Disney BSSRDF, PDF of scattering profile

Percentage Accurate: 99.6% → 99.6%

Time: 16.5s

Alternatives: 17

Speedup: N/A×

Specification

\[\left(0 \leq s \land s \leq 256\right) \land \left(10^{-6} < r \land r < 1000000\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (+
  (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r))
  (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f * expf((-r / s))) / (((2.0f * ((float) M_PI)) * s) * r)) + ((0.75f * expf((-r / (3.0f * s)))) / (((6.0f * ((float) M_PI)) * s) * r));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) * exp(Float32(Float32(-r) / s))) / Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * s) * r)) + Float32(Float32(Float32(0.75) * exp(Float32(Float32(-r) / Float32(Float32(3.0) * s)))) / Float32(Float32(Float32(Float32(6.0) * Float32(pi)) * s) * r)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) * exp((-r / s))) / (((single(2.0) * single(pi)) * s) * r)) + ((single(0.75) * exp((-r / (single(3.0) * s)))) / (((single(6.0) * single(pi)) * s) * r));
end

Initial Program: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (+
  (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r))
  (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f * expf((-r / s))) / (((2.0f * ((float) M_PI)) * s) * r)) + ((0.75f * expf((-r / (3.0f * s)))) / (((6.0f * ((float) M_PI)) * s) * r));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) * exp(Float32(Float32(-r) / s))) / Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * s) * r)) + Float32(Float32(Float32(0.75) * exp(Float32(Float32(-r) / Float32(Float32(3.0) * s)))) / Float32(Float32(Float32(Float32(6.0) * Float32(pi)) * s) * r)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) * exp((-r / s))) / (((single(2.0) * single(pi)) * s) * r)) + ((single(0.75) * exp((-r / (single(3.0) * s)))) / (((single(6.0) * single(pi)) * s) * r));
end

Alternative 1: 99.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{s \cdot \left(r \cdot \pi\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (* 0.125 (+ (exp (/ r (- s))) (exp (/ (/ r s) -3.0)))) (* s (* r PI))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f * (expf((r / -s)) + expf(((r / s) / -3.0f)))) / (s * (r * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + exp(Float32(Float32(r / s) / Float32(-3.0))))) / Float32(s * Float32(r * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) * (exp((r / -s)) + exp(((r / s) / single(-3.0))))) / (s * (r * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\frac{r}{s}}{-3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\color{blue}{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \left(\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{s}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot \pi\right) \cdot s}} \]

11. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{s \cdot \left(r \cdot \pi\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (* 0.125 (+ (exp (/ r (- s))) (exp (/ (/ r s) -3.0)))) (* PI (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f * (expf((r / -s)) + expf(((r / s) / -3.0f)))) / (((float) M_PI) * (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + exp(Float32(Float32(r / s) / Float32(-3.0))))) / Float32(Float32(pi) * Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) * (exp((r / -s)) + exp(((r / s) / single(-3.0))))) / (single(pi) * (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\frac{r}{s}}{-3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\color{blue}{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \left(\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{s}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot \pi\right) \cdot s}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot r\right) \cdot s\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(r \cdot s\right)}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(r \cdot s\right)}\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{r} \cdot s\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)}} \]

13. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \left(r \cdot \pi\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (* 0.125 (+ (exp (/ r (- s))) (exp (/ r (* s -3.0))))) (* s (* r PI))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f * (expf((r / -s)) + expf((r / (s * -3.0f))))) / (s * (r * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + exp(Float32(r / Float32(s * Float32(-3.0)))))) / Float32(s * Float32(r * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) * (exp((r / -s)) + exp((r / (s * single(-3.0)))))) / (s * (r * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, -3\right)\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, -3\right)\right)\right)\right)\right), \left(r \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, -3\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{s}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, -3\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot \pi\right) \cdot s}} \]

9. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{s \cdot \left(r \cdot \pi\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (* 0.125 (+ (exp (/ r (- s))) (exp (/ r (* s -3.0))))) (* PI (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f * (expf((r / -s)) + expf((r / (s * -3.0f))))) / (((float) M_PI) * (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + exp(Float32(r / Float32(s * Float32(-3.0)))))) / Float32(Float32(pi) * Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) * (exp((r / -s)) + exp((r / (s * single(-3.0)))))) / (single(pi) * (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]

7. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + e^{r \cdot \frac{-0.3333333333333333}{s}}\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (* 0.125 (+ (exp (/ r (- s))) (exp (* r (/ -0.3333333333333333 s)))))
  (* PI (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f * (expf((r / -s)) + expf((r * (-0.3333333333333333f / s))))) / (((float) M_PI) * (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + exp(Float32(r * Float32(Float32(-0.3333333333333333) / s))))) / Float32(Float32(pi) * Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) * (exp((r / -s)) + exp((r * (single(-0.3333333333333333) / s))))) / (single(pi) * (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\frac{r}{s}}{-3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), -3\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\color{blue}{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{r}{s} \cdot \frac{1}{-3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{r}{s} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{r \cdot \frac{-1}{3}}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\left(r \cdot \frac{\frac{-1}{3}}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{\frac{-1}{3}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{3}, s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\color{blue}{r \cdot \frac{-0.3333333333333333}{s}}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]

11. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + e^{r \cdot \frac{-0.3333333333333333}{s}}\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 10.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + \left(1 - \frac{r \cdot 0.3333333333333333 + \frac{r \cdot r}{s} \cdot -0.05555555555555555}{s}\right)\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (*
   0.125
   (+
    (exp (/ r (- s)))
    (-
     1.0
     (/
      (+ (* r 0.3333333333333333) (* (/ (* r r) s) -0.05555555555555555))
      s))))
  (* PI (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f * (expf((r / -s)) + (1.0f - (((r * 0.3333333333333333f) + (((r * r) / s) * -0.05555555555555555f)) / s)))) / (((float) M_PI) * (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(r * Float32(0.3333333333333333)) + Float32(Float32(Float32(r * r) / s) * Float32(-0.05555555555555555))) / s)))) / Float32(Float32(pi) * Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) * (exp((r / -s)) + (single(1.0) - (((r * single(0.3333333333333333)) + (((r * r) / s) * single(-0.05555555555555555))) / s)))) / (single(pi) * (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]

7. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \left(1 - \frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s} + \frac{1}{3} \cdot r\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot r + \frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot r\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(r \cdot \frac{1}{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{s}\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{{r}^{2}}{s} \cdot \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{r}^{2}}{s}\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({r}^{2}\right), s\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot r\right), s\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 9.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), s\right), \frac{-1}{18}\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Simplified 9.8%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + \color{blue}{\left(1 - \frac{r \cdot 0.3333333333333333 + \frac{r \cdot r}{s} \cdot -0.05555555555555555}{s}\right)}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]

10. Final simplification 9.8%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + \left(1 - \frac{r \cdot 0.3333333333333333 + \frac{r \cdot r}{s} \cdot -0.05555555555555555}{s}\right)\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 10.8% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + \left(1 + r \cdot \left(\frac{-0.3333333333333333}{s} + \frac{r \cdot 0.05555555555555555}{s \cdot s}\right)\right)\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (*
   0.125
   (+
    (exp (/ r (- s)))
    (+
     1.0
     (*
      r
      (+ (/ -0.3333333333333333 s) (/ (* r 0.05555555555555555) (* s s)))))))
  (* PI (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f * (expf((r / -s)) + (1.0f + (r * ((-0.3333333333333333f / s) + ((r * 0.05555555555555555f) / (s * s))))))) / (((float) M_PI) * (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + Float32(Float32(1.0) + Float32(r * Float32(Float32(Float32(-0.3333333333333333) / s) + Float32(Float32(r * Float32(0.05555555555555555)) / Float32(s * s))))))) / Float32(Float32(pi) * Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) * (exp((r / -s)) + (single(1.0) + (r * ((single(-0.3333333333333333) / s) + ((r * single(0.05555555555555555)) / (s * s))))))) / (single(pi) * (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \color{blue}{\left(1 + r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{\frac{1}{18} \cdot r}{{s}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{r \cdot \frac{1}{18}}{{s}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot \frac{\frac{1}{18}}{{s}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot 1}{{s}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right) + r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{s}\right)\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{3}}{s}\right)\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   13. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)}{s}\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{3}}{s}\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{3}, s\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   16. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{3}, s\right), \left(r \cdot \frac{\frac{1}{18} \cdot 1}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{3}, s\right), \left(r \cdot \frac{\frac{1}{18}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   18. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{3}, s\right), \left(\frac{r \cdot \frac{1}{18}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{3}, s\right), \left(\frac{\frac{1}{18} \cdot r}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   20. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{3}, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{18} \cdot r\right), \left({s}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Simplified 9.8%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + \color{blue}{\left(1 + r \cdot \left(\frac{-0.3333333333333333}{s} + \frac{r \cdot 0.05555555555555555}{s \cdot s}\right)\right)}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]

