Cubic critical, wide range

Percentage Accurate: 18.1% → 99.9%

Time: 18.5s

Alternatives: 12

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < a \land a < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < b \land b < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < c \land c < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 18.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0d0 * a) * c)))) / (3.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(3.0 * a) * c)))) / Float64(3.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((3.0 * a) * c)))) / (3.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(3.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(3.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{\left(0 - b\right) - \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ c (- (- 0.0 b) (sqrt (+ (* b b) (* -3.0 (* c a)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / ((0.0 - b) - sqrt(((b * b) + (-3.0 * (c * a)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / ((0.0d0 - b) - sqrt(((b * b) + ((-3.0d0) * (c * a)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / ((0.0 - b) - Math.sqrt(((b * b) + (-3.0 * (c * a)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / ((0.0 - b) - math.sqrt(((b * b) + (-3.0 * (c * a)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(Float64(0.0 - b) - sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(-3.0 * Float64(c * a))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / ((0.0 - b) - sqrt(((b * b) + (-3.0 * (c * a)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(N[(0.0 - b), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(-3.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b\right)} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} - b\right) \]

   4. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}} \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 17.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right)}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{*.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -3}}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot -3}{3}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c \cdot -3}{3}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right) \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-3}{3}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right)\right) \]

    7. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right)\right)\right) \]

    8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(-3 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -1}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -1\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}\right)}\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}\right)\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}\right)}\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + \left(c \cdot a\right) \cdot -3}\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot c\right) \cdot -3}\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right)\right) \]

    9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot a\right) \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(-3 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-c}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}} \]

14. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \frac{c}{\left(0 - b\right) - \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.9% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := b \cdot \left(b \cdot b\right)\\ \frac{\left(\frac{c \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375\right)}{b \cdot b} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \frac{\left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot 6.328125\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{t\_0 \cdot t\_0} + \frac{\left(\left(c \cdot a\right) \cdot -0.5625\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot t\_0}\right)\right) + c \cdot -0.5}{b} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* b (* b b))))
   (/
    (+
     (+
      (/ (* c (* (* c a) -0.375)) (* b b))
      (+
       (*
        -0.16666666666666666
        (/ (* (* (* c c) (* (* c c) 6.328125)) (* a (* a a))) (* t_0 t_0)))
       (/ (* (* (* c a) -0.5625) (* c (* c a))) (* b t_0))))
     (* c -0.5))
    b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * b);
	return ((((c * ((c * a) * -0.375)) / (b * b)) + ((-0.16666666666666666 * ((((c * c) * ((c * c) * 6.328125)) * (a * (a * a))) / (t_0 * t_0))) + ((((c * a) * -0.5625) * (c * (c * a))) / (b * t_0)))) + (c * -0.5)) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = b * (b * b)
    code = ((((c * ((c * a) * (-0.375d0))) / (b * b)) + (((-0.16666666666666666d0) * ((((c * c) * ((c * c) * 6.328125d0)) * (a * (a * a))) / (t_0 * t_0))) + ((((c * a) * (-0.5625d0)) * (c * (c * a))) / (b * t_0)))) + (c * (-0.5d0))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = b * (b * b);
	return ((((c * ((c * a) * -0.375)) / (b * b)) + ((-0.16666666666666666 * ((((c * c) * ((c * c) * 6.328125)) * (a * (a * a))) / (t_0 * t_0))) + ((((c * a) * -0.5625) * (c * (c * a))) / (b * t_0)))) + (c * -0.5)) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = b * (b * b)
	return ((((c * ((c * a) * -0.375)) / (b * b)) + ((-0.16666666666666666 * ((((c * c) * ((c * c) * 6.328125)) * (a * (a * a))) / (t_0 * t_0))) + ((((c * a) * -0.5625) * (c * (c * a))) / (b * t_0)))) + (c * -0.5)) / b

