math.sin on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 54.0% → 99.6%

Time: 13.3s

Alternatives: 25

Speedup: 23.8×

• 49.4% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{0 - im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -1 \cdot 10^{+100}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \cos re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -1e+100)
      (* t_0 (* 0.5 (cos re)))
      (*
       im_m
       (*
        (cos re)
        (+
         -1.0
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.16666666666666666
            (*
             (* im_m im_m)
             (+
              -0.008333333333333333
              (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -1e+100) {
		tmp = t_0 * (0.5 * cos(re));
	} else {
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-1d+100)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * cos(re))
    else
        tmp = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -1e+100) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.cos(re));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -1e+100:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.cos(re))
	else:
		tmp = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -1e+100)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * cos(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -1e+100)
		tmp = t_0 * (0.5 * cos(re));
	else
		tmp = im_m * (cos(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -1e+100], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im)) < -1.00000000000000002e100

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -1.00000000000000002e100 < (-.f64 (exp.f64 (-.f64 #s(literal 0 binary64) im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 42.7%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 95.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.4%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -1 \cdot 10^{+100}:\\ \;\;\;\;\left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \cos re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.8% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 235:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.9 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;0.5 - e^{im\_m} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (*
           (cos re)
           (+
            -1.0
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.16666666666666666
               (*
                (* im_m im_m)
                (+
                 -0.008333333333333333
                 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 235.0)
      t_0
      (if (<= im_m 3.9e+44) (- 0.5 (* (exp im_m) 0.5)) t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.9e+44) {
		tmp = 0.5 - (exp(im_m) * 0.5);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    if (im_m <= 235.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 3.9d+44) then
        tmp = 0.5d0 - (exp(im_m) * 0.5d0)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.9e+44) {
		tmp = 0.5 - (Math.exp(im_m) * 0.5);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 235.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 3.9e+44:
		tmp = 0.5 - (math.exp(im_m) * 0.5)
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.9e+44)
		tmp = Float64(0.5 - Float64(exp(im_m) * 0.5));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.9e+44)
		tmp = 0.5 - (exp(im_m) * 0.5);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 235.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 3.9e+44], N[(0.5 - N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 235 or 3.9000000000000003e44 < im

   1. Initial program 54.8%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 96.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   if 235 < im < 3.9000000000000003e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 85.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} - e^{im} \cdot 0.5 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 96.8% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 235:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;0.5 - e^{im\_m} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (*
           (cos re)
           (+
            -1.0
            (*
             (* im_m im_m)
             (+
              -0.16666666666666666
              (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 235.0)
      t_0
      (if (<= im_m 4.9e+59) (- 0.5 (* (exp im_m) 0.5)) t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 4.9e+59) {
		tmp = 0.5 - (exp(im_m) * 0.5);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (cos(re) * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))))
    if (im_m <= 235.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 4.9d+59) then
        tmp = 0.5d0 - (exp(im_m) * 0.5d0)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (Math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 4.9e+59) {
		tmp = 0.5 - (Math.exp(im_m) * 0.5);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (math.cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
	tmp = 0
	if im_m <= 235.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 4.9e+59:
		tmp = 0.5 - (math.exp(im_m) * 0.5)
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(cos(re) * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 4.9e+59)
		tmp = Float64(0.5 - Float64(exp(im_m) * 0.5));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (cos(re) * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 4.9e+59)
		tmp = 0.5 - (exp(im_m) * 0.5);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 235.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 4.9e+59], N[(0.5 - N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 235 or 4.90000000000000007e59 < im

   1. Initial program 54.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + \frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left({im}^{2} \cdot \left(\cos re \cdot \frac{-1}{6}\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re + \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot -1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      11. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(-1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)} \]