10. Final simplification 9.8%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + \left(1 + r \cdot \left(\frac{-0.3333333333333333}{s} + \frac{r \cdot 0.05555555555555555}{s \cdot s}\right)\right)\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 9.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + 1\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (* 0.125 (+ (exp (/ r (- s))) 1.0)) (* PI (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f * (expf((r / -s)) + 1.0f)) / (((float) M_PI) * (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + Float32(1.0))) / Float32(Float32(pi) * Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) * (exp((r / -s)) + single(1.0))) / (single(pi) * (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

9. Simplified 9.1%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + \color{blue}{1}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]

10. Final simplification 9.1%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{r}{-s}} + 1\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 10.2% accurate, 11.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25 + r \cdot \left(r \cdot \frac{0.06944444444444445}{s \cdot s} + \frac{-0.16666666666666666}{s}\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (+
   0.25
   (* r (+ (* r (/ 0.06944444444444445 (* s s))) (/ -0.16666666666666666 s))))
  (* PI (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.25f + (r * ((r * (0.06944444444444445f / (s * s))) + (-0.16666666666666666f / s)))) / (((float) M_PI) * (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.25) + Float32(r * Float32(Float32(r * Float32(Float32(0.06944444444444445) / Float32(s * s))) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) / s)))) / Float32(Float32(pi) * Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.25) + (r * ((r * (single(0.06944444444444445) / (s * s))) + (single(-0.16666666666666666) / s)))) / (single(pi) * (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]

7. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s} + \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}\right) + \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{r}{s} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}} + \frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{18} \cdot {r}^{2}}{{s}^{2}}\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{18} \cdot {r}^{2}\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({r}^{2} \cdot \frac{1}{18}\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(r \cdot r\right) \cdot \frac{1}{18}\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   13. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot \left(r \cdot \frac{1}{18}\right)\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot r\right)\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{1}{18} \cdot r\right)\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot \frac{1}{18}\right)\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{18}\right)\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{18}\right)\right), \left(s \cdot s\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{18}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   20. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{18}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{162} \cdot {r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   21. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{18}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{162} \cdot {r}^{3}\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Simplified 7.8%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333\right) + \left(\frac{r \cdot \left(r \cdot 0.05555555555555555\right)}{s \cdot s} + \frac{-0.006172839506172839 \cdot \left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right)}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right)}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]

10. Taylor expanded in r around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} + r \cdot \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(r, s\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{s}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{r}{{s}^{2}} \cdot \frac{5}{72}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    6. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{r \cdot \frac{5}{72}}{{s}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    7. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(r \cdot \frac{\frac{5}{72}}{{s}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(r \cdot \frac{\frac{5}{72} \cdot 1}{{s}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    9. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(r \cdot \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{\frac{5}{72} \cdot 1}{{s}^{2}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{\frac{5}{72}}{{s}^{2}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    13. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\frac{5}{72}, \left({s}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\frac{5}{72}, \left(s \cdot s\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\frac{5}{72}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    16. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\frac{5}{72}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6} \cdot 1}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    17. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\frac{5}{72}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{6}}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    18. distribute-neg-frac N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\frac{5}{72}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    19. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\frac{5}{72}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{6}}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    20. /-lowering-/.f32 9.1%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\frac{5}{72}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{6}, s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

