powComplex, imaginary part

Percentage Accurate: 40.2% → 78.3%

Time: 23.3s

Alternatives: 15

Speedup: 3.8×

• 35.7% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (sin (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * sin(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.sin(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.sin(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 40.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (sin (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * sin(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.sin(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.sin(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * sin(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 78.3% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0}\\ t_3 := \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -9 \cdot 10^{+29}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \left(\sin t\_1 + y.im \cdot \left(t\_3 \cdot \cos t\_1\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2400:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(t\_1 + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \sin \left(y.im \cdot t\_3\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2
         (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0)))
        (t_3 (log (hypot x.im x.re))))
   (if (<= y.re -9e+29)
     (* t_2 (+ (sin t_1) (* y.im (* t_3 (cos t_1)))))
     (if (<= y.re 2400.0)
       (/
        (sin (+ t_1 (* y.im (log (hypot x.re x.im)))))
        (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (* t_2 (sin (* y.im t_3)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	double t_3 = log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -9e+29) {
		tmp = t_2 * (sin(t_1) + (y_46_im * (t_3 * cos(t_1))));
	} else if (y_46_re <= 2400.0) {
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_2 * sin((y_46_im * t_3));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	double t_3 = Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -9e+29) {
		tmp = t_2 * (Math.sin(t_1) + (y_46_im * (t_3 * Math.cos(t_1))));
	} else if (y_46_re <= 2400.0) {
		tmp = Math.sin((t_1 + (y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_2 * Math.sin((y_46_im * t_3));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0))
	t_3 = math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -9e+29:
		tmp = t_2 * (math.sin(t_1) + (y_46_im * (t_3 * math.cos(t_1))))
	elif y_46_re <= 2400.0:
		tmp = math.sin((t_1 + (y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = t_2 * math.sin((y_46_im * t_3))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0))
	t_3 = log(hypot(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -9e+29)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(sin(t_1) + Float64(y_46_im * Float64(t_3 * cos(t_1)))));
	elseif (y_46_re <= 2400.0)
		tmp = Float64(sin(Float64(t_1 + Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(t_2 * sin(Float64(y_46_im * t_3)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	t_3 = log(hypot(x_46_im, x_46_re));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -9e+29)
		tmp = t_2 * (sin(t_1) + (y_46_im * (t_3 * cos(t_1))));
	elseif (y_46_re <= 2400.0)
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = t_2 * sin((y_46_im * t_3));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -9e+29], N[(t$95$2 * N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] + N[(y$46$im * N[(t$95$3 * N[Cos[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2400.0], N[(N[Sin[N[(t$95$1 + N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 * N[Sin[N[(y$46$im * t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -9.0000000000000005e29

   1. Initial program 43.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(\color{blue}{y.im} \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\left(\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. atan2-lowering-atan2.f64 93.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 93.4%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)} \]

   if -9.0000000000000005e29 < y.re < 2400

   1. Initial program 43.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   if 2400 < y.re

   1. Initial program 45.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 69.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 69.0%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 83.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -9 \cdot 10^{+29}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) + y.im \cdot \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right) \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2400:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 78.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -5.2 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \sin t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1100:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(t\_1 + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2
         (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))))
   (if (<= y.re -5.2e-9)
     (* t_2 (sin t_1))
     (if (<= y.re 1100.0)
       (/
        (sin (+ t_1 (* y.im (log (hypot x.re x.im)))))
        (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (* t_2 (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.2e-9) {
		tmp = t_2 * sin(t_1);
	} else if (y_46_re <= 1100.0) {
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_2 * sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.2e-9) {
		tmp = t_2 * Math.sin(t_1);
	} else if (y_46_re <= 1100.0) {
		tmp = Math.sin((t_1 + (y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_2 * Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -5.2e-9:
		tmp = t_2 * math.sin(t_1)
	elif y_46_re <= 1100.0:
		tmp = math.sin((t_1 + (y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = t_2 * math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -5.2e-9)
		tmp = Float64(t_2 * sin(t_1));
	elseif (y_46_re <= 1100.0)
		tmp = Float64(sin(Float64(t_1 + Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(t_2 * sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -5.2e-9)
		tmp = t_2 * sin(t_1);
	elseif (y_46_re <= 1100.0)
		tmp = sin((t_1 + (y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = t_2 * sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -5.2e-9], N[(t$95$2 * N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1100.0], N[(N[Sin[N[(t$95$1 + N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 * N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.2000000000000002e-9

   1. Initial program 42.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 91.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.0%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -5.2000000000000002e-9 < y.re < 1100

