Bearing on a great circle

Percentage Accurate: 79.1% → 99.7%

Time: 32.3s

Alternatives: 31

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 79.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.sin((lambda1 - lambda2)) * Math.cos(phi2)), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.sin(phi1) * Math.cos(phi2)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.sin((lambda1 - lambda2)) * math.cos(phi2)), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.sin(phi1) * math.cos(phi2)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(sin(Float64(lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(sin(phi1) * cos(phi2)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((sin((lambda1 - lambda2)) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((sin(phi1) * cos(phi2)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
   (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.9%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 89.2%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, -\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 94.4% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.003:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot t\_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 8 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, t\_2 \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right), t\_0\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1
         (*
          (fma
           (sin lambda1)
           (cos lambda2)
           (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
          (cos phi2)))
        (t_2 (cos (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi2 -0.003)
     (atan2 t_1 (- t_0 (* (* (cos phi2) (sin phi1)) t_2)))
     (if (<= phi2 8e-37)
       (atan2
        t_1
        (-
         t_0
         (*
          (sin phi1)
          (+
           (* (sin lambda1) (sin lambda2))
           (* (cos lambda2) (cos lambda1))))))
       (atan2 t_1 (fma (sin phi1) (* t_2 (- 0.0 (cos phi2))) t_0))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2);
	double t_2 = cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.003) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_2)));
	} else if (phi2 <= 8e-37) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (sin(phi1) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
	} else {
		tmp = atan2(t_1, fma(sin(phi1), (t_2 * (0.0 - cos(phi2))), t_0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2))
	t_2 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.003)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * t_2)));
	elseif (phi2 <= 8e-37)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
	else
		tmp = atan(t_1, fma(sin(phi1), Float64(t_2 * Float64(0.0 - cos(phi2))), t_0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.003], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 8e-37], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(t$95$2 * N[(0.0 - N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -0.0030000000000000001

   1. Initial program 85.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 94.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 94.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -0.0030000000000000001 < phi2 < 8.00000000000000053e-37

   1. Initial program 83.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 87.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 87.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, -\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 99.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, -\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

   if 8.00000000000000053e-37 < phi2

   1. Initial program 74.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 86.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 86.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) + \cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2\right)\right) \]

      5. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}, \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      6. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}, \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 86.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 86.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, -\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 94.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.003:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 8 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right), \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (*
    (* (cos phi2) (sin phi1))
    (+ (* (sin lambda1) (sin lambda2)) (* (cos lambda2) (cos lambda1)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * ((Math.sin(lambda1) * Math.sin(lambda2)) + (Math.cos(lambda2) * Math.cos(lambda1))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * ((math.sin(lambda1) * math.sin(lambda2)) + (math.cos(lambda2) * math.cos(lambda1))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.9%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 89.2%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. cos-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(0 - \cos \lambda_1\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 4: 94.4% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_3 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -5 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - t\_2 \cdot t\_3}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 9.2 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{t\_0 - t\_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, t\_3 \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right), t\_0\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1
         (*
          (fma
           (sin lambda1)
           (cos lambda2)
           (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
          (cos phi2)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_3 (cos (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi2 -5e-8)
     (atan2 t_1 (- t_0 (* t_2 t_3)))
     (if (<= phi2 9.2e-37)
       (atan2
        (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1)))
        (-
         t_0
         (*
          t_2
          (+
           (* (sin lambda1) (sin lambda2))
           (* (cos lambda2) (cos lambda1))))))
       (atan2 t_1 (fma (sin phi1) (* t_3 (- 0.0 (cos phi2))) t_0))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2);
	double t_2 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_3 = cos((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -5e-8) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (t_2 * t_3)));
	} else if (phi2 <= 9.2e-37) {
		tmp = atan2(((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1))), (t_0 - (t_2 * ((sin(lambda1) * sin(lambda2)) + (cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
	} else {
		tmp = atan2(t_1, fma(sin(phi1), (t_3 * (0.0 - cos(phi2))), t_0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_3 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -5e-8)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(t_2 * t_3)));
	elseif (phi2 <= 9.2e-37)
		tmp = atan(Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1))), Float64(t_0 - Float64(t_2 * Float64(Float64(sin(lambda1) * sin(lambda2)) + Float64(cos(lambda2) * cos(lambda1))))));
	else
		tmp = atan(t_1, fma(sin(phi1), Float64(t_3 * Float64(0.0 - cos(phi2))), t_0));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -5e-8], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(t$95$2 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 9.2e-37], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(t$95$2 * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Sin[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(t$95$3 * N[(0.0 - N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -4.9999999999999998e-8

   1. Initial program 86.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 94.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 94.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -4.9999999999999998e-8 < phi2 < 9.1999999999999999e-37

   1. Initial program 82.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 86.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 86.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \color{blue}{\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \color{blue}{\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \sin \lambda_2\right), \left(\color{blue}{\cos \lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right), \left(\cos \color{blue}{\lambda_1} \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_2 \cdot \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \color{blue}{\cos \lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}} \]

   7. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + \cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + -1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_2, \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \sin \lambda_1\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \]

   if 9.1999999999999999e-37 < phi2

   1. Initial program 74.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 86.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 86.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) + \cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2\right)\right) \]

      5. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}, \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      6. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}, \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      7. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      8. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 86.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 86.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, -\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 94.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -5 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 9.2 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2 + \cos \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right), \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 89.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right), \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
   (cos phi2))
  (fma
   (sin phi1)
   (* (cos (- lambda1 lambda2)) (- 0.0 (cos phi2)))
   (* (cos phi1) (sin phi2)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), fma(sin(phi1), (cos((lambda1 - lambda2)) * (0.0 - cos(phi2))), (cos(phi1) * sin(phi2))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), fma(sin(phi1), Float64(cos(Float64(lambda1 - lambda2)) * Float64(0.0 - cos(phi2))), Float64(cos(phi1) * sin(phi2))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.9%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 89.2%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) + \cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2\right)\right) \]

   4. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + \color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2\right)\right) \]

   5. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}, \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

   6. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}, \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right)\right)\right) \]

   15. sin-lowering-sin.f64 89.2%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, -\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)}} \]

7. Final simplification 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\mathsf{fma}\left(\sin \phi_1, \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(0 - \cos \phi_2\right), \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 89.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (fma (sin lambda1) (cos lambda2) (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
   (cos phi2))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.9%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 89.2%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

