Quadratic roots, wide range

Percentage Accurate: 18.2% → 99.7%

Time: 16.6s

Alternatives: 12

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < a \land a < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < b \land b < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < c \land c < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 18.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{a} \cdot \left(-4 \cdot \left(0 - a\right)\right)}{-2 \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -4\right)} + -2 \cdot b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* (/ c a) (* -4.0 (- 0.0 a)))
  (+ (* -2.0 (sqrt (+ (* b b) (* c (* a -4.0))))) (* -2.0 b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c / a) * (-4.0 * (0.0 - a))) / ((-2.0 * sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))) + (-2.0 * b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c / a) * ((-4.0d0) * (0.0d0 - a))) / (((-2.0d0) * sqrt(((b * b) + (c * (a * (-4.0d0)))))) + ((-2.0d0) * b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c / a) * (-4.0 * (0.0 - a))) / ((-2.0 * Math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))) + (-2.0 * b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((c / a) * (-4.0 * (0.0 - a))) / ((-2.0 * math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))) + (-2.0 * b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c / a) * Float64(-4.0 * Float64(0.0 - a))) / Float64(Float64(-2.0 * sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(c * Float64(a * -4.0))))) + Float64(-2.0 * b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c / a) * (-4.0 * (0.0 - a))) / ((-2.0 * sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))) + (-2.0 * b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c / a), $MachinePrecision] * N[(-4.0 * N[(0.0 - a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(-2.0 * N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(a * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-2.0 * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)} \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 16.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b}{a \cdot -2} \cdot \frac{b}{a \cdot -2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 - \frac{c}{a}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0 - \frac{c}{a}}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a}}{2} - \frac{\color{blue}{b}}{a \cdot -2}\right)\right) \]

    2. frac-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{\color{blue}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}}\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    4. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right)}\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \frac{0 - \frac{c}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \frac{0 - \frac{c}{a}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \left(a \cdot -2\right)\right)} \]

    2. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\left(0 - \frac{c}{a}\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot -2\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}} \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(0 - \frac{c}{a}\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a \cdot -2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b\right)}\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(0 - \frac{c}{a}\right), \left(2 \cdot \left(a \cdot -2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right)} - 2 \cdot b\right)\right) \]

    5. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{c}{a}\right)\right), \left(2 \cdot \left(a \cdot -2\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a}} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(2 \cdot \left(a \cdot -2\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{\color{blue}{a}} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\left(a \cdot -2\right) \cdot 2\right)\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \color{blue}{\left(a \cdot -2\right)} - 2 \cdot b\right)\right) \]

    8. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(a \cdot \left(-2 \cdot 2\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \color{blue}{\left(a \cdot -2\right)} - 2 \cdot b\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(a \cdot -4\right)\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot \color{blue}{-2}\right) - 2 \cdot b\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, -4\right)\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \color{blue}{\left(a \cdot -2\right)} - 2 \cdot b\right)\right) \]

    11. sub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, -4\right)\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot b\right)\right)}\right)\right) \]

    12. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, -4\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2 \cdot b\right)\right)}\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 99.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0 - \frac{c}{a}\right) \cdot \left(a \cdot -4\right)}{-2 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -4\right)} \cdot 1\right) + b \cdot -2}} \]

14. Final simplification 99.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{a} \cdot \left(-4 \cdot \left(0 - a\right)\right)}{-2 \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -4\right)} + -2 \cdot b} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{a}}{\frac{-2 \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -4\right)} + -2 \cdot b}{-4 \cdot \left(0 - a\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/ c a)
  (/
   (+ (* -2.0 (sqrt (+ (* b b) (* c (* a -4.0))))) (* -2.0 b))
   (* -4.0 (- 0.0 a)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / (((-2.0 * sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))) + (-2.0 * b)) / (-4.0 * (0.0 - a)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c / a) / ((((-2.0d0) * sqrt(((b * b) + (c * (a * (-4.0d0)))))) + ((-2.0d0) * b)) / ((-4.0d0) * (0.0d0 - a)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / (((-2.0 * Math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))) + (-2.0 * b)) / (-4.0 * (0.0 - a)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c / a) / (((-2.0 * math.sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))) + (-2.0 * b)) / (-4.0 * (0.0 - a)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c / a) / Float64(Float64(Float64(-2.0 * sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(c * Float64(a * -4.0))))) + Float64(-2.0 * b)) / Float64(-4.0 * Float64(0.0 - a))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c / a) / (((-2.0 * sqrt(((b * b) + (c * (a * -4.0))))) + (-2.0 * b)) / (-4.0 * (0.0 - a)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c / a), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(-2.0 * N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(a * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-2.0 * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(-4.0 * N[(0.0 - a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)} \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 16.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b}{a \cdot -2} \cdot \frac{b}{a \cdot -2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 - \frac{c}{a}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0 - \frac{c}{a}}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a}}{2} - \frac{\color{blue}{b}}{a \cdot -2}\right)\right) \]