   1. Initial program 44.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   if 1100 < y.re

   1. Initial program 45.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 69.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 69.0%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 83.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.2 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1100:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 71.7% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := e^{t\_0}\\ t_2 := \sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ t_3 := \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ t_4 := e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.9 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;t\_4 \cdot t\_3\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1.05 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot \frac{0 - -1}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.3 \cdot 10^{-97}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.5 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_3}{\frac{t\_1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_4 \cdot t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (exp t_0))
        (t_2 (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))))
        (t_3 (sin (* y.re (atan2 x.im x.re))))
        (t_4
         (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))))
   (if (<= y.re -1.9e-13)
     (* t_4 t_3)
     (if (<= y.re -1.05e-139)
       (* t_3 (/ (- 0.0 -1.0) t_1))
       (if (<= y.re 1.3e-97)
         (/ t_2 t_1)
         (if (<= y.re 1.5e+14)
           (/ t_3 (/ t_1 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
           (* t_4 t_2)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = exp(t_0);
	double t_2 = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double t_3 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_4 = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.9e-13) {
		tmp = t_4 * t_3;
	} else if (y_46_re <= -1.05e-139) {
		tmp = t_3 * ((0.0 - -1.0) / t_1);
	} else if (y_46_re <= 1.3e-97) {
		tmp = t_2 / t_1;
	} else if (y_46_re <= 1.5e+14) {
		tmp = t_3 / (t_1 / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_4 * t_2;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = Math.exp(t_0);
	double t_2 = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double t_3 = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_4 = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.9e-13) {
		tmp = t_4 * t_3;
	} else if (y_46_re <= -1.05e-139) {
		tmp = t_3 * ((0.0 - -1.0) / t_1);
	} else if (y_46_re <= 1.3e-97) {
		tmp = t_2 / t_1;
	} else if (y_46_re <= 1.5e+14) {
		tmp = t_3 / (t_1 / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_4 * t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = math.exp(t_0)
	t_2 = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	t_3 = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	t_4 = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.9e-13:
		tmp = t_4 * t_3
	elif y_46_re <= -1.05e-139:
		tmp = t_3 * ((0.0 - -1.0) / t_1)
	elif y_46_re <= 1.3e-97:
		tmp = t_2 / t_1
	elif y_46_re <= 1.5e+14:
		tmp = t_3 / (t_1 / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = t_4 * t_2
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = exp(t_0)
	t_2 = sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))))
	t_3 = sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))
	t_4 = exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.9e-13)
		tmp = Float64(t_4 * t_3);
	elseif (y_46_re <= -1.05e-139)
		tmp = Float64(t_3 * Float64(Float64(0.0 - -1.0) / t_1));
	elseif (y_46_re <= 1.3e-97)
		tmp = Float64(t_2 / t_1);
	elseif (y_46_re <= 1.5e+14)
		tmp = Float64(t_3 / Float64(t_1 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(t_4 * t_2);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = exp(t_0);
	t_2 = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	t_3 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	t_4 = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.9e-13)
		tmp = t_4 * t_3;
	elseif (y_46_re <= -1.05e-139)
		tmp = t_3 * ((0.0 - -1.0) / t_1);
	elseif (y_46_re <= 1.3e-97)
		tmp = t_2 / t_1;
	elseif (y_46_re <= 1.5e+14)
		tmp = t_3 / (t_1 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = t_4 * t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.9e-13], N[(t$95$4 * t$95$3), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -1.05e-139], N[(t$95$3 * N[(N[(0.0 - -1.0), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.3e-97], N[(t$95$2 / t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.5e+14], N[(t$95$3 / N[(t$95$1 / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$4 * t$95$2), $MachinePrecision]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y.re < -1.9e-13

   1. Initial program 42.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 89.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.8%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -1.9e-13 < y.re < -1.05000000000000004e-139

   1. Initial program 33.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 41.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 41.9%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      6. atan2-lowering-atan2.f64 64.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 64.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. rec-exp N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      5. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \left(\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      8. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}\right)\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      13. atan2-lowering-atan2.f64 74.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 74.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

   if -1.05000000000000004e-139 < y.re < 1.30000000000000003e-97

   1. Initial program 48.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 74.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 74.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 1.30000000000000003e-97 < y.re < 1.5e14

   1. Initial program 39.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 74.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 90.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 90.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 1.5e14 < y.re

   1. Initial program 47.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 69.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 69.6%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 77.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.9 \cdot 10^{-13}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1.05 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \frac{0 - -1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.3 \cdot 10^{-97}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.5 \cdot 10^{+14}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 69.4% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := e^{t\_0}\\ t_2 := \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ t_3 := e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0} \cdot t\_2\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -4.9 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.2 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \frac{0 - -1}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.8 \cdot 10^{-97}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{t\_1}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.85:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{\frac{t\_1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (exp t_0))
        (t_2 (sin (* y.re (atan2 x.im x.re))))
        (t_3
         (*
          (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))
          t_2)))
   (if (<= y.re -4.9e-11)
     t_3
     (if (<= y.re -2.2e-139)
       (* t_2 (/ (- 0.0 -1.0) t_1))
       (if (<= y.re 1.8e-97)
         (/ (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))) t_1)
         (if (<= y.re 3.85)
           (/ t_2 (/ t_1 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
           t_3))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = exp(t_0);
	double t_2 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_3 = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_2;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.9e-11) {
		tmp = t_3;
	} else if (y_46_re <= -2.2e-139) {
		tmp = t_2 * ((0.0 - -1.0) / t_1);
	} else if (y_46_re <= 1.8e-97) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_1;
	} else if (y_46_re <= 3.85) {
		tmp = t_2 / (t_1 / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = Math.exp(t_0);
	double t_2 = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_3 = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_2;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.9e-11) {
		tmp = t_3;
	} else if (y_46_re <= -2.2e-139) {
		tmp = t_2 * ((0.0 - -1.0) / t_1);
	} else if (y_46_re <= 1.8e-97) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_1;
	} else if (y_46_re <= 3.85) {
		tmp = t_2 / (t_1 / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = math.exp(t_0)
	t_2 = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	t_3 = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_2
	tmp = 0
	if y_46_re <= -4.9e-11:
		tmp = t_3
	elif y_46_re <= -2.2e-139:
		tmp = t_2 * ((0.0 - -1.0) / t_1)
	elif y_46_re <= 1.8e-97:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_1
	elif y_46_re <= 3.85:
		tmp = t_2 / (t_1 / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = exp(t_0)
	t_2 = sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))
	t_3 = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_2)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -4.9e-11)
		tmp = t_3;
	elseif (y_46_re <= -2.2e-139)
		tmp = Float64(t_2 * Float64(Float64(0.0 - -1.0) / t_1));
	elseif (y_46_re <= 1.8e-97)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_1);
	elseif (y_46_re <= 3.85)
		tmp = Float64(t_2 / Float64(t_1 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = exp(t_0);
	t_2 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	t_3 = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_2;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -4.9e-11)
		tmp = t_3;
	elseif (y_46_re <= -2.2e-139)
		tmp = t_2 * ((0.0 - -1.0) / t_1);
	elseif (y_46_re <= 1.8e-97)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_1;
	elseif (y_46_re <= 3.85)
		tmp = t_2 / (t_1 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -4.9e-11], t$95$3, If[LessEqual[y$46$re, -2.2e-139], N[(t$95$2 * N[(N[(0.0 - -1.0), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.8e-97], N[(N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.85], N[(t$95$2 / N[(t$95$1 / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y.re < -4.8999999999999999e-11 or 3.85000000000000009 < y.re

