math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 66.0% → 99.7%

Time: 15.4s

Alternatives: 29

Speedup: 2.8×

• 49.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 66.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{0 - im\_m} - e^{im\_m}\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -20000000000:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot t\_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) + im\_m \cdot -2\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m))) (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -20000000000.0)
      (* t_0 t_1)
      (*
       t_1
       (+
        (*
         (+
          -0.3333333333333333
          (*
           (* im_m im_m)
           (+ -0.016666666666666666 (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))
         (* im_m (* im_m im_m)))
        (* im_m -2.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -20000000000.0) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)
    t_1 = 0.5d0 * sin(re)
    if (t_0 <= (-20000000000.0d0)) then
        tmp = t_0 * t_1
    else
        tmp = t_1 * ((((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * (-2.0d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m);
	double t_1 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (t_0 <= -20000000000.0) {
		tmp = t_0 * t_1;
	} else {
		tmp = t_1 * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)
	t_1 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if t_0 <= -20000000000.0:
		tmp = t_0 * t_1
	else:
		tmp = t_1 * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -20000000000.0)
		tmp = Float64(t_0 * t_1);
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))) * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))) + Float64(im_m * -2.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	t_1 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -20000000000.0)
		tmp = t_0 * t_1;
	else
		tmp = t_1 * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -20000000000.0], N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -2e10

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -2e10 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 58.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 94.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -20000000000:\\ \;\;\;\;\left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.49:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) + im\_m \cdot -2\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.1 \cdot 10^{+43}:\\ \;\;\;\;\left(e^{0 - im\_m} - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+ -0.016666666666666666 (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))
        (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 0.49)
      (*
       t_1
       (+
        (*
         (+ -0.3333333333333333 (* (* im_m im_m) t_0))
         (* im_m (* im_m im_m)))
        (* im_m -2.0)))
      (if (<= im_m 1.1e+43)
        (* (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m)) (* 0.5 re))
        (*
         t_1
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+ -0.3333333333333333 (* im_m (* im_m t_0))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968));
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 0.49) {
		tmp = t_1 * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_0)) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0));
	} else if (im_m <= 1.1e+43) {
		tmp = (exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_0))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))
    t_1 = 0.5d0 * sin(re)
    if (im_m <= 0.49d0) then
        tmp = t_1 * ((((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * t_0)) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * (-2.0d0)))
    else if (im_m <= 1.1d+43) then
        tmp = (exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = t_1 * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * t_0))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968));
	double t_1 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 0.49) {
		tmp = t_1 * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_0)) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0));
	} else if (im_m <= 1.1e+43) {
		tmp = (Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_0))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))
	t_1 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if im_m <= 0.49:
		tmp = t_1 * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_0)) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0))
	elif im_m <= 1.1e+43:
		tmp = (math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_0))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968)))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.49)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * t_0)) * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))) + Float64(im_m * -2.0)));
	elseif (im_m <= 1.1e+43)
		tmp = Float64(Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * t_0)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968));
	t_1 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.49)
		tmp = t_1 * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * t_0)) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0));
	elseif (im_m <= 1.1e+43)
		tmp = (exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * t_0))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.49], N[(t$95$1 * N[(N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.1e+43], N[(N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 0.48999999999999999

   1. Initial program 58.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 94.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