12. Simplified 9.1%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.25 + r \cdot \left(r \cdot \frac{0.06944444444444445}{s \cdot s} + \frac{-0.16666666666666666}{s}\right)}}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]

13. Final simplification 9.1%

    \[\leadsto \frac{0.25 + r \cdot \left(r \cdot \frac{0.06944444444444445}{s \cdot s} + \frac{-0.16666666666666666}{s}\right)}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 10.2% accurate, 12.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25 + r \cdot \frac{-0.16666666666666666 + r \cdot \frac{0.06944444444444445}{s}}{s}}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (+ 0.25 (* r (/ (+ -0.16666666666666666 (* r (/ 0.06944444444444445 s))) s)))
  (* PI (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.25f + (r * ((-0.16666666666666666f + (r * (0.06944444444444445f / s))) / s))) / (((float) M_PI) * (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.25) + Float32(r * Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(r * Float32(Float32(0.06944444444444445) / s))) / s))) / Float32(Float32(pi) * Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.25) + (r * ((single(-0.16666666666666666) + (r * (single(0.06944444444444445) / s))) / s))) / (single(pi) * (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi}} \]

7. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s} + \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \left(\left(1 + \frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}\right) + \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{r}{s} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{r}{s}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}} + \frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \left(\frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}} + \frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{18} \cdot \frac{{r}^{2}}{{s}^{2}}\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{18} \cdot {r}^{2}}{{s}^{2}}\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{18} \cdot {r}^{2}\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({r}^{2} \cdot \frac{1}{18}\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(r \cdot r\right) \cdot \frac{1}{18}\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   13. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot \left(r \cdot \frac{1}{18}\right)\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot r\right)\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{1}{18} \cdot r\right)\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot \frac{1}{18}\right)\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{18}\right)\right), \left({s}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{18}\right)\right), \left(s \cdot s\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{18}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{{r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   20. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{18}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{162} \cdot {r}^{3}}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   21. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, s\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{18}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{162} \cdot {r}^{3}\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Simplified 7.8%

   \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + \color{blue}{\left(\left(1 + \frac{r}{s} \cdot -0.3333333333333333\right) + \left(\frac{r \cdot \left(r \cdot 0.05555555555555555\right)}{s \cdot s} + \frac{-0.006172839506172839 \cdot \left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right)}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right)}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]

10. Taylor expanded in s around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{162} \cdot {r}^{3} + s \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot {r}^{2} + s \cdot \left(s + \frac{-1}{3} \cdot r\right)\right)}{{s}^{3}}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{162} \cdot {r}^{3} + s \cdot \left(\frac{1}{18} \cdot {r}^{2} + s \cdot \left(s + \frac{-1}{3} \cdot r\right)\right)\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

12. Simplified 9.3%

    \[\leadsto \frac{0.125 \cdot \left(e^{\frac{-r}{s}} + \color{blue}{\frac{r \cdot \left(-0.006172839506172839 \cdot \left(r \cdot r\right)\right) + s \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \left(r \cdot r\right) + s \cdot \left(s + r \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}\right)}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]

13. Taylor expanded in r around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{4} + r \cdot \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(r, s\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \left(\frac{\frac{5}{72} \cdot r}{{s}^{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \left(\frac{\frac{5}{72} \cdot r}{s \cdot s} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    4. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \left(\frac{\frac{\frac{5}{72} \cdot r}{s}}{s} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \left(\frac{\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{s}}{s} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \left(\frac{\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{s}}{s} - \frac{\frac{1}{6} \cdot 1}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \left(\frac{\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{s}}{s} - \frac{\frac{1}{6}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    8. div-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \frac{\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{s} - \frac{1}{6}}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{s} - \frac{1}{6}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{s}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{s} - \frac{1}{6}\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

15. Simplified 9.1%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.25 + r \cdot \frac{r \cdot \frac{0.06944444444444445}{s} + -0.16666666666666666}{s}}}{\left(r \cdot s\right) \cdot \pi} \]