   1. Initial program 44.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 78.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 78.4%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -4.8999999999999999e-11 < y.re < -2.2000000000000001e-139

   1. Initial program 33.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 41.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 41.9%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      6. atan2-lowering-atan2.f64 64.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 64.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. rec-exp N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      5. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \left(\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      8. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}\right)\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      13. atan2-lowering-atan2.f64 74.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 74.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

   if -2.2000000000000001e-139 < y.re < 1.79999999999999999e-97

   1. Initial program 48.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 74.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 74.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 1.79999999999999999e-97 < y.re < 3.85000000000000009

   1. Initial program 43.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 88.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 88.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 76.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -4.9 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -2.2 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \frac{0 - -1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.8 \cdot 10^{-97}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.85:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 66.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ t_1 := \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ t_2 := \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -7.4 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -7.8 \cdot 10^{-137}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \frac{0 - -1}{t\_0}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{t\_0}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.06 \cdot 10^{+178}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{t\_0}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot t\_2}{e^{t\_2 \cdot \left(y.re \cdot -0.5\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
        (t_1 (sin (* y.re (atan2 x.im x.re))))
        (t_2 (log (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))))
   (if (<= y.re -7.4e-16)
     (* t_1 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= y.re -7.8e-137)
       (* t_1 (/ (- 0.0 -1.0) t_0))
       (if (<= y.re 3e-96)
         (/ (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))) t_0)
         (if (<= y.re 1.06e+178)
           (/ t_1 (/ t_0 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
           (/ (* (* y.im 0.5) t_2) (exp (* t_2 (* y.re -0.5))))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double t_1 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_2 = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -7.4e-16) {
		tmp = t_1 * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= -7.8e-137) {
		tmp = t_1 * ((0.0 - -1.0) / t_0);
	} else if (y_46_re <= 3e-96) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_0;
	} else if (y_46_re <= 1.06e+178) {
		tmp = t_1 / (t_0 / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = ((y_46_im * 0.5) * t_2) / exp((t_2 * (y_46_re * -0.5)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double t_1 = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_2 = Math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -7.4e-16) {
		tmp = t_1 * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= -7.8e-137) {
		tmp = t_1 * ((0.0 - -1.0) / t_0);
	} else if (y_46_re <= 3e-96) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_0;
	} else if (y_46_re <= 1.06e+178) {
		tmp = t_1 / (t_0 / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = ((y_46_im * 0.5) * t_2) / Math.exp((t_2 * (y_46_re * -0.5)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	t_1 = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	t_2 = math.log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -7.4e-16:
		tmp = t_1 * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= -7.8e-137:
		tmp = t_1 * ((0.0 - -1.0) / t_0)
	elif y_46_re <= 3e-96:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_0
	elif y_46_re <= 1.06e+178:
		tmp = t_1 / (t_0 / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = ((y_46_im * 0.5) * t_2) / math.exp((t_2 * (y_46_re * -0.5)))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	t_1 = sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))
	t_2 = log(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -7.4e-16)
		tmp = Float64(t_1 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= -7.8e-137)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(Float64(0.0 - -1.0) / t_0));
	elseif (y_46_re <= 3e-96)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_0);
	elseif (y_46_re <= 1.06e+178)
		tmp = Float64(t_1 / Float64(t_0 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * t_2) / exp(Float64(t_2 * Float64(y_46_re * -0.5))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	t_1 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	t_2 = log(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -7.4e-16)
		tmp = t_1 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= -7.8e-137)
		tmp = t_1 * ((0.0 - -1.0) / t_0);
	elseif (y_46_re <= 3e-96)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_0;
	elseif (y_46_re <= 1.06e+178)
		tmp = t_1 / (t_0 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = ((y_46_im * 0.5) * t_2) / exp((t_2 * (y_46_re * -0.5)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Log[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -7.4e-16], N[(t$95$1 * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -7.8e-137], N[(t$95$1 * N[(N[(0.0 - -1.0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3e-96], N[(N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.06e+178], N[(t$95$1 / N[(t$95$0 / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] / N[Exp[N[(t$95$2 * N[(y$46$re * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y.re < -7.3999999999999999e-16