   if 235 < im < 4.90000000000000007e59

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 81.3%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 81.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} - e^{im} \cdot 0.5 \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 95.3% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 235:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \cos re\right) \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5.6 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;0.5 - e^{im\_m} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 235.0)
    (* (* im_m (cos re)) (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666))))
    (if (<= im_m 5.6e+102)
      (- 0.5 (* (exp im_m) 0.5))
      (* (cos re) (* -0.16666666666666666 (* im_m (* im_m im_m))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = (im_m * cos(re)) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)));
	} else if (im_m <= 5.6e+102) {
		tmp = 0.5 - (exp(im_m) * 0.5);
	} else {
		tmp = cos(re) * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 235.0d0) then
        tmp = (im_m * cos(re)) * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0))))
    else if (im_m <= 5.6d+102) then
        tmp = 0.5d0 - (exp(im_m) * 0.5d0)
    else
        tmp = cos(re) * ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * (im_m * im_m)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = (im_m * Math.cos(re)) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)));
	} else if (im_m <= 5.6e+102) {
		tmp = 0.5 - (Math.exp(im_m) * 0.5);
	} else {
		tmp = Math.cos(re) * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 235.0:
		tmp = (im_m * math.cos(re)) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)))
	elif im_m <= 5.6e+102:
		tmp = 0.5 - (math.exp(im_m) * 0.5)
	else:
		tmp = math.cos(re) * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = Float64(Float64(im_m * cos(re)) * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666))));
	elseif (im_m <= 5.6e+102)
		tmp = Float64(0.5 - Float64(exp(im_m) * 0.5));
	else
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = (im_m * cos(re)) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)));
	elseif (im_m <= 5.6e+102)
		tmp = 0.5 - (exp(im_m) * 0.5);
	else
		tmp = cos(re) * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 235.0], N[(N[(im$95$m * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 5.6e+102], N[(0.5 - N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 235

   1. Initial program 43.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re}\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(im \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \cos re\right), \left(\color{blue}{-1} + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 83.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right) \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \]

   if 235 < im < 5.60000000000000037e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 76.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 76.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 76.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} - e^{im} \cdot 0.5 \]

   if 5.60000000000000037e102 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \cos re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {im}^{3}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{3}\right)}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 95.0% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 235:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(0 - im\_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5.6 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;0.5 - e^{im\_m} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 235.0)
    (* (cos re) (- 0.0 im_m))
    (if (<= im_m 5.6e+102)
      (- 0.5 (* (exp im_m) 0.5))
      (* (cos re) (* -0.16666666666666666 (* im_m (* im_m im_m))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = cos(re) * (0.0 - im_m);
	} else if (im_m <= 5.6e+102) {
		tmp = 0.5 - (exp(im_m) * 0.5);
	} else {
		tmp = cos(re) * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 235.0d0) then
        tmp = cos(re) * (0.0d0 - im_m)
    else if (im_m <= 5.6d+102) then
        tmp = 0.5d0 - (exp(im_m) * 0.5d0)
    else
        tmp = cos(re) * ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * (im_m * im_m)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = Math.cos(re) * (0.0 - im_m);
	} else if (im_m <= 5.6e+102) {
		tmp = 0.5 - (Math.exp(im_m) * 0.5);
	} else {
		tmp = Math.cos(re) * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 235.0:
		tmp = math.cos(re) * (0.0 - im_m)
	elif im_m <= 5.6e+102:
		tmp = 0.5 - (math.exp(im_m) * 0.5)
	else:
		tmp = math.cos(re) * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(0.0 - im_m));
	elseif (im_m <= 5.6e+102)
		tmp = Float64(0.5 - Float64(exp(im_m) * 0.5));
	else
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = cos(re) * (0.0 - im_m);
	elseif (im_m <= 5.6e+102)
		tmp = 0.5 - (exp(im_m) * 0.5);
	else
		tmp = cos(re) * (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m)));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 235.0], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 5.6e+102], N[(0.5 - N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 235

   1. Initial program 43.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 63.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\cos re \cdot im\right) \]

      3. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\cos re\right), im\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 63.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), im\right) \]

   7. Applied egg-rr 63.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\cos re\right) \cdot im} \]

   if 235 < im < 5.60000000000000037e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 76.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 76.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 76.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} - e^{im} \cdot 0.5 \]

   if 5.60000000000000037e102 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \cos re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {im}^{3}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{3}\right)}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 69.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 235:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(0 - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.6 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;0.5 - e^{im} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 87.0% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 235:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(0 - im\_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4 \cdot 10^{+133}:\\ \;\;\;\;0.5 - e^{im\_m} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 235.0)
    (* (cos re) (- 0.0 im_m))
    (if (<= im_m 4e+133)
      (- 0.5 (* (exp im_m) 0.5))
      (*
       (* im_m (* im_m im_m))
       (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = cos(re) * (0.0 - im_m);
	} else if (im_m <= 4e+133) {
		tmp = 0.5 - (exp(im_m) * 0.5);
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 235.0d0) then
        tmp = cos(re) * (0.0d0 - im_m)
    else if (im_m <= 4d+133) then
        tmp = 0.5d0 - (exp(im_m) * 0.5d0)
    else
        tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = Math.cos(re) * (0.0 - im_m);
	} else if (im_m <= 4e+133) {
		tmp = 0.5 - (Math.exp(im_m) * 0.5);
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 235.0:
		tmp = math.cos(re) * (0.0 - im_m)
	elif im_m <= 4e+133:
		tmp = 0.5 - (math.exp(im_m) * 0.5)
	else:
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(0.0 - im_m));
	elseif (im_m <= 4e+133)
		tmp = Float64(0.5 - Float64(exp(im_m) * 0.5));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = cos(re) * (0.0 - im_m);
	elseif (im_m <= 4e+133)
		tmp = 0.5 - (exp(im_m) * 0.5);
	else
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 235.0], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4e+133], N[(0.5 - N[(N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 235

