expfmod (used to be hard to sample)

Percentage Accurate: 7.2% → 69.0%

Time: 20.2s

Alternatives: 10

Speedup: 5.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = -4.6308622968988173e+89

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))

C

double code(double x) {
	return fmod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod(math.exp(x), math.sqrt(math.cos(x))) * math.exp(-x)

Julia

function code(x)
	return Float64(rem(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(Float64(-x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[Sqrt[N[Cos[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] * N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 7.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))

C

double code(double x) {
	return fmod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod(math.exp(x), math.sqrt(math.cos(x))) * math.exp(-x)

Julia

function code(x)
	return Float64(rem(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(Float64(-x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[Sqrt[N[Cos[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] * N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 69.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\\ t_1 := \frac{t\_0}{x \cdot x}\\ t_2 := t\_1 + -0.003298611111111111\\ t_3 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_4 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot t\_3\right)\\ t_5 := e^{0 - x}\\ \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{e^{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2.1 \cdot 10^{-39}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{t\_4 \cdot \left(-3.589164409454304 \cdot 10^{-8} - \frac{t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)}{t\_4}\right)}{1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} + t\_1 \cdot t\_2}\right)\right) \cdot t\_5\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.16 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;t\_5 \cdot \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{t\_4 \cdot \left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - \frac{t\_0 \cdot t\_1}{x \cdot x}\right)}{t\_2}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;t\_5 \cdot \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(t\_3 \cdot \left(t\_3 \cdot \left(-0.003298611111111111 - t\_1\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.010416666666666666 (/ 0.25 (* x x))))
        (t_1 (/ t_0 (* x x)))
        (t_2 (+ t_1 -0.003298611111111111))
        (t_3 (* x (* x x)))
        (t_4 (* (* x x) (* x t_3)))
        (t_5 (exp (- 0.0 x))))
   (if (<= x -5.6e-17)
     (/ (fmod (exp x) 1.0) (exp x))
     (if (<= x -2.1e-39)
       (*
        (fmod
         (exp x)
         (/
          (* t_4 (- -3.589164409454304e-8 (/ (* t_0 (* t_0 t_0)) t_4)))
          (+ 1.0880835262345679e-5 (* t_1 t_2))))
        t_5)
       (if (<= x -1.16e-54)
         (*
          t_5
          (fmod
           (exp x)
           (/ (* t_4 (- 1.0880835262345679e-5 (/ (* t_0 t_1) (* x x)))) t_2)))
         (if (<= x -1.35e-108)
           (* t_5 (fmod (exp x) (* t_3 (* t_3 (- -0.003298611111111111 t_1)))))
           (fmod x 1.0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.010416666666666666 + (0.25 / (x * x));
	double t_1 = t_0 / (x * x);
	double t_2 = t_1 + -0.003298611111111111;
	double t_3 = x * (x * x);
	double t_4 = (x * x) * (x * t_3);
	double t_5 = exp((0.0 - x));
	double tmp;
	if (x <= -5.6e-17) {
		tmp = fmod(exp(x), 1.0) / exp(x);
	} else if (x <= -2.1e-39) {
		tmp = fmod(exp(x), ((t_4 * (-3.589164409454304e-8 - ((t_0 * (t_0 * t_0)) / t_4))) / (1.0880835262345679e-5 + (t_1 * t_2)))) * t_5;
	} else if (x <= -1.16e-54) {