   1. Initial program 43.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. hypot-lowering-hypot.f64 87.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 87.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -7.3999999999999999e-16 < y.re < -7.7999999999999999e-137

   1. Initial program 31.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 43.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.1%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      6. atan2-lowering-atan2.f64 66.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 66.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. rec-exp N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      5. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \left(\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      8. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}\right)\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      13. atan2-lowering-atan2.f64 76.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 76.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

   if -7.7999999999999999e-137 < y.re < 3e-96

   1. Initial program 48.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 74.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 74.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 3e-96 < y.re < 1.05999999999999994e178

   1. Initial program 51.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 71.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 71.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 1.05999999999999994e178 < y.re

   1. Initial program 30.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 13.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 13.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 13.0%

      \[\leadsto \frac{-\frac{\color{blue}{\sin \left(\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)}{e^{\frac{-1}{2} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}{\color{blue}{e^{\frac{-1}{2} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\frac{-1}{2} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \left(e^{\frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\frac{-1}{2} \cdot \left(\color{blue}{y.re} \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\frac{-1}{2} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\frac{-1}{2} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{\frac{-1}{2} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{\frac{-1}{2} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y.re \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot y.re\right) \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot y.re\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, y.re\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      16. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 65.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 65.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{e^{\left(-0.5 \cdot y.re\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 75.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -7.4 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -7.8 \cdot 10^{-137}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \frac{0 - -1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.06 \cdot 10^{+178}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}{e^{\log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(y.re \cdot -0.5\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 66.5% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\\ t_1 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_2 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_3 := e^{t\_2}\\ \mathbf{if}\;x.re \leq -1.45 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;e^{0 - \left(t\_2 + y.re \cdot t\_0\right)} \cdot \sin \left(t\_1 - y.im \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 3.6 \cdot 10^{-50}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin t\_1}{\frac{t\_3}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(t\_1 - y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)}{t\_3 \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (/ -1.0 x.re)))
        (t_1 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_2 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_3 (exp t_2)))
   (if (<= x.re -1.45e-65)
     (* (exp (- 0.0 (+ t_2 (* y.re t_0)))) (sin (- t_1 (* y.im t_0))))
     (if (<= x.re 3.6e-50)
       (/ (sin t_1) (/ t_3 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (/
        (sin (- t_1 (* y.im (log (/ 1.0 x.re)))))
        (* t_3 (pow (/ 1.0 x.re) y.re)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log((-1.0 / x_46_re));
	double t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_3 = exp(t_2);
	double tmp;
	if (x_46_re <= -1.45e-65) {
		tmp = exp((0.0 - (t_2 + (y_46_re * t_0)))) * sin((t_1 - (y_46_im * t_0)));
	} else if (x_46_re <= 3.6e-50) {
		tmp = sin(t_1) / (t_3 / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = sin((t_1 - (y_46_im * log((1.0 / x_46_re))))) / (t_3 * pow((1.0 / x_46_re), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log((-1.0 / x_46_re));
	double t_1 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_2 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_3 = Math.exp(t_2);
	double tmp;
	if (x_46_re <= -1.45e-65) {
		tmp = Math.exp((0.0 - (t_2 + (y_46_re * t_0)))) * Math.sin((t_1 - (y_46_im * t_0)));
	} else if (x_46_re <= 3.6e-50) {
		tmp = Math.sin(t_1) / (t_3 / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = Math.sin((t_1 - (y_46_im * Math.log((1.0 / x_46_re))))) / (t_3 * Math.pow((1.0 / x_46_re), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log((-1.0 / x_46_re))
	t_1 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_2 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_3 = math.exp(t_2)
	tmp = 0
	if x_46_re <= -1.45e-65:
		tmp = math.exp((0.0 - (t_2 + (y_46_re * t_0)))) * math.sin((t_1 - (y_46_im * t_0)))
	elif x_46_re <= 3.6e-50:
		tmp = math.sin(t_1) / (t_3 / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = math.sin((t_1 - (y_46_im * math.log((1.0 / x_46_re))))) / (t_3 * math.pow((1.0 / x_46_re), y_46_re))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(Float64(-1.0 / x_46_re))
	t_1 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_2 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_3 = exp(t_2)
	tmp = 0.0
	if (x_46_re <= -1.45e-65)
		tmp = Float64(exp(Float64(0.0 - Float64(t_2 + Float64(y_46_re * t_0)))) * sin(Float64(t_1 - Float64(y_46_im * t_0))));
	elseif (x_46_re <= 3.6e-50)
		tmp = Float64(sin(t_1) / Float64(t_3 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(sin(Float64(t_1 - Float64(y_46_im * log(Float64(1.0 / x_46_re))))) / Float64(t_3 * (Float64(1.0 / x_46_re) ^ y_46_re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log((-1.0 / x_46_re));
	t_1 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_2 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_3 = exp(t_2);
	tmp = 0.0;
	if (x_46_re <= -1.45e-65)
		tmp = exp((0.0 - (t_2 + (y_46_re * t_0)))) * sin((t_1 - (y_46_im * t_0)));
	elseif (x_46_re <= 3.6e-50)
		tmp = sin(t_1) / (t_3 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = sin((t_1 - (y_46_im * log((1.0 / x_46_re))))) / (t_3 * ((1.0 / x_46_re) ^ y_46_re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[(-1.0 / x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Exp[t$95$2], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x$46$re, -1.45e-65], N[(N[Exp[N[(0.0 - N[(t$95$2 + N[(y$46$re * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(t$95$1 - N[(y$46$im * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$re, 3.6e-50], N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] / N[(t$95$3 / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[N[(t$95$1 - N[(y$46$im * N[Log[N[(1.0 / x$46$re), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(t$95$3 * N[Power[N[(1.0 / x$46$re), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x.re < -1.4499999999999999e-65