   if 0.48999999999999999 < im < 1.1e43

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 81.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 81.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   if 1.1e43 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 95.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.49:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1 \cdot 10^{+43}:\\ \;\;\;\;\left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 94.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\\ t_1 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\\ t_2 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.8 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \frac{im\_m \cdot \left(-8 + \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right) \cdot \left(t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right)\right)}{4 + t\_1 \cdot \left(t\_1 - -2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.0003968253968253968 - \frac{0.016666666666666666}{im\_m \cdot im\_m}\right)\right) + \left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -0.3333333333333333
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.016666666666666666
            (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))
        (t_1 (* im_m (* im_m t_0)))
        (t_2 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 1.8e+26)
      (*
       t_2
       (/
        (*
         im_m
         (+
          -8.0
          (*
           (* (* im_m im_m) (* im_m (* im_m (* im_m im_m))))
           (* t_0 (* t_0 t_0)))))
        (+ 4.0 (* t_1 (- t_1 -2.0)))))
      (*
       t_2
       (*
        im_m
        (+
         (*
          (* im_m im_m)
          (*
           (* (* im_m im_m) (* im_m im_m))
           (- -0.0003968253968253968 (/ 0.016666666666666666 (* im_m im_m)))))
         (+ -2.0 (* -0.3333333333333333 (* im_m im_m))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))));
	double t_1 = im_m * (im_m * t_0);
	double t_2 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 1.8e+26) {
		tmp = t_2 * ((im_m * (-8.0 + (((im_m * im_m) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))) * (t_0 * (t_0 * t_0))))) / (4.0 + (t_1 * (t_1 - -2.0))));
	} else {
		tmp = t_2 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (-0.0003968253968253968 - (0.016666666666666666 / (im_m * im_m))))) + (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))
    t_1 = im_m * (im_m * t_0)
    t_2 = 0.5d0 * sin(re)
    if (im_m <= 1.8d+26) then
        tmp = t_2 * ((im_m * ((-8.0d0) + (((im_m * im_m) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))) * (t_0 * (t_0 * t_0))))) / (4.0d0 + (t_1 * (t_1 - (-2.0d0)))))
    else
        tmp = t_2 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * ((-0.0003968253968253968d0) - (0.016666666666666666d0 / (im_m * im_m))))) + ((-2.0d0) + ((-0.3333333333333333d0) * (im_m * im_m)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))));
	double t_1 = im_m * (im_m * t_0);
	double t_2 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 1.8e+26) {
		tmp = t_2 * ((im_m * (-8.0 + (((im_m * im_m) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))) * (t_0 * (t_0 * t_0))))) / (4.0 + (t_1 * (t_1 - -2.0))));
	} else {
		tmp = t_2 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (-0.0003968253968253968 - (0.016666666666666666 / (im_m * im_m))))) + (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))
	t_1 = im_m * (im_m * t_0)
	t_2 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if im_m <= 1.8e+26:
		tmp = t_2 * ((im_m * (-8.0 + (((im_m * im_m) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))) * (t_0 * (t_0 * t_0))))) / (4.0 + (t_1 * (t_1 - -2.0))))
	else:
		tmp = t_2 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (-0.0003968253968253968 - (0.016666666666666666 / (im_m * im_m))))) + (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968)))))
	t_1 = Float64(im_m * Float64(im_m * t_0))
	t_2 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.8e+26)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(Float64(im_m * Float64(-8.0 + Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)))) * Float64(t_0 * Float64(t_0 * t_0))))) / Float64(4.0 + Float64(t_1 * Float64(t_1 - -2.0)))));
	else
		tmp = Float64(t_2 * Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.0003968253968253968 - Float64(0.016666666666666666 / Float64(im_m * im_m))))) + Float64(-2.0 + Float64(-0.3333333333333333 * Float64(im_m * im_m))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))));
	t_1 = im_m * (im_m * t_0);
	t_2 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.8e+26)
		tmp = t_2 * ((im_m * (-8.0 + (((im_m * im_m) * (im_m * (im_m * (im_m * im_m)))) * (t_0 * (t_0 * t_0))))) / (4.0 + (t_1 * (t_1 - -2.0))));
	else
		tmp = t_2 * (im_m * (((im_m * im_m) * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (-0.0003968253968253968 - (0.016666666666666666 / (im_m * im_m))))) + (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.8e+26], N[(t$95$2 * N[(N[(im$95$m * N[(-8.0 + N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(4.0 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 * N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.0003968253968253968 - N[(0.016666666666666666 / N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-2.0 + N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.80000000000000012e26

   1. Initial program 60.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   7. Applied egg-rr 61.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(-8 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im}{4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) - -2\right)}} \]

   if 1.80000000000000012e26 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right) + \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right) + \color{blue}{im \cdot \frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right) + \frac{-1}{60} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60}} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{60}} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right), \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 96.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 96.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.0003968253968253968 + im \cdot -0.016666666666666666\right)}\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{2520} + im \cdot \frac{-1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right) + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{2520} + im \cdot \frac{-1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-2 + \frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(im \cdot \color{blue}{im}\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{2520} + im \cdot \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\left(-2 + \frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{2520} + im \cdot \frac{-1}{60}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{2520} + im \cdot \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot im\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot \color{blue}{im}\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{2520} + im \cdot \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{2520} + im \cdot \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{60} + \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{60} + im \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 96.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)}\right) \]