		tmp = t_5 * fmod(exp(x), ((t_4 * (1.0880835262345679e-5 - ((t_0 * t_1) / (x * x)))) / t_2));
	} else if (x <= -1.35e-108) {
		tmp = t_5 * fmod(exp(x), (t_3 * (t_3 * (-0.003298611111111111 - t_1))));
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.010416666666666666d0 + (0.25d0 / (x * x))
    t_1 = t_0 / (x * x)
    t_2 = t_1 + (-0.003298611111111111d0)
    t_3 = x * (x * x)
    t_4 = (x * x) * (x * t_3)
    t_5 = exp((0.0d0 - x))
    if (x <= (-5.6d-17)) then
        tmp = mod(exp(x), 1.0d0) / exp(x)
    else if (x <= (-2.1d-39)) then
        tmp = mod(exp(x), ((t_4 * ((-3.589164409454304d-8) - ((t_0 * (t_0 * t_0)) / t_4))) / (1.0880835262345679d-5 + (t_1 * t_2)))) * t_5
    else if (x <= (-1.16d-54)) then
        tmp = t_5 * mod(exp(x), ((t_4 * (1.0880835262345679d-5 - ((t_0 * t_1) / (x * x)))) / t_2))
    else if (x <= (-1.35d-108)) then
        tmp = t_5 * mod(exp(x), (t_3 * (t_3 * ((-0.003298611111111111d0) - t_1))))
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	t_0 = 0.010416666666666666 + (0.25 / (x * x))
	t_1 = t_0 / (x * x)
	t_2 = t_1 + -0.003298611111111111
	t_3 = x * (x * x)
	t_4 = (x * x) * (x * t_3)
	t_5 = math.exp((0.0 - x))
	tmp = 0
	if x <= -5.6e-17:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), 1.0) / math.exp(x)
	elif x <= -2.1e-39:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), ((t_4 * (-3.589164409454304e-8 - ((t_0 * (t_0 * t_0)) / t_4))) / (1.0880835262345679e-5 + (t_1 * t_2)))) * t_5
	elif x <= -1.16e-54:
		tmp = t_5 * math.fmod(math.exp(x), ((t_4 * (1.0880835262345679e-5 - ((t_0 * t_1) / (x * x)))) / t_2))
	elif x <= -1.35e-108:
		tmp = t_5 * math.fmod(math.exp(x), (t_3 * (t_3 * (-0.003298611111111111 - t_1))))
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.010416666666666666 + Float64(0.25 / Float64(x * x)))
	t_1 = Float64(t_0 / Float64(x * x))
	t_2 = Float64(t_1 + -0.003298611111111111)
	t_3 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_4 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x * t_3))
	t_5 = exp(Float64(0.0 - x))
	tmp = 0.0
	if (x <= -5.6e-17)
		tmp = Float64(rem(exp(x), 1.0) / exp(x));
	elseif (x <= -2.1e-39)
		tmp = Float64(rem(exp(x), Float64(Float64(t_4 * Float64(-3.589164409454304e-8 - Float64(Float64(t_0 * Float64(t_0 * t_0)) / t_4))) / Float64(1.0880835262345679e-5 + Float64(t_1 * t_2)))) * t_5);
	elseif (x <= -1.16e-54)
		tmp = Float64(t_5 * rem(exp(x), Float64(Float64(t_4 * Float64(1.0880835262345679e-5 - Float64(Float64(t_0 * t_1) / Float64(x * x)))) / t_2)));
	elseif (x <= -1.35e-108)
		tmp = Float64(t_5 * rem(exp(x), Float64(t_3 * Float64(t_3 * Float64(-0.003298611111111111 - t_1)))));
	else
		tmp = rem(x, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.010416666666666666 + N[(0.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$1 + -0.003298611111111111), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -5.6e-17], N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[Exp[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -2.1e-39], N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(N[(t$95$4 * N[(-3.589164409454304e-8 - N[(N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0880835262345679e-5 + N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] * t$95$5), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -1.16e-54], N[(t$95$5 * N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(N[(t$95$4 * N[(1.0880835262345679e-5 - N[(N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -1.35e-108], N[(t$95$5 * N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(t$95$3 * N[(t$95$3 * N[(-0.003298611111111111 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if x < -5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   if -5.5999999999999998e-17 < x < -2.09999999999999993e-39