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(b * Float64(b * b))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(c * Float64(Float64(c * a) * -0.375)) / Float64(b * b)) + Float64(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(Float64(Float64(Float64(c * c) * Float64(Float64(c * c) * 6.328125)) * Float64(a * Float64(a * a))) / Float64(t_0 * t_0))) + Float64(Float64(Float64(Float64(c * a) * -0.5625) * Float64(c * Float64(c * a))) / Float64(b * t_0)))) + Float64(c * -0.5)) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = b * (b * b);
	tmp = ((((c * ((c * a) * -0.375)) / (b * b)) + ((-0.16666666666666666 * ((((c * c) * ((c * c) * 6.328125)) * (a * (a * a))) / (t_0 * t_0))) + ((((c * a) * -0.5625) * (c * (c * a))) / (b * t_0)))) + (c * -0.5)) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(N[(c * N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * -0.375), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(N[(N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * 6.328125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * -0.5625), $MachinePrecision] * N[(c * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(c * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot c + \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{-1}{6} \cdot \frac{\frac{81}{64} \cdot \left({a}^{4} \cdot {c}^{4}\right) + \frac{81}{16} \cdot \left({a}^{4} \cdot {c}^{4}\right)}{a \cdot {b}^{6}}\right)\right)}{b}} \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5 + \left(\left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + -0.16666666666666666 \cdot \frac{{a}^{4} \cdot \left({c}^{4} \cdot 6.328125\right)}{a \cdot {b}^{6}}\right) + \frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)}{{b}^{4}}\right)}{b}} \]

9. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{c \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375\right)}{b \cdot b} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \frac{\left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot 6.328125\right)\right) \cdot \left(\left(a \cdot a\right) \cdot a\right)}{\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{\left(-0.5625 \cdot \left(c \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}\right)\right) + c \cdot -0.5}}{b} \]

10. Final simplification 98.1%

    \[\leadsto \frac{\left(\frac{c \cdot \left(\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375\right)}{b \cdot b} + \left(-0.16666666666666666 \cdot \frac{\left(\left(c \cdot c\right) \cdot \left(\left(c \cdot c\right) \cdot 6.328125\right)\right) \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} + \frac{\left(\left(c \cdot a\right) \cdot -0.5625\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}\right)\right) + c \cdot -0.5}{b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.2% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{c \cdot \left(\frac{-1.125}{b} \cdot \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{0 - b \cdot b} - -1.5 \cdot \frac{a}{b}\right) - b \cdot 2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  c
  (-
   (*
    c
    (- (* (/ -1.125 b) (/ (* c (* a a)) (- 0.0 (* b b)))) (* -1.5 (/ a b))))
   (* b 2.0))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / ((c * (((-1.125 / b) * ((c * (a * a)) / (0.0 - (b * b)))) - (-1.5 * (a / b)))) - (b * 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / ((c * ((((-1.125d0) / b) * ((c * (a * a)) / (0.0d0 - (b * b)))) - ((-1.5d0) * (a / b)))) - (b * 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / ((c * (((-1.125 / b) * ((c * (a * a)) / (0.0 - (b * b)))) - (-1.5 * (a / b)))) - (b * 2.0));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / ((c * (((-1.125 / b) * ((c * (a * a)) / (0.0 - (b * b)))) - (-1.5 * (a / b)))) - (b * 2.0))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(Float64(c * Float64(Float64(Float64(-1.125 / b) * Float64(Float64(c * Float64(a * a)) / Float64(0.0 - Float64(b * b)))) - Float64(-1.5 * Float64(a / b)))) - Float64(b * 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / ((c * (((-1.125 / b) * ((c * (a * a)) / (0.0 - (b * b)))) - (-1.5 * (a / b)))) - (b * 2.0));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(N[(c * N[(N[(N[(-1.125 / b), $MachinePrecision] * N[(N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.0 - N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-1.5 * N[(a / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(b * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b\right)} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} - b\right) \]

   4. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}} \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 17.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right)}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{*.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -3}}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot -3}{3}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c \cdot -3}{3}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right) \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-3}{3}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right)\right) \]