   10. Taylor expanded in im around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(\frac{1}{2520} + \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\mathsf{neg}\left({im}^{4} \cdot \left(\frac{1}{2520} + \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2520} + \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2520} + \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2520} + \color{blue}{\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2520} + \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2520} + \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2520}} + \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\color{blue}{\frac{1}{2520}} + \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2520} + \color{blue}{\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{1}{2520} + \color{blue}{\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. distribute-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2520}\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{2520} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unsub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{2520} - \color{blue}{\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \color{blue}{\left(\frac{1}{60} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \left(\frac{\frac{1}{60} \cdot 1}{\color{blue}{{im}^{2}}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \left(\frac{\frac{1}{60}}{{\color{blue}{im}}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{60}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{60}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 96.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-1}{2520}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 96.5%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.0003968253968253968 - \frac{0.016666666666666666}{im \cdot im}\right)\right)}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.8 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \frac{im \cdot \left(-8 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) - -2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.0003968253968253968 - \frac{0.016666666666666666}{im \cdot im}\right)\right) + \left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 92.6% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) + im\_m \cdot -2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   (* 0.5 (sin re))
   (+
    (*
     (+
      -0.3333333333333333
      (*
       (* im_m im_m)
       (+ -0.016666666666666666 (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))
     (* im_m (* im_m im_m)))
    (* im_m -2.0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * sin(re)) * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0)));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * ((0.5d0 * sin(re)) * ((((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * (-2.0d0))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * Math.sin(re)) * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0)));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * ((0.5 * math.sin(re)) * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0)))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))) * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))) + Float64(im_m * -2.0))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * ((0.5 * sin(re)) * (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * (im_m * (im_m * im_m))) + (im_m * -2.0)));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 69.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 91.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 91.8%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 92.6% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   (* 0.5 (sin re))
   (*
    im_m
    (+
     -2.0
     (*
      (* im_m im_m)
      (+
       -0.3333333333333333
       (*
        im_m
        (*
         im_m
         (+
          -0.016666666666666666
          (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * ((0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * ((0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968)))))))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * ((0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 69.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 91.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 6: 88.7% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;0 - im\_m \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 6 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot t\_0 + im\_m \cdot -2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.8 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot t\_0\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 2e-5)
      (- 0.0 (* im_m (sin re)))
      (if (<= im_m 6e+78)
        (*
         (+
          (*
           (+
            -0.3333333333333333
            (*
             (* im_m im_m)
             (+
              -0.016666666666666666
              (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))
           t_0)
          (* im_m -2.0))
         (*
          re
          (+
           0.5
           (*
            (* re re)
            (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667))))))
        (if (<= im_m 3.8e+144)
          (*
           im_m
           (*
            (* im_m t_0)
            (*
             re
             (*
              -0.008333333333333333
              (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))
          (* (* im_m im_m) (* im_m (* (sin re) -0.16666666666666666)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 2e-5) {
		tmp = 0.0 - (im_m * sin(re));
	} else if (im_m <= 6e+78) {
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))));
	} else if (im_m <= 3.8e+144) {
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (sin(re) * -0.16666666666666666));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * im_m)
    if (im_m <= 2d-5) then
        tmp = 0.0d0 - (im_m * sin(re))
    else if (im_m <= 6d+78) then
        tmp = ((((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))) * t_0) + (im_m * (-2.0d0))) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0)))))
    else if (im_m <= 3.8d+144) then
        tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * ((-0.008333333333333333d0) * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    else
        tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (sin(re) * (-0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 2e-5) {
		tmp = 0.0 - (im_m * Math.sin(re));
	} else if (im_m <= 6e+78) {
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))));
	} else if (im_m <= 3.8e+144) {
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	} else {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (Math.sin(re) * -0.16666666666666666));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if im_m <= 2e-5:
		tmp = 0.0 - (im_m * math.sin(re))
	elif im_m <= 6e+78:
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))
	elif im_m <= 3.8e+144:
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	else:
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (math.sin(re) * -0.16666666666666666))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2e-5)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(im_m * sin(re)));
	elseif (im_m <= 6e+78)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + Float64(im_m * -2.0)) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667))))));
	elseif (im_m <= 3.8e+144)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * t_0) * Float64(re * Float64(-0.008333333333333333 * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(sin(re) * -0.16666666666666666)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2e-5)
		tmp = 0.0 - (im_m * sin(re));
	elseif (im_m <= 6e+78)
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))));
	elseif (im_m <= 3.8e+144)
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	else
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (sin(re) * -0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2e-5], N[(0.0 - N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 6e+78], N[(N[(N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 3.8e+144], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision] * N[(re * N[(-0.008333333333333333 * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 2.00000000000000016e-5

   1. Initial program 58.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sin re \cdot im\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      6. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(0 - \color{blue}{im}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 61.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right)\right) \]

   5. Simplified 61.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(0 - im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 61.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 61.8%

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-im\right)} \]

   if 2.00000000000000016e-5 < im < 5.99999999999999964e78

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 49.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 49.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 48.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 48.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right) \]

   if 5.99999999999999964e78 < im < 3.80000000000000026e144

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(3 + 1\right)}\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3} \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 100.0%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 3.80000000000000026e144 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \sin re\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 67.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;0 - im \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.8 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 92.9% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 280000000:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 280000000.0)
    (*
     im_m
     (*
      (sin re)
      (+
       -1.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))
    (if (<= im_m 1.2e+62)
      (*
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.016666666666666666
              (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
       (*
        re
        (+
         0.5
         (*
          re
          (*
           re
           (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667)))))))
      (*
       (sin re)
       (* im_m (* (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)) -0.008333333333333333)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 280000000.0) {
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	} else if (im_m <= 1.2e+62) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	} else {
		tmp = sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 280000000.0d0) then
        tmp = im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    else if (im_m <= 1.2d+62) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))) * (re * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0))))))
    else
        tmp = sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (-0.008333333333333333d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 280000000.0) {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	} else if (im_m <= 1.2e+62) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 280000000.0:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	elif im_m <= 1.2e+62:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 280000000.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	elseif (im_m <= 1.2e+62)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667)))))));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m)) * -0.008333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 280000000.0)
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	elseif (im_m <= 1.2e+62)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	else
		tmp = sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 280000000.0], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.2e+62], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.8e8

   1. Initial program 59.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 90.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 2.8e8 < im < 1.2e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 47.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 47.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   if 1.2e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right) \cdot \sin re} \]

   8. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{4}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \left(im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \cdot \sin re \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 90.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 280000000:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 92.8% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 280000000:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot -2 + im\_m \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 280000000.0)
    (*
     (* 0.5 (sin re))
     (+ (* im_m -2.0) (* im_m (* -0.3333333333333333 (* im_m im_m)))))
    (if (<= im_m 1.2e+62)
      (*
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.016666666666666666
              (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
       (*
        re
        (+
         0.5
         (*
          re
          (*
           re
           (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667)))))))
      (*
       (sin re)
       (* im_m (* (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)) -0.008333333333333333)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 280000000.0) {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * ((im_m * -2.0) + (im_m * (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))));
	} else if (im_m <= 1.2e+62) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	} else {
		tmp = sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 280000000.0d0) then
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * ((im_m * (-2.0d0)) + (im_m * ((-0.3333333333333333d0) * (im_m * im_m))))
    else if (im_m <= 1.2d+62) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))) * (re * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0))))))
    else
        tmp = sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (-0.008333333333333333d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 280000000.0) {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * ((im_m * -2.0) + (im_m * (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))));
	} else if (im_m <= 1.2e+62) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 280000000.0:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * ((im_m * -2.0) + (im_m * (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))))
	elif im_m <= 1.2e+62:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 280000000.0)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(im_m * -2.0) + Float64(im_m * Float64(-0.3333333333333333 * Float64(im_m * im_m)))));
	elseif (im_m <= 1.2e+62)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667)))))));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m)) * -0.008333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 280000000.0)
		tmp = (0.5 * sin(re)) * ((im_m * -2.0) + (im_m * (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))));
	elseif (im_m <= 1.2e+62)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	else
		tmp = sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 280000000.0], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.2e+62], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.8e8

