2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.6% → 99.7%

Time: 16.5s

Alternatives: 9

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := t\_0 \cdot \left(t\_0 + 1\right) - t\_0 \cdot -0.3333333333333333\\ t_2 := \tan x + {\tan x}^{3}\\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(t\_2 + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + t\_1\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \left(t\_1 - -0.3333333333333333\right) - t\_2 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))
        (t_1 (- (* t_0 (+ t_0 1.0)) (* t_0 -0.3333333333333333)))
        (t_2 (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))))
   (+
    eps
    (*
     eps
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        t_2
        (*
         eps
         (+
          (+ 0.3333333333333333 t_1)
          (*
           eps
           (-
            (* (tan x) (- t_1 -0.3333333333333333))
            (* t_2 -0.3333333333333333))))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = (t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333);
	double t_2 = tan(x) + pow(tan(x), 3.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_2 + (eps * ((0.3333333333333333 + t_1) + (eps * ((tan(x) * (t_1 - -0.3333333333333333)) - (t_2 * -0.3333333333333333)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    t_1 = (t_0 * (t_0 + 1.0d0)) - (t_0 * (-0.3333333333333333d0))
    t_2 = tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)
    code = eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_2 + (eps * ((0.3333333333333333d0 + t_1) + (eps * ((tan(x) * (t_1 - (-0.3333333333333333d0))) - (t_2 * (-0.3333333333333333d0))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	double t_1 = (t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333);
	double t_2 = Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_2 + (eps * ((0.3333333333333333 + t_1) + (eps * ((Math.tan(x) * (t_1 - -0.3333333333333333)) - (t_2 * -0.3333333333333333)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	t_1 = (t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333)
	t_2 = math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_2 + (eps * ((0.3333333333333333 + t_1) + (eps * ((math.tan(x) * (t_1 - -0.3333333333333333)) - (t_2 * -0.3333333333333333)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * Float64(t_0 + 1.0)) - Float64(t_0 * -0.3333333333333333))
	t_2 = Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0))
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(t_2 + Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + t_1) + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) * Float64(t_1 - -0.3333333333333333)) - Float64(t_2 * -0.3333333333333333))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	t_1 = (t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333);
	t_2 = tan(x) + (tan(x) ^ 3.0);
	tmp = eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_2 + (eps * ((0.3333333333333333 + t_1) + (eps * ((tan(x) * (t_1 - -0.3333333333333333)) - (t_2 * -0.3333333333333333)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(eps * N[(t$95$0 + N[(eps * N[(t$95$2 + N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(t$95$1 - -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$2 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 64.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 - \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) + -0.3333333333333333\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \left({\tan x}^{2} \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right) - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right) - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - -0.3333333333333333\right) - \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.7% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := \tan x + {\tan x}^{3}\\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(t\_1 + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \left(t\_0 \cdot \left(t\_0 + 1\right) - t\_0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(t\_1 \cdot -0.3333333333333333 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)) (t_1 (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))))
   (+
    eps
    (*
     eps
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        t_1
        (*
         eps
         (-
          (+
           0.3333333333333333
           (- (* t_0 (+ t_0 1.0)) (* t_0 -0.3333333333333333)))
          (*
           eps
           (+ (* t_1 -0.3333333333333333) (* x -0.3333333333333333))))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = tan(x) + pow(tan(x), 3.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_1 + (eps * ((0.3333333333333333 + ((t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    t_1 = tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)
    code = eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_1 + (eps * ((0.3333333333333333d0 + ((t_0 * (t_0 + 1.0d0)) - (t_0 * (-0.3333333333333333d0)))) - (eps * ((t_1 * (-0.3333333333333333d0)) + (x * (-0.3333333333333333d0))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	double t_1 = Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_1 + (eps * ((0.3333333333333333 + ((t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	t_1 = math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_1 + (eps * ((0.3333333333333333 + ((t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0))
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(t_1 + Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(t_0 * Float64(t_0 + 1.0)) - Float64(t_0 * -0.3333333333333333))) - Float64(eps * Float64(Float64(t_1 * -0.3333333333333333) + Float64(x * -0.3333333333333333))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	t_1 = tan(x) + (tan(x) ^ 3.0);
	tmp = eps + (eps * (t_0 + (eps * (t_1 + (eps * ((0.3333333333333333 + ((t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(eps * N[(t$95$0 + N[(eps * N[(t$95$1 + N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(t$95$1 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 64.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 - \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) + -0.3333333333333333\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 - \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{x \cdot -0.3333333333333333} + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \]

11. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \left({\tan x}^{2} \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right) - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.7% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \left(t\_0 \cdot \left(t\_0 + 1\right) - t\_0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)))
   (+
    eps
    (*
     eps
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))
        (*
         eps
         (-
          (+
           0.3333333333333333
           (- (* t_0 (+ t_0 1.0)) (* t_0 -0.3333333333333333)))
          (*
           eps
           (+ (* x -0.3333333333333333) (* x -0.3333333333333333))))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * ((tan(x) + pow(tan(x), 3.0)) + (eps * ((0.3333333333333333 + ((t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((x * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    code = eps + (eps * (t_0 + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)) + (eps * ((0.3333333333333333d0 + ((t_0 * (t_0 + 1.0d0)) - (t_0 * (-0.3333333333333333d0)))) - (eps * ((x * (-0.3333333333333333d0)) + (x * (-0.3333333333333333d0))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * ((Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0)) + (eps * ((0.3333333333333333 + ((t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((x * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	return eps + (eps * (t_0 + (eps * ((math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)) + (eps * ((0.3333333333333333 + ((t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((x * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + Float64(eps * Float64(Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(t_0 * Float64(t_0 + 1.0)) - Float64(t_0 * -0.3333333333333333))) - Float64(eps * Float64(Float64(x * -0.3333333333333333) + Float64(x * -0.3333333333333333))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	tmp = eps + (eps * (t_0 + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + (eps * ((0.3333333333333333 + ((t_0 * (t_0 + 1.0)) - (t_0 * -0.3333333333333333))) - (eps * ((x * -0.3333333333333333) + (x * -0.3333333333333333)))))))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(eps * N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(0.3333333333333333 + N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 64.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 - \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) + -0.3333333333333333\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 - \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{x \cdot -0.3333333333333333} + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{3}\right), \left(x \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{3}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 - \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333 + \color{blue}{x \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \]

14. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + \left({\tan x}^{2} \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right) - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333 + x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+
  eps
  (*
   eps
   (+
    (pow (tan x) 2.0)
    (* eps (+ (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0)) (* eps 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (pow(tan(x), 2.0) + (eps * ((tan(x) + pow(tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * ((tan(x) ** 2.0d0) + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)) + (eps * 0.3333333333333333d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + (eps * ((Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (math.pow(math.tan(x), 2.0) + (eps * ((math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64((tan(x) ^ 2.0) + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + Float64(eps * 0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * ((tan(x) ^ 2.0) + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 - \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) + -0.3333333333333333\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.1%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \color{blue}{\varepsilon \cdot 0.3333333333333333}\right)\right) + \varepsilon \]

11. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot {\tan x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* eps (pow (tan x) 2.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * pow(tan(x), 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * (tan(x) ** 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * Math.pow(Math.tan(x), 2.0));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * math.pow(math.tan(x), 2.0))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * (tan(x) ^ 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * (tan(x) ^ 2.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 - \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) + -0.3333333333333333\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}, \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot {\sin x}^{2}\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({\sin x}^{2}\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, 2\right)\right), \varepsilon\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}} + \varepsilon \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \frac{\sin x \cdot \sin x}{{\cos x}^{2}}\right), \varepsilon\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x}\right), \varepsilon\right) \]

    4. frac-times N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right), \varepsilon\right) \]

    5. tan-quot N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)\right), \varepsilon\right) \]

    6. tan-quot N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \tan x\right)\right), \varepsilon\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot {\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\tan x}^{2} \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\tan x}^{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right) \]

    10. pow-lowering-pow.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\tan x, 2\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right) \]

    11. tan-lowering-tan.f64 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right) \]

12. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \color{blue}{{\tan x}^{2} \cdot \varepsilon} + \varepsilon \]

13. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot {\tan x}^{2} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.6% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\varepsilon \cdot 0.044444444444444446 - \varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right) + \varepsilon \cdot -0.3333333333333333\\ \varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_0 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.0031746031746031746 + \left(t\_0 - \left(\varepsilon \cdot -0.044444444444444446 + \varepsilon \cdot 0.2222222222222222\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          (- (* eps 0.044444444444444446) (* eps -0.6666666666666666))
          (* eps -0.3333333333333333))))
   (+
    eps
    (*
     (* x x)
     (+
      eps
      (*
       (* x x)
       (+
        (*
         (* x x)
         (+
          t_0
          (*
           (* x x)
           (+
            (* eps -0.0031746031746031746)
            (-
             t_0
             (+ (* eps -0.044444444444444446) (* eps 0.2222222222222222)))))))
        (* eps 0.6666666666666666))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = ((eps * 0.044444444444444446) - (eps * -0.6666666666666666)) + (eps * -0.3333333333333333);
	return eps + ((x * x) * (eps + ((x * x) * (((x * x) * (t_0 + ((x * x) * ((eps * -0.0031746031746031746) + (t_0 - ((eps * -0.044444444444444446) + (eps * 0.2222222222222222))))))) + (eps * 0.6666666666666666)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = ((eps * 0.044444444444444446d0) - (eps * (-0.6666666666666666d0))) + (eps * (-0.3333333333333333d0))
    code = eps + ((x * x) * (eps + ((x * x) * (((x * x) * (t_0 + ((x * x) * ((eps * (-0.0031746031746031746d0)) + (t_0 - ((eps * (-0.044444444444444446d0)) + (eps * 0.2222222222222222d0))))))) + (eps * 0.6666666666666666d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = ((eps * 0.044444444444444446) - (eps * -0.6666666666666666)) + (eps * -0.3333333333333333);
	return eps + ((x * x) * (eps + ((x * x) * (((x * x) * (t_0 + ((x * x) * ((eps * -0.0031746031746031746) + (t_0 - ((eps * -0.044444444444444446) + (eps * 0.2222222222222222))))))) + (eps * 0.6666666666666666)))));
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = ((eps * 0.044444444444444446) - (eps * -0.6666666666666666)) + (eps * -0.3333333333333333)
	return eps + ((x * x) * (eps + ((x * x) * (((x * x) * (t_0 + ((x * x) * ((eps * -0.0031746031746031746) + (t_0 - ((eps * -0.044444444444444446) + (eps * 0.2222222222222222))))))) + (eps * 0.6666666666666666)))))