5. Final simplification 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 7: 88.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\\ t_2 := \tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 4.5 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1
         (*
          (cos phi2)
          (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1)))))
        (t_2 (atan2 t_1 (- t_0 (* (cos lambda1) (* (cos phi2) (sin phi1)))))))
   (if (<= lambda1 -4e+17)
     t_2
     (if (<= lambda1 4.5e+32)
       (atan2 t_1 (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos lambda2) (cos phi2)))))
       t_2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)));
	double t_2 = atan2(t_1, (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -4e+17) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda1 <= 4.5e+32) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda2) * cos(phi2)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))
    t_2 = atan2(t_1, (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))))
    if (lambda1 <= (-4d+17)) then
        tmp = t_2
    else if (lambda1 <= 4.5d+32) then
        tmp = atan2(t_1, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda2) * cos(phi2)))))
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)));
	double t_2 = Math.atan2(t_1, (t_0 - (Math.cos(lambda1) * (Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -4e+17) {
		tmp = t_2;
	} else if (lambda1 <= 4.5e+32) {
		tmp = Math.atan2(t_1, (t_0 - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(lambda2) * Math.cos(phi2)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))
	t_2 = math.atan2(t_1, (t_0 - (math.cos(lambda1) * (math.cos(phi2) * math.sin(phi1)))))
	tmp = 0
	if lambda1 <= -4e+17:
		tmp = t_2
	elif lambda1 <= 4.5e+32:
		tmp = math.atan2(t_1, (t_0 - (math.sin(phi1) * (math.cos(lambda2) * math.cos(phi2)))))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1))))
	t_2 = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(cos(lambda1) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -4e+17)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda1 <= 4.5e+32)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)));
	t_2 = atan2(t_1, (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -4e+17)
		tmp = t_2;
	elseif (lambda1 <= 4.5e+32)
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda2) * cos(phi2)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -4e+17], t$95$2, If[LessEqual[lambda1, 4.5e+32], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -4e17 or 4.5000000000000003e32 < lambda1

   1. Initial program 66.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 66.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 79.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 79.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_1} \]

   if -4e17 < lambda1 < 4.5000000000000003e32

   1. Initial program 96.2%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 98.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(-1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + \cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right) + \cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \color{blue}{\phi_2} - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)} \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)} \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]

   10. Simplified 98.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -4 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 4.5 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 89.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -9.4 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 1.06 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{t\_0 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
          (- t_0 (* (sin phi1) (* (cos lambda2) (cos phi2)))))))
   (if (<= lambda2 -9.4e-8)
     t_1
     (if (<= lambda2 1.06e-7)
       (atan2
        (* (cos phi2) (- (sin lambda1) (* lambda2 (cos lambda1))))
        (- t_0 (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2)))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda2) * cos(phi2)))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -9.4e-8) {
		tmp = t_1;
	} else if (lambda2 <= 1.06e-7) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * (sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1)))), (t_0 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda2) * cos(phi2)))))
    if (lambda2 <= (-9.4d-8)) then
        tmp = t_1
    else if (lambda2 <= 1.06d-7) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * (sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1)))), (t_0 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), (t_0 - (Math.sin(phi1) * (Math.cos(lambda2) * Math.cos(phi2)))));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -9.4e-8) {
		tmp = t_1;
	} else if (lambda2 <= 1.06e-7) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * (Math.sin(lambda1) - (lambda2 * Math.cos(lambda1)))), (t_0 - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), (t_0 - (math.sin(phi1) * (math.cos(lambda2) * math.cos(phi2)))))
	tmp = 0
	if lambda2 <= -9.4e-8:
		tmp = t_1
	elif lambda2 <= 1.06e-7:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * (math.sin(lambda1) - (lambda2 * math.cos(lambda1)))), (t_0 - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * Float64(cos(lambda2) * cos(phi2)))))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -9.4e-8)
		tmp = t_1;
	elseif (lambda2 <= 1.06e-7)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(sin(lambda1) - Float64(lambda2 * cos(lambda1)))), Float64(t_0 - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), (t_0 - (sin(phi1) * (cos(lambda2) * cos(phi2)))));
	tmp = 0.0;
	if (lambda2 <= -9.4e-8)
		tmp = t_1;
	elseif (lambda2 <= 1.06e-7)
		tmp = atan2((cos(phi2) * (sin(lambda1) - (lambda2 * cos(lambda1)))), (t_0 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -9.4e-8], t$95$1, If[LessEqual[lambda2, 1.06e-7], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] - N[(lambda2 * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda2 < -9.3999999999999995e-8 or 1.06e-7 < lambda2

   1. Initial program 64.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 79.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 79.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 79.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 79.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(-1 \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) + \cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right) + \cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \color{blue}{\phi_2} - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)} \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)} \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]

   10. Simplified 79.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \sin \lambda_1 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \cos \lambda_2\right)}} \]

   if -9.3999999999999995e-8 < lambda2 < 1.06e-7

   1. Initial program 99.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 + -1 \cdot \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\sin \lambda_1, \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 99.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -9.4 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 1.06 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \left(\cos \lambda_2 \cdot \cos \phi_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 87.2% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - t\_0 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -58000:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.45 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_1
         (atan2
          (/ 1.0 (/ 1.0 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
          (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* t_0 (cos (- lambda1 lambda2)))))))
   (if (<= phi1 -58000.0)
     t_1
     (if (<= phi1 1.45e-37)
       (atan2
        (*
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
         (cos phi2))
        (- (sin phi2) (* (cos lambda2) t_0)))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_1 = atan2((1.0 / (1.0 / (cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (t_0 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -58000.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi1 <= 1.45e-37) {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), (sin(phi2) - (cos(lambda2) * t_0)));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_1 = atan(Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(t_0 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -58000.0)
		tmp = t_1;
	elseif (phi1 <= 1.45e-37)
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), Float64(sin(phi2) - Float64(cos(lambda2) * t_0)));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(1.0 / N[(1.0 / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(t$95$0 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -58000.0], t$95$1, If[LessEqual[phi1, 1.45e-37], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -58000 or 1.45000000000000002e-37 < phi1

   1. Initial program 76.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 76.1%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -58000 < phi1 < 1.45000000000000002e-37

   1. Initial program 88.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]

   8. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 99.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -58000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 1.45 \cdot 10^{-37}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 89.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - ((Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - ((math.cos(phi2) * math.sin(phi1)) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.9%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 89.2%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right) \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \cos \lambda_1\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 89.2%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