   1. Initial program 33.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x.re around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \sin \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.re\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.re\right), \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \color{blue}{\log \left(\frac{-1}{x.re}\right)}\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + -1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 76.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(-1 \cdot y.re\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + \left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)} \]

   if -1.4499999999999999e-65 < x.re < 3.59999999999999979e-50

   1. Initial program 62.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 86.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 73.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 3.59999999999999979e-50 < x.re

   1. Initial program 32.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 24.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

   5. Taylor expanded in x.re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      7. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{x.re}\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right)\right), \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{\color{blue}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{1}{x.re}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{1}}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      15. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{1}{x.re}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      16. /-lowering-/.f64 73.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.re\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 73.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 74.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.re \leq -1.45 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;e^{0 - \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im + y.re \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} - y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.re}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x.re \leq 3.6 \cdot 10^{-50}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} - y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.re}\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot {\left(\frac{1}{x.re}\right)}^{y.re}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 65.4% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\\ t_1 := \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -7.4 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1 \cdot 10^{-140}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \frac{0 - -1}{t\_0}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.1 \cdot 10^{-98}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{t\_0}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
        (t_1 (sin (* y.re (atan2 x.im x.re)))))
   (if (<= y.re -7.4e-16)
     (* t_1 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= y.re -1e-140)
       (* t_1 (/ (- 0.0 -1.0) t_0))
       (if (<= y.re 1.1e-98)
         (/ (sin (* y.im (log (hypot x.im x.re)))) t_0)
         (if (<= y.re 3.5e+77)
           (*
            y.re
            (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
           (* t_1 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re 2.0)))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double t_1 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -7.4e-16) {
		tmp = t_1 * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= -1e-140) {
		tmp = t_1 * ((0.0 - -1.0) / t_0);
	} else if (y_46_re <= 1.1e-98) {
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_0;
	} else if (y_46_re <= 3.5e+77) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_1 * pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double t_1 = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -7.4e-16) {
		tmp = t_1 * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= -1e-140) {
		tmp = t_1 * ((0.0 - -1.0) / t_0);
	} else if (y_46_re <= 1.1e-98) {
		tmp = Math.sin((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_0;
	} else if (y_46_re <= 3.5e+77) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_1 * Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	t_1 = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -7.4e-16:
		tmp = t_1 * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= -1e-140:
		tmp = t_1 * ((0.0 - -1.0) / t_0)
	elif y_46_re <= 1.1e-98:
		tmp = math.sin((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_0
	elif y_46_re <= 3.5e+77:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = t_1 * math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	t_1 = sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -7.4e-16)
		tmp = Float64(t_1 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= -1e-140)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(Float64(0.0 - -1.0) / t_0));
	elseif (y_46_re <= 1.1e-98)
		tmp = Float64(sin(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_0);
	elseif (y_46_re <= 3.5e+77)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = Float64(t_1 * (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / 2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	t_1 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -7.4e-16)
		tmp = t_1 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= -1e-140)
		tmp = t_1 * ((0.0 - -1.0) / t_0);
	elseif (y_46_re <= 1.1e-98)
		tmp = sin((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / t_0;
	elseif (y_46_re <= 3.5e+77)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = t_1 * (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / 2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -7.4e-16], N[(t$95$1 * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, -1e-140], N[(t$95$1 * N[(N[(0.0 - -1.0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.1e-98], N[(N[Sin[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.5e+77], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y.re < -7.3999999999999999e-16

   1. Initial program 43.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. hypot-lowering-hypot.f64 87.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 87.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -7.3999999999999999e-16 < y.re < -9.9999999999999998e-141

   1. Initial program 31.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 43.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.1%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      6. atan2-lowering-atan2.f64 66.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 66.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. rec-exp N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      5. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \left(\mathsf{neg}\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

      8. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)}\right)\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      13. atan2-lowering-atan2.f64 76.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 76.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

   if -9.9999999999999998e-141 < y.re < 1.09999999999999998e-98

   1. Initial program 48.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \sin \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 74.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 74.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 1.09999999999999998e-98 < y.re < 3.5000000000000001e77

   1. Initial program 46.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 58.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 58.9%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 69.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if 3.5000000000000001e77 < y.re

   1. Initial program 44.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. hypot-lowering-hypot.f64 66.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

      4. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      6. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right), \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      15. atan2-lowering-atan2.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 74.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -7.4 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq -1 \cdot 10^{-140}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot \frac{0 - -1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.1 \cdot 10^{-98}:\\ \;\;\;\;\frac{\sin \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 57.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -5.5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.5 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (* y.re (atan2 x.im x.re)))))
   (if (<= y.re -5.5e-7)
     (* t_0 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= y.re 2.5e+75)
       (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
       (* t_0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re 2.0)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.5e-7) {
		tmp = t_0 * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 2.5e+75) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_0 * pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.5e-7) {
		tmp = t_0 * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 2.5e+75) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_0 * Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -5.5e-7:
		tmp = t_0 * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 2.5e+75:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = t_0 * math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -5.5e-7)
		tmp = Float64(t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 2.5e+75)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = Float64(t_0 * (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / 2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -5.5e-7)
		tmp = t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= 2.5e+75)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = t_0 * (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / 2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -5.5e-7], N[(t$95$0 * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.5e+75], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.5000000000000003e-7