   1. Initial program 43.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 63.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\cos re \cdot im\right) \]

      3. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\cos re\right), im\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 63.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), im\right) \]

   7. Applied egg-rr 63.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\cos re\right) \cdot im} \]

   if 235 < im < 4.0000000000000001e133

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 73.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 73.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 73.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5} - e^{im} \cdot 0.5 \]

   if 4.0000000000000001e133 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 83.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 67.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 235:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(0 - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4 \cdot 10^{+133}:\\ \;\;\;\;0.5 - e^{im} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 84.3% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ t_1 := im\_m \cdot t\_0\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(0 - im\_m\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 6.6 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{t\_1 \cdot t\_1}{im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(0 - im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)}}{t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m (* im_m im_m)))) (t_1 (* im_m t_0)))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 3.7e-9)
      (* (cos re) (- 0.0 im_m))
      (if (<= im_m 6.6e+30)
        (*
         (+ 0.5 (* (* re re) (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332))))
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.3333333333333333
             (*
              (* im_m im_m)
              (+
               -0.016666666666666666
               (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))
        (if (<= im_m 2e+51)
          (/
           (/ (* t_1 t_1) (* im_m (* im_m (* im_m (- 0.0 (* im_m im_m))))))
           t_0)
          (*
           (+ 0.5 (* (* re re) -0.25))
           (*
            im_m
            (+
             -2.0
             (*
              (* im_m im_m)
              (+
               -0.3333333333333333
               (*
                -0.0003968253968253968
                (* (* im_m im_m) (* im_m im_m))))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * (im_m * im_m));
	double t_1 = im_m * t_0;
	double tmp;
	if (im_m <= 3.7e-9) {
		tmp = cos(re) * (0.0 - im_m);
	} else if (im_m <= 6.6e+30) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else if (im_m <= 2e+51) {
		tmp = ((t_1 * t_1) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_0;
	} else {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * (im_m * im_m))
    t_1 = im_m * t_0
    if (im_m <= 3.7d-9) then
        tmp = cos(re) * (0.0d0 - im_m)
    else if (im_m <= 6.6d+30) then
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0)))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))
    else if (im_m <= 2d+51) then
        tmp = ((t_1 * t_1) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0d0 - (im_m * im_m)))))) / t_0
    else
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * (-0.25d0))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((-0.0003968253968253968d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * (im_m * im_m));
	double t_1 = im_m * t_0;
	double tmp;
	if (im_m <= 3.7e-9) {
		tmp = Math.cos(re) * (0.0 - im_m);
	} else if (im_m <= 6.6e+30) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else if (im_m <= 2e+51) {
		tmp = ((t_1 * t_1) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_0;
	} else {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * (im_m * im_m))
	t_1 = im_m * t_0
	tmp = 0
	if im_m <= 3.7e-9:
		tmp = math.cos(re) * (0.0 - im_m)
	elif im_m <= 6.6e+30:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))
	elif im_m <= 2e+51:
		tmp = ((t_1 * t_1) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_0
	else:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)))
	t_1 = Float64(im_m * t_0)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 3.7e-9)
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(0.0 - im_m));
	elseif (im_m <= 6.6e+30)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332)))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	elseif (im_m <= 2e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(t_1 * t_1) / Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(0.0 - Float64(im_m * im_m)))))) / t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.25)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * (im_m * im_m));
	t_1 = im_m * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 3.7e-9)
		tmp = cos(re) * (0.0 - im_m);
	elseif (im_m <= 6.6e+30)
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	elseif (im_m <= 2e+51)
		tmp = ((t_1 * t_1) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_0;
	else
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 3.7e-9], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 6.6e+30], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2e+51], N[(N[(N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(0.0 - N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(-0.0003968253968253968 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 3.7e-9

   1. Initial program 42.5%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 63.8%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\cos re \cdot im\right) \]

      3. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos re\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\cos re\right), im\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 63.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), im\right) \]