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      19. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      21. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      22. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 7.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 7.0%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   10. Applied egg-rr 69.1%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\frac{\left(-3.589164409454304 \cdot 10^{-8} - \frac{\left(0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\right)\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} + \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \left(-0.003298611111111111 + \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   if -2.09999999999999993e-39 < x < -1.16e-54

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      19. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      21. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      22. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 5.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{6}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}} \cdot \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\left(\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}}{\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}\right), \left(\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\frac{\left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - \frac{\left(0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{-0.003298611111111111 + \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   if -1.16e-54 < x < -1.35000000000000002e-108

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      19. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      21. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      22. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 0.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 0.0%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{6}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 61.1%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\left(\left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   if -1.35000000000000002e-108 < x

   1. Initial program 6.5%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 4.9%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 4.8%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 4.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 24.7%

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right) \]

   13. Simplified 24.7%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right) \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 65.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{x} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 67.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{e^{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2.1 \cdot 10^{-39}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-3.589164409454304 \cdot 10^{-8} - \frac{\left(0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\right)\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right)}{1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} + \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x} + -0.003298611111111111\right)}\right)\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.16 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;e^{0 - x} \cdot \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - \frac{\left(0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x} + -0.003298611111111111}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;e^{0 - x} \cdot \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 67.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := 0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\\ t_2 := e^{0 - x}\\ t_3 := \frac{t\_1}{x \cdot x}\\ \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{e^{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.16 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\right) \cdot \left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - \frac{t\_1 \cdot t\_3}{x \cdot x}\right)}{t\_3 + -0.003298611111111111}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;t\_2 \cdot \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(-0.003298611111111111 - t\_3\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x)))
        (t_1 (+ 0.010416666666666666 (/ 0.25 (* x x))))
        (t_2 (exp (- 0.0 x)))
        (t_3 (/ t_1 (* x x))))
   (if (<= x -5.6e-17)
     (/ (fmod (exp x) 1.0) (exp x))
     (if (<= x -1.16e-54)
       (*
        t_2
        (fmod
         (exp x)
         (/
          (*
           (* (* x x) (* x t_0))
           (- 1.0880835262345679e-5 (/ (* t_1 t_3) (* x x))))
          (+ t_3 -0.003298611111111111))))
       (if (<= x -1.35e-108)
         (* t_2 (fmod (exp x) (* t_0 (* t_0 (- -0.003298611111111111 t_3)))))
         (fmod x 1.0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double t_1 = 0.010416666666666666 + (0.25 / (x * x));
	double t_2 = exp((0.0 - x));
	double t_3 = t_1 / (x * x);
	double tmp;
	if (x <= -5.6e-17) {
		tmp = fmod(exp(x), 1.0) / exp(x);
	} else if (x <= -1.16e-54) {
		tmp = t_2 * fmod(exp(x), ((((x * x) * (x * t_0)) * (1.0880835262345679e-5 - ((t_1 * t_3) / (x * x)))) / (t_3 + -0.003298611111111111)));
	} else if (x <= -1.35e-108) {
		tmp = t_2 * fmod(exp(x), (t_0 * (t_0 * (-0.003298611111111111 - t_3))));
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * x)
    t_1 = 0.010416666666666666d0 + (0.25d0 / (x * x))
    t_2 = exp((0.0d0 - x))
    t_3 = t_1 / (x * x)
    if (x <= (-5.6d-17)) then
        tmp = mod(exp(x), 1.0d0) / exp(x)
    else if (x <= (-1.16d-54)) then
        tmp = t_2 * mod(exp(x), ((((x * x) * (x * t_0)) * (1.0880835262345679d-5 - ((t_1 * t_3) / (x * x)))) / (t_3 + (-0.003298611111111111d0))))
    else if (x <= (-1.35d-108)) then
        tmp = t_2 * mod(exp(x), (t_0 * (t_0 * ((-0.003298611111111111d0) - t_3))))
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * x)
	t_1 = 0.010416666666666666 + (0.25 / (x * x))
	t_2 = math.exp((0.0 - x))
	t_3 = t_1 / (x * x)
	tmp = 0
	if x <= -5.6e-17:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), 1.0) / math.exp(x)
	elif x <= -1.16e-54:
		tmp = t_2 * math.fmod(math.exp(x), ((((x * x) * (x * t_0)) * (1.0880835262345679e-5 - ((t_1 * t_3) / (x * x)))) / (t_3 + -0.003298611111111111)))
	elif x <= -1.35e-108:
		tmp = t_2 * math.fmod(math.exp(x), (t_0 * (t_0 * (-0.003298611111111111 - t_3))))
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(0.010416666666666666 + Float64(0.25 / Float64(x * x)))
	t_2 = exp(Float64(0.0 - x))
	t_3 = Float64(t_1 / Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= -5.6e-17)
		tmp = Float64(rem(exp(x), 1.0) / exp(x));
	elseif (x <= -1.16e-54)
		tmp = Float64(t_2 * rem(exp(x), Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * t_0)) * Float64(1.0880835262345679e-5 - Float64(Float64(t_1 * t_3) / Float64(x * x)))) / Float64(t_3 + -0.003298611111111111))));
	elseif (x <= -1.35e-108)
		tmp = Float64(t_2 * rem(exp(x), Float64(t_0 * Float64(t_0 * Float64(-0.003298611111111111 - t_3)))));
	else
		tmp = rem(x, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.010416666666666666 + N[(0.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(t$95$1 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -5.6e-17], N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[Exp[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -1.16e-54], N[(t$95$2 * N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0880835262345679e-5 - N[(N[(t$95$1 * t$95$3), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$3 + -0.003298611111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -1.35e-108], N[(t$95$2 * N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * N[(-0.003298611111111111 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if x < -5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   if -5.5999999999999998e-17 < x < -1.16e-54