   1. Initial program 43.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. hypot-lowering-hypot.f64 90.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   if -5.5000000000000003e-7 < y.re < 2.5000000000000001e75

   1. Initial program 44.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 40.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.7%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 54.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.5%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if 2.5000000000000001e75 < y.re

   1. Initial program 44.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. hypot-lowering-hypot.f64 66.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

      4. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      6. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right), \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      15. atan2-lowering-atan2.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 65.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.5 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 57.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -0.000205:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.5 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (sin (* y.re (atan2 x.im x.re)))
          (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re 2.0)))))
   (if (<= y.re -0.000205)
     t_0
     (if (<= y.re 2.5e+75)
       (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
       t_0))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -0.000205) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 2.5e+75) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((y_46re * atan2(x_46im, x_46re))) * (((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)) ** (y_46re / 2.0d0))
    if (y_46re <= (-0.000205d0)) then
        tmp = t_0
    else if (y_46re <= 2.5d+75) then
        tmp = y_46re * (atan2(x_46im, x_46re) * exp((atan2(x_46im, x_46re) * (0.0d0 - y_46im))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -0.000205) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 2.5e+75) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -0.000205:
		tmp = t_0
	elif y_46_re <= 2.5e+75:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))) * (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / 2.0)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -0.000205)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 2.5e+75)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / 2.0));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -0.000205)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 2.5e+75)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -0.000205], t$95$0, If[LessEqual[y$46$re, 2.5e+75], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -2.05e-4 or 2.5000000000000001e75 < y.re

   1. Initial program 44.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. hypot-lowering-hypot.f64 80.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

      4. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      6. sqrt-pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right), \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \sin \left(y.re \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      15. atan2-lowering-atan2.f64 80.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -2.05e-4 < y.re < 2.5000000000000001e75

   1. Initial program 44.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 40.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 54.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.4%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 65.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -0.000205:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.5 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 48.5% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ t_1 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ t_2 := {t\_1}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}\\ t_3 := \frac{\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \log t\_1}{t\_2}\\ t_4 := \frac{t\_0}{t\_2}\\ \mathbf{if}\;y.im \leq -1.5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;t\_4\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq -3 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 1.2 \cdot 10^{-117}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 4.4 \cdot 10^{-35}:\\ \;\;\;\;t\_3\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_4\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re)))
        (t_1 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))
        (t_2 (pow t_1 (/ y.re -2.0)))
        (t_3 (/ (* (* y.im 0.5) (log t_1)) t_2))
        (t_4 (/ t_0 t_2)))
   (if (<= y.im -1.5e-5)
     t_4
     (if (<= y.im -3e-47)
       t_3
       (if (<= y.im 1.2e-117)
         (* t_0 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
         (if (<= y.im 4.4e-35) t_3 t_4))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_2 = pow(t_1, (y_46_re / -2.0));
	double t_3 = ((y_46_im * 0.5) * log(t_1)) / t_2;
	double t_4 = t_0 / t_2;
	double tmp;
	if (y_46_im <= -1.5e-5) {
		tmp = t_4;
	} else if (y_46_im <= -3e-47) {
		tmp = t_3;
	} else if (y_46_im <= 1.2e-117) {
		tmp = t_0 * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_im <= 4.4e-35) {
		tmp = t_3;
	} else {
		tmp = t_4;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double t_2 = Math.pow(t_1, (y_46_re / -2.0));
	double t_3 = ((y_46_im * 0.5) * Math.log(t_1)) / t_2;
	double t_4 = t_0 / t_2;
	double tmp;
	if (y_46_im <= -1.5e-5) {
		tmp = t_4;
	} else if (y_46_im <= -3e-47) {
		tmp = t_3;
	} else if (y_46_im <= 1.2e-117) {
		tmp = t_0 * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_im <= 4.4e-35) {
		tmp = t_3;
	} else {
		tmp = t_4;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	t_2 = math.pow(t_1, (y_46_re / -2.0))
	t_3 = ((y_46_im * 0.5) * math.log(t_1)) / t_2
	t_4 = t_0 / t_2
	tmp = 0
	if y_46_im <= -1.5e-5:
		tmp = t_4
	elif y_46_im <= -3e-47:
		tmp = t_3
	elif y_46_im <= 1.2e-117:
		tmp = t_0 * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_im <= 4.4e-35:
		tmp = t_3
	else:
		tmp = t_4
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	t_1 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	t_2 = t_1 ^ Float64(y_46_re / -2.0)
	t_3 = Float64(Float64(Float64(y_46_im * 0.5) * log(t_1)) / t_2)
	t_4 = Float64(t_0 / t_2)
	tmp = 0.0
	if (y_46_im <= -1.5e-5)
		tmp = t_4;
	elseif (y_46_im <= -3e-47)
		tmp = t_3;
	elseif (y_46_im <= 1.2e-117)
		tmp = Float64(t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_im <= 4.4e-35)
		tmp = t_3;
	else
		tmp = t_4;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	t_2 = t_1 ^ (y_46_re / -2.0);
	t_3 = ((y_46_im * 0.5) * log(t_1)) / t_2;
	t_4 = t_0 / t_2;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_im <= -1.5e-5)
		tmp = t_4;
	elseif (y_46_im <= -3e-47)
		tmp = t_3;
	elseif (y_46_im <= 1.2e-117)
		tmp = t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_im <= 4.4e-35)
		tmp = t_3;
	else
		tmp = t_4;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Power[t$95$1, N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(N[(y$46$im * 0.5), $MachinePrecision] * N[Log[t$95$1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$0 / t$95$2), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$im, -1.5e-5], t$95$4, If[LessEqual[y$46$im, -3e-47], t$95$3, If[LessEqual[y$46$im, 1.2e-117], N[(t$95$0 * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$im, 4.4e-35], t$95$3, t$95$4]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.im < -1.50000000000000004e-5 or 4.39999999999999987e-35 < y.im