7. Final simplification 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 11: 89.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (*
   (cos phi2)
   (- (* (sin lambda1) (cos lambda2)) (* (sin lambda2) (cos lambda1))))
  (-
   (* (cos phi1) (sin phi2))
   (* (cos phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((Math.sin(lambda1) * Math.cos(lambda2)) - (Math.sin(lambda2) * Math.cos(lambda1)))), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.cos(phi2) * (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2))))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2((math.cos(phi2) * ((math.sin(lambda1) * math.cos(lambda2)) - (math.sin(lambda2) * math.cos(lambda1)))), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.cos(phi2) * (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2))))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(sin(lambda1) * cos(lambda2)) - Float64(sin(lambda2) * cos(lambda1)))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2((cos(phi2) * ((sin(lambda1) * cos(lambda2)) - (sin(lambda2) * cos(lambda1)))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.9%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

   14. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   18. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. --lowering--.f64 81.9%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 81.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sin-diff N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \lambda_1, \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \sin \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 89.2%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]

7. Final simplification 89.2%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 12: 86.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.8 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 6.8 \cdot 10^{-38}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (/ 1.0 (/ 1.0 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
          (-
           (* (cos phi1) (sin phi2))
           (* (* (cos phi2) (sin phi1)) (cos (- lambda1 lambda2)))))))
   (if (<= phi1 -1.8e-34)
     t_0
     (if (<= phi1 6.8e-38)
       (atan2
        (*
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
         (cos phi2))
        (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((1.0 / (1.0 / (cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -1.8e-34) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 6.8e-38) {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(1.0 / Float64(1.0 / Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -1.8e-34)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 6.8e-38)
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(1.0 / N[(1.0 / N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -1.8e-34], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 6.8e-38], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -1.80000000000000004e-34 or 6.8000000000000004e-38 < phi1

   1. Initial program 76.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\frac{1}{\frac{2}{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{2}{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) - \phi_2\right) + \sin \left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \phi_2\right)}{2}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sin-cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 76.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 76.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if -1.80000000000000004e-34 < phi1 < 6.8000000000000004e-38

   1. Initial program 88.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 98.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.8 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 6.8 \cdot 10^{-38}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\frac{1}{\frac{1}{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 86.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.65 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot t\_1}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.25 \cdot 10^{-40}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot t\_1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi1 -1.65e-34)
     (atan2 t_2 (- t_0 (* (* (cos phi2) (sin phi1)) t_1)))
     (if (<= phi1 3.25e-40)
       (atan2
        (*
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
         (cos phi2))
        (sin phi2))
       (atan2 t_2 (- t_0 (* (cos phi2) (* (sin phi1) t_1))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi1 <= -1.65e-34) {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - ((cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	} else if (phi1 <= 3.25e-40) {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = atan2(t_2, (t_0 - (cos(phi2) * (sin(phi1) * t_1))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = cos(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -1.65e-34)
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(Float64(cos(phi2) * sin(phi1)) * t_1)));
	elseif (phi1 <= 3.25e-40)
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = atan(t_2, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * t_1))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -1.65e-34], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi1, 3.25e-40], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$2 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi1 < -1.64999999999999991e-34

   1. Initial program 76.1%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   if -1.64999999999999991e-34 < phi1 < 3.25e-40

   1. Initial program 88.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 98.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if 3.25e-40 < phi1

   1. Initial program 77.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 77.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 77.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -1.65 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.25 \cdot 10^{-40}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 86.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -3.8 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.5 \cdot 10^{-38}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
          (-
           (* (cos phi1) (sin phi2))
           (* (cos phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))))
   (if (<= phi1 -3.8e-34)
     t_0
     (if (<= phi1 3.5e-38)
       (atan2
        (*
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
         (cos phi2))
        (sin phi2))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2))))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -3.8e-34) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi1 <= 3.5e-38) {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2))))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -3.8e-34)
		tmp = t_0;
	elseif (phi1 <= 3.5e-38)
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -3.8e-34], t$95$0, If[LessEqual[phi1, 3.5e-38], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -3.8000000000000001e-34 or 3.5000000000000001e-38 < phi1

   1. Initial program 76.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \cos \phi_2\right), \left(\cos \color{blue}{\phi_1} \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_1 \cdot \color{blue}{\sin \phi_2} - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\right), \color{blue}{\left(\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_1, \sin \phi_2\right), \left(\color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right)} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \sin \phi_2\right), \left(\left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \phi_2}\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\left(\cos \phi_2 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \left(\cos \phi_2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right)\right) \]

      14. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \left(\sin \phi_1 \cdot \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \cos \color{blue}{\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. --lowering--.f64 76.9%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 76.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   if -3.8000000000000001e-34 < phi1 < 3.5000000000000001e-38

   1. Initial program 88.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 98.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -3.8 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 3.5 \cdot 10^{-38}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 78.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -1.05 \cdot 10^{+21}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 1.06 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_2 - \cos \lambda_1 \cdot t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_2 - \cos \lambda_2 \cdot t\_0}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2))))
        (t_2 (* (cos phi1) (sin phi2))))
   (if (<= lambda2 -1.05e+21)
     (atan2
      (*
       (fma
        (sin lambda1)
        (cos lambda2)
        (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
       (cos phi2))
      (sin phi2))
     (if (<= lambda2 1.06e-7)
       (atan2 t_1 (- t_2 (* (cos lambda1) t_0)))
       (atan2 t_1 (- t_2 (* (cos lambda2) t_0)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double tmp;
	if (lambda2 <= -1.05e+21) {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	} else if (lambda2 <= 1.06e-7) {
		tmp = atan2(t_1, (t_2 - (cos(lambda1) * t_0)));
	} else {
		tmp = atan2(t_1, (t_2 - (cos(lambda2) * t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	t_2 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -1.05e+21)
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	elseif (lambda2 <= 1.06e-7)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_2 - Float64(cos(lambda1) * t_0)));
	else
		tmp = atan(t_1, Float64(t_2 - Float64(cos(lambda2) * t_0)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -1.05e+21], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[lambda2, 1.06e-7], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$2 - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$2 - N[(N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if lambda2 < -1.05e21

   1. Initial program 64.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 82.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 82.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 67.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 67.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -1.05e21 < lambda2 < 1.06e-7

