arccos

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 8.6s

Alternatives: 10

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(sqrt(((1.0d0 - x) / (1.0d0 + x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(Math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / Float64(1.0 + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(sqrt(((1.0d0 - x) / (1.0d0 + x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(Math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / Float64(1.0 + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1 - x \cdot x}}{1 + x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (atan (/ (sqrt (- 1.0 (* x x))) (+ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan((sqrt((1.0 - (x * x))) / (1.0 + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan((sqrt((1.0d0 - (x * x))) / (1.0d0 + x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan((Math.sqrt((1.0 - (x * x))) / (1.0 + x)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan((math.sqrt((1.0 - (x * x))) / (1.0 + x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(sqrt(Float64(1.0 - Float64(x * x))) / Float64(1.0 + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan((sqrt((1.0 - (x * x))) / (1.0 + x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[Sqrt[N[(1.0 - N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{1 + x}\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 - x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{\left(-1 - x\right) \cdot \left(-1 - x\right)}}}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. atan-lowering-atan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 - {x}^{2}}\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - {x}^{2}\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1 - x \cdot x}}{1 + x}\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(sqrt(((1.0d0 - x) / (1.0d0 + x))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(Math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(math.sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / Float64(1.0 + x)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(sqrt(((1.0 - x) / (1.0 + x))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.8% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{x \cdot \left(x \cdot -0.5\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + x \cdot \left(x \cdot -0.0625\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (atan
   (/
    (+
     (* x (* x -0.5))
     (+ 1.0 (* x (* x (* (* x x) (+ -0.125 (* x (* x -0.0625))))))))
    (+ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan((((x * (x * -0.5)) + (1.0 + (x * (x * ((x * x) * (-0.125 + (x * (x * -0.0625)))))))) / (1.0 + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan((((x * (x * (-0.5d0))) + (1.0d0 + (x * (x * ((x * x) * ((-0.125d0) + (x * (x * (-0.0625d0))))))))) / (1.0d0 + x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan((((x * (x * -0.5)) + (1.0 + (x * (x * ((x * x) * (-0.125 + (x * (x * -0.0625)))))))) / (1.0 + x)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan((((x * (x * -0.5)) + (1.0 + (x * (x * ((x * x) * (-0.125 + (x * (x * -0.0625)))))))) / (1.0 + x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * -0.5)) + Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.125 + Float64(x * Float64(x * -0.0625)))))))) / Float64(1.0 + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan((((x * (x * -0.5)) + (1.0 + (x * (x * ((x * x) * (-0.125 + (x * (x * -0.0625)))))))) / (1.0 + x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(N[(x * N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.125 + N[(x * N[(x * -0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{1 + x}\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 - x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{\left(-1 - x\right) \cdot \left(-1 - x\right)}}}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. atan-lowering-atan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 - {x}^{2}}\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - {x}^{2}\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1 - x \cdot x}}{1 + x}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{-1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0625\right)\right)}}{1 + x}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{16}\right)\right) + 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

    2. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{16}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{2} + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{16}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 1\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{2} + \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{16}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{2}\right), \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{16}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{16}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{16}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right), \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{16}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{-1}{16}\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right), 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.5\right) + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + x \cdot \left(x \cdot -0.0625\right)\right)\right)\right) + 1\right)}}{1 + x}\right) \]

13. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{x \cdot \left(x \cdot -0.5\right) + \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + x \cdot \left(x \cdot -0.0625\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + x}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.8% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0625\right)\right)}{1 + x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (atan
   (/
    (+ 1.0 (* (* x x) (+ -0.5 (* (* x x) (+ -0.125 (* (* x x) -0.0625))))))
    (+ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((1.0 + ((x * x) * (-0.5 + ((x * x) * (-0.125 + ((x * x) * -0.0625)))))) / (1.0 + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((1.0d0 + ((x * x) * ((-0.5d0) + ((x * x) * ((-0.125d0) + ((x * x) * (-0.0625d0))))))) / (1.0d0 + x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((1.0 + ((x * x) * (-0.5 + ((x * x) * (-0.125 + ((x * x) * -0.0625)))))) / (1.0 + x)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((1.0 + ((x * x) * (-0.5 + ((x * x) * (-0.125 + ((x * x) * -0.0625)))))) / (1.0 + x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.5 + Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.125 + Float64(Float64(x * x) * -0.0625)))))) / Float64(1.0 + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((1.0 + ((x * x) * (-0.5 + ((x * x) * (-0.125 + ((x * x) * -0.0625)))))) / (1.0 + x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.125 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{1 + x}\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 - x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{\left(-1 - x\right) \cdot \left(-1 - x\right)}}}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. atan-lowering-atan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 - {x}^{2}}\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - {x}^{2}\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1 - x \cdot x}}{1 + x}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{-1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{-1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   18. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.0625\right)\right)}}{1 + x}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.125\right)\right)}{1 + x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (atan (/ (+ 1.0 (* (* x x) (+ -0.5 (* x (* x -0.125))))) (+ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((1.0 + ((x * x) * (-0.5 + (x * (x * -0.125))))) / (1.0 + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((1.0d0 + ((x * x) * ((-0.5d0) + (x * (x * (-0.125d0)))))) / (1.0d0 + x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((1.0 + ((x * x) * (-0.5 + (x * (x * -0.125))))) / (1.0 + x)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((1.0 + ((x * x) * (-0.5 + (x * (x * -0.125))))) / (1.0 + x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.5 + Float64(x * Float64(x * -0.125))))) / Float64(1.0 + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((1.0 + ((x * x) * (-0.5 + (x * (x * -0.125))))) / (1.0 + x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(x * N[(x * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{1 + x}\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 - x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{\left(-1 - x\right) \cdot \left(-1 - x\right)}}}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. atan-lowering-atan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 - {x}^{2}}\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - {x}^{2}\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1 - x \cdot x}}{1 + x}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{2} + \frac{-1}{8} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{-1}{8} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{8} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{8} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.2%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot -0.125\right)\right)}}{1 + x}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5}{1 + x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (atan (/ (+ 1.0 (* (* x x) -0.5)) (+ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((1.0 + ((x * x) * -0.5)) / (1.0 + x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((1.0d0 + ((x * x) * (-0.5d0))) / (1.0d0 + x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((1.0 + ((x * x) * -0.5)) / (1.0 + x)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((1.0 + ((x * x) * -0.5)) / (1.0 + x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.5)) / Float64(1.0 + x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((1.0 + ((x * x) * -0.5)) / (1.0 + x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{1 + x}\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 - x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{\left(-1 - x\right) \cdot \left(-1 - x\right)}}}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)}\right) \]

   2. atan-lowering-atan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1}{1 + x} \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \sqrt{1 - {x}^{2}}}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{1 + x}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 - {x}^{2}}\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 - {x}^{2}\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(1 + x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1 - x \cdot x}}{1 + x}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot {x}^{2}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{2}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.1%

    \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.5}}{1 + x}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (atan (* (- 1.0 x) (+ 1.0 (* x (* x 0.5)))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(((1.0d0 - x) * (1.0d0 + (x * (x * 0.5d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(Float64(1.0 - x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * 0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(((1.0 - x) * (1.0 + (x * (x * 0.5)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(1 - x\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{1 + x}\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}}{\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 - x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \left(-1 - x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(-1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{\left(-1 - x\right) \cdot \left(-1 - x\right)}}}\right) \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) - 1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   4. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right) \cdot x + -1 \cdot x\right) + 1\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(-1 \cdot x + 1\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(1 - x\right)\right)} \]

8. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(\left(1 - x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5 + -1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (atan (+ 1.0 (* x (+ (* x 0.5) -1.0))))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan((1.0 + (x * ((x * 0.5) + -1.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan((1.0d0 + (x * ((x * 0.5d0) + (-1.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan((1.0 + (x * ((x * 0.5) + -1.0))));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan((1.0 + (x * ((x * 0.5) + -1.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(x * 0.5) + -1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan((1.0 + (x * ((x * 0.5) + -1.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(1.0 + N[(x * N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} \cdot x + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 98.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \]

6. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \left(1 + x \cdot \left(x \cdot 0.5 + -1\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 9: 99.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} \left(1 - x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan (- 1.0 x))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan((1.0 - x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan((1.0d0 - x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan((1.0 - x));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan((1.0 - x))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(Float64(1.0 - x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan((1.0 - x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[N[(1.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\left(1 - x\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, x\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.6%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(1 - x\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 97.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \tan^{-1} 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 2.0 (atan 1.0)))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * atan(1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.0d0 * atan(1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.atan(1.0);
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.atan(1.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * atan(1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.0 * atan(1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[ArcTan[1.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[2 \cdot \tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{1}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 97.6%

   \[\leadsto 2 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (x)
  :name "arccos"
  :precision binary64
  (* 2.0 (atan (sqrt (/ (- 1.0 x) (+ 1.0 x))))))