   7. Applied egg-rr 63.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\cos re\right) \cdot im} \]

   if 3.7e-9 < im < 6.60000000000000053e30

   1. Initial program 97.8%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 14.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 14.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 51.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 51.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   if 6.60000000000000053e30 < im < 2e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 3.4%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

      3. --lowering--.f64 3.0%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

   8. Simplified 3.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip3-- N/A

         \[\leadsto \frac{{0}^{3} - {im}^{3}}{\color{blue}{0 \cdot 0 + \left(im \cdot im + 0 \cdot im\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{0 - {im}^{3}}{\color{blue}{0} \cdot 0 + \left(im \cdot im + 0 \cdot im\right)} \]

      3. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{0 \cdot \color{blue}{0} + \left(im \cdot im + 0 \cdot im\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{0 + \left(\color{blue}{im \cdot im} + 0 \cdot im\right)} \]

      5. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot im + \color{blue}{0 \cdot im}} \]

      6. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot \color{blue}{\left(im + 0\right)}} \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot \left(0 + \color{blue}{im}\right)} \]

      8. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot im} \]

      9. sub-div N/A

         \[\leadsto \frac{0}{im \cdot im} - \color{blue}{\frac{im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot im}} \]

      10. frac-sub N/A

          \[\leadsto \frac{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}} \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \frac{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}} \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 3.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 + \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       2. mul0-lft N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) + \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       3. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       4. mul0-lft N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{0 - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       5. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       6. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{0 \cdot \left(im \cdot im\right) + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       7. mul0-lft N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{0 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 85.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0 - \left(0 - im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0 - im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}}}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 2e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 75.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 75.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 75.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 75.5%

       \[\leadsto \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 66.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(0 - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.6 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(0 - im \cdot im\right)\right)\right)}}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 62.3% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.3333333333333333 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.016666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 4 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 - \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot 0.5\right)}{-2 - \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -0.3333333333333333
          (*
           im_m
           (*
            im_m
            (+
             -0.016666666666666666
             (* im_m (* im_m -0.0003968253968253968))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 4e+51)
      (/
       (* (- 4.0 (* (* im_m (* im_m (* im_m im_m))) (* t_0 t_0))) (* im_m 0.5))
       (- -2.0 (* (* im_m im_m) t_0)))
      (*
       (+ 0.5 (* (* re re) -0.25))
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (* -0.0003968253968253968 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 4e+51) {
		tmp = ((4.0 - ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (t_0 * t_0))) * (im_m * 0.5)) / (-2.0 - ((im_m * im_m) * t_0));
	} else {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.3333333333333333d0) + (im_m * (im_m * ((-0.016666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.0003968253968253968d0))))))
    if (im_m <= 4d+51) then
        tmp = ((4.0d0 - ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (t_0 * t_0))) * (im_m * 0.5d0)) / ((-2.0d0) - ((im_m * im_m) * t_0))
    else
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * (-0.25d0))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((-0.0003968253968253968d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))));
	double tmp;
	if (im_m <= 4e+51) {
		tmp = ((4.0 - ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (t_0 * t_0))) * (im_m * 0.5)) / (-2.0 - ((im_m * im_m) * t_0));
	} else {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))))
	tmp = 0
	if im_m <= 4e+51:
		tmp = ((4.0 - ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (t_0 * t_0))) * (im_m * 0.5)) / (-2.0 - ((im_m * im_m) * t_0))
	else:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.3333333333333333 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.0003968253968253968))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 4e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(4.0 - Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))) * Float64(t_0 * t_0))) * Float64(im_m * 0.5)) / Float64(-2.0 - Float64(Float64(im_m * im_m) * t_0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.25)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.3333333333333333 + (im_m * (im_m * (-0.016666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.0003968253968253968)))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 4e+51)
		tmp = ((4.0 - ((im_m * (im_m * (im_m * im_m))) * (t_0 * t_0))) * (im_m * 0.5)) / (-2.0 - ((im_m * im_m) * t_0));
	else
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.3333333333333333 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.016666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 4e+51], N[(N[(N[(4.0 - N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(-2.0 - N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(-0.0003968253968253968 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4e51