   1. Initial program 99.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]

   if 1.06e-7 < lambda2

   1. Initial program 62.0%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\cos \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \cos \lambda_2\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 62.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 62.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \color{blue}{\cos \lambda_2}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 82.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -1.05 \cdot 10^{+21}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 1.06 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_2 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 78.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -6 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 8.5 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (*
           (fma
            (sin lambda1)
            (cos lambda2)
            (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
           (cos phi2))
          (sin phi2))))
   (if (<= lambda2 -6e+20)
     t_0
     (if (<= lambda2 8.5e+39)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (-
         (* (cos phi1) (sin phi2))
         (* (cos lambda1) (* (cos phi2) (sin phi1)))))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	double tmp;
	if (lambda2 <= -6e+20) {
		tmp = t_0;
	} else if (lambda2 <= 8.5e+39) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (lambda2 <= -6e+20)
		tmp = t_0;
	elseif (lambda2 <= 8.5e+39)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(lambda1) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda2, -6e+20], t$95$0, If[LessEqual[lambda2, 8.5e+39], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda2 < -6e20 or 8.49999999999999971e39 < lambda2

   1. Initial program 60.9%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 77.5%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 77.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -6e20 < lambda2 < 8.49999999999999971e39

   1. Initial program 97.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 95.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_2 \leq -6 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_2 \leq 8.5 \cdot 10^{+39}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 70.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{t\_0 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -245000:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 4.5 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1
         (atan2
          (* (sin lambda1) (cos phi2))
          (- t_0 (* (cos lambda1) (* (cos phi2) (sin phi1)))))))
   (if (<= lambda1 -245000.0)
     t_1
     (if (<= lambda1 4.5e+32)
       (atan2
        (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))
        (- t_0 (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -245000.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (lambda1 <= 4.5e+32) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))))
    if (lambda1 <= (-245000.0d0)) then
        tmp = t_1
    else if (lambda1 <= 4.5d+32) then
        tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.atan2((Math.sin(lambda1) * Math.cos(phi2)), (t_0 - (Math.cos(lambda1) * (Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1)))));
	double tmp;
	if (lambda1 <= -245000.0) {
		tmp = t_1;
	} else if (lambda1 <= 4.5e+32) {
		tmp = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.atan2((math.sin(lambda1) * math.cos(phi2)), (t_0 - (math.cos(lambda1) * (math.cos(phi2) * math.sin(phi1)))))
	tmp = 0
	if lambda1 <= -245000.0:
		tmp = t_1
	elif lambda1 <= 4.5e+32:
		tmp = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = atan(Float64(sin(lambda1) * cos(phi2)), Float64(t_0 - Float64(cos(lambda1) * Float64(cos(phi2) * sin(phi1)))))
	tmp = 0.0
	if (lambda1 <= -245000.0)
		tmp = t_1;
	elseif (lambda1 <= 4.5e+32)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2))), Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = atan2((sin(lambda1) * cos(phi2)), (t_0 - (cos(lambda1) * (cos(phi2) * sin(phi1)))));
	tmp = 0.0;
	if (lambda1 <= -245000.0)
		tmp = t_1;
	elseif (lambda1 <= 4.5e+32)
		tmp = atan2((cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))), (t_0 - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[lambda1], $MachinePrecision] * N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[lambda1, -245000.0], t$95$1, If[LessEqual[lambda1, 4.5e+32], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if lambda1 < -245000 or 4.5000000000000003e32 < lambda1

   1. Initial program 65.7%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 65.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]

   6. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 64.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \lambda_1} \]

   if -245000 < lambda1 < 4.5000000000000003e32

   1. Initial program 97.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 83.1%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\lambda_1 \leq -245000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\lambda_1 \leq 4.5 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1 \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \lambda_1 \cdot \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 70.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\\ t_2 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4250000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_2}{t\_0 - t\_1}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 6.8 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_2 \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}{t\_0 - t\_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin phi1)))
        (t_2 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi2 -4250000000.0)
     (atan2 (* (cos phi2) t_2) (- t_0 t_1))
     (if (<= phi2 6.8e-5)
       (atan2
        (*
         t_2
         (+
          (+ 1.0 (* -0.5 (* phi2 phi2)))
          (* (* phi2 phi2) (* (* phi2 phi2) 0.041666666666666664))))
        (- t_0 (* t_1 (cos (- lambda1 lambda2)))))
       (atan2
        (*
         (fma
          (sin lambda1)
          (cos lambda2)
          (* (sin lambda2) (- 0.0 (cos lambda1))))
         (cos phi2))
        (sin phi2))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin(phi1);
	double t_2 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -4250000000.0) {
		tmp = atan2((cos(phi2) * t_2), (t_0 - t_1));
	} else if (phi2 <= 6.8e-5) {
		tmp = atan2((t_2 * ((1.0 + (-0.5 * (phi2 * phi2))) + ((phi2 * phi2) * ((phi2 * phi2) * 0.041666666666666664)))), (t_0 - (t_1 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = atan2((fma(sin(lambda1), cos(lambda2), (sin(lambda2) * (0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(phi1))
	t_2 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -4250000000.0)
		tmp = atan(Float64(cos(phi2) * t_2), Float64(t_0 - t_1));
	elseif (phi2 <= 6.8e-5)
		tmp = atan(Float64(t_2 * Float64(Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(phi2 * phi2))) + Float64(Float64(phi2 * phi2) * Float64(Float64(phi2 * phi2) * 0.041666666666666664)))), Float64(t_0 - Float64(t_1 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = atan(Float64(fma(sin(lambda1), cos(lambda2), Float64(sin(lambda2) * Float64(0.0 - cos(lambda1)))) * cos(phi2)), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -4250000000.0], N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[phi2, 6.8e-5], N[ArcTan[N[(t$95$2 * N[(N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(t$95$1 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[(N[(N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] * N[Cos[lambda2], $MachinePrecision] + N[(N[Sin[lambda2], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Cos[lambda1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if phi2 < -4.25e9

   1. Initial program 85.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 78.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 62.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 62.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}} \]

   if -4.25e9 < phi2 < 6.7999999999999999e-5

   1. Initial program 83.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({\phi_2}^{2} \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) + \left({\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {\phi_2}^{2} + 1\right) + {\phi_2}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   if 6.7999999999999999e-5 < phi2

