

   5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 76.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\\ t_1 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-1 - t\_0\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 0.45:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(4 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + t\_0\right)\right) \cdot t\_1\right)}{2 + t\_1}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* im im)
          (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))
        (t_1 (* (* im im) (- -1.0 t_0))))
   (if (<= im 0.45)
     (/
      (* (* 0.5 (sin re)) (+ 4.0 (* (* (* im im) (+ 1.0 t_0)) t_1)))
      (+ 2.0 t_1))
     (if (<= im 7e+51)
       (* re (cosh im))
       (*
        (sin re)
        (+
         1.0
         (* (* im im) (* im (* im (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_1 = (im * im) * (-1.0 - t_0);
	double tmp;
	if (im <= 0.45) {
		tmp = ((0.5 * sin(re)) * (4.0 + (((im * im) * (1.0 + t_0)) * t_1))) / (2.0 + t_1);
	} else if (im <= 7e+51) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * ((im * im) * 0.001388888888888889)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))
    t_1 = (im * im) * ((-1.0d0) - t_0)
    if (im <= 0.45d0) then
        tmp = ((0.5d0 * sin(re)) * (4.0d0 + (((im * im) * (1.0d0 + t_0)) * t_1))) / (2.0d0 + t_1)
    else if (im <= 7d+51) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (im * (im * ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_1 = (im * im) * (-1.0 - t_0);
	double tmp;
	if (im <= 0.45) {
		tmp = ((0.5 * Math.sin(re)) * (4.0 + (((im * im) * (1.0 + t_0)) * t_1))) / (2.0 + t_1);
	} else if (im <= 7e+51) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * ((im * im) * 0.001388888888888889)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))
	t_1 = (im * im) * (-1.0 - t_0)
	tmp = 0
	if im <= 0.45:
		tmp = ((0.5 * math.sin(re)) * (4.0 + (((im * im) * (1.0 + t_0)) * t_1))) / (2.0 + t_1)
	elif im <= 7e+51:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * ((im * im) * 0.001388888888888889)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))
	t_1 = Float64(Float64(im * im) * Float64(-1.0 - t_0))
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.45)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(4.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + t_0)) * t_1))) / Float64(2.0 + t_1));
	elseif (im <= 7e+51)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(im * Float64(im * Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	t_1 = (im * im) * (-1.0 - t_0);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.45)
		tmp = ((0.5 * sin(re)) * (4.0 + (((im * im) * (1.0 + t_0)) * t_1))) / (2.0 + t_1);
	elseif (im <= 7e+51)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * ((im * im) * 0.001388888888888889)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 0.45], N[(N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(4.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 7e+51], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * N[(im * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.450000000000000011

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 94.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}{2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \sin re\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)}{\color{blue}{2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right), \color{blue}{\left(2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(4 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)}{2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}} \]

   if 0.450000000000000011 < im < 7e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 7e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin re \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}\right) \cdot \sin re \]

   10. Taylor expanded in im around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{4}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       2. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right) \cdot {im}^{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \sin re \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 71.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.45:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(4 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)}{2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 94.5% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\\ \mathbf{if}\;im \leq 0.62:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(t\_0 + 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* im im) 0.001388888888888889)))
   (if (<= im 0.62)
     (*
      (sin re)
      (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* im (* im (+ t_0 0.041666666666666664)))))))
     (if (<= im 7e+51)
       (* re (cosh im))
       (* (sin re) (+ 1.0 (* (* im im) (* im (* im t_0)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * 0.001388888888888889;
	double tmp;
	if (im <= 0.62) {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (t_0 + 0.041666666666666664))))));
	} else if (im <= 7e+51) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * t_0))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im * im) * 0.001388888888888889d0
    if (im <= 0.62d0) then
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * (t_0 + 0.041666666666666664d0))))))
    else if (im <= 7d+51) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (im * (im * t_0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * 0.001388888888888889;
	double tmp;
	if (im <= 0.62) {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (t_0 + 0.041666666666666664))))));
	} else if (im <= 7e+51) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * t_0))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (im * im) * 0.001388888888888889
	tmp = 0
	if im <= 0.62:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (t_0 + 0.041666666666666664))))))
	elif im <= 7e+51:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * t_0))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889)
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.62)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(t_0 + 0.041666666666666664)))))));
	elseif (im <= 7e+51)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(im * Float64(im * t_0)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (im * im) * 0.001388888888888889;
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.62)
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (t_0 + 0.041666666666666664))))));
	elseif (im <= 7e+51)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * t_0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 0.62], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(t$95$0 + 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 7e+51], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * N[(im * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.619999999999999996