   1. Initial program 47.1%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 89.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 56.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \frac{-2 \cdot -2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)}{\color{blue}{-2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)}} \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(-2 \cdot -2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{-2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot im\right) \cdot \left(-2 \cdot -2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 35.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(im \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(4 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{-2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot im\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 40.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{2}\right), \mathsf{\_.f64}\left(4, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 40.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(im \cdot 0.5\right)} \cdot \left(4 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{-2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   if 4e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 75.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 75.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 75.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 75.5%

       \[\leadsto \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 46.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot 0.5\right)}{-2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.016666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 62.8% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ t_1 := im\_m \cdot t\_0\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 300:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 6.6 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 1.8 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{t\_1 \cdot t\_1}{im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(0 - im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)}}{t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m (* im_m im_m)))) (t_1 (* im_m t_0)))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 300.0)
      (*
       im_m
       (+
        -1.0
        (*
         im_m
         (*
          im_m
          (+
           -0.16666666666666666
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.008333333333333333
              (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))
      (if (<= im_m 6.6e+30)
        (*
         (+ 0.5 (* (* re re) (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332))))
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.3333333333333333
             (*
              (* im_m im_m)
              (+
               -0.016666666666666666
               (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))
        (if (<= im_m 1.8e+51)
          (/
           (/ (* t_1 t_1) (* im_m (* im_m (* im_m (- 0.0 (* im_m im_m))))))
           t_0)
          (*
           (+ 0.5 (* (* re re) -0.25))
           (*
            im_m
            (+
             -2.0
             (*
              (* im_m im_m)
              (+
               -0.3333333333333333
               (*
                -0.0003968253968253968
                (* (* im_m im_m) (* im_m im_m))))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * (im_m * im_m));
	double t_1 = im_m * t_0;
	double tmp;
	if (im_m <= 300.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else if (im_m <= 6.6e+30) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else if (im_m <= 1.8e+51) {
		tmp = ((t_1 * t_1) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_0;
	} else {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * (im_m * im_m))
    t_1 = im_m * t_0
    if (im_m <= 300.0d0) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else if (im_m <= 6.6d+30) then
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0)))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))
    else if (im_m <= 1.8d+51) then
        tmp = ((t_1 * t_1) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0d0 - (im_m * im_m)))))) / t_0
    else
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * (-0.25d0))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((-0.0003968253968253968d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * (im_m * im_m));
	double t_1 = im_m * t_0;
	double tmp;
	if (im_m <= 300.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else if (im_m <= 6.6e+30) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else if (im_m <= 1.8e+51) {
		tmp = ((t_1 * t_1) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_0;
	} else {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * (im_m * im_m))
	t_1 = im_m * t_0
	tmp = 0
	if im_m <= 300.0:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	elif im_m <= 6.6e+30:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))
	elif im_m <= 1.8e+51:
		tmp = ((t_1 * t_1) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_0
	else:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)))
	t_1 = Float64(im_m * t_0)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 300.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))));
	elseif (im_m <= 6.6e+30)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332)))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	elseif (im_m <= 1.8e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(t_1 * t_1) / Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(0.0 - Float64(im_m * im_m)))))) / t_0);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.25)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * (im_m * im_m));
	t_1 = im_m * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 300.0)
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	elseif (im_m <= 6.6e+30)
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	elseif (im_m <= 1.8e+51)
		tmp = ((t_1 * t_1) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_0;
	else
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 300.0], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 6.6e+30], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1.8e+51], N[(N[(N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(0.0 - N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(-0.0003968253968253968 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 300

   1. Initial program 43.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 61.6%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 300 < im < 6.60000000000000053e30

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 4.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 51.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 51.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   if 6.60000000000000053e30 < im < 1.80000000000000005e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 3.4%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

      3. --lowering--.f64 3.0%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

   8. Simplified 3.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip3-- N/A

         \[\leadsto \frac{{0}^{3} - {im}^{3}}{\color{blue}{0 \cdot 0 + \left(im \cdot im + 0 \cdot im\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{0 - {im}^{3}}{\color{blue}{0} \cdot 0 + \left(im \cdot im + 0 \cdot im\right)} \]

      3. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{0 \cdot \color{blue}{0} + \left(im \cdot im + 0 \cdot im\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{0 + \left(\color{blue}{im \cdot im} + 0 \cdot im\right)} \]

      5. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot im + \color{blue}{0 \cdot im}} \]

      6. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot \color{blue}{\left(im + 0\right)}} \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot \left(0 + \color{blue}{im}\right)} \]

      8. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot im} \]

      9. sub-div N/A

         \[\leadsto \frac{0}{im \cdot im} - \color{blue}{\frac{im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot im}} \]