16. Final simplification 9.1%

    \[\leadsto \frac{0.25 + r \cdot \frac{-0.16666666666666666 + r \cdot \frac{0.06944444444444445}{s}}{s}}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 11: 9.1% accurate, 13.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{0.25}{\pi} \cdot \frac{\frac{1}{r}}{r \cdot r}\right)}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (* (* r r) (* (/ 0.25 PI) (/ (/ 1.0 r) (* r r)))) s))

C

float code(float s, float r) {
	return ((r * r) * ((0.25f / ((float) M_PI)) * ((1.0f / r) / (r * r)))) / s;
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(r * r) * Float32(Float32(Float32(0.25) / Float32(pi)) * Float32(Float32(Float32(1.0) / r) / Float32(r * r)))) / s)
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((r * r) * ((single(0.25) / single(pi)) * ((single(1.0) / r) / (r * r)))) / s;
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{-1}{48} \cdot \frac{{r}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{-1}{1296} \cdot \frac{{r}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s} + \left(\frac{-1}{16} \cdot \frac{r}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{-1}{144} \cdot \frac{r}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{s} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{s}} \]

5. Simplified 8.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{-0.16666666666666666}{\pi} - \frac{\frac{r}{\pi} \cdot -0.06944444444444445 + \frac{\frac{r \cdot r}{\pi} \cdot 0.021604938271604937}{s}}{s}}{s} + \frac{0.25}{r \cdot \pi}}{s}} \]

6. Taylor expanded in r around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left({r}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{r} - \frac{5}{72} \cdot \frac{1}{{s}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{r} - \frac{7}{324} \cdot \frac{1}{{s}^{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}, s\right) \]

8. Simplified 6.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.25}{r \cdot \pi} + \frac{-0.16666666666666666}{s \cdot \pi}}{-r} + \frac{-0.06944444444444445}{s \cdot \left(s \cdot \pi\right)}}{-r} + \frac{-0.021604938271604937}{s \cdot \left(s \cdot \left(s \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{s} \]

9. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4}}{{r}^{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right), s\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left({r}^{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    2. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(r \cdot {r}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \left({r}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{2}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 8.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

11. Simplified 8.6%

    \[\leadsto \frac{\left(r \cdot r\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \pi\right)}}}{s} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{\left(r \cdot r\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), s\right) \]

    2. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{\left(r \cdot r\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), s\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot r\right)}\right)\right), s\right) \]

    4. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{1}{r}}{r \cdot r}\right)\right), s\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\frac{\frac{1}{r}}{r \cdot r}\right)\right)\right), s\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{r}}{r \cdot r}\right)\right)\right), s\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{r}}{r \cdot r}\right)\right)\right), s\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{r}\right), \left(r \cdot r\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, r\right), \left(r \cdot r\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 8.6%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, r\right), \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right)\right)\right), s\right) \]

13. Applied egg-rr 8.6%

    \[\leadsto \frac{\left(r \cdot r\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{0.25}{\pi} \cdot \frac{\frac{1}{r}}{r \cdot r}\right)}}{s} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 9.1% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.25}{\pi} \cdot \frac{r \cdot r}{r \cdot \left(r \cdot r\right)}}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (* (/ 0.25 PI) (/ (* r r) (* r (* r r)))) s))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f / ((float) M_PI)) * ((r * r) / (r * (r * r)))) / s;
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) / Float32(pi)) * Float32(Float32(r * r) / Float32(r * Float32(r * r)))) / s)
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) / single(pi)) * ((r * r) / (r * (r * r)))) / s;
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in s around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{-1}{48} \cdot \frac{{r}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{-1}{1296} \cdot \frac{{r}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s} + \left(\frac{-1}{16} \cdot \frac{r}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \frac{-1}{144} \cdot \frac{r}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{s} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{s}} \]

5. Simplified 8.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{-0.16666666666666666}{\pi} - \frac{\frac{r}{\pi} \cdot -0.06944444444444445 + \frac{\frac{r \cdot r}{\pi} \cdot 0.021604938271604937}{s}}{s}}{s} + \frac{0.25}{r \cdot \pi}}{s}} \]

6. Taylor expanded in r around -inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left({r}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{r} - \frac{5}{72} \cdot \frac{1}{{s}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{r} - \frac{7}{324} \cdot \frac{1}{{s}^{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)}, s\right) \]