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 94.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin re \]

   if 0.619999999999999996 < im < 7e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 7e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin re \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}\right) \cdot \sin re \]

   10. Taylor expanded in im around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{4}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       2. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right) \cdot {im}^{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \sin re \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 94.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.62:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889 + 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 92.6% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.12:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 0.12)
   (*
    (sin re)
    (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664)))))
   (if (<= im 7e+51)
     (* re (cosh im))
     (*
      (sin re)
      (+
       1.0
       (* (* im im) (* im (* im (* (* im im) 0.001388888888888889)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.12) {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
	} else if (im <= 7e+51) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * ((im * im) * 0.001388888888888889)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 0.12d0) then
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0))))
    else if (im <= 7d+51) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (im * (im * ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.12) {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
	} else if (im <= 7e+51) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * ((im * im) * 0.001388888888888889)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 0.12:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))))
	elif im <= 7e+51:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * ((im * im) * 0.001388888888888889)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.12)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664)))));
	elseif (im <= 7e+51)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(im * Float64(im * Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.12)
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
	elseif (im <= 7e+51)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (im * (im * ((im * im) * 0.001388888888888889)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 0.12], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 7e+51], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * N[(im * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.12

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 91.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   if 0.12 < im < 7e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 7e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin re \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}\right) \cdot \sin re \]

   10. Taylor expanded in im around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{4}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       2. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right) \cdot {im}^{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \sin re \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.12:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 84.0% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 0.041:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* 0.5 (sin re)) (+ 2.0 (* im im)))))
   (if (<= im 0.041)
     t_0
     (if (<= im 5e+76)
       (* re (cosh im))
       (if (<= im 1.35e+154)
         (*
          (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664))))
          (*
           re
           (+
            1.0
            (*
             re
             (*
              re
              (+
               -0.16666666666666666
               (*
                (* re re)
                (+
                 0.008333333333333333
                 (* (* re re) -0.0001984126984126984)))))))))
         t_0)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (0.5 * sin(re)) * (2.0 + (im * im));
	double tmp;
	if (im <= 0.041) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 5e+76) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else if (im <= 1.35e+154) {
		tmp = (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))) * (re * (1.0 + (re * (re * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (0.5d0 * sin(re)) * (2.0d0 + (im * im))
    if (im <= 0.041d0) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 5d+76) then
        tmp = re * cosh(im)
    else if (im <= 1.35d+154) then
        tmp = (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))) * (re * (1.0d0 + (re * (re * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * (0.008333333333333333d0 + ((re * re) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (0.5 * Math.sin(re)) * (2.0 + (im * im));
	double tmp;
	if (im <= 0.041) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 5e+76) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else if (im <= 1.35e+154) {
		tmp = (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))) * (re * (1.0 + (re * (re * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (0.5 * math.sin(re)) * (2.0 + (im * im))
	tmp = 0
	if im <= 0.041:
		tmp = t_0
	elif im <= 5e+76:
		tmp = re * math.cosh(im)
	elif im <= 1.35e+154:
		tmp = (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))) * (re * (1.0 + (re * (re * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(2.0 + Float64(im * im)))
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.041)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 5e+76)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	elseif (im <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664)))) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * -0.0001984126984126984)))))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (0.5 * sin(re)) * (2.0 + (im * im));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.041)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 5e+76)
		tmp = re * cosh(im);
	elseif (im <= 1.35e+154)
		tmp = (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))) * (re * (1.0 + (re * (re * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 0.041], t$95$0, If[LessEqual[im, 5e+76], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.35e+154], N[(N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.0410000000000000017 or 1.35000000000000003e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 82.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 82.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 0.0410000000000000017 < im < 4.99999999999999991e76