   1. Initial program 72.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. fmm-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. fma-lowering-fma.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \cos \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\sin \lambda_2 \cdot \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\sin \lambda_2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \lambda_2, \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos \lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \cos \lambda_1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 85.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 85.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 68.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_2\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{cos.f64}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 68.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 73.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4250000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 6.8 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \left(\left(1 + -0.5 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right) + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot \left(\left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\mathsf{fma}\left(\sin \lambda_1, \cos \lambda_2, \sin \lambda_2 \cdot \left(0 - \cos \lambda_1\right)\right) \cdot \cos \phi_2}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 69.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot t\_0}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.00082:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 7.2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_1
         (atan2
          (* (cos phi2) t_0)
          (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (cos phi2) (sin phi1))))))
   (if (<= phi2 -0.00082)
     t_1
     (if (<= phi2 7.2e-5)
       (atan2
        t_0
        (- (* phi2 (cos phi1)) (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.00082) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 7.2e-5) {
		tmp = atan2(t_0, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * sin(phi1))))
    if (phi2 <= (-0.00082d0)) then
        tmp = t_1
    else if (phi2 <= 7.2d-5) then
        tmp = atan2(t_0, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * t_0), ((Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2)) - (Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.00082) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi2 <= 7.2e-5) {
		tmp = Math.atan2(t_0, ((phi2 * Math.cos(phi1)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.atan2((math.cos(phi2) * t_0), ((math.cos(phi1) * math.sin(phi2)) - (math.cos(phi2) * math.sin(phi1))))
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.00082:
		tmp = t_1
	elif phi2 <= 7.2e-5:
		tmp = math.atan2(t_0, ((phi2 * math.cos(phi1)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = atan(Float64(cos(phi2) * t_0), Float64(Float64(cos(phi1) * sin(phi2)) - Float64(cos(phi2) * sin(phi1))))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.00082)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 7.2e-5)
		tmp = atan(t_0, Float64(Float64(phi2 * cos(phi1)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = atan2((cos(phi2) * t_0), ((cos(phi1) * sin(phi2)) - (cos(phi2) * sin(phi1))));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.00082)
		tmp = t_1;
	elseif (phi2 <= 7.2e-5)
		tmp = atan2(t_0, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.00082], t$95$1, If[LessEqual[phi2, 7.2e-5], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[(phi2 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -8.1999999999999998e-4 or 7.20000000000000018e-5 < phi2

   1. Initial program 80.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 74.1%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 62.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 62.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}} \]

   if -8.1999999999999998e-4 < phi2 < 7.20000000000000018e-5

   1. Initial program 83.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 83.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \cos \phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      13. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 83.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.00082:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 7.2 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 67.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2\\ t_1 := \cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4250000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{t\_0 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (cos phi1) (sin phi2)))
        (t_1 (* (cos phi2) (sin (- lambda1 lambda2)))))
   (if (<= phi2 -4250000000.0)
     (atan2 t_1 (- t_0 (* (cos phi2) (sin phi1))))
     (atan2 t_1 (- t_0 (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2))))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	double t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -4250000000.0) {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * sin(phi1))));
	} else {
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(phi1) * sin(phi2)
    t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi2 <= (-4250000000.0d0)) then
        tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * sin(phi1))))
    else
        tmp = atan2(t_1, (t_0 - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.cos(phi1) * Math.sin(phi2);
	double t_1 = Math.cos(phi2) * Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -4250000000.0) {
		tmp = Math.atan2(t_1, (t_0 - (Math.cos(phi2) * Math.sin(phi1))));
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_1, (t_0 - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.cos(phi1) * math.sin(phi2)
	t_1 = math.cos(phi2) * math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -4250000000.0:
		tmp = math.atan2(t_1, (t_0 - (math.cos(phi2) * math.sin(phi1))))
	else:
		tmp = math.atan2(t_1, (t_0 - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = Float64(cos(phi1) * sin(phi2))
	t_1 = Float64(cos(phi2) * sin(Float64(lambda1 - lambda2)))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -4250000000.0)
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(cos(phi2) * sin(phi1))));
	else
		tmp = atan(t_1, Float64(t_0 - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = cos(phi1) * sin(phi2);
	t_1 = cos(phi2) * sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -4250000000.0)
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (cos(phi2) * sin(phi1))));
	else
		tmp = atan2(t_1, (t_0 - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[phi1], $MachinePrecision] * N[Sin[phi2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -4250000000.0], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$1 / N[(t$95$0 - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -4.25e9

   1. Initial program 85.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in lambda1 around inf

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\lambda_1}\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 78.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \color{blue}{\lambda_1}} \]

   6. Taylor expanded in lambda1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \phi_2, \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 62.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 62.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}} \]

   if -4.25e9 < phi2

   1. Initial program 80.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 75.0%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 75.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -4250000000:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \cos \phi_2 \cdot \sin \phi_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 64.4% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\\ t_1 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_2 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot \frac{1}{t\_0}\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.00085:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.000165:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_1}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_2\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (+ lambda1 lambda2)))
        (t_1 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_2 (atan2 (* (cos phi2) (* (* t_1 t_0) (/ 1.0 t_0))) (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -0.00085)
     t_2
     (if (<= phi2 0.000165)
       (atan2
        t_1
        (- (* phi2 (cos phi1)) (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))
       t_2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 + lambda2));
	double t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = atan2((cos(phi2) * ((t_1 * t_0) * (1.0 / t_0))), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.00085) {
		tmp = t_2;
	} else if (phi2 <= 0.000165) {
		tmp = atan2(t_1, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 + lambda2))
    t_1 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_2 = atan2((cos(phi2) * ((t_1 * t_0) * (1.0d0 / t_0))), sin(phi2))
    if (phi2 <= (-0.00085d0)) then
        tmp = t_2
    else if (phi2 <= 0.000165d0) then
        tmp = atan2(t_1, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    else
        tmp = t_2
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 + lambda2));
	double t_1 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_2 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * ((t_1 * t_0) * (1.0 / t_0))), Math.sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.00085) {
		tmp = t_2;
	} else if (phi2 <= 0.000165) {
		tmp = Math.atan2(t_1, ((phi2 * Math.cos(phi1)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_2;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 + lambda2))
	t_1 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_2 = math.atan2((math.cos(phi2) * ((t_1 * t_0) * (1.0 / t_0))), math.sin(phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.00085:
		tmp = t_2
	elif phi2 <= 0.000165:
		tmp = math.atan2(t_1, ((phi2 * math.cos(phi1)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	else:
		tmp = t_2
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 + lambda2))
	t_1 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_2 = atan(Float64(cos(phi2) * Float64(Float64(t_1 * t_0) * Float64(1.0 / t_0))), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.00085)
		tmp = t_2;
	elseif (phi2 <= 0.000165)
		tmp = atan(t_1, Float64(Float64(phi2 * cos(phi1)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 + lambda2));
	t_1 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_2 = atan2((cos(phi2) * ((t_1 * t_0) * (1.0 / t_0))), sin(phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.00085)
		tmp = t_2;
	elseif (phi2 <= 0.000165)
		tmp = atan2(t_1, ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_2;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 + lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.00085], t$95$2, If[LessEqual[phi2, 0.000165], N[ArcTan[t$95$1 / N[(N[(phi2 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$2]]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -8.49999999999999953e-4 or 1.65e-4 < phi2