   1. Initial program 59.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 92.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, -2\right)\right)\right) \]

      2. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, -2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, -2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 85.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 85.1%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)} + im \cdot -2\right) \]

   if 2.8e8 < im < 1.2e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 47.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 47.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   if 1.2e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right) \cdot \sin re} \]

   8. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{4}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \left(im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \cdot \sin re \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 280000000:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot -2 + im \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 92.8% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 280000000:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im\_m \cdot \left(\left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 280000000.0)
    (*
     (* 0.5 (sin re))
     (* im_m (+ -2.0 (* -0.3333333333333333 (* im_m im_m)))))
    (if (<= im_m 1.2e+62)
      (*
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.016666666666666666
              (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
       (*
        re
        (+
         0.5
         (*
          re
          (*
           re
           (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667)))))))
      (*
       (sin re)
       (* im_m (* (* (* im_m im_m) (* im_m im_m)) -0.008333333333333333)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 280000000.0) {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))));
	} else if (im_m <= 1.2e+62) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	} else {
		tmp = sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 280000000.0d0) then
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + ((-0.3333333333333333d0) * (im_m * im_m))))
    else if (im_m <= 1.2d+62) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))) * (re * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0))))))
    else
        tmp = sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * (-0.008333333333333333d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 280000000.0) {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))));
	} else if (im_m <= 1.2e+62) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 280000000.0:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))))
	elif im_m <= 1.2e+62:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 280000000.0)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(-0.3333333333333333 * Float64(im_m * im_m)))));
	elseif (im_m <= 1.2e+62)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667)))))));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(im_m * Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m)) * -0.008333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 280000000.0)
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))));
	elseif (im_m <= 1.2e+62)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	else
		tmp = sin(re) * (im_m * (((im_m * im_m) * (im_m * im_m)) * -0.008333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 280000000.0], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.2e+62], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.8e8

   1. Initial program 59.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 85.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   if 2.8e8 < im < 1.2e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 38.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 47.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 47.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   if 1.2e62 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \sin re\right) \]

      12. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right) \cdot \sin re} \]

   8. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{4}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \left(im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \cdot \sin re \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 280000000:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 90.9% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 280000000:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* 0.5 (sin re))
          (* im_m (+ -2.0 (* -0.3333333333333333 (* im_m im_m)))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 280000000.0)
      t_0
      (if (<= im_m 8.2e+102)
        (*
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.3333333333333333
             (*
              im_m
              (*
               im_m
               (+
                -0.016666666666666666
                (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
         (*
          re
          (+
           0.5
           (*
            re
            (*
             re
             (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667)))))))
        t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))));
	double tmp;
	if (im_m <= 280000000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 8.2e+102) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + ((-0.3333333333333333d0) * (im_m * im_m))))
    if (im_m <= 280000000.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 8.2d+102) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))) * (re * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0))))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))));
	double tmp;
	if (im_m <= 280000000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 8.2e+102) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = (0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))))
	tmp = 0
	if im_m <= 280000000.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 8.2e+102:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))))
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(-0.3333333333333333 * Float64(im_m * im_m)))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 280000000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 8.2e+102)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667)))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (-0.3333333333333333 * (im_m * im_m))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 280000000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 8.2e+102)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(-0.3333333333333333 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 280000000.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 8.2e+102], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.8e8 or 8.1999999999999999e102 < im

   1. Initial program 66.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 87.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   if 2.8e8 < im < 8.1999999999999999e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 66.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 60.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 280000000:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + -0.3333333333333333 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 92.2% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   im_m
   (*
    (sin re)
    (+
     -1.0
     (*
      (* im_m im_m)
      (+
       -0.16666666666666666
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.008333333333333333
         (* im_m (* im_m -0.0001984126984126984)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))))))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + (im_m * (im_m * (-0.0001984126984126984d0))))))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))))))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))))))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0001984126984126984))))))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + (im_m * (im_m * -0.0001984126984126984)))))))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 69.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot \sin re}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)\right) \]

   4. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right) + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 91.4%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{5040}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   25. *-lowering-*.f64 91.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 91.4%

   \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 12: 91.6% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   im_m
   (*
    (sin re)
    (+
     -1.0
     (*
      (* im_m (* im_m (* im_m im_m)))
      (+ -0.008333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 69.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot \sin re}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right) + \frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)\right) \]

   4. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right) + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \sin re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 91.4%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{5040}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 90.7%

   \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + -0.0001984126984126984 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