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 85.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 4.99999999999999991e76 < im < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 83.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.041:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 91.8% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\\ \mathbf{if}\;im \leq 0.18:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + t\_0\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot t\_0\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* im im) 0.041666666666666664)))
   (if (<= im 0.18)
     (* (sin re) (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 t_0))))
     (if (<= im 2.6e+77) (* re (cosh im)) (* (sin re) (* im (* im t_0)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * 0.041666666666666664;
	double tmp;
	if (im <= 0.18) {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + t_0)));
	} else if (im <= 2.6e+77) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = sin(re) * (im * (im * t_0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im * im) * 0.041666666666666664d0
    if (im <= 0.18d0) then
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + t_0)))
    else if (im <= 2.6d+77) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = sin(re) * (im * (im * t_0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * 0.041666666666666664;
	double tmp;
	if (im <= 0.18) {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + t_0)));
	} else if (im <= 2.6e+77) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (im * (im * t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (im * im) * 0.041666666666666664
	tmp = 0
	if im <= 0.18:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + t_0)))
	elif im <= 2.6e+77:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = math.sin(re) * (im * (im * t_0))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664)
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.18)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + t_0))));
	elseif (im <= 2.6e+77)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(im * Float64(im * t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (im * im) * 0.041666666666666664;
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.18)
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + t_0)));
	elseif (im <= 2.6e+77)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = sin(re) * (im * (im * t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 0.18], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.6e+77], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(im * N[(im * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.17999999999999999

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 91.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   if 0.17999999999999999 < im < 2.6000000000000002e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 85.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 2.6000000000000002e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)} \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 85.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.1:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 0.1)
   (* (* 0.5 (sin re)) (+ 2.0 (* im im)))
   (if (<= im 2.6e+77)
     (* re (cosh im))
     (* (sin re) (* im (* im (* (* im im) 0.041666666666666664)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.1) {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (2.0 + (im * im));
	} else if (im <= 2.6e+77) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = sin(re) * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 0.1d0) then
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (2.0d0 + (im * im))
    else if (im <= 2.6d+77) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = sin(re) * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.1) {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (2.0 + (im * im));
	} else if (im <= 2.6e+77) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 0.1:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (2.0 + (im * im))
	elif im <= 2.6e+77:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = math.sin(re) * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.1)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(2.0 + Float64(im * im)));
	elseif (im <= 2.6e+77)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(im * Float64(im * Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.1)
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (2.0 + (im * im));
	elseif (im <= 2.6e+77)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = sin(re) * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 0.1], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.6e+77], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(im * N[(im * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.10000000000000001

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 79.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 79.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 0.10000000000000001 < im < 2.6000000000000002e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 85.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 2.6000000000000002e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)} \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 68.9% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 2.2e-5)
   (sin re)
   (if (<= im 5e+76)
     (* re (cosh im))
     (*
      (* (* im im) (* im im))
      (*
       re
       (+
        0.041666666666666664
        (* 0.041666666666666664 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.2e-5) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 5e+76) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 2.2d-5) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 5d+76) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664d0 + (0.041666666666666664d0 * ((-0.16666666666666666d0) * (re * re)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.2e-5) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 5e+76) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 2.2e-5:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 5e+76:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 2.2e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 5e+76)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(im * im)) * Float64(re * Float64(0.041666666666666664 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2.2e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 5e+76)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 2.2e-5], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 5e+76], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.041666666666666664 + N[(0.041666666666666664 * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.1999999999999999e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 61.4%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 61.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 2.1999999999999999e-5 < im < 4.99999999999999991e76