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(Float64(Float64(eps * 0.044444444444444446) - Float64(eps * -0.6666666666666666)) + Float64(eps * -0.3333333333333333))
	return Float64(eps + Float64(Float64(x * x) * Float64(eps + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(t_0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(eps * -0.0031746031746031746) + Float64(t_0 - Float64(Float64(eps * -0.044444444444444446) + Float64(eps * 0.2222222222222222))))))) + Float64(eps * 0.6666666666666666))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = ((eps * 0.044444444444444446) - (eps * -0.6666666666666666)) + (eps * -0.3333333333333333);
	tmp = eps + ((x * x) * (eps + ((x * x) * (((x * x) * (t_0 + ((x * x) * ((eps * -0.0031746031746031746) + (t_0 - ((eps * -0.044444444444444446) + (eps * 0.2222222222222222))))))) + (eps * 0.6666666666666666)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[(eps * 0.044444444444444446), $MachinePrecision] - N[(eps * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(eps + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(eps * -0.0031746031746031746), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 - N[(N[(eps * -0.044444444444444446), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.2222222222222222), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 64.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(0.3333333333333333 - \left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) + -0.3333333333333333\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) + \varepsilon} \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\varepsilon \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}, \varepsilon\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot {\sin x}^{2}\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({\sin x}^{2}\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), \varepsilon\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, 2\right)\right), \varepsilon\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\varepsilon \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}} + \varepsilon \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\left(\frac{2}{45} \cdot \varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{315} \cdot \varepsilon - \left(-1 \cdot \left(\frac{2}{45} \cdot \varepsilon - \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \varepsilon - -1 \cdot \varepsilon\right) + \frac{1}{3} \cdot \varepsilon\right)\right) + \left(\frac{-2}{45} \cdot \varepsilon + \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \varepsilon - -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) - \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \varepsilon - -1 \cdot \varepsilon\right) + \frac{1}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)\right) - -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)}, \varepsilon\right) \]

13. Simplified 97.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.0031746031746031746 - \left(\left(\varepsilon \cdot -0.044444444444444446 + \varepsilon \cdot 0.2222222222222222\right) - \left(\left(\varepsilon \cdot 0.044444444444444446 - \varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right) + \varepsilon \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \left(\left(\varepsilon \cdot 0.044444444444444446 - \varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right) + \varepsilon \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + \varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} + \varepsilon \]

14. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto \varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot 0.044444444444444446 - \varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right) + \varepsilon \cdot -0.3333333333333333\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.0031746031746031746 + \left(\left(\left(\varepsilon \cdot 0.044444444444444446 - \varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right) + \varepsilon \cdot -0.3333333333333333\right) - \left(\varepsilon \cdot -0.044444444444444446 + \varepsilon \cdot 0.2222222222222222\right)\right)\right)\right) + \varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.4% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* eps (* x x))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * (x * x))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * (x * x));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * (x * x))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * (x * x));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) + x \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + {x}^{2}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 97.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 97.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(x \cdot x + \color{blue}{1}\right) \]

    2. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon + \color{blue}{1 \cdot \varepsilon} \]

    3. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon + \varepsilon \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot x\right)\right), \varepsilon\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 97.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \varepsilon\right) \]

13. Applied egg-rr 97.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right) + \varepsilon} \]

14. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot \left(x \cdot x\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.4% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(x \cdot x + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ (* x x) 1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((x * x) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((x * x) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((x * x) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((x * x) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(x * x) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((x * x) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 64.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(0.16666666666666666 + \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{x} \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right) + {\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{4}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) + x \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 1.3333333333333333\right) + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + {x}^{2}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 97.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 97.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + x \cdot x\right)} \]

12. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(x \cdot x + 1\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.0% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 64.3%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \varepsilon, \color{blue}{\cos \varepsilon}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \cos \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 97.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right) \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

6. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024140 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))