   1. Initial program 35.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 25.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}{\mathsf{neg}\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}\right)} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{\color{blue}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right), \color{blue}{\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 28.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + \frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 44.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.im}\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 44.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

       2. atan2-lowering-atan2.f64 45.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 45.4%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]

   if -1.50000000000000004e-5 < y.im < -3.00000000000000017e-47 or 1.20000000000000007e-117 < y.im < 4.39999999999999987e-35

   1. Initial program 63.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 60.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 57.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 57.4%

      \[\leadsto \frac{-\frac{\color{blue}{\sin \left(\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 59.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 59.9%

       \[\leadsto \frac{-\color{blue}{\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]

   if -3.00000000000000017e-47 < y.im < 1.20000000000000007e-117

   1. Initial program 52.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. hypot-lowering-hypot.f64 76.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.re\right)\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 75.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 75.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 58.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq -1.5 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq -3 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 1.2 \cdot 10^{-117}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 4.4 \cdot 10^{-35}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(y.im \cdot 0.5\right) \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 57.6% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -4.3 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 7.5 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* y.re (atan2 x.im x.re))))
   (if (<= y.re -4.3e-7)
     (* t_0 (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= y.re 7.5e+50)
       (* y.re (* (atan2 x.im x.re) (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
       (/ t_0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re -2.0)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.3e-7) {
		tmp = t_0 * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 7.5e+50) {
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.3e-7) {
		tmp = t_0 * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 7.5e+50) {
		tmp = y_46_re * (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = t_0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -4.3e-7:
		tmp = t_0 * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 7.5e+50:
		tmp = y_46_re * (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = t_0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -4.3e-7)
		tmp = Float64(t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 7.5e+50)
		tmp = Float64(y_46_re * Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = Float64(t_0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -4.3e-7)
		tmp = t_0 * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= 7.5e+50)
		tmp = y_46_re * (atan2(x_46_im, x_46_re) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = t_0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -4.3e-7], N[(t$95$0 * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 7.5e+50], N[(y$46$re * N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -4.3000000000000001e-7

   1. Initial program 43.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. hypot-lowering-hypot.f64 90.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 90.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)}, y.re\right)\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 89.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right), y.re\right)\right) \]

   8. Simplified 89.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \]

   if -4.3000000000000001e-7 < y.re < 7.4999999999999999e50

   1. Initial program 44.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 40.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. atan2-lowering-atan2.f64 54.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \left(e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if 7.4999999999999999e50 < y.re

   1. Initial program 44.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 28.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}{\mathsf{neg}\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}\right)} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{\color{blue}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right), \color{blue}{\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 38.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + \frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 65.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.im}\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 65.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

       2. atan2-lowering-atan2.f64 59.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 59.3%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -4.3 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 7.5 \cdot 10^{+50}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 42.8% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -6.6 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0 - y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)}{{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= x.im -6.6e+69)
   (/ (* (- 0.0 y.im) (log (/ -1.0 x.im))) (pow (/ -1.0 x.im) y.re))
   (/
    (* y.re (atan2 x.im x.re))
    (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re -2.0)))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -6.6e+69) {
		tmp = ((0.0 - y_46_im) * log((-1.0 / x_46_im))) / pow((-1.0 / x_46_im), y_46_re);
	} else {
		tmp = (y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)) / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (x_46im <= (-6.6d+69)) then
        tmp = ((0.0d0 - y_46im) * log(((-1.0d0) / x_46im))) / (((-1.0d0) / x_46im) ** y_46re)
    else
        tmp = (y_46re * atan2(x_46im, x_46re)) / (((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)) ** (y_46re / (-2.0d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -6.6e+69) {
		tmp = ((0.0 - y_46_im) * Math.log((-1.0 / x_46_im))) / Math.pow((-1.0 / x_46_im), y_46_re);
	} else {
		tmp = (y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)) / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if x_46_im <= -6.6e+69:
		tmp = ((0.0 - y_46_im) * math.log((-1.0 / x_46_im))) / math.pow((-1.0 / x_46_im), y_46_re)
	else:
		tmp = (y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)) / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (x_46_im <= -6.6e+69)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.0 - y_46_im) * log(Float64(-1.0 / x_46_im))) / (Float64(-1.0 / x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = Float64(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)) / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (x_46_im <= -6.6e+69)
		tmp = ((0.0 - y_46_im) * log((-1.0 / x_46_im))) / ((-1.0 / x_46_im) ^ y_46_re);
	else
		tmp = (y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)) / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[x$46$im, -6.6e+69], N[(N[(N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision] * N[Log[N[(-1.0 / x$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[N[(-1.0 / x$46$im), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x.im < -6.5999999999999997e69