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 99.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 99.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 85.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 4.99999999999999991e76 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{4} \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(re \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       16. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} + \color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       18. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       20. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       22. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 67.4% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.15 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.006944444444444444 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.000462962962962963 + \left(im \cdot im\right) \cdot 7.71604938271605 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 1.15e-5)
   (sin re)
   (if (<= im 5e+77)
     (*
      (* 0.5 re)
      (+
       2.0
       (/
        (*
         (* im im)
         (-
          1.0
          (*
           (* im im)
           (*
            (* im im)
            (+
             0.006944444444444444
             (*
              im
              (*
               im
               (+
                0.000462962962962963
                (* (* im im) 7.71604938271605e-6)))))))))
        (-
         1.0
         (*
          (* im im)
          (+ 0.08333333333333333 (* im (* im 0.002777777777777778))))))))
     (*
      (* (* im im) (* im im))
      (*
       re
       (+
        0.041666666666666664
        (* 0.041666666666666664 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1.15e-5) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 5e+77) {
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + (im * (im * (0.000462962962962963 + ((im * im) * 7.71604938271605e-6))))))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 1.15d-5) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 5d+77) then
        tmp = (0.5d0 * re) * (2.0d0 + (((im * im) * (1.0d0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444d0 + (im * (im * (0.000462962962962963d0 + ((im * im) * 7.71604938271605d-6))))))))) / (1.0d0 - ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + (im * (im * 0.002777777777777778d0)))))))
    else
        tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664d0 + (0.041666666666666664d0 * ((-0.16666666666666666d0) * (re * re)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1.15e-5) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 5e+77) {
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + (im * (im * (0.000462962962962963 + ((im * im) * 7.71604938271605e-6))))))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 1.15e-5:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 5e+77:
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + (im * (im * (0.000462962962962963 + ((im * im) * 7.71604938271605e-6))))))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))))
	else:
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 1.15e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 5e+77)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 - Float64(Float64(im * im) * Float64(Float64(im * im) * Float64(0.006944444444444444 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.000462962962962963 + Float64(Float64(im * im) * 7.71604938271605e-6))))))))) / Float64(1.0 - Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(im * Float64(im * 0.002777777777777778))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(im * im)) * Float64(re * Float64(0.041666666666666664 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1.15e-5)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 5e+77)
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + (im * (im * (0.000462962962962963 + ((im * im) * 7.71604938271605e-6))))))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))));
	else
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 1.15e-5], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 5e+77], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.006944444444444444 + N[(im * N[(im * N[(0.000462962962962963 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 7.71604938271605e-6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(im * N[(im * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.041666666666666664 + N[(0.041666666666666664 * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 1.15e-5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 61.4%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 61.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 1.15e-5 < im < 5.00000000000000004e77

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 40.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 35.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      3. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}{1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{\color{blue}{1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{\left(1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 53.5%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(2 + \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}}\right) \]

   11. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{144} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{144} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{144} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{144} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2160}, \left(\frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2160}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{129600}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2160}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{129600}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2160}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{129600}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 53.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2160}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{129600}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 53.5%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(1 - \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.006944444444444444 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.000462962962962963 + \left(im \cdot im\right) \cdot 7.71604938271605 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right) \]

   if 5.00000000000000004e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{4} \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(re \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       16. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} + \color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       18. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       20. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       22. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.15 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.006944444444444444 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.000462962962962963 + \left(im \cdot im\right) \cdot 7.71604938271605 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 45.7% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.006944444444444444 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.000462962962962963 + \left(im \cdot im\right) \cdot 7.71604938271605 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 2.5e+77)
   (*
    (* 0.5 re)
    (+
     2.0
     (/
      (*
       (* im im)
       (-
        1.0
        (*
         (* im im)
         (*
          (* im im)
          (+
           0.006944444444444444
           (*
            im
            (*
             im
             (+ 0.000462962962962963 (* (* im im) 7.71604938271605e-6)))))))))
      (-
       1.0
       (*
        (* im im)
        (+ 0.08333333333333333 (* im (* im 0.002777777777777778))))))))
   (*
    (* (* im im) (* im im))
    (*
     re
     (+
      0.041666666666666664
      (* 0.041666666666666664 (* -0.16666666666666666 (* re re))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.5e+77) {
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + (im * (im * (0.000462962962962963 + ((im * im) * 7.71604938271605e-6))))))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 2.5d+77) then
        tmp = (0.5d0 * re) * (2.0d0 + (((im * im) * (1.0d0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444d0 + (im * (im * (0.000462962962962963d0 + ((im * im) * 7.71604938271605d-6))))))))) / (1.0d0 - ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + (im * (im * 0.002777777777777778d0)))))))
    else
        tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664d0 + (0.041666666666666664d0 * ((-0.16666666666666666d0) * (re * re)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.5e+77) {
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + (im * (im * (0.000462962962962963 + ((im * im) * 7.71604938271605e-6))))))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 2.5e+77:
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + (im * (im * (0.000462962962962963 + ((im * im) * 7.71604938271605e-6))))))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))))
	else:
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 2.5e+77)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 - Float64(Float64(im * im) * Float64(Float64(im * im) * Float64(0.006944444444444444 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.000462962962962963 + Float64(Float64(im * im) * 7.71604938271605e-6))))))))) / Float64(1.0 - Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(im * Float64(im * 0.002777777777777778))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(im * im)) * Float64(re * Float64(0.041666666666666664 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2.5e+77)
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + (im * (im * (0.000462962962962963 + ((im * im) * 7.71604938271605e-6))))))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))));
	else
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 2.5e+77], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.006944444444444444 + N[(im * N[(im * N[(0.000462962962962963 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 7.71604938271605e-6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(im * N[(im * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.041666666666666664 + N[(0.041666666666666664 * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.50000000000000002e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 54.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      3. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}{1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{\color{blue}{1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{\left(1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 37.1%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(2 + \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}}\right) \]