   1. Initial program 80.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sin-diff N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 - \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. sin-sum N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) \cdot \left(\sin \lambda_1 \cdot \cos \lambda_2\right) - \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right) \cdot \left(\cos \lambda_1 \cdot \sin \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 77.0%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\left(\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 51.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 51.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\left(\left(\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -8.49999999999999953e-4 < phi2 < 1.65e-4

   1. Initial program 83.4%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 83.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \cos \phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      13. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 83.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 66.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.00085:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.000165:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \left(\left(\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right) \cdot \frac{1}{\sin \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)}\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 53.6% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.00085:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.145:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (sin
            (*
             (- (* lambda1 lambda1) (* lambda2 lambda2))
             (/ 1.0 (+ lambda1 lambda2)))))
          (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -0.00085)
     t_0
     (if (<= phi2 0.145)
       (atan2
        (sin (- lambda1 lambda2))
        (- (* phi2 (cos phi1)) (* (sin phi1) (cos (- lambda2 lambda1)))))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.00085) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 0.145) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0d0 / (lambda1 + lambda2))))), sin(phi2))
    if (phi2 <= (-0.00085d0)) then
        tmp = t_0
    else if (phi2 <= 0.145d0) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), Math.sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.00085) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 0.145) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * Math.cos(phi1)) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda2 - lambda1)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), math.sin(phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.00085:
		tmp = t_0
	elif phi2 <= 0.145:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * math.cos(phi1)) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda2 - lambda1)))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(Float64(Float64(lambda1 * lambda1) - Float64(lambda2 * lambda2)) * Float64(1.0 / Float64(lambda1 + lambda2))))), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.00085)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 0.145)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(Float64(phi2 * cos(phi1)) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), sin(phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.00085)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 0.145)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), ((phi2 * cos(phi1)) - (sin(phi1) * cos((lambda2 - lambda1)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(N[(lambda1 * lambda1), $MachinePrecision] - N[(lambda2 * lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(lambda1 + lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.00085], t$95$0, If[LessEqual[phi2, 0.145], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[(phi2 * N[Cos[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -8.49999999999999953e-4 or 0.14499999999999999 < phi2

   1. Initial program 80.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 46.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 46.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 33.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 33.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -8.49999999999999953e-4 < phi2 < 0.14499999999999999

   1. Initial program 83.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\phi_2 \cdot \cos \phi_1\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \cos \phi_1\right), \left(\color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\sin \phi_1}\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      6. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      8. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      10. cos-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \sin \color{blue}{\phi_1}\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      13. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      14. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \sin \phi_1\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 83.4%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \sin \phi_1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.00085:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.145:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \cos \phi_1 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 53.4% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.00085:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.175:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (sin
            (*
             (- (* lambda1 lambda1) (* lambda2 lambda2))
             (/ 1.0 (+ lambda1 lambda2)))))
          (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -0.00085)
     t_0
     (if (<= phi2 0.175)
       (atan2
        (sin (- lambda1 lambda2))
        (- (sin phi2) (* (sin phi1) (cos (- lambda1 lambda2)))))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.00085) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 0.175) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (sin(phi2) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0d0 / (lambda1 + lambda2))))), sin(phi2))
    if (phi2 <= (-0.00085d0)) then
        tmp = t_0
    else if (phi2 <= 0.175d0) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (sin(phi2) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), Math.sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -0.00085) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 0.175) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.sin(phi2) - (Math.sin(phi1) * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), math.sin(phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -0.00085:
		tmp = t_0
	elif phi2 <= 0.175:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.sin(phi2) - (math.sin(phi1) * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(Float64(Float64(lambda1 * lambda1) - Float64(lambda2 * lambda2)) * Float64(1.0 / Float64(lambda1 + lambda2))))), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -0.00085)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 0.175)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(sin(phi2) - Float64(sin(phi1) * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), sin(phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -0.00085)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 0.175)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (sin(phi2) - (sin(phi1) * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(N[(lambda1 * lambda1), $MachinePrecision] - N[(lambda2 * lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(lambda1 + lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -0.00085], t$95$0, If[LessEqual[phi2, 0.175], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(N[Sin[phi1], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -8.49999999999999953e-4 or 0.17499999999999999 < phi2

   1. Initial program 80.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 46.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 46.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 33.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 33.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -8.49999999999999953e-4 < phi2 < 0.17499999999999999

   1. Initial program 83.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 83.4%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.4%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   9. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 82.8%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 82.8%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2} - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 56.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -0.00085:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.175:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \sin \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 24: 51.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.55 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.0105:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (atan2
          (*
           (cos phi2)
           (sin
            (*
             (- (* lambda1 lambda1) (* lambda2 lambda2))
             (/ 1.0 (+ lambda1 lambda2)))))
          (sin phi2))))
   (if (<= phi2 -1.55e-6)
     t_0
     (if (<= phi2 0.0105)
       (atan2
        (sin (- lambda1 lambda2))
        (* (cos (- lambda2 lambda1)) (- 0.0 (sin phi1))))
       t_0))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.55e-6) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 0.0105) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0d0 / (lambda1 + lambda2))))), sin(phi2))
    if (phi2 <= (-1.55d-6)) then
        tmp = t_0
    else if (phi2 <= 0.0105d0) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.atan2((Math.cos(phi2) * Math.sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), Math.sin(phi2));
	double tmp;
	if (phi2 <= -1.55e-6) {
		tmp = t_0;
	} else if (phi2 <= 0.0105) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.atan2((math.cos(phi2) * math.sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), math.sin(phi2))
	tmp = 0
	if phi2 <= -1.55e-6:
		tmp = t_0
	elif phi2 <= 0.0105:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - math.sin(phi1))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan(Float64(cos(phi2) * sin(Float64(Float64(Float64(lambda1 * lambda1) - Float64(lambda2 * lambda2)) * Float64(1.0 / Float64(lambda1 + lambda2))))), sin(phi2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= -1.55e-6)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 0.0105)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(Float64(lambda2 - lambda1)) * Float64(0.0 - sin(phi1))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = atan2((cos(phi2) * sin((((lambda1 * lambda1) - (lambda2 * lambda2)) * (1.0 / (lambda1 + lambda2))))), sin(phi2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= -1.55e-6)
		tmp = t_0;
	elseif (phi2 <= 0.0105)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[ArcTan[N[(N[Cos[phi2], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(N[(N[(lambda1 * lambda1), $MachinePrecision] - N[(lambda2 * lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(lambda1 + lambda2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, -1.55e-6], t$95$0, If[LessEqual[phi2, 0.0105], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < -1.55e-6 or 0.0105000000000000007 < phi2