8. Simplified 6.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{0.25}{r \cdot \pi} + \frac{-0.16666666666666666}{s \cdot \pi}}{-r} + \frac{-0.06944444444444445}{s \cdot \left(s \cdot \pi\right)}}{-r} + \frac{-0.021604938271604937}{s \cdot \left(s \cdot \left(s \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{s} \]

9. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4}}{{r}^{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right), s\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left({r}^{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    2. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(r \cdot {r}^{2}\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \left({r}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{2}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 8.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), s\right) \]

11. Simplified 8.6%

    \[\leadsto \frac{\left(r \cdot r\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \pi\right)}}}{s} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(r \cdot r\right) \cdot \frac{1}{4}}{r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), s\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(r \cdot r\right) \cdot \frac{1}{4}}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), s\right) \]

    3. cube-unmult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(r \cdot r\right) \cdot \frac{1}{4}}{{r}^{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), s\right) \]

    4. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{r \cdot r}{{r}^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), s\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{r \cdot r}{{r}^{3}}\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), s\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot r\right), \left({r}^{3}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), s\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left({r}^{3}\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), s\right) \]

    8. cube-unmult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), s\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot r\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), s\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), s\right) \]

    11. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 8.6%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), s\right) \]

13. Applied egg-rr 8.6%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{r \cdot r}{r \cdot \left(r \cdot r\right)} \cdot \frac{0.25}{\pi}}}{s} \]

14. Final simplification 8.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.25}{\pi} \cdot \frac{r \cdot r}{r \cdot \left(r \cdot r\right)}}{s} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 13: 9.1% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{s \cdot \pi}{\frac{0.25}{r}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ 1.0 (/ (* s PI) (/ 0.25 r))))

C

float code(float s, float r) {
	return 1.0f / ((s * ((float) M_PI)) / (0.25f / r));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(s * Float32(pi)) / Float32(Float32(0.25) / r)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = single(1.0) / ((s * single(pi)) / (single(0.25) / r));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot s}\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 8.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot s}}}{\pi} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{\color{blue}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{4}}{r}}}} \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{4}}{r}}\right)}\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{4}}}{r}\right)\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f32 8.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{r}\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 8.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{s \cdot \pi}{\frac{0.25}{r}}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 14: 9.1% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25}{r} \cdot \frac{1}{s \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (* (/ 0.25 r) (/ 1.0 (* s PI))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.25f / r) * (1.0f / (s * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.25) / r) * Float32(Float32(1.0) / Float32(s * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.25) / r) * (single(1.0) / (s * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot s}\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 8.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot s}}}{\pi} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{\color{blue}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    2. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{r} \cdot \color{blue}{\frac{1}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 8.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 8.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{r} \cdot \frac{1}{s \cdot \pi}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 9.1% accurate, 33.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\frac{0.25}{r}}{s}}{\pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ (/ (/ 0.25 r) s) PI))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f / r) / s) / ((float) M_PI);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) / r) / s) / Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) / r) / s) / single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot s}\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 8.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot s}}}{\pi} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{s}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{0.25}{r}}{s}}}{\pi} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 16: 9.1% accurate, 33.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.25}{r}}{s \cdot \pi} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ (/ 0.25 r) (* s PI)))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.25f / r) / (s * ((float) M_PI));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.25) / r) / Float32(s * Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.25) / r) / (s * single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot s}\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 8.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot s}}}{\pi} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{\color{blue}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r}\right), \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \left(\color{blue}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, r\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.25}{r}}{s \cdot \pi}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 17: 9.1% accurate, 33.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ 0.25 (* r (* s PI))))

C

float code(float s, float r) {
	return 0.25f / (r * (s * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(0.25) / Float32(r * Float32(s * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = single(0.25) / (r * (s * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 97.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot s}\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 8.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot s}}}{\pi} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{\color{blue}{\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{r \cdot \left(s \cdot \pi\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024140 
(FPCore (s r)
  :name "Disney BSSRDF, PDF of scattering profile"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 0.0 s) (<= s 256.0)) (and (< 1e-6 r) (< r 1000000.0)))
  (+ (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r)) (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))