   11. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{144} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{144} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{144} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{144} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2160} + \frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2160}, \left(\frac{1}{129600} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2160}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{129600}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2160}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{129600}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2160}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{129600}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 37.1%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2160}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{129600}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 37.1%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(1 - \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.006944444444444444 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.000462962962962963 + \left(im \cdot im\right) \cdot 7.71604938271605 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right) \]

   if 2.50000000000000002e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{4} \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(re \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       16. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} + \color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       18. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       20. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       22. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.006944444444444444 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.000462962962962963 + \left(im \cdot im\right) \cdot 7.71604938271605 \cdot 10^{-6}\right)\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 44.7% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := im \cdot \left(im \cdot im\right)\\ t_1 := im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 2.1 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.0005787037037037037 + t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot 2.1433470507544582 \cdot 10^{-8}\right)\right)}{0.006944444444444444 + t\_1 \cdot \left(t\_1 - 0.08333333333333333\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im (* im im))) (t_1 (* im (* im 0.002777777777777778))))
   (if (<= im 2.1e+78)
     (*
      (* 0.5 re)
      (+
       2.0
       (*
        (* im im)
        (+
         1.0
         (/
          (*
           (* im im)
           (+ 0.0005787037037037037 (* t_0 (* t_0 2.1433470507544582e-8))))
          (+ 0.006944444444444444 (* t_1 (- t_1 0.08333333333333333))))))))
     (*
      (* (* im im) (* im im))
      (*
       re
       (+
        0.041666666666666664
        (* 0.041666666666666664 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (im * im);
	double t_1 = im * (im * 0.002777777777777778);
	double tmp;
	if (im <= 2.1e+78) {
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + (t_0 * (t_0 * 2.1433470507544582e-8)))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = im * (im * im)
    t_1 = im * (im * 0.002777777777777778d0)
    if (im <= 2.1d+78) then
        tmp = (0.5d0 * re) * (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037d0 + (t_0 * (t_0 * 2.1433470507544582d-8)))) / (0.006944444444444444d0 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664d0 + (0.041666666666666664d0 * ((-0.16666666666666666d0) * (re * re)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (im * im);
	double t_1 = im * (im * 0.002777777777777778);
	double tmp;
	if (im <= 2.1e+78) {
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + (t_0 * (t_0 * 2.1433470507544582e-8)))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = im * (im * im)
	t_1 = im * (im * 0.002777777777777778)
	tmp = 0
	if im <= 2.1e+78:
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + (t_0 * (t_0 * 2.1433470507544582e-8)))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))))
	else:
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(im * Float64(im * im))
	t_1 = Float64(im * Float64(im * 0.002777777777777778))
	tmp = 0.0
	if (im <= 2.1e+78)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(0.0005787037037037037 + Float64(t_0 * Float64(t_0 * 2.1433470507544582e-8)))) / Float64(0.006944444444444444 + Float64(t_1 * Float64(t_1 - 0.08333333333333333))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(im * im)) * Float64(re * Float64(0.041666666666666664 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = im * (im * im);
	t_1 = im * (im * 0.002777777777777778);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2.1e+78)
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + (t_0 * (t_0 * 2.1433470507544582e-8)))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))));
	else
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(im * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im * N[(im * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 2.1e+78], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.0005787037037037037 + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * 2.1433470507544582e-8), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.006944444444444444 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.041666666666666664 + N[(0.041666666666666664 * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.1000000000000001e78