   1. Initial program 80.5%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\phi_1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \left(\lambda_2 \cdot \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \left(\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 46.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 46.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \color{blue}{\left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)} \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   5. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 33.7%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\lambda_1, \lambda_1\right), \mathsf{*.f64}\left(\lambda_2, \lambda_2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   7. Simplified 33.7%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right) \cdot \cos \phi_2}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   if -1.55e-6 < phi2 < 0.0105000000000000007

   1. Initial program 83.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      5. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      7. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      9. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      12. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 81.5%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 81.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 55.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq -1.55 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)}{\sin \phi_2}\\ \mathbf{elif}\;\phi_2 \leq 0.0105:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\cos \phi_2 \cdot \sin \left(\left(\lambda_1 \cdot \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \lambda_2\right) \cdot \frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 25: 48.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.8 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 140:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\sin \phi_2 - \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2)))
        (t_1 (atan2 t_0 (* (cos (- lambda2 lambda1)) (- 0.0 (sin phi1))))))
   (if (<= phi1 -5.8e-7)
     t_1
     (if (<= phi1 140.0)
       (atan2 t_0 (- (sin phi2) (* phi1 (cos (- lambda1 lambda2)))))
       t_1))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = atan2(t_0, (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.8e-7) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi1 <= 140.0) {
		tmp = atan2(t_0, (sin(phi2) - (phi1 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    t_1 = atan2(t_0, (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
    if (phi1 <= (-5.8d-7)) then
        tmp = t_1
    else if (phi1 <= 140.0d0) then
        tmp = atan2(t_0, (sin(phi2) - (phi1 * cos((lambda1 - lambda2)))))
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double t_1 = Math.atan2(t_0, (Math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
	double tmp;
	if (phi1 <= -5.8e-7) {
		tmp = t_1;
	} else if (phi1 <= 140.0) {
		tmp = Math.atan2(t_0, (Math.sin(phi2) - (phi1 * Math.cos((lambda1 - lambda2)))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	t_1 = math.atan2(t_0, (math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - math.sin(phi1))))
	tmp = 0
	if phi1 <= -5.8e-7:
		tmp = t_1
	elif phi1 <= 140.0:
		tmp = math.atan2(t_0, (math.sin(phi2) - (phi1 * math.cos((lambda1 - lambda2)))))
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	t_1 = atan(t_0, Float64(cos(Float64(lambda2 - lambda1)) * Float64(0.0 - sin(phi1))))
	tmp = 0.0
	if (phi1 <= -5.8e-7)
		tmp = t_1;
	elseif (phi1 <= 140.0)
		tmp = atan(t_0, Float64(sin(phi2) - Float64(phi1 * cos(Float64(lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	t_1 = atan2(t_0, (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
	tmp = 0.0;
	if (phi1 <= -5.8e-7)
		tmp = t_1;
	elseif (phi1 <= 140.0)
		tmp = atan2(t_0, (sin(phi2) - (phi1 * cos((lambda1 - lambda2)))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi1, -5.8e-7], t$95$1, If[LessEqual[phi1, 140.0], N[ArcTan[t$95$0 / N[(N[Sin[phi2], $MachinePrecision] - N[(phi1 * N[Cos[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi1 < -5.7999999999999995e-7 or 140 < phi1

   1. Initial program 76.3%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 44.9%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 44.9%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      5. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      7. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      9. cos-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      10. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

      12. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

      15. sin-lowering-sin.f64 43.3%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), -1\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 43.3%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}} \]

   if -5.7999999999999995e-7 < phi1 < 140

   1. Initial program 87.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 51.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 51.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\sin \phi_1}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 51.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 51.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \color{blue}{\sin \phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   9. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_2 + -1 \cdot \left(\phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\sin \phi_2 - \color{blue}{\phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\sin \phi_2, \color{blue}{\left(\phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)}\right)\right) \]

       4. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \left(\color{blue}{\phi_1} \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \color{blue}{\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\right)\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 51.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_1, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 51.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2 - \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 47.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_1 \leq -5.8 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \mathbf{elif}\;\phi_1 \leq 140:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2 - \phi_1 \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 26: 44.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2
  (sin (- lambda1 lambda2))
  (* (cos (- lambda2 lambda1)) (- 0.0 (sin phi1)))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0d0 - sin(phi1))))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), (Math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - Math.sin(phi1))));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), (math.cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - math.sin(phi1))))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), Float64(cos(Float64(lambda2 - lambda1)) * Float64(0.0 - sin(phi1))))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), (cos((lambda2 - lambda1)) * (0.0 - sin(phi1))));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[N[(lambda2 - lambda1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.0 - N[Sin[phi1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.9%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 48.0%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 48.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

6. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \sin \phi_1\right) \cdot \color{blue}{-1}\right)\right) \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right), \color{blue}{\left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_1 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

   5. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \lambda_1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

   7. distribute-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \lambda_1 + \lambda_2\right)\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\mathsf{neg}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

   9. cos-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right), \left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + -1 \cdot \lambda_1\right)\right), \left(\color{blue}{\sin \phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

   11. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 + \left(\mathsf{neg}\left(\lambda_1\right)\right)\right)\right), \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)\right)\right) \]

   12. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

   13. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \left(\sin \color{blue}{\phi_1} \cdot -1\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \phi_1, \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   15. sin-lowering-sin.f64 44.0%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_2, \lambda_1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), -1\right)\right)\right) \]

8. Simplified 44.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(\sin \phi_1 \cdot -1\right)}} \]

9. Final simplification 44.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\cos \left(\lambda_2 - \lambda_1\right) \cdot \left(0 - \sin \phi_1\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 27: 31.5% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq 7.8:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\sin \phi_2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (if (<= phi2 7.8)
   (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) phi2)
   (atan2 (sin lambda1) (sin phi2))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= 7.8) {
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = atan2(sin(lambda1), sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: tmp
    if (phi2 <= 7.8d0) then
        tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2)
    else
        tmp = atan2(sin(lambda1), sin(phi2))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double tmp;
	if (phi2 <= 7.8) {
		tmp = Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
	} else {
		tmp = Math.atan2(Math.sin(lambda1), Math.sin(phi2));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	tmp = 0
	if phi2 <= 7.8:
		tmp = math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2)
	else:
		tmp = math.atan2(math.sin(lambda1), math.sin(phi2))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= 7.8)
		tmp = atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan(sin(lambda1), sin(phi2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= 7.8)
		tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
	else
		tmp = atan2(sin(lambda1), sin(phi2));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := If[LessEqual[phi2, 7.8], N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision], N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < 7.79999999999999982