    2. frac-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{\color{blue}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}}\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    4. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right)}\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \frac{0 - \frac{c}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)}{\frac{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}} \]

    2. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\frac{c}{a}}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}}\right) \]

    3. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\frac{c}{a}}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}}\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{a}\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b\right), \left(2 \cdot \left(a \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\frac{c}{a}}{\frac{-2 \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -4\right)} \cdot 1\right) + b \cdot -2}{a \cdot -4}}} \]

14. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{a}}{\frac{-2 \cdot \sqrt{b \cdot b + c \cdot \left(a \cdot -4\right)} + -2 \cdot b}{-4 \cdot \left(0 - a\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{a}}{\frac{b}{a \cdot -2} - \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (/ c a)
  (- (/ b (* a -2.0)) (/ (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))) (* a 2.0)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / ((b / (a * -2.0)) - (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) / (a * 2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c / a) / ((b / (a * (-2.0d0))) - (sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))) / (a * 2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / ((b / (a * -2.0)) - (Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) / (a * 2.0)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c / a) / ((b / (a * -2.0)) - (math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) / (a * 2.0)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c / a) / Float64(Float64(b / Float64(a * -2.0)) - Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0)))) / Float64(a * 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c / a) / ((b / (a * -2.0)) - (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) / (a * 2.0)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c / a), $MachinePrecision] / N[(N[(b / N[(a * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(a * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)} \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 16.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b}{a \cdot -2} \cdot \frac{b}{a \cdot -2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 - \frac{c}{a}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0 - \frac{c}{a}}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

    2. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{-\frac{c}{a}}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}} \]

12. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{a}}{\frac{b}{a \cdot -2} - \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{a}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(\left(0 - b\right) - \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (/ c a) (* (/ 0.5 a) (- (- 0.0 b) (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / ((0.5 / a) * ((0.0 - b) - sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (c / a) / ((0.5d0 / a) * ((0.0d0 - b) - sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0)))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (c / a) / ((0.5 / a) * ((0.0 - b) - Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (c / a) / ((0.5 / a) * ((0.0 - b) - math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(c / a) / Float64(Float64(0.5 / a) * Float64(Float64(0.0 - b) - sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (c / a) / ((0.5 / a) * ((0.0 - b) - sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(c / a), $MachinePrecision] / N[(N[(0.5 / a), $MachinePrecision] * N[(N[(0.0 - b), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)} \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 16.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b}{a \cdot -2} \cdot \frac{b}{a \cdot -2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 - \frac{c}{a}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0 - \frac{c}{a}}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2}} - \frac{b}{a \cdot -2}} \]

    2. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\frac{c}{a}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}}\right) \]

    3. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{\frac{c}{a}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}}\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{c}{a}\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}\right)\right)\right) \]

    6. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot -2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{b}{a}}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{\frac{b}{a}}{\mathsf{neg}\left(-2\right)}\right)\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{\frac{b}{a}}{2}\right)\right)\right) \]

    10. associate-/r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

    11. div-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \frac{1}{a \cdot 2} + \frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

    12. div-inv N/A

        \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, a\right), \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \frac{1}{a \cdot 2} + b \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\frac{c}{a}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

12. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{a}}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(\left(0 - b\right) - \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.0% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot b} - c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (-
  (* a (/ (- (/ (* -2.0 (* a (* c (* c c)))) (* b b)) (* c c)) (* b (* b b))))
  (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (a * ((((-2.0 * (a * (c * (c * c)))) / (b * b)) - (c * c)) / (b * (b * b)))) - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (a * (((((-2.0d0) * (a * (c * (c * c)))) / (b * b)) - (c * c)) / (b * (b * b)))) - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (a * ((((-2.0 * (a * (c * (c * c)))) / (b * b)) - (c * c)) / (b * (b * b)))) - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (a * ((((-2.0 * (a * (c * (c * c)))) / (b * b)) - (c * c)) / (b * (b * b)))) - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(a * Float64(Float64(Float64(Float64(-2.0 * Float64(a * Float64(c * Float64(c * c)))) / Float64(b * b)) - Float64(c * c)) / Float64(b * Float64(b * b)))) - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (a * ((((-2.0 * (a * (c * (c * c)))) / (b * b)) - (c * c)) / (b * (b * b)))) - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(a * N[(N[(N[(N[(-2.0 * N[(a * N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(-1 \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(-2 \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{a \cdot \left(4 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot -2}{{b}^{5}} + \frac{-0.25 \cdot \left(\frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} \cdot \left(20 \cdot a\right)\right)}{b}\right) - \frac{c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}} - {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}} - {c}^{2}\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot {c}^{3}\right)}{{b}^{2}}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left(a \cdot {c}^{3}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(a \cdot {c}^{3}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{3}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot {c}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({c}^{2}\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   16. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   17. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   19. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 97.8%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