9. Final simplification 90.7%

   \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 73.2% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 420000000000:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 420000000000.0)
    (*
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.016666666666666666
            (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
     (*
      re
      (+
       0.5
       (*
        (* re re)
        (+
         -0.08333333333333333
         (*
          re
          (*
           re
           (+ 0.004166666666666667 (* (* re re) -9.92063492063492e-5)))))))))
    (* im_m (* (sin re) (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 420000000000.0) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))));
	} else {
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 420000000000.0d0) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * (0.004166666666666667d0 + ((re * re) * (-9.92063492063492d-5)))))))))
    else
        tmp = im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 420000000000.0) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 420000000000.0:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))
	else:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 420000000000.0)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * Float64(0.004166666666666667 + Float64(Float64(re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 420000000000.0)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))));
	else
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 420000000000.0], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * N[(0.004166666666666667 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -9.92063492063492e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.2e11

   1. Initial program 73.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 71.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 71.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   if 4.2e11 < re

   1. Initial program 51.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 86.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\sin re \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot im \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), im\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 86.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), im\right) \]

   7. Applied egg-rr 86.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot im} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 420000000000:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 73.2% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 420000000000:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 420000000000.0)
    (*
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.016666666666666666
            (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
     (*
      re
      (+
       0.5
       (*
        (* re re)
        (+
         -0.08333333333333333
         (*
          re
          (*
           re
           (+ 0.004166666666666667 (* (* re re) -9.92063492063492e-5)))))))))
    (* (* im_m (sin re)) (+ -1.0 (* (* im_m im_m) -0.16666666666666666))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 420000000000.0) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))));
	} else {
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 420000000000.0d0) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * (0.004166666666666667d0 + ((re * re) * (-9.92063492063492d-5)))))))))
    else
        tmp = (im_m * sin(re)) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 420000000000.0) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))));
	} else {
		tmp = (im_m * Math.sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 420000000000.0:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))
	else:
		tmp = (im_m * math.sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 420000000000.0)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * Float64(0.004166666666666667 + Float64(Float64(re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * sin(re)) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.16666666666666666)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 420000000000.0)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))));
	else
		tmp = (im_m * sin(re)) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * -0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 420000000000.0], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * N[(0.004166666666666667 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -9.92063492063492e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.2e11

   1. Initial program 73.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 71.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 71.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   if 4.2e11 < re

   1. Initial program 51.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 86.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 420000000000:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \sin re\right) \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 82.7% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2.2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;0 - im\_m \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.1 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot t\_0 + im\_m \cdot -2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot t\_0\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 2.2e-5)
      (- 0.0 (* im_m (sin re)))
      (if (<= im_m 1.1e+79)
        (*
         (+
          (*
           (+
            -0.3333333333333333
            (*
             (* im_m im_m)
             (+
              -0.016666666666666666
              (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))
           t_0)
          (* im_m -2.0))
         (*
          re
          (+
           0.5
           (*
            (* re re)
            (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667))))))
        (*
         im_m
         (*
          (* im_m t_0)
          (*
           re
           (*
            -0.008333333333333333
            (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 2.2e-5) {
		tmp = 0.0 - (im_m * sin(re));
	} else if (im_m <= 1.1e+79) {
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * im_m)
    if (im_m <= 2.2d-5) then
        tmp = 0.0d0 - (im_m * sin(re))
    else if (im_m <= 1.1d+79) then
        tmp = ((((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))) * t_0) + (im_m * (-2.0d0))) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0)))))
    else
        tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * ((-0.008333333333333333d0) * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 2.2e-5) {
		tmp = 0.0 - (im_m * Math.sin(re));
	} else if (im_m <= 1.1e+79) {
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if im_m <= 2.2e-5:
		tmp = 0.0 - (im_m * math.sin(re))
	elif im_m <= 1.1e+79:
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))
	else:
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2.2e-5)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(im_m * sin(re)));
	elseif (im_m <= 1.1e+79)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + Float64(im_m * -2.0)) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * t_0) * Float64(re * Float64(-0.008333333333333333 * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2.2e-5)
		tmp = 0.0 - (im_m * sin(re));
	elseif (im_m <= 1.1e+79)
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))));
	else
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2.2e-5], N[(0.0 - N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.1e+79], N[(N[(N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision] * N[(re * N[(-0.008333333333333333 * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.1999999999999999e-5

   1. Initial program 58.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sin re \cdot im\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      6. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(0 - \color{blue}{im}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 61.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right)\right) \]

   5. Simplified 61.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(0 - im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 61.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 61.8%

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-im\right)} \]

   if 2.1999999999999999e-5 < im < 1.0999999999999999e79

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 49.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 49.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 48.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 48.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right) \]

   if 1.0999999999999999e79 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(3 + 1\right)}\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3} \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;0 - im \cdot \sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 58.6% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot t\_0 + im\_m \cdot -2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot t\_0\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 2e+78)
      (*
       (+
        (*
         (+
          -0.3333333333333333
          (*
           (* im_m im_m)
           (+ -0.016666666666666666 (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))
         t_0)
        (* im_m -2.0))
       (*
        re
        (+
         0.5
         (*
          (* re re)
          (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667))))))
      (*
       im_m
       (*
        (* im_m t_0)
        (*
         re
         (*
          -0.008333333333333333
          (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 2e+78) {
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * im_m)
    if (im_m <= 2d+78) then
        tmp = ((((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))) * t_0) + (im_m * (-2.0d0))) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0)))))
    else
        tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * ((-0.008333333333333333d0) * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 2e+78) {
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if im_m <= 2e+78:
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))))
	else:
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2e+78)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + Float64(im_m * -2.0)) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * t_0) * Float64(re * Float64(-0.008333333333333333 * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2e+78)
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667)))));
	else
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2e+78], N[(N[(N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision] * N[(re * N[(-0.008333333333333333 * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.00000000000000002e78