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 54.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\frac{1}{12}}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}^{3}}{\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left({\frac{1}{12}}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}^{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{\color{blue}{\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({\frac{1}{12}}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}^{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 36.6%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(0.0005787037037037037 + \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot 2.1433470507544582 \cdot 10^{-8}\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{0.006944444444444444 + \left(im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right) - 0.08333333333333333\right)}}\right)\right) \]

   if 2.1000000000000001e78 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{4} \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(re \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       16. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} + \color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       18. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       20. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       22. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 44.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.1 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.0005787037037037037 + \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot 2.1433470507544582 \cdot 10^{-8}\right)\right)}{0.006944444444444444 + \left(im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right) - 0.08333333333333333\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 44.5% accurate, 6.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.8 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.006944444444444444 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.000462962962962963\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 3.8e+77)
   (*
    (* 0.5 re)
    (+
     2.0
     (/
      (*
       (* im im)
       (-
        1.0
        (*
         (* im im)
         (*
          (* im im)
          (+ 0.006944444444444444 (* (* im im) 0.000462962962962963))))))
      (-
       1.0
       (*
        (* im im)
        (+ 0.08333333333333333 (* im (* im 0.002777777777777778))))))))
   (*
    (* (* im im) (* im im))
    (*
     re
     (+
      0.041666666666666664
      (* 0.041666666666666664 (* -0.16666666666666666 (* re re))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.8e+77) {
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + ((im * im) * 0.000462962962962963)))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 3.8d+77) then
        tmp = (0.5d0 * re) * (2.0d0 + (((im * im) * (1.0d0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444d0 + ((im * im) * 0.000462962962962963d0)))))) / (1.0d0 - ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + (im * (im * 0.002777777777777778d0)))))))
    else
        tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664d0 + (0.041666666666666664d0 * ((-0.16666666666666666d0) * (re * re)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.8e+77) {
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + ((im * im) * 0.000462962962962963)))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 3.8e+77:
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + ((im * im) * 0.000462962962962963)))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))))
	else:
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 3.8e+77)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(2.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 - Float64(Float64(im * im) * Float64(Float64(im * im) * Float64(0.006944444444444444 + Float64(Float64(im * im) * 0.000462962962962963)))))) / Float64(1.0 - Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(im * Float64(im * 0.002777777777777778))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(im * im)) * Float64(re * Float64(0.041666666666666664 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 3.8e+77)
		tmp = (0.5 * re) * (2.0 + (((im * im) * (1.0 - ((im * im) * ((im * im) * (0.006944444444444444 + ((im * im) * 0.000462962962962963)))))) / (1.0 - ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))));
	else
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 3.8e+77], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.006944444444444444 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.000462962962962963), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(im * N[(im * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.041666666666666664 + N[(0.041666666666666664 * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.8000000000000001e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 54.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      3. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}{1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{\color{blue}{1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{\left(1 - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 37.1%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(2 + \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}}\right) \]

   11. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{144} + \frac{1}{2160} \cdot {im}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{144} + \frac{1}{2160} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{144} + \frac{1}{2160} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{144} + \frac{1}{2160} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \left(\frac{1}{2160} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2160}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{2160}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{2160}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 36.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{144}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{2160}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 36.6%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(1 - \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.006944444444444444 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.000462962962962963\right)\right)} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right) \]

   if 3.8000000000000001e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{4} \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(re \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       16. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} + \color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       18. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       20. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       22. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 44.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.8 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(2 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.006944444444444444 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.000462962962962963\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 57.7% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 2e+78)
   (*
    (*
     re
     (+
      0.5
      (*
       (* re re)
       (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667)))))
    (+
     2.0
     (*
      (* im im)
      (+
       1.0
       (*
        (* im im)
        (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))
   (*
    (* (* im im) (* im im))
    (*
     re
     (+
      0.041666666666666664
      (* 0.041666666666666664 (* -0.16666666666666666 (* re re))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2e+78) {
		tmp = (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 2d+78) then
        tmp = (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0))))) * (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))
    else
        tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664d0 + (0.041666666666666664d0 * ((-0.16666666666666666d0) * (re * re)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2e+78) {
		tmp = (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 2e+78:
		tmp = (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))
	else:
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 2e+78)
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667))))) * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(im * im)) * Float64(re * Float64(0.041666666666666664 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2e+78)
		tmp = (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
	else
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 2e+78], N[(N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.041666666666666664 + N[(0.041666666666666664 * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.00000000000000002e78