    7. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right)\right)\right) \]

    8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(-3 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -1}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}} \]

12. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \color{blue}{\left(2 \cdot b + c \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 2\right), \left(\color{blue}{c} \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\color{blue}{c} \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \left(\frac{a}{b}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-9}{8}} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{-9}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{\frac{-9}{8} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{\color{blue}{{b}^{3}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{\frac{-9}{8} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{\frac{-9}{8} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. times-frac N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \left(\frac{\frac{-9}{8}}{b} \cdot \color{blue}{\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{-9}{8}}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-9}{8}, b\right), \left(\frac{\color{blue}{{a}^{2} \cdot c}}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-9}{8}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot c\right), \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-9}{8}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot {a}^{2}\right), \left({\color{blue}{b}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-9}{8}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-9}{8}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-9}{8}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-9}{8}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. *-lowering-*.f64 97.6%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-9}{8}, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 97.6%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -1}{\color{blue}{b \cdot 2 + c \cdot \left(-1.5 \cdot \frac{a}{b} + \frac{-1.125}{b} \cdot \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot b}\right)}} \]

15. Final simplification 97.6%

    \[\leadsto \frac{c}{c \cdot \left(\frac{-1.125}{b} \cdot \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{0 - b \cdot b} - -1.5 \cdot \frac{a}{b}\right) - b \cdot 2} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.2% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{\left(a \cdot \left(\frac{-1.125 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(0 - b \cdot b\right)} - -1.5 \cdot \frac{c}{b}\right) - b\right) - b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  c
  (-
   (-
    (*
     a
     (- (/ (* -1.125 (* a (* c c))) (* b (- 0.0 (* b b)))) (* -1.5 (/ c b))))
    b)
   b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / (((a * (((-1.125 * (a * (c * c))) / (b * (0.0 - (b * b)))) - (-1.5 * (c / b)))) - b) - b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / (((a * ((((-1.125d0) * (a * (c * c))) / (b * (0.0d0 - (b * b)))) - ((-1.5d0) * (c / b)))) - b) - b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / (((a * (((-1.125 * (a * (c * c))) / (b * (0.0 - (b * b)))) - (-1.5 * (c / b)))) - b) - b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / (((a * (((-1.125 * (a * (c * c))) / (b * (0.0 - (b * b)))) - (-1.5 * (c / b)))) - b) - b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(Float64(Float64(a * Float64(Float64(Float64(-1.125 * Float64(a * Float64(c * c))) / Float64(b * Float64(0.0 - Float64(b * b)))) - Float64(-1.5 * Float64(c / b)))) - b) - b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / (((a * (((-1.125 * (a * (c * c))) / (b * (0.0 - (b * b)))) - (-1.5 * (c / b)))) - b) - b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(N[(N[(a * N[(N[(N[(-1.125 * N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(0.0 - N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(-1.5 * N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b\right)} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} - b\right) \]

   4. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}} \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 17.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right)}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{*.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -3}}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot -3}{3}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c \cdot -3}{3}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right) \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-3}{3}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right)\right) \]

    7. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right)\right)\right) \]

    8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(-3 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -1}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}} \]

12. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b + a \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{c}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(a \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{c}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{c}{b} + \frac{-9}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{c}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{-9}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{c}{b} \cdot \frac{-3}{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{-9}{8}} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), \frac{-3}{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{-9}{8}} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \left(\frac{-9}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \left(\frac{\frac{-9}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)}{\color{blue}{{b}^{3}}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{8} \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \left(b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 97.6%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \frac{-3}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{8}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 97.6%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -1}{b + \color{blue}{\left(b + a \cdot \left(\frac{c}{b} \cdot -1.5 + \frac{-1.125 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}} \]