10. Simplified 97.8%

    \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot b} - c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} - \frac{c}{b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.0% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a \cdot \frac{\left(c \cdot c\right) \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot b} + -1\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (-
  (* a (/ (* (* c c) (+ (/ (* -2.0 (* c a)) (* b b)) -1.0)) (* b (* b b))))
  (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (a * (((c * c) * (((-2.0 * (c * a)) / (b * b)) + -1.0)) / (b * (b * b)))) - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (a * (((c * c) * ((((-2.0d0) * (c * a)) / (b * b)) + (-1.0d0))) / (b * (b * b)))) - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (a * (((c * c) * (((-2.0 * (c * a)) / (b * b)) + -1.0)) / (b * (b * b)))) - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (a * (((c * c) * (((-2.0 * (c * a)) / (b * b)) + -1.0)) / (b * (b * b)))) - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(a * Float64(Float64(Float64(c * c) * Float64(Float64(Float64(-2.0 * Float64(c * a)) / Float64(b * b)) + -1.0)) / Float64(b * Float64(b * b)))) - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (a * (((c * c) * (((-2.0 * (c * a)) / (b * b)) + -1.0)) / (b * (b * b)))) - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(a * N[(N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(-1 \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(-2 \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{a \cdot \left(4 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot -2}{{b}^{5}} + \frac{-0.25 \cdot \left(\frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} \cdot \left(20 \cdot a\right)\right)}{b}\right) - \frac{c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}} - {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}} - {c}^{2}\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{a \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot {c}^{3}\right)}{{b}^{2}}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left(a \cdot {c}^{3}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(a \cdot {c}^{3}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{3}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot {c}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({c}^{2}\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot c\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   16. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   17. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   19. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 97.8%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

10. Simplified 97.8%

    \[\leadsto a \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)\right)}{b \cdot b} - c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} - \frac{c}{b} \]

11. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left({c}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - 1\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({c}^{2}\right), \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - 1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot c\right), \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - 1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} - 1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    4. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}} + -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    7. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(c \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 97.8%

        \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

13. Simplified 97.8%

    \[\leadsto a \cdot \frac{\color{blue}{\left(c \cdot c\right) \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b \cdot b} + -1\right)}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c}{b} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 7: 96.8% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5}{\frac{b \cdot -0.5}{c} + \frac{0.5 \cdot \left(a + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot b}\right)}{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ 0.5 (+ (/ (* b -0.5) c) (/ (* 0.5 (+ a (/ (* c (* a a)) (* b b)))) b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / (((b * -0.5) / c) + ((0.5 * (a + ((c * (a * a)) / (b * b)))) / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.5d0 / (((b * (-0.5d0)) / c) + ((0.5d0 * (a + ((c * (a * a)) / (b * b)))) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / (((b * -0.5) / c) + ((0.5 * (a + ((c * (a * a)) / (b * b)))) / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.5 / (((b * -0.5) / c) + ((0.5 * (a + ((c * (a * a)) / (b * b)))) / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(b * -0.5) / c) + Float64(Float64(0.5 * Float64(a + Float64(Float64(c * Float64(a * a)) / Float64(b * b)))) / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.5 / (((b * -0.5) / c) + ((0.5 * (a + ((c * (a * a)) / (b * b)))) / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.5 / N[(N[(N[(b * -0.5), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[(a + N[(N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 15.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} + \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b} - \color{blue}{a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{b}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{b}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{b}\right), \left(a \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{{b}^{3}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 97.5%

   \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.5}{c} + a \cdot \left(\frac{0.5}{b} - a \cdot \left(\frac{c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot -0.5\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a + \frac{1}{2} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}}{b}\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a + \frac{1}{2} \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