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      19. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      21. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      22. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 6.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 6.4%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{6}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}} \cdot \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\left(\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}}{\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x} \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}\right), \left(\frac{-19}{5760} + \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 47.7%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\frac{\left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - \frac{\left(0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{-0.003298611111111111 + \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   if -1.16e-54 < x < -1.35000000000000002e-108

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      19. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      21. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      22. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 0.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 0.0%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{6}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 61.1%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\left(\left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   if -1.35000000000000002e-108 < x

   1. Initial program 6.5%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 4.9%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 4.8%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 4.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 24.7%

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right) \]

   13. Simplified 24.7%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right) \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 65.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{x} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 64.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{e^{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.16 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;e^{0 - x} \cdot \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - \frac{\left(0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x} + -0.003298611111111111}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;e^{0 - x} \cdot \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 65.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{e^{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;e^{0 - x} \cdot \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x))))
   (if (<= x -5.6e-17)
     (/ (fmod (exp x) 1.0) (exp x))
     (if (<= x -1.35e-108)
       (*
        (exp (- 0.0 x))
        (fmod
         (exp x)
         (*
          t_0
          (*
           t_0
           (-
            -0.003298611111111111
            (/ (+ 0.010416666666666666 (/ 0.25 (* x x))) (* x x)))))))
       (fmod x 1.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= -5.6e-17) {
		tmp = fmod(exp(x), 1.0) / exp(x);
	} else if (x <= -1.35e-108) {
		tmp = exp((0.0 - x)) * fmod(exp(x), (t_0 * (t_0 * (-0.003298611111111111 - ((0.010416666666666666 + (0.25 / (x * x))) / (x * x))))));
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * x)
    if (x <= (-5.6d-17)) then
        tmp = mod(exp(x), 1.0d0) / exp(x)
    else if (x <= (-1.35d-108)) then
        tmp = exp((0.0d0 - x)) * mod(exp(x), (t_0 * (t_0 * ((-0.003298611111111111d0) - ((0.010416666666666666d0 + (0.25d0 / (x * x))) / (x * x))))))
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * x)
	tmp = 0
	if x <= -5.6e-17:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), 1.0) / math.exp(x)
	elif x <= -1.35e-108:
		tmp = math.exp((0.0 - x)) * math.fmod(math.exp(x), (t_0 * (t_0 * (-0.003298611111111111 - ((0.010416666666666666 + (0.25 / (x * x))) / (x * x))))))
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= -5.6e-17)
		tmp = Float64(rem(exp(x), 1.0) / exp(x));
	elseif (x <= -1.35e-108)
		tmp = Float64(exp(Float64(0.0 - x)) * rem(exp(x), Float64(t_0 * Float64(t_0 * Float64(-0.003298611111111111 - Float64(Float64(0.010416666666666666 + Float64(0.25 / Float64(x * x))) / Float64(x * x)))))));
	else
		tmp = rem(x, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -5.6e-17], N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[Exp[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -1.35e-108], N[(N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * N[(-0.003298611111111111 - N[(N[(0.010416666666666666 + N[(0.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   if -5.5999999999999998e-17 < x < -1.35000000000000002e-108

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      18. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      19. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      21. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      22. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   6. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 2.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 2.7%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{6}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{x \cdot x}\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      13. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 38.1%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\left(\left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   if -1.35000000000000002e-108 < x

   1. Initial program 6.5%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 6.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 6.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 4.9%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 4.8%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 4.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 24.7%

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right) \]