15. Final simplification 97.6%

    \[\leadsto \frac{c}{\left(a \cdot \left(\frac{-1.125 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot \left(0 - b \cdot b\right)} - -1.5 \cdot \frac{c}{b}\right) - b\right) - b} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.7% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -3}{b \cdot 6 + c \cdot \left(\frac{a \cdot -4.5}{b} + \frac{\left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot -3.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* c -3.0)
  (+
   (* b 6.0)
   (* c (+ (/ (* a -4.5) b) (/ (* (* c (* a a)) -3.375) (* b (* b b))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -3.0) / ((b * 6.0) + (c * (((a * -4.5) / b) + (((c * (a * a)) * -3.375) / (b * (b * b))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-3.0d0)) / ((b * 6.0d0) + (c * (((a * (-4.5d0)) / b) + (((c * (a * a)) * (-3.375d0)) / (b * (b * b))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -3.0) / ((b * 6.0) + (c * (((a * -4.5) / b) + (((c * (a * a)) * -3.375) / (b * (b * b))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -3.0) / ((b * 6.0) + (c * (((a * -4.5) / b) + (((c * (a * a)) * -3.375) / (b * (b * b))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -3.0) / Float64(Float64(b * 6.0) + Float64(c * Float64(Float64(Float64(a * -4.5) / b) + Float64(Float64(Float64(c * Float64(a * a)) * -3.375) / Float64(b * Float64(b * b)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -3.0) / ((b * 6.0) + (c * (((a * -4.5) / b) + (((c * (a * a)) * -3.375) / (b * (b * b))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -3.0), $MachinePrecision] / N[(N[(b * 6.0), $MachinePrecision] + N[(c * N[(N[(N[(a * -4.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -3.375), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b\right)} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} - b\right) \]

   4. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}} \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 17.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right)}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{*.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -3}}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \color{blue}{\left(6 \cdot b + c \cdot \left(\frac{-9}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(6 \cdot b\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(\frac{-9}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 6\right), \left(\color{blue}{c} \cdot \left(\frac{-9}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \left(\color{blue}{c} \cdot \left(\frac{-9}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-9}{2} \cdot \frac{a}{b} + \frac{-27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-9}{2} \cdot \frac{a}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{-27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-9}{2} \cdot a}{b}\right), \left(\color{blue}{\frac{-27}{8}} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{2} \cdot a\right), b\right), \left(\color{blue}{\frac{-27}{8}} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \left(\frac{-27}{8} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \left(\frac{\frac{-27}{8} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{\color{blue}{{b}^{3}}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-27}{8} \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-27}{8}, \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-27}{8}, \left(c \cdot {a}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-27}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-27}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-27}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-27}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-27}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left(b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-27}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-27}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. *-lowering-*.f64 97.1%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 6\right), \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-9}{2}, a\right), b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-27}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 97.1%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -3}{\color{blue}{b \cdot 6 + c \cdot \left(\frac{-4.5 \cdot a}{b} + \frac{-3.375 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}} \]

13. Final simplification 97.1%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -3}{b \cdot 6 + c \cdot \left(\frac{a \cdot -4.5}{b} + \frac{\left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot -3.375}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 6: 95.5% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{\left(0 - b \cdot 2\right) - \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -1.5}{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ c (- (- 0.0 (* b 2.0)) (/ (* (* c a) -1.5) b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / ((0.0 - (b * 2.0)) - (((c * a) * -1.5) / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / ((0.0d0 - (b * 2.0d0)) - (((c * a) * (-1.5d0)) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / ((0.0 - (b * 2.0)) - (((c * a) * -1.5) / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / ((0.0 - (b * 2.0)) - (((c * a) * -1.5) / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(Float64(0.0 - Float64(b * 2.0)) - Float64(Float64(Float64(c * a) * -1.5) / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / ((0.0 - (b * 2.0)) - (((c * a) * -1.5) / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(N[(0.0 - N[(b * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * -1.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b\right)} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} - b\right) \]

   4. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}} \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 17.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right)}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{*.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -3}}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot -3}{3}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c \cdot -3}{3}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right) \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-3}{3}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right)\right) \]