   1. Initial program 84.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 56.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 56.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 36.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 36.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 36.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   if 7.79999999999999982 < phi2

   1. Initial program 71.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 15.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 15.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 14.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 14.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in lambda2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sin-lowering-sin.f64 14.2%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{\phi_2}\right)\right) \]

   11. Simplified 14.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\sin \phi_2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 28: 31.9% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\sin \phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) (sin phi2)))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), Math.sin(phi2));
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), math.sin(phi2))

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), sin(phi2))
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), sin(phi2));
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sin[phi2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.9%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 48.0%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 48.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 31.7%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

8. Simplified 31.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 29: 31.8% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\\ \mathbf{if}\;\phi_2 \leq 52:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{t\_0}{\phi_2 \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sin (- lambda1 lambda2))))
   (if (<= phi2 52.0)
     (atan2 t_0 phi2)
     (atan2 t_0 (* phi2 (+ 1.0 (* (* phi2 phi2) -0.16666666666666666)))))))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= 52.0) {
		tmp = atan2(t_0, phi2);
	} else {
		tmp = atan2(t_0, (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin((lambda1 - lambda2))
    if (phi2 <= 52.0d0) then
        tmp = atan2(t_0, phi2)
    else
        tmp = atan2(t_0, (phi2 * (1.0d0 + ((phi2 * phi2) * (-0.16666666666666666d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	double t_0 = Math.sin((lambda1 - lambda2));
	double tmp;
	if (phi2 <= 52.0) {
		tmp = Math.atan2(t_0, phi2);
	} else {
		tmp = Math.atan2(t_0, (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	t_0 = math.sin((lambda1 - lambda2))
	tmp = 0
	if phi2 <= 52.0:
		tmp = math.atan2(t_0, phi2)
	else:
		tmp = math.atan2(t_0, (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))))
	return tmp

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin(Float64(lambda1 - lambda2))
	tmp = 0.0
	if (phi2 <= 52.0)
		tmp = atan(t_0, phi2);
	else
		tmp = atan(t_0, Float64(phi2 * Float64(1.0 + Float64(Float64(phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	t_0 = sin((lambda1 - lambda2));
	tmp = 0.0;
	if (phi2 <= 52.0)
		tmp = atan2(t_0, phi2);
	else
		tmp = atan2(t_0, (phi2 * (1.0 + ((phi2 * phi2) * -0.16666666666666666))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := Block[{t$95$0 = N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[phi2, 52.0], N[ArcTan[t$95$0 / phi2], $MachinePrecision], N[ArcTan[t$95$0 / N[(phi2 * N[(1.0 + N[(N[(phi2 * phi2), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if phi2 < 52

   1. Initial program 84.6%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 56.6%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 56.6%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 36.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 36.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 36.2%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

   if 52 < phi2

   1. Initial program 71.8%

      \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f64 15.2%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 15.2%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

   6. Taylor expanded in phi1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 14.5%

         \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

   8. Simplified 14.5%

      \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

   9. Taylor expanded in phi2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\left(\phi_2 \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)\right)}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\phi_2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\phi_2 \cdot \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 12.0%

          \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\phi_2, \color{blue}{\phi_2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 12.0%

       \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2 \cdot \left(1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 31.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\phi_2 \leq 52:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2 \cdot \left(1 + \left(\phi_2 \cdot \phi_2\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 30: 29.1% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin (- lambda1 lambda2)) phi2))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2)
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin((lambda1 - lambda2)), phi2)

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(Float64(lambda1 - lambda2)), phi2)
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin((lambda1 - lambda2)), phi2);
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[N[(lambda1 - lambda2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.9%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 48.0%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 48.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 31.7%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

8. Simplified 31.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

9. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 29.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 31: 22.3% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan^{-1}_* \frac{\sin \lambda_1}{\phi_2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
 :precision binary64
 (atan2 (sin lambda1) phi2))

C

double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return atan2(sin(lambda1), phi2);
}

Fortran

real(8) function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
    real(8), intent (in) :: lambda1
    real(8), intent (in) :: lambda2
    real(8), intent (in) :: phi1
    real(8), intent (in) :: phi2
    code = atan2(sin(lambda1), phi2)
end function

Java

public static double code(double lambda1, double lambda2, double phi1, double phi2) {
	return Math.atan2(Math.sin(lambda1), phi2);
}

Python

def code(lambda1, lambda2, phi1, phi2):
	return math.atan2(math.sin(lambda1), phi2)

Julia

function code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	return atan(sin(lambda1), phi2)
end

MATLAB

function tmp = code(lambda1, lambda2, phi1, phi2)
	tmp = atan2(sin(lambda1), phi2);
end

Wolfram

code[lambda1_, lambda2_, phi1_, phi2_] := N[ArcTan[N[Sin[lambda1], $MachinePrecision] / phi2], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 81.9%

   \[\tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right) \cdot \cos \phi_2}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\lambda_1 - \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 48.0%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{cos.f64}\left(\phi_1\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\phi_1\right), \mathsf{cos.f64}\left(\phi_2\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 48.0%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}}{\cos \phi_1 \cdot \sin \phi_2 - \left(\sin \phi_1 \cdot \cos \phi_2\right) \cdot \cos \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)} \]

6. Taylor expanded in phi1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\sin \phi_2}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 31.7%

      \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\phi_2\right)\right) \]

8. Simplified 31.7%

   \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\sin \phi_2}} \]

9. Taylor expanded in phi2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\lambda_1, \lambda_2\right)\right), \color{blue}{\phi_2}\right) \]
10. Step-by-step derivation

11. Simplified 29.5%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\sin \left(\lambda_1 - \lambda_2\right)}{\color{blue}{\phi_2}} \]

12. Taylor expanded in lambda2 around 0

    \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\color{blue}{\sin \lambda_1}, \phi_2\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. sin-lowering-sin.f64 21.4%

       \[\leadsto \mathsf{atan2.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\lambda_1\right), \phi_2\right) \]

14. Simplified 21.4%

    \[\leadsto \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{\sin \lambda_1}}{\phi_2} \]
15. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (lambda1 lambda2 phi1 phi2)
  :name "Bearing on a great circle"
  :precision binary64
  (atan2 (* (sin (- lambda1 lambda2)) (cos phi2)) (- (* (cos phi1) (sin phi2)) (* (* (sin phi1) (cos phi2)) (cos (- lambda1 lambda2))))))