   1. Initial program 62.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(im, im\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 55.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 55.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right) \]

   if 2.00000000000000002e78 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(3 + 1\right)}\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3} \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2 \cdot 10^{+78}:\\ \;\;\;\;\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 58.6% accurate, 7.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 2.85 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 2.85e+79)
    (*
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.016666666666666666
            (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))))))
     (*
      re
      (+
       0.5
       (*
        re
        (* re (+ -0.08333333333333333 (* (* re re) 0.004166666666666667)))))))
    (*
     im_m
     (*
      (* im_m (* im_m (* im_m im_m)))
      (*
       re
       (*
        -0.008333333333333333
        (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.85e+79) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 2.85d+79) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))))))) * (re * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * 0.004166666666666667d0))))))
    else
        tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * ((-0.008333333333333333d0) * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 2.85e+79) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 2.85e+79:
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))))
	else:
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 2.85e+79)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * 0.004166666666666667)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))) * Float64(re * Float64(-0.008333333333333333 * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 2.85e+79)
		tmp = (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))))))) * (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * 0.004166666666666667))))));
	else
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 2.85e+79], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(-0.008333333333333333 * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.8499999999999998e79

   1. Initial program 62.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 55.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   if 2.8499999999999998e79 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(3 + 1\right)}\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3} \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.85 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 58.3% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot t\_0 + im\_m \cdot -2\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot t\_0\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 5e+76)
      (*
       (+
        (*
         (+
          -0.3333333333333333
          (*
           (* im_m im_m)
           (+ -0.016666666666666666 (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968)))))
         t_0)
        (* im_m -2.0))
       (* 0.5 re))
      (*
       im_m
       (*
        (* im_m t_0)
        (*
         re
         (*
          -0.008333333333333333
          (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 5e+76) {
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * im_m)
    if (im_m <= 5d+76) then
        tmp = ((((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0)))))) * t_0) + (im_m * (-2.0d0))) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * ((-0.008333333333333333d0) * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 5e+76) {
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if im_m <= 5e+76:
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5e+76)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + Float64(im_m * -2.0)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * t_0) * Float64(re * Float64(-0.008333333333333333 * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5e+76)
		tmp = (((-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968))))) * t_0) + (im_m * -2.0)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = im_m * ((im_m * t_0) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5e+76], N[(N[(N[(N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision] * N[(re * N[(-0.008333333333333333 * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4.99999999999999991e76

   1. Initial program 62.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} + im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 55.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, -2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 55.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right) \]

   if 4.99999999999999991e76 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(3 + 1\right)}\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3} \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;\left(\left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + im \cdot -2\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 58.3% accurate, 10.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 5e+79)
    (*
     (* 0.5 re)
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        (* im_m im_m)
        (+
         -0.3333333333333333
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.016666666666666666
            (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))))))
    (*
     im_m
     (*
      (* im_m (* im_m (* im_m im_m)))
      (*
       re
       (*
        -0.008333333333333333
        (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5e+79) {
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 5d+79) then
        tmp = (0.5d0 * re) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0))))))))))
    else
        tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * ((-0.008333333333333333d0) * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5e+79) {
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 5e+79:
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))))
	else:
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5e+79)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))) * Float64(re * Float64(-0.008333333333333333 * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5e+79)
		tmp = (0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))))));
	else
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5e+79], N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(-0.008333333333333333 * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5e79

   1. Initial program 62.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 55.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   if 5e79 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(3 + 1\right)}\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3} \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 56.7% accurate, 11.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 5e+79)
    (*
     re
     (*
      im_m
      (+
       -1.0
       (*
        im_m
        (*
         im_m
         (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))))))
    (*
     im_m
     (*
      (* im_m (* im_m (* im_m im_m)))
      (*
       re
       (*
        -0.008333333333333333
        (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5e+79) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 5d+79) then
        tmp = re * (im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * ((-0.008333333333333333d0) * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5e+79) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 5e+79:
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	else:
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5e+79)
		tmp = Float64(re * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))) * Float64(re * Float64(-0.008333333333333333 * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5e+79)
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = im_m * ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (re * (-0.008333333333333333 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5e+79], N[(re * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(-0.008333333333333333 * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5e79

   1. Initial program 62.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 85.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 51.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 51.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)} - 1\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)}\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

       8. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 52.8%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 52.8%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 5e79 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 86.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left({im}^{4} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{4} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(3 + 1\right)}\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3} \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120}} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \left(re \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 86.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), im\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 86.0%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 56.6% accurate, 14.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5 \cdot 10^{+112}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 5e+112)
    (*
     re
     (*
      im_m
      (+
       -1.0
       (*
        im_m
        (*
         im_m
         (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))))))
    (*
     (* re (* im_m (* im_m im_m)))
     (* -0.16666666666666666 (+ 1.0 (* -0.16666666666666666 (* re re))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5e+112) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = (re * (im_m * (im_m * im_m))) * (-0.16666666666666666 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 5d+112) then
        tmp = re * (im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = (re * (im_m * (im_m * im_m))) * ((-0.16666666666666666d0) * (1.0d0 + ((-0.16666666666666666d0) * (re * re))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5e+112) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = (re * (im_m * (im_m * im_m))) * (-0.16666666666666666 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 5e+112:
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	else:
		tmp = (re * (im_m * (im_m * im_m))) * (-0.16666666666666666 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5e+112)
		tmp = Float64(re * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))) * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * re)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5e+112)
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = (re * (im_m * (im_m * im_m))) * (-0.16666666666666666 * (1.0 + (-0.16666666666666666 * (re * re))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5e+112], N[(re * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5e112