    7. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right)\right)\right) \]

    8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(-3 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -1}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}} \]

12. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \color{blue}{\left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{b} + 2 \cdot b\right)}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \left(2 \cdot b + \color{blue}{\frac{-3}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{b}}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 2\right), \left(\color{blue}{\frac{-3}{2}} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\color{blue}{\frac{-3}{2}} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\frac{\frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot c\right)}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot \frac{-3}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot c\right), \frac{-3}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot a\right), \frac{-3}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 96.3%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{-3}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

14. Simplified 96.3%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -1}{\color{blue}{b \cdot 2 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -1.5}{b}}} \]

15. Final simplification 96.3%

    \[\leadsto \frac{c}{\left(0 - b \cdot 2\right) - \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -1.5}{b}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 7: 95.5% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{\left(\left(0 - b\right) - \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -1.5}{b}\right) - b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ c (- (- (- 0.0 b) (/ (* (* c a) -1.5) b)) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / (((0.0 - b) - (((c * a) * -1.5) / b)) - b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / (((0.0d0 - b) - (((c * a) * (-1.5d0)) / b)) - b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / (((0.0 - b) - (((c * a) * -1.5) / b)) - b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / (((0.0 - b) - (((c * a) * -1.5) / b)) - b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(Float64(Float64(0.0 - b) - Float64(Float64(Float64(c * a) * -1.5) / b)) - b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / (((0.0 - b) - (((c * a) * -1.5) / b)) - b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(N[(N[(0.0 - b), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * -1.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b\right)} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} - b\right) \]

   4. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}} \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 17.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right)}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{*.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -3}}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{c \cdot -3}{3}}{\color{blue}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c \cdot -3}{3}\right), \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right) \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-3}{3}\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -1\right), \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \left(\color{blue}{b} + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}\right)\right) \]

    7. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}}\right)\right)\right) \]

    8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(c \cdot -3\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(-3 \cdot c\right) \cdot a\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(-3 \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -1}{b + \sqrt{b \cdot b + -3 \cdot \left(c \cdot a\right)}}} \]

12. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b + \frac{-3}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\frac{-3}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\frac{\frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot c\right)}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot \frac{-3}{2}\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot c\right), \frac{-3}{2}\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot a\right), \frac{-3}{2}\right), b\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{-3}{2}\right), b\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 96.3%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -1}{b + \color{blue}{\left(b + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -1.5}{b}\right)}} \]

15. Final simplification 96.3%

    \[\leadsto \frac{c}{\left(\left(0 - b\right) - \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -1.5}{b}\right) - b} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 8: 95.1% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-3}{b \cdot 6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -4.5}{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* c (/ -3.0 (+ (* b 6.0) (/ (* (* c a) -4.5) b)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-3.0 / ((b * 6.0) + (((c * a) * -4.5) / b)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-3.0d0) / ((b * 6.0d0) + (((c * a) * (-4.5d0)) / b)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-3.0 / ((b * 6.0) + (((c * a) * -4.5) / b)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-3.0 / ((b * 6.0) + (((c * a) * -4.5) / b)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-3.0 / Float64(Float64(b * 6.0) + Float64(Float64(Float64(c * a) * -4.5) / b))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-3.0 / ((b * 6.0) + (((c * a) * -4.5) / b)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-3.0 / N[(N[(b * 6.0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * -4.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b\right)} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} - b\right) \]

   4. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}} \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 17.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right)}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{*.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -3}}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \color{blue}{\left(b \cdot \left(6 + \frac{-9}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left(6 + \frac{-9}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \color{blue}{\left(\frac{-9}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \left(\frac{\frac{-9}{2} \cdot \left(a \cdot c\right)}{\color{blue}{{b}^{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{2} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot \frac{-9}{2}\right), \left({\color{blue}{b}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot c\right), \frac{-9}{2}\right), \left({\color{blue}{b}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot a\right), \frac{-9}{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{-9}{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{-9}{2}\right), \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 95.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{-9}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 95.9%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -3}{\color{blue}{b \cdot \left(6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -4.5}{b \cdot b}\right)}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* N/A