      10. frac-sub N/A

          \[\leadsto \frac{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}} \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \frac{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}} \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 3.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 + \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       2. mul0-lft N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) + \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       3. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       4. mul0-lft N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{0 - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       5. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       6. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{0 \cdot \left(im \cdot im\right) + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       7. mul0-lft N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{0 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 85.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0 - \left(0 - im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0 - im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}}}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 1.80000000000000005e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 75.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 75.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 75.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 75.5%

       \[\leadsto \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 64.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 300:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.6 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.8 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(0 - im \cdot im\right)\right)\right)}}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 62.8% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ t_1 := im\_m \cdot t\_0\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 360:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 6.6 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.5 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(t\_0 \cdot \left(im\_m \cdot t\_1\right)\right)}{im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(0 - im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)}}{t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m im_m))) (t_1 (* im_m t_0)))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 360.0)
      (*
       im_m
       (+
        -1.0
        (*
         im_m
         (*
          im_m
          (+
           -0.16666666666666666
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.008333333333333333
              (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))
      (if (<= im_m 6.6e+30)
        (*
         (+ 0.5 (* (* re re) (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332))))
         (*
          im_m
          (+
           -2.0
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.3333333333333333
             (*
              (* im_m im_m)
              (+
               -0.016666666666666666
               (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))
        (if (<= im_m 3.5e+51)
          (/
           (/
            (* (* im_m im_m) (* t_0 (* im_m t_1)))
            (* im_m (* im_m (* im_m (- 0.0 (* im_m im_m))))))
           t_1)
          (*
           (+ 0.5 (* (* re re) -0.25))
           (*
            im_m
            (+
             -2.0
             (*
              (* im_m im_m)
              (+
               -0.3333333333333333
               (*
                -0.0003968253968253968
                (* (* im_m im_m) (* im_m im_m))))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double t_1 = im_m * t_0;
	double tmp;
	if (im_m <= 360.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else if (im_m <= 6.6e+30) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else if (im_m <= 3.5e+51) {
		tmp = (((im_m * im_m) * (t_0 * (im_m * t_1))) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_1;
	} else {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * im_m)
    t_1 = im_m * t_0
    if (im_m <= 360.0d0) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else if (im_m <= 6.6d+30) then
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0)))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))
    else if (im_m <= 3.5d+51) then
        tmp = (((im_m * im_m) * (t_0 * (im_m * t_1))) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0d0 - (im_m * im_m)))))) / t_1
    else
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * (-0.25d0))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((-0.0003968253968253968d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double t_1 = im_m * t_0;
	double tmp;
	if (im_m <= 360.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else if (im_m <= 6.6e+30) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else if (im_m <= 3.5e+51) {
		tmp = (((im_m * im_m) * (t_0 * (im_m * t_1))) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_1;
	} else {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * im_m)
	t_1 = im_m * t_0
	tmp = 0
	if im_m <= 360.0:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	elif im_m <= 6.6e+30:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))
	elif im_m <= 3.5e+51:
		tmp = (((im_m * im_m) * (t_0 * (im_m * t_1))) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_1
	else:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))
	t_1 = Float64(im_m * t_0)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 360.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))));
	elseif (im_m <= 6.6e+30)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332)))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	elseif (im_m <= 3.5e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(t_0 * Float64(im_m * t_1))) / Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(0.0 - Float64(im_m * im_m)))))) / t_1);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.25)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	t_1 = im_m * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 360.0)
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	elseif (im_m <= 6.6e+30)
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	elseif (im_m <= 3.5e+51)
		tmp = (((im_m * im_m) * (t_0 * (im_m * t_1))) / (im_m * (im_m * (im_m * (0.0 - (im_m * im_m)))))) / t_1;
	else
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 360.0], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 6.6e+30], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 3.5e+51], N[(N[(N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * N[(im$95$m * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(0.0 - N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(-0.0003968253968253968 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 360

   1. Initial program 43.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 61.6%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 360 < im < 6.60000000000000053e30

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 4.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 51.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 51.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   if 6.60000000000000053e30 < im < 3.5e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 3.4%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

      3. --lowering--.f64 3.0%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

   8. Simplified 3.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip3-- N/A

         \[\leadsto \frac{{0}^{3} - {im}^{3}}{\color{blue}{0 \cdot 0 + \left(im \cdot im + 0 \cdot im\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{0 - {im}^{3}}{\color{blue}{0} \cdot 0 + \left(im \cdot im + 0 \cdot im\right)} \]

      3. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{0 \cdot \color{blue}{0} + \left(im \cdot im + 0 \cdot im\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{0 + \left(\color{blue}{im \cdot im} + 0 \cdot im\right)} \]