   1. Initial program 63.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 85.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 52.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 52.8%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)} - 1\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)}\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

       8. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 53.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 53.0%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 5e112 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 92.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 92.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \sin re\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 92.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 92.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 76.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 76.8%

       \[\leadsto \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

       2. pow3 N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(re \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3} \cdot re\right), \color{blue}{\left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), re\right), \left(\color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       7. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), re\right), \left(\left(\color{blue}{1} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), re\right), \left(\left(\color{blue}{1} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), re\right), \left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), re\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 84.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 84.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 57.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 5 \cdot 10^{+112}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 56.1% accurate, 14.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.6 \cdot 10^{+146}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.6e+146)
    (*
     re
     (*
      im_m
      (+
       -1.0
       (*
        im_m
        (*
         im_m
         (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))))))
    (*
     (* im_m im_m)
     (*
      im_m
      (* re (+ -0.16666666666666666 (* re (* re 0.027777777777777776)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.6e+146) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.6d+146) then
        tmp = re * (im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * ((-0.16666666666666666d0) + (re * (re * 0.027777777777777776d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.6e+146) {
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.6e+146:
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	else:
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.6e+146)
		tmp = Float64(re * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(re * Float64(re * 0.027777777777777776))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.6e+146)
		tmp = re * (im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.6e+146], N[(re * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(re * N[(-0.16666666666666666 + N[(re * N[(re * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.6e146

   1. Initial program 64.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 85.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{-1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 53.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 53.4%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(re \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)} - 1\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)}\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

       8. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f64 53.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 53.6%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.6e146 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \sin re\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 82.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 82.9%

       \[\leadsto \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{1}{36} \cdot {re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 82.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 82.9%

       \[\leadsto \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 23: 55.1% accurate, 14.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.55 \cdot 10^{+146}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.55e+146)
    (*
     im_m
     (*
      re
      (+
       -1.0
       (*
        im_m
        (*
         im_m
         (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))))))
    (*
     (* im_m im_m)
     (*
      im_m
      (* re (+ -0.16666666666666666 (* re (* re 0.027777777777777776)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.55e+146) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.55d+146) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * ((-0.16666666666666666d0) + (re * (re * 0.027777777777777776d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.55e+146) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	} else {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.55e+146:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	else:
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.55e+146)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(re * Float64(re * 0.027777777777777776))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.55e+146)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.55e+146], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(re * N[(-0.16666666666666666 + N[(re * N[(re * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.5500000000000001e146

   1. Initial program 64.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot -1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 85.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 51.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 51.9%

      \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.5500000000000001e146 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \sin re\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 82.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 82.9%

       \[\leadsto \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{1}{36} \cdot {re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 82.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 82.9%

       \[\leadsto \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 24: 50.1% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.1 \cdot 10^{+80}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 1.1e+80)
    (* im_m (* re (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666)))))
    (*
     (* im_m im_m)
     (*
      im_m
      (* re (+ -0.16666666666666666 (* re (* re 0.027777777777777776)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.1e+80) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 1.1d+80) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))))
    else
        tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * ((-0.16666666666666666d0) + (re * (re * 0.027777777777777776d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 1.1e+80) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 1.1e+80:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))))
	else:
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.1e+80)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(re * Float64(re * 0.027777777777777776))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.1e+80)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (re * (-0.16666666666666666 + (re * (re * 0.027777777777777776)))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.1e+80], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(re * N[(-0.16666666666666666 + N[(re * N[(re * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.10000000000000001e80

   1. Initial program 62.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 76.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 76.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 44.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 44.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   if 1.10000000000000001e80 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 86.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \sin re\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 86.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 74.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 74.5%

       \[\leadsto \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{1}{36} \cdot {re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{36}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 74.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 74.5%

       \[\leadsto \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 25: 50.3% accurate, 17.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 6.8 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 6.8e+22)
    (* im_m (* re (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666)))))
    (* (* re re) (* re (* (* im_m (* im_m im_m)) 0.027777777777777776))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 6.8e+22) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = (re * re) * (re * ((im_m * (im_m * im_m)) * 0.027777777777777776));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 6.8d+22) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))))
    else
        tmp = (re * re) * (re * ((im_m * (im_m * im_m)) * 0.027777777777777776d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 6.8e+22) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = (re * re) * (re * ((im_m * (im_m * im_m)) * 0.027777777777777776));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 6.8e+22:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))))
	else:
		tmp = (re * re) * (re * ((im_m * (im_m * im_m)) * 0.027777777777777776))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 6.8e+22)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * re) * Float64(re * Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * 0.027777777777777776)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 6.8e+22)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = (re * re) * (re * ((im_m * (im_m * im_m)) * 0.027777777777777776));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 6.8e+22], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(re * N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 6.8e22

   1. Initial program 72.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 76.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 76.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 54.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   if 6.8e22 < re

   1. Initial program 54.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 85.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \sin re\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 38.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 38.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 26.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 26.0%

       \[\leadsto \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]

   12. Taylor expanded in re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{36} \cdot \left({im}^{3} \cdot {re}^{3}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{36} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{{re}^{3}} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto {re}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {im}^{3}\right)} \]