       \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{-3}{b \cdot \left(6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}}{b \cdot b}\right)}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{-3}{b \cdot \left(6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}}{b \cdot b}\right)} \cdot \color{blue}{c} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-3}{b \cdot \left(6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}}{b \cdot b}\right)}\right), \color{blue}{c}\right) \]

14. Applied egg-rr 96.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-3}{b \cdot 6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -4.5}{b}} \cdot c} \]

15. Final simplification 96.0%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-3}{b \cdot 6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -4.5}{b}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 9: 95.0% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-0.5 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* c (/ (+ -0.5 (/ (* (* c a) -0.375) (* b b))) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-0.5 + (((c * a) * -0.375) / (b * b))) / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * (((-0.5d0) + (((c * a) * (-0.375d0)) / (b * b))) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-0.5 + (((c * a) * -0.375) / (b * b))) / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((-0.5 + (((c * a) * -0.375) / (b * b))) / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(-0.5 + Float64(Float64(Float64(c * a) * -0.375) / Float64(b * b))) / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((-0.5 + (((c * a) * -0.375) / (b * b))) / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(-0.5 + N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * -0.375), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-9}{16} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{4}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot c + \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{-1}{6} \cdot \frac{\frac{81}{64} \cdot \left({a}^{4} \cdot {c}^{4}\right) + \frac{81}{16} \cdot \left({a}^{4} \cdot {c}^{4}\right)}{a \cdot {b}^{6}}\right)\right)}{b}} \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5 + \left(\left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} + -0.16666666666666666 \cdot \frac{{a}^{4} \cdot \left({c}^{4} \cdot 6.328125\right)}{a \cdot {b}^{6}}\right) + \frac{-0.5625 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot a\right)\right)\right)\right)}{{b}^{4}}\right)}{b}} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{3}}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   8. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

   13. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 95.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.9%

    \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{0.5}{b}\right)} \]

11. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{1}{2}}{b}\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - \frac{1}{2}\right), \color{blue}{b}\right)\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), b\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

    5. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-3}{8} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \left(c \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 95.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-3}{8}, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \frac{-1}{2}\right), b\right)\right) \]

13. Simplified 95.9%

    \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-0.375 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot b} + -0.5}{b}} \]

14. Final simplification 95.9%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-0.5 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -0.375}{b \cdot b}}{b} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 95.0% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -3 \cdot \frac{c}{b \cdot 6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -4.5}{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* -3.0 (/ c (+ (* b 6.0) (/ (* (* c a) -4.5) b)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return -3.0 * (c / ((b * 6.0) + (((c * a) * -4.5) / b)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-3.0d0) * (c / ((b * 6.0d0) + (((c * a) * (-4.5d0)) / b)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return -3.0 * (c / ((b * 6.0) + (((c * a) * -4.5) / b)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return -3.0 * (c / ((b * 6.0) + (((c * a) * -4.5) / b)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(-3.0 * Float64(c / Float64(Float64(b * 6.0) + Float64(Float64(Float64(c * a) * -4.5) / b))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = -3.0 * (c / ((b * 6.0) + (((c * a) * -4.5) / b)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(-3.0 * N[(c / N[(N[(b * 6.0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(c * a), $MachinePrecision] * -4.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{3 \cdot a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3 \cdot a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b\right)} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}} - b\right) \]

   4. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a}}{3} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b}} \]

   5. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)}{\color{blue}{3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b \cdot b\right)\right), \color{blue}{\left(3 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} + b\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 17.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{a} \cdot \left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)\right) - b \cdot b\right)}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-3 \cdot c\right)}, \mathsf{*.f64}\left(3, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{3}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{c \cdot -3}}{3 \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)}\right)} \]

10. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \color{blue}{\left(b \cdot \left(6 + \frac{-9}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left(6 + \frac{-9}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)}\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \color{blue}{\left(\frac{-9}{2} \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \left(\frac{\frac{-9}{2} \cdot \left(a \cdot c\right)}{\color{blue}{{b}^{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-9}{2} \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot \frac{-9}{2}\right), \left({\color{blue}{b}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot c\right), \frac{-9}{2}\right), \left({\color{blue}{b}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot a\right), \frac{-9}{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{-9}{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{-9}{2}\right), \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 95.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -3\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(6, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), \frac{-9}{2}\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 95.9%

    \[\leadsto \frac{c \cdot -3}{\color{blue}{b \cdot \left(6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -4.5}{b \cdot b}\right)}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{-3 \cdot c}{\color{blue}{b} \cdot \left(6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}}{b \cdot b}\right)} \]

    2. associate-/l* N/A

       \[\leadsto -3 \cdot \color{blue}{\frac{c}{b \cdot \left(6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}}{b \cdot b}\right)}} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \color{blue}{\left(\frac{c}{b \cdot \left(6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}}{b \cdot b}\right)}\right)}\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{\left(b \cdot \left(6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}}{b \cdot b}\right)\right)}\right)\right) \]

    5. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \color{blue}{b \cdot \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}}{b \cdot b}}\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}}{b \cdot b} \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

    7. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \left(\left(\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot \frac{1}{b \cdot b}\right) \cdot b\right)\right)\right) \]

    8. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \left(\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{b \cdot b} \cdot b\right)}\right)\right)\right) \]

    9. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \left(\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{{b}^{2}} \cdot b\right)\right)\right)\right) \]

    10. pow-flip N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \left(\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot \left({b}^{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)} \cdot b\right)\right)\right)\right) \]

    11. pow-plus N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \left(\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot {b}^{\color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) + 1\right)}}\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \left(\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot {b}^{\left(-2 + 1\right)}\right)\right)\right) \]

    13. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \left(\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot {b}^{-1}\right)\right)\right) \]

    14. inv-pow N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \left(\left(c \cdot a\right) \cdot \frac{-9}{2}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

    15. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \left(c \cdot \left(a \cdot \frac{-9}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{1}}{b}\right)\right)\right) \]

    16. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + \left(c \cdot \left(\frac{-9}{2} \cdot a\right)\right) \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right) \]

    17. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + c \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-9}{2} \cdot a\right) \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

    18. div-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(-3, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot 6 + c \cdot \frac{\frac{-9}{2} \cdot a}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 95.9%

    \[\leadsto \color{blue}{-3 \cdot \frac{c}{b \cdot 6 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -4.5}{b}}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 90.3% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c \cdot -0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ (* c -0.5) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -0.5) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c * (-0.5d0)) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c * -0.5) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c * -0.5) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c * -0.5) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c * -0.5) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c * -0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 91.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 12: 89.9% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-0.5}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (* c (/ -0.5 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-0.5d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-0.5 / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-0.5 / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-0.5 / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-0.5 / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-0.5 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.5%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(3 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{3} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(3 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 3\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 3\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(3\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \left(3 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 16.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -3\right)\right)\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(3, \color{blue}{a}\right)\right) \]

3. Simplified 16.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -3\right)} - b}{3 \cdot a}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2} \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 91.5%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \frac{-1}{2}\right), b\right) \]

7. Simplified 91.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{c \cdot -0.5}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2}}{b}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2}}{b} \cdot \color{blue}{c} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{b}\right), \color{blue}{c}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 91.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, b\right), c\right) \]

9. Applied egg-rr 91.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.5}{b} \cdot c} \]

10. Final simplification 91.2%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-0.5}{b} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, wide range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 4.930380657631324e-32 a) (< a 2.028240960365167e+31)) (and (< 4.930380657631324e-32 b) (< b 2.028240960365167e+31))) (and (< 4.930380657631324e-32 c) (< c 2.028240960365167e+31)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3.0 a) c)))) (* 3.0 a)))