      5. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot im + \color{blue}{0 \cdot im}} \]

      6. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot \color{blue}{\left(im + 0\right)}} \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot \left(0 + \color{blue}{im}\right)} \]

      8. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \frac{0 - im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot im} \]

      9. sub-div N/A

         \[\leadsto \frac{0}{im \cdot im} - \color{blue}{\frac{im \cdot \left(im \cdot im\right)}{im \cdot im}} \]

      10. frac-sub N/A

          \[\leadsto \frac{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{\color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}} \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \frac{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}} \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right) \]

      13. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 3.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{0 \cdot \left(im \cdot im\right) + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       2. mul0-lft N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{0 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 85.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{0 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}}}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 3.5e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 75.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 75.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 75.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 75.5%

       \[\leadsto \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 64.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 360:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.6 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.5 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(0 - im \cdot im\right)\right)\right)}}{im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 61.9% accurate, 6.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 360:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 10^{+134}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 360.0)
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       im_m
       (*
        im_m
        (+
         -0.16666666666666666
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.008333333333333333
            (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))
    (if (<= im_m 1e+134)
      (*
       (+ 0.5 (* (* re re) (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332))))
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (*
            (* im_m im_m)
            (+
             -0.016666666666666666
             (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))
      (*
       (* im_m (* im_m im_m))
       (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 360.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else if (im_m <= 1e+134) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 360.0d0) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else if (im_m <= 1d+134) then
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0)))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))
    else
        tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 360.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else if (im_m <= 1e+134) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 360.0:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	elif im_m <= 1e+134:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))
	else:
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 360.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))));
	elseif (im_m <= 1e+134)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332)))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 360.0)
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	elseif (im_m <= 1e+134)
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	else
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 360.0], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1e+134], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 360

   1. Initial program 43.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 61.6%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 360 < im < 9.99999999999999921e133

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 61.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 61.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 56.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   if 9.99999999999999921e133 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 83.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 61.9% accurate, 8.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 410:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.75 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 410.0)
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       im_m
       (*
        im_m
        (+
         -0.16666666666666666
         (*
          im_m
          (*
           im_m
           (+
            -0.008333333333333333
            (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))
    (if (<= im_m 3.75e+30)
      (*
       (* -0.16666666666666666 (* im_m (* im_m im_m)))
       (+ (* re (* re (+ -0.5 (* (* re re) 0.041666666666666664)))) 1.0))
      (*
       (+ 0.5 (* (* re re) -0.25))
       (*
        im_m
        (+
         -2.0
         (*
          (* im_m im_m)
          (+
           -0.3333333333333333
           (* -0.0003968253968253968 (* (* im_m im_m) (* im_m im_m))))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 410.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else if (im_m <= 3.75e+30) {
		tmp = (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m))) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0);
	} else {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 410.0d0) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else if (im_m <= 3.75d+30) then
        tmp = ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * (im_m * im_m))) * ((re * (re * ((-0.5d0) + ((re * re) * 0.041666666666666664d0)))) + 1.0d0)
    else
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * (-0.25d0))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((-0.0003968253968253968d0) * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 410.0) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else if (im_m <= 3.75e+30) {
		tmp = (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m))) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0);
	} else {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 410.0:
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	elif im_m <= 3.75e+30:
		tmp = (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m))) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0)
	else:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 410.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))));
	elseif (im_m <= 3.75e+30)
		tmp = Float64(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))) * Float64(Float64(re * Float64(re * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.25)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(-0.0003968253968253968 * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(im_m * im_m))))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 410.0)
		tmp = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	elseif (im_m <= 3.75e+30)
		tmp = (-0.16666666666666666 * (im_m * (im_m * im_m))) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0);
	else
		tmp = (0.5 + ((re * re) * -0.25)) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + (-0.0003968253968253968 * ((im_m * im_m) * (im_m * im_m)))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 410.0], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 3.75e+30], N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(re * N[(re * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(-0.0003968253968253968 * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 410

   1. Initial program 43.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.0%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 61.6%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 410 < im < 3.74999999999999986e30