       3. unpow3 N/A

          \[\leadsto \left(\left(re \cdot re\right) \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{36}} \cdot {im}^{3}\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left({re}^{2} \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{36} \cdot {im}^{3}\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto {re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{36} \cdot {im}^{3}\right)\right)} \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{36} \cdot {im}^{3}\right)\right)}\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{re} \cdot \left(\frac{1}{36} \cdot {im}^{3}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{re} \cdot \left(\frac{1}{36} \cdot {im}^{3}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {im}^{3}\right)}\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \left({im}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right)\right) \]

       12. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right) \]

       15. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 26.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{1}{36}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 26.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot \left(re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot 0.027777777777777776\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 26: 50.3% accurate, 17.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 6.8 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 6.8e+22)
    (* im_m (* re (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666)))))
    (* (* im_m im_m) (* im_m (* 0.027777777777777776 (* re (* re re))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 6.8e+22) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (0.027777777777777776 * (re * (re * re))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 6.8d+22) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))))
    else
        tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (0.027777777777777776d0 * (re * (re * re))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 6.8e+22) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (0.027777777777777776 * (re * (re * re))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 6.8e+22:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))))
	else:
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (0.027777777777777776 * (re * (re * re))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 6.8e+22)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * Float64(0.027777777777777776 * Float64(re * Float64(re * re)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 6.8e+22)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = (im_m * im_m) * (im_m * (0.027777777777777776 * (re * (re * re))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 6.8e+22], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(0.027777777777777776 * N[(re * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 6.8e22

   1. Initial program 72.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 76.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 76.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 54.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   if 6.8e22 < re

   1. Initial program 54.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 85.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \sin re\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 38.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 38.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 26.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 26.0%

       \[\leadsto \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \]

   12. Taylor expanded in re around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right)\right)}\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(im \cdot {re}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{36}}\right)\right) \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \color{blue}{\left({re}^{3} \cdot \frac{1}{36}\right)}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(\frac{1}{36} \cdot \color{blue}{{re}^{3}}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{36} \cdot {re}^{3}\right)}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \color{blue}{\left({re}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       6. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \left(re \cdot {re}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 26.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{36}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 26.0%

       \[\leadsto \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(0.027777777777777776 \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 27: 52.5% accurate, 19.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.0115:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.0115)
    (* im_m (* re (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666)))))
    (* re (* (* im_m (* im_m im_m)) -0.16666666666666666)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.0115) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * -0.16666666666666666);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.0115d0) then
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))))
    else
        tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.0115) {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * -0.16666666666666666);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.0115:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))))
	else:
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * -0.16666666666666666)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.0115)
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * -0.16666666666666666));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.0115)
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.0115], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 0.0115

   1. Initial program 58.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 84.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 84.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 48.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 48.5%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   if 0.0115 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 59.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \sin re\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 59.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left({im}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       6. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 52.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   11. Simplified 52.0%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 28: 52.4% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 0.0115:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(0 - re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 0.0115)
    (* im_m (- 0.0 re))
    (* re (* (* im_m (* im_m im_m)) -0.16666666666666666)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.0115) {
		tmp = im_m * (0.0 - re);
	} else {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * -0.16666666666666666);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 0.0115d0) then
        tmp = im_m * (0.0d0 - re)
    else
        tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 0.0115) {
		tmp = im_m * (0.0 - re);
	} else {
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * -0.16666666666666666);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 0.0115:
		tmp = im_m * (0.0 - re)
	else:
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * -0.16666666666666666)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 0.0115)
		tmp = Float64(im_m * Float64(0.0 - re));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * -0.16666666666666666));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 0.0115)
		tmp = im_m * (0.0 - re);
	else
		tmp = re * ((im_m * (im_m * im_m)) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 0.0115], N[(im$95$m * N[(0.0 - re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 0.0115

   1. Initial program 58.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sin re \cdot im\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      6. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(0 - \color{blue}{im}\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 61.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right)\right) \]

   5. Simplified 61.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(0 - im\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 33.7%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{re}\right)\right) \]

   8. Simplified 33.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot re} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot re\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(re \cdot im\right) \]

      3. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(re\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 33.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(re\right), im\right) \]

   10. Applied egg-rr 33.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-re\right) \cdot im} \]

   if 0.0115 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \sin re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sin re \cdot im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin re, im\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 59.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), im\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 59.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot im\right) \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \sin re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\sin re \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto {im}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. unpow3 N/A

         \[\leadsto \left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \sin re\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto {im}^{2} \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)}\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right)}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 59.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot re\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left({im}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right) \]

       6. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 52.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right) \]

   11. Simplified 52.0%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 38.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 0.0115:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(0 - re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 29: 33.0% accurate, 61.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(0 - re\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (* im_m (- 0.0 re))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (0.0 - re));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (0.0d0 - re))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (0.0 - re));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (0.0 - re))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(0.0 - re)))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (0.0 - re));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(0.0 - re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 69.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sin re \cdot im\right) \]

   3. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right)}\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(0 - \color{blue}{im}\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 47.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right)\right) \]

5. Simplified 47.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(0 - im\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot re\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot re\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot re} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot re\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 27.3%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{re}\right)\right) \]

8. Simplified 27.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot re} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot re\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(re \cdot im\right) \]

   3. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(re\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f64 27.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(re\right), im\right) \]

10. Applied egg-rr 27.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-re\right) \cdot im} \]

11. Final simplification 27.3%

    \[\leadsto im \cdot \left(0 - re\right) \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024140 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))