   1. Initial program 20.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 14.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 12.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 12.7%

      \[\leadsto \frac{-\frac{\color{blue}{\sin \left(\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]

   8. Taylor expanded in x.im around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      6. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{-1}}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.im}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 59.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 59.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)}{{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)}{\color{blue}{{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       5. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right), \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{-1}}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       6. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{-1}}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       7. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \left({\left(\frac{-1}{\color{blue}{x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right), \left({\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       9. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.im}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 54.3%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right), y.re\right)\right) \]

   13. Simplified 54.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)}{{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}} \]

   if -6.5999999999999997e69 < x.im

   1. Initial program 50.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}{\mathsf{neg}\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}\right)} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{\color{blue}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right), \color{blue}{\left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 46.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + \frac{\log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}{\frac{2}{y.im}}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 50.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.im}\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 50.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

       2. atan2-lowering-atan2.f64 49.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 49.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 50.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -6.6 \cdot 10^{+69}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0 - y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)}{{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 23.2% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -1.9 \cdot 10^{-295}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0 - y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)}{{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= x.im -1.9e-295)
   (/ (* (- 0.0 y.im) (log (/ -1.0 x.im))) (pow (/ -1.0 x.im) y.re))
   (* y.re (atan2 x.im x.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -1.9e-295) {
		tmp = ((0.0 - y_46_im) * log((-1.0 / x_46_im))) / pow((-1.0 / x_46_im), y_46_re);
	} else {
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (x_46im <= (-1.9d-295)) then
        tmp = ((0.0d0 - y_46im) * log(((-1.0d0) / x_46im))) / (((-1.0d0) / x_46im) ** y_46re)
    else
        tmp = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -1.9e-295) {
		tmp = ((0.0 - y_46_im) * Math.log((-1.0 / x_46_im))) / Math.pow((-1.0 / x_46_im), y_46_re);
	} else {
		tmp = y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if x_46_im <= -1.9e-295:
		tmp = ((0.0 - y_46_im) * math.log((-1.0 / x_46_im))) / math.pow((-1.0 / x_46_im), y_46_re)
	else:
		tmp = y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (x_46_im <= -1.9e-295)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.0 - y_46_im) * log(Float64(-1.0 / x_46_im))) / (Float64(-1.0 / x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (x_46_im <= -1.9e-295)
		tmp = ((0.0 - y_46_im) * log((-1.0 / x_46_im))) / ((-1.0 / x_46_im) ^ y_46_re);
	else
		tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[x$46$im, -1.9e-295], N[(N[(N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision] * N[Log[N[(-1.0 / x$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[N[(-1.0 / x$46$im), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x.im < -1.90000000000000009e-295

   1. Initial program 42.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 34.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{\sin \left(\frac{y.im}{2} \cdot \log \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}} \]

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(y.im \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right) \cdot \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \log \left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 28.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 28.2%

      \[\leadsto \frac{-\frac{\color{blue}{\sin \left(\left(0.5 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}{0 - {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}} \]

   8. Taylor expanded in x.im around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      6. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{-1}}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.im}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 46.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 46.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot {\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)}{{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)}{\color{blue}{{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

       5. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right), \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{-1}}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       6. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)\right), \left({\left(\frac{\color{blue}{-1}}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       7. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.im}\right)\right)\right), \left({\left(\frac{-1}{\color{blue}{x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right), \left({\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

       9. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\frac{-1}{x.im}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 39.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, x.im\right), y.re\right)\right) \]

   13. Simplified 39.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)}{{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}} \]

   if -1.90000000000000009e-295 < x.im

   1. Initial program 45.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

      2. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

      8. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

      9. hypot-lowering-hypot.f64 46.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

   5. Simplified 46.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

      2. atan2-lowering-atan2.f64 17.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

   8. Simplified 17.3%

      \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 28.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -1.9 \cdot 10^{-295}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(0 - y.im\right) \cdot \log \left(\frac{-1}{x.im}\right)}{{\left(\frac{-1}{x.im}\right)}^{y.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 13.1% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (sin (* y.re (atan2 x.im x.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    code = sin((y_46re * atan2(x_46im, x_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return Math.sin((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	return math.sin((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	return sin(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = sin((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := N[Sin[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 44.3%

   \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y.im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

   3. atan2-lowering-atan2.f64 58.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 58.0%

   \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

6. Taylor expanded in y.re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   6. atan2-lowering-atan2.f64 43.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 43.7%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \cdot \sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

9. Taylor expanded in y.im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

    3. atan2-lowering-atan2.f64 17.2%

       \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

11. Simplified 17.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 13.0% accurate, 8.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im) :precision binary64 (* y.re (atan2 x.im x.re)))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    code = y_46re * atan2(x_46im, x_46re)
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re);
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	return y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	return Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re);
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 44.3%

   \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y.im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right)}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}}^{y.re}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

   4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + \color{blue}{{x.re}^{2}}}\right)}^{y.re}\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right)\right) \]

   8. hypot-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right)\right) \]

   9. hypot-lowering-hypot.f64 52.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right)\right) \]

5. Simplified 52.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}} \]

6. Taylor expanded in y.re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right) \]

   2. atan2-lowering-atan2.f64 17.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right) \]

8. Simplified 17.1%

   \[\leadsto \color{blue}{y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024140 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "powComplex, imaginary part"
  :precision binary64
  (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (sin (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))))