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 54.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   if 2.00000000000000002e78 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{4} \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(re \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       16. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} + \color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       18. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       20. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       22. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 17: 57.0% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889 + 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 5e+79)
   (*
    re
    (+
     1.0
     (*
      im
      (*
       im
       (+
        0.5
        (*
         im
         (*
          im
          (+ (* (* im im) 0.001388888888888889) 0.041666666666666664))))))))
   (*
    (* (* im im) (* im im))
    (*
     re
     (+
      0.041666666666666664
      (* 0.041666666666666664 (* -0.16666666666666666 (* re re))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 5e+79) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (((im * im) * 0.001388888888888889) + 0.041666666666666664)))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 5d+79) then
        tmp = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + (im * (im * (((im * im) * 0.001388888888888889d0) + 0.041666666666666664d0)))))))
    else
        tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664d0 + (0.041666666666666664d0 * ((-0.16666666666666666d0) * (re * re)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 5e+79) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (((im * im) * 0.001388888888888889) + 0.041666666666666664)))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 5e+79:
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (((im * im) * 0.001388888888888889) + 0.041666666666666664)))))))
	else:
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 5e+79)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889) + 0.041666666666666664))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(im * im)) * Float64(re * Float64(0.041666666666666664 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 5e+79)
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (((im * im) * 0.001388888888888889) + 0.041666666666666664)))))));
	else
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 5e+79], N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision] + 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.041666666666666664 + N[(0.041666666666666664 * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5e79

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 88.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 88.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin re \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 54.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 54.1%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 5e79 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{4} \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(re \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       16. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} + \color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       18. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       20. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       22. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889 + 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 53.3% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.15 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;re + im \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 1.15e+77)
   (+ re (* im (* im (* re (+ 0.5 (* im (* im 0.041666666666666664)))))))
   (*
    (* (* im im) (* im im))
    (*
     re
     (+
      0.041666666666666664
      (* 0.041666666666666664 (* -0.16666666666666666 (* re re))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1.15e+77) {
		tmp = re + (im * (im * (re * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 1.15d+77) then
        tmp = re + (im * (im * (re * (0.5d0 + (im * (im * 0.041666666666666664d0))))))
    else
        tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664d0 + (0.041666666666666664d0 * ((-0.16666666666666666d0) * (re * re)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1.15e+77) {
		tmp = re + (im * (im * (re * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664))))));
	} else {
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 1.15e+77:
		tmp = re + (im * (im * (re * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664))))))
	else:
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 1.15e+77)
		tmp = Float64(re + Float64(im * Float64(im * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(im * im)) * Float64(re * Float64(0.041666666666666664 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1.15e+77)
		tmp = re + (im * (im * (re * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664))))));
	else
		tmp = ((im * im) * (im * im)) * (re * (0.041666666666666664 + (0.041666666666666664 * (-0.16666666666666666 * (re * re)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 1.15e+77], N[(re + N[(im * N[(im * N[(re * N[(0.5 + N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.041666666666666664 + N[(0.041666666666666664 * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.14999999999999997e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 54.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)} + \frac{1}{2} \cdot re\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)\right)}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)\right)}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot re + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot re\right)\right)\right)\right) \]

       7. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2} + \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{24}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 47.3%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 47.3%

       \[\leadsto \color{blue}{re + im \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.14999999999999997e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{4} \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(\frac{1}{24} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(re \cdot \frac{1}{24}\right) \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       16. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot 1 + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} + \color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       18. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       20. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       22. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.041666666666666664 + 0.041666666666666664 \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 19: 54.3% accurate, 14.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.6 \cdot 10^{+146}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 1.6e+146)
   (* re (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664))))))
   (*
    (+ 1.0 (* 0.5 (* im im)))
    (* re (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1.6e+146) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	} else {
		tmp = (1.0 + (0.5 * (im * im))) * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 1.6d+146) then
        tmp = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))))
    else
        tmp = (1.0d0 + (0.5d0 * (im * im))) * (re * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1.6e+146) {
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	} else {
		tmp = (1.0 + (0.5 * (im * im))) * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 1.6e+146:
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))))
	else:
		tmp = (1.0 + (0.5 * (im * im))) * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 1.6e+146)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(im * im))) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1.6e+146)
		tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
	else
		tmp = (1.0 + (0.5 * (im * im))) * (re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 1.6e+146], N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(0.5 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.6e146