    2. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(a + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(a + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(a, \left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot c\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot {a}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 97.5%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

12. Simplified 97.5%

    \[\leadsto \frac{0.5}{\frac{b \cdot -0.5}{c} + \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \left(a + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot b}\right)}{b}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 8: 95.3% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0 - \frac{c}{b}\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (- (- 0.0 (/ c b)) (/ (* a (* c c)) (* b (* b b)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (0.0 - (c / b)) - ((a * (c * c)) / (b * (b * b)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (0.0d0 - (c / b)) - ((a * (c * c)) / (b * (b * b)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (0.0 - (c / b)) - ((a * (c * c)) / (b * (b * b)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (0.0 - (c / b)) - ((a * (c * c)) / (b * (b * b)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(0.0 - Float64(c / b)) - Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * Float64(b * b))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (0.0 - (c / b)) - ((a * (c * c)) / (b * (b * b)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(0.0 - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(-1 \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(-2 \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{a \cdot \left(4 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot -2}{{b}^{5}} + \frac{-0.25 \cdot \left(\frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} \cdot \left(20 \cdot a\right)\right)}{b}\right) - \frac{c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{3}}\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{c}, b\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{c}, b\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot a\right) \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot a\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right), \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   9. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 96.6%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(a\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

10. Simplified 96.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-a\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} - \frac{c}{b} \]

11. Final simplification 96.6%

    \[\leadsto \left(0 - \frac{c}{b}\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 95.3% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (- (- 0.0 c) (/ (* a (* c c)) (* b b))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((0.0d0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(0.0 - c) - Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(0.0 - c), $MachinePrecision] - N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)} \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 16.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{4 \cdot \left(a \cdot a\right)} - \frac{b}{a \cdot -2} \cdot \frac{b}{a \cdot -2}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{c}{a}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 - \frac{c}{a}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{c}{a}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0 - \frac{c}{a}}}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \frac{b}{a \cdot -2}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a}}{2} - \frac{\color{blue}{b}}{a \cdot -2}\right)\right) \]

    2. frac-sub N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{\color{blue}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}}\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    4. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \left(\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right)}\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \frac{0 - \frac{c}{a}}{\color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a} \cdot \left(a \cdot -2\right) - 2 \cdot b}{2 \cdot \left(a \cdot -2\right)}}} \]

12. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right) \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right)\right), b\right) \]

    3. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c - \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), b\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

    6. neg-lowering-neg.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 96.6%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right) \]

14. Simplified 96.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b}} \]

15. Final simplification 96.6%

    \[\leadsto \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 10: 95.2% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.5}{\frac{b \cdot -0.5}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ 0.5 (+ (/ (* b -0.5) c) (/ (* a 0.5) b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / (((b * -0.5) / c) + ((a * 0.5) / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.5d0 / (((b * (-0.5d0)) / c) + ((a * 0.5d0) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.5 / (((b * -0.5) / c) + ((a * 0.5) / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.5 / (((b * -0.5) / c) + ((a * 0.5) / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(b * -0.5) / c) + Float64(Float64(a * 0.5) / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.5 / (((b * -0.5) / c) + ((a * 0.5) / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.5 / N[(N[(N[(b * -0.5), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision] + N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 15.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot b}{c}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot b\right), c\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

9. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.5}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 90.2% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (- 0.0 (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0 - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.0d0 - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0 - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.0 - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(0.0 - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.0 - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(0.0 - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 92.2%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

7. Simplified 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 92.2%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 92.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-\frac{c}{b}} \]

10. Final simplification 92.2%

    \[\leadsto 0 - \frac{c}{b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 1.6% accurate, 38.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{b}{a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ b a))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return b / a;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = b / a
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return b / a;
}

Python

def code(a, b, c):
	return b / a

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(b / a)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = b / a;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(b / a), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 15.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 15.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 15.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

7. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(b \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{b}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{c}\right)\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{b}^{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{c}\right)}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{c}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{a}{{b}^{2}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{c}\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{c}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{c}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{c}\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\color{blue}{c}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{c}\right)\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 96.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{c}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{b \cdot \left(0.5 \cdot \frac{a}{b \cdot b} - \frac{0.5}{c}\right)}} \]

10. Taylor expanded in b around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 1.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right) \]

12. Simplified 1.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a}} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, wide range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 4.930380657631324e-32 a) (< a 2.028240960365167e+31)) (and (< 4.930380657631324e-32 b) (< b 2.028240960365167e+31))) (and (< 4.930380657631324e-32 c) (< c 2.028240960365167e+31)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))