   13. Simplified 24.7%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right) \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 65.6%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{x} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 62.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{e^{x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;e^{0 - x} \cdot \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 61.8% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{e^{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -5e-310) (/ (fmod (exp x) 1.0) (exp x)) (fmod x 1.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -5e-310) {
		tmp = fmod(exp(x), 1.0) / exp(x);
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-5d-310)) then
        tmp = mod(exp(x), 1.0d0) / exp(x)
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -5e-310:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), 1.0) / math.exp(x)
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -5e-310)
		tmp = Float64(rem(exp(x), 1.0) / exp(x));
	else
		tmp = rem(x, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -5e-310], N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[Exp[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.999999999999985e-310

   1. Initial program 8.4%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 8.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 8.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 8.4%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   if -4.999999999999985e-310 < x

   1. Initial program 8.0%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 8.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 8.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 5.5%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 5.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 34.5%

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right) \]

   13. Simplified 34.5%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right) \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 94.1%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{x} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 61.4% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -5e-310)
   (/
    (fmod (exp x) 1.0)
    (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x 0.16666666666666666)))))))
   (fmod x 1.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -5e-310) {
		tmp = fmod(exp(x), 1.0) / (1.0 + (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666))))));
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-5d-310)) then
        tmp = mod(exp(x), 1.0d0) / (1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * 0.16666666666666666d0))))))
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -5e-310:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), 1.0) / (1.0 + (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666))))))
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -5e-310)
		tmp = Float64(rem(exp(x), 1.0) / Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * 0.16666666666666666)))))));
	else
		tmp = rem(x, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -5e-310], N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.999999999999985e-310

   1. Initial program 8.4%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 8.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 8.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 8.4%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 7.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 7.3%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   if -4.999999999999985e-310 < x

   1. Initial program 8.0%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 8.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 8.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 5.5%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 5.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 34.5%

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right) \]

   13. Simplified 34.5%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right) \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 94.1%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{x} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 6: 61.4% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -5e-310)
   (*
    (fmod
     (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x (+ 0.5 (* x 0.16666666666666666))))))
     (+ 1.0 (* x (* x -0.25))))
    (+ 1.0 (* x (+ -1.0 (* x (+ 0.5 (* x -0.16666666666666666)))))))
   (fmod x 1.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -5e-310) {
		tmp = fmod((1.0 + (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666)))))), (1.0 + (x * (x * -0.25)))) * (1.0 + (x * (-1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.16666666666666666))))));
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-5d-310)) then
        tmp = mod((1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * (0.5d0 + (x * 0.16666666666666666d0)))))), (1.0d0 + (x * (x * (-0.25d0))))) * (1.0d0 + (x * ((-1.0d0) + (x * (0.5d0 + (x * (-0.16666666666666666d0)))))))
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -5e-310:
		tmp = math.fmod((1.0 + (x * (1.0 + (x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666)))))), (1.0 + (x * (x * -0.25)))) * (1.0 + (x * (-1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.16666666666666666))))))
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -5e-310)
		tmp = Float64(rem(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * 0.16666666666666666)))))), Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * -0.25)))) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * -0.16666666666666666)))))));
	else
		tmp = rem(x, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -5e-310], N[(N[With[{TMP1 = N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], TMP2 = N[(1.0 + N[(x * N[(x * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(-1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.999999999999985e-310

   1. Initial program 8.4%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{4} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 8.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 8.4%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 7.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 7.3%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 7.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 7.3%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)} \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   if -4.999999999999985e-310 < x

   1. Initial program 8.0%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 8.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 8.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 5.5%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 5.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 34.5%

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right) \]

   13. Simplified 34.5%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right) \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 94.1%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{x} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 61.3% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -5e-310)
   (*
    (+ 1.0 (* x (+ -1.0 (* x (+ 0.5 (* x -0.16666666666666666))))))
    (fmod (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x 0.5)))) (+ 1.0 (* x (* x -0.25)))))
   (fmod x 1.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -5e-310) {
		tmp = (1.0 + (x * (-1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.16666666666666666)))))) * fmod((1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)))), (1.0 + (x * (x * -0.25))));
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-5d-310)) then
        tmp = (1.0d0 + (x * ((-1.0d0) + (x * (0.5d0 + (x * (-0.16666666666666666d0))))))) * mod((1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * 0.5d0)))), (1.0d0 + (x * (x * (-0.25d0)))))
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -5e-310:
		tmp = (1.0 + (x * (-1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.16666666666666666)))))) * math.fmod((1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)))), (1.0 + (x * (x * -0.25))))
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -5e-310)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * -0.16666666666666666)))))) * rem(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * 0.5)))), Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * -0.25)))));
	else
		tmp = rem(x, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -5e-310], N[(N[(1.0 + N[(x * N[(-1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[With[{TMP1 = N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], TMP2 = N[(1.0 + N[(x * N[(x * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.999999999999985e-310