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 83.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 50.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 50.9%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

   if 1.6e146 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 82.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 82.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) + re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) + \color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \]

       2. distribute-lft1-in N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right), \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2}\right)\right)\right), \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot im\right)\right)\right), \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 82.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 82.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 20: 51.1% accurate, 19.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.0115:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 0.0115)
   (* (+ 2.0 (* im im)) (* 0.5 re))
   (* re (* im (* im (* (* im im) 0.041666666666666664))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.0115) {
		tmp = (2.0 + (im * im)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = re * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 0.0115d0) then
        tmp = (2.0d0 + (im * im)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = re * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 0.0115) {
		tmp = (2.0 + (im * im)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = re * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 0.0115:
		tmp = (2.0 + (im * im)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = re * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 0.0115)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(im * im)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(im * Float64(im * Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 0.0115)
		tmp = (2.0 + (im * im)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = re * (im * (im * ((im * im) * 0.041666666666666664)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 0.0115], N[(N[(2.0 + N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(im * N[(im * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 0.0115

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 94.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 56.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 56.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 45.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 45.8%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 0.0115 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 69.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{4} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{4}\right)} \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{\left(2 \cdot \color{blue}{2}\right)}\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 69.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 69.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 58.0%

       \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 48.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.0115:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 54.8% accurate, 20.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* re (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
}

Python

def code(re, im):
	return re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

   6. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   13. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

   14. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

5. Simplified 85.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 57.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 57.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

9. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 54.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 54.9%

    \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 22: 47.9% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 5 \cdot 10^{+161}:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 5e+161)
   (* (+ 2.0 (* im im)) (* 0.5 re))
   (* re (* -0.16666666666666666 (* re re)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 5e+161) {
		tmp = (2.0 + (im * im)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (re * re));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 5d+161) then
        tmp = (2.0d0 + (im * im)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = re * ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 5e+161) {
		tmp = (2.0 + (im * im)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (re * re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 5e+161:
		tmp = (2.0 + (im * im)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (re * re))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 5e+161)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(im * im)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 5e+161)
		tmp = (2.0 + (im * im)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (re * re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 5e+161], N[(N[(2.0 + N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.9999999999999997e161

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 90.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 61.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 61.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot 0.5\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 48.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 48.7%

       \[\leadsto \left(re \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 4.9999999999999997e161 < re

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 52.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 52.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 16.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 16.9%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 16.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 16.9%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 5 \cdot 10^{+161}:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 30.3% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.7 \cdot 10^{+99}:\\ \;\;\;\;re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 1.7e+99) re (* re (* -0.16666666666666666 (* re re)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.7e+99) {
		tmp = re;
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (re * re));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.7d+99) then
        tmp = re
    else
        tmp = re * ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.7e+99) {
		tmp = re;
	} else {
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (re * re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 1.7e+99:
		tmp = re
	else:
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (re * re))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.7e+99)
		tmp = re;
	else
		tmp = Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.7e+99)
		tmp = re;
	else
		tmp = re * (-0.16666666666666666 * (re * re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 1.7e+99], re, N[(re * N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.69999999999999992e99

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 46.3%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 46.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 27.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \]

   if 1.69999999999999992e99 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 49.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 49.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 23.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 23.9%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 23.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 23.9%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 24: 34.4% accurate, 34.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* re (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))

C

double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re)));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re)))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re)));
}

Python

def code(re, im):
	return re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re)))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re)));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 46.9%

      \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

5. Simplified 46.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 30.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 30.3%

   \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

9. Final simplification 30.3%

   \[\leadsto re \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 25: 26.4% accurate, 309.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 re)

C

double code(double re, double im) {
	return re;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re;
}

Python

def code(re, im):
	return re

Julia

function code(re, im)
	return re
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re;
end

Wolfram

code[re_, im_] := re

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 46.9%

      \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

5. Simplified 46.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{re} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 23.8%

   \[\leadsto \color{blue}{re} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024140 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, real part"
  :precision binary64
  (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))