   1. Initial program 8.4%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{4} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 8.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 8.4%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 7.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 7.3%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 7.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 7.0%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   if -4.999999999999985e-310 < x

   1. Initial program 8.0%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 8.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 8.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 5.5%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 5.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 34.5%

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right) \]

   13. Simplified 34.5%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right) \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 94.1%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{x} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 61.0% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x + 1\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -5e-310)
   (*
    (+ 1.0 (* x (+ -1.0 (* x (+ 0.5 (* x -0.16666666666666666))))))
    (fmod (+ x 1.0) (+ 1.0 (* x (* x -0.25)))))
   (fmod x 1.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -5e-310) {
		tmp = (1.0 + (x * (-1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.16666666666666666)))))) * fmod((x + 1.0), (1.0 + (x * (x * -0.25))));
	} else {
		tmp = fmod(x, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-5d-310)) then
        tmp = (1.0d0 + (x * ((-1.0d0) + (x * (0.5d0 + (x * (-0.16666666666666666d0))))))) * mod((x + 1.0d0), (1.0d0 + (x * (x * (-0.25d0)))))
    else
        tmp = mod(x, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -5e-310:
		tmp = (1.0 + (x * (-1.0 + (x * (0.5 + (x * -0.16666666666666666)))))) * math.fmod((x + 1.0), (1.0 + (x * (x * -0.25))))
	else:
		tmp = math.fmod(x, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -5e-310)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * -0.16666666666666666)))))) * rem(Float64(x + 1.0), Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * -0.25)))));
	else
		tmp = rem(x, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -5e-310], N[(N[(1.0 + N[(x * N[(-1.0 + N[(x * N[(0.5 + N[(x * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[With[{TMP1 = N[(x + 1.0), $MachinePrecision], TMP2 = N[(1.0 + N[(x * N[(x * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.999999999999985e-310

   1. Initial program 8.4%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{4} \cdot {x}^{2}\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{4} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{4} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 8.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 8.4%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)}\right) \cdot e^{-x} \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \color{blue}{x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 7.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 7.3%

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 6.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 6.5%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]

   if -4.999999999999985e-310 < x

   1. Initial program 8.0%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 8.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 8.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 5.5%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 5.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 34.5%

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right) \]

   13. Simplified 34.5%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right) \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right) \]
   15. Step-by-step derivation

   16. Simplified 94.1%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{x} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x + 1\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot -0.25\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \bmod 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 58.9% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \bmod 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fmod x 1.0))

C

double code(double x) {
	return fmod(x, 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod(x, 1.0d0)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod(x, 1.0)

Julia

function code(x)
	return rem(x, 1.0)
end

Wolfram

code[x_] := N[With[{TMP1 = x, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.2%

   \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. exp-neg N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

   5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   9. exp-lowering-exp.f64 8.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 8.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 6.9%

   \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

   2. exp-lowering-exp.f64 5.5%

      \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

10. Simplified 5.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 22.0%

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), 1\right) \]

13. Simplified 22.0%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(1 + x\right)} \bmod 1\right) \]

14. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{x}, 1\right) \]
15. Step-by-step derivation

16. Simplified 54.6%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{x} \bmod 1\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 10: 23.3% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 \bmod 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fmod 1.0 1.0))

C

double code(double x) {
	return fmod(1.0, 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod(1.0d0, 1.0d0)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod(1.0, 1.0)

Julia

function code(x)
	return rem(1.0, 1.0)
end

Wolfram

code[x_] := N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.2%

   \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. exp-neg N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

   5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   9. exp-lowering-exp.f64 8.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 8.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 21.7%

   \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{1} \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(1, \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 21.3%

    \[\leadsto \frac{\left(1 \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \bmod 1\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. fmod-lowering-fmod.f64 21.3%

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(1, \color{blue}{1}\right) \]

13. Simplified 21.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \bmod 1\right)} \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (x)
  :name "expfmod (used to be hard to sample)"
  :precision binary64
  (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))