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 3.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \cos re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {im}^{3}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{3}\right)}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 3.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 3.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{-1}{6}}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 51.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 51.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

   if 3.74999999999999986e30 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} + \color{blue}{\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      22. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      23. *-lowering-*.f64 90.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 70.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 70.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2520}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 70.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 70.0%

       \[\leadsto \left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot -0.0003968253968253968}\right)\right)\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 63.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 410:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.75 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.25\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + -0.0003968253968253968 \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 61.7% accurate, 8.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 380:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.7 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 10^{+134}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (+
           -1.0
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.16666666666666666
              (*
               im_m
               (*
                im_m
                (+
                 -0.008333333333333333
                 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 380.0)
      t_0
      (if (<= im_m 3.7e+44)
        (*
         (+ 0.5 (* (* re re) (+ -0.25 (* (* re re) 0.020833333333333332))))
         (* im_m (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333))))
        (if (<= im_m 1e+134)
          t_0
          (*
           (* im_m (* im_m im_m))
           (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 380.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.7e+44) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	} else if (im_m <= 1e+134) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    if (im_m <= 380.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 3.7d+44) then
        tmp = (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.25d0) + ((re * re) * 0.020833333333333332d0)))) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0))))
    else if (im_m <= 1d+134) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 380.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.7e+44) {
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	} else if (im_m <= 1e+134) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 380.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 3.7e+44:
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)))
	elif im_m <= 1e+134:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 380.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.7e+44)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.25 + Float64(Float64(re * re) * 0.020833333333333332)))) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333))));
	elseif (im_m <= 1e+134)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 380.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.7e+44)
		tmp = (0.5 + ((re * re) * (-0.25 + ((re * re) * 0.020833333333333332)))) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)));
	elseif (im_m <= 1e+134)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 380.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 3.7e+44], N[(N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.25 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.020833333333333332), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1e+134], t$95$0, N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 380 or 3.7000000000000001e44 < im < 9.99999999999999921e133

   1. Initial program 48.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 95.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.4%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 61.9%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 380 < im < 3.7000000000000001e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 3.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{4} + \frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\frac{1}{48} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 37.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{48}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 37.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.020833333333333332\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   if 9.99999999999999921e133 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 83.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 14: 61.7% accurate, 8.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ t_1 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 380:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.7 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(-0.16666666666666666 \cdot t\_1\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 10^{+133}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (+
           -1.0
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.16666666666666666
              (*
               im_m
               (*
                im_m
                (+
                 -0.008333333333333333
                 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984))))))))))
        (t_1 (* im_m (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 380.0)
      t_0
      (if (<= im_m 3.7e+44)
        (*
         (* -0.16666666666666666 t_1)
         (+ (* re (* re (+ -0.5 (* (* re re) 0.041666666666666664)))) 1.0))
        (if (<= im_m 1e+133)
          t_0
          (*
           t_1
           (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	double t_1 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 380.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.7e+44) {
		tmp = (-0.16666666666666666 * t_1) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0);
	} else if (im_m <= 1e+133) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = t_1 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    t_1 = im_m * (im_m * im_m)
    if (im_m <= 380.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 3.7d+44) then
        tmp = ((-0.16666666666666666d0) * t_1) * ((re * (re * ((-0.5d0) + ((re * re) * 0.041666666666666664d0)))) + 1.0d0)
    else if (im_m <= 1d+133) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = t_1 * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	double t_1 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 380.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.7e+44) {
		tmp = (-0.16666666666666666 * t_1) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0);
	} else if (im_m <= 1e+133) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = t_1 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	t_1 = im_m * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if im_m <= 380.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 3.7e+44:
		tmp = (-0.16666666666666666 * t_1) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0)
	elif im_m <= 1e+133:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = t_1 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))))
	t_1 = Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 380.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.7e+44)
		tmp = Float64(Float64(-0.16666666666666666 * t_1) * Float64(Float64(re * Float64(re * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0));
	elseif (im_m <= 1e+133)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	t_1 = im_m * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 380.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.7e+44)
		tmp = (-0.16666666666666666 * t_1) * ((re * (re * (-0.5 + ((re * re) * 0.041666666666666664)))) + 1.0);
	elseif (im_m <= 1e+133)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = t_1 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 380.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 3.7e+44], N[(N[(-0.16666666666666666 * t$95$1), $MachinePrecision] * N[(N[(re * N[(re * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 1e+133], t$95$0, N[(t$95$1 * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 380 or 3.7000000000000001e44 < im < 1e133

   1. Initial program 48.4%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 95.4%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.4%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 61.9%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 380 < im < 3.7000000000000001e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 3.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.8%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \cos re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {im}^{3}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{3}\right)}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 3.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 3.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{-1}{6}}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       6. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 37.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 37.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]

   if 1e133 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 83.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 63.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 380:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+133}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 61.3% accurate, 8.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 350:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 9.5 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + im\_m \cdot 0.5\right) - im\_m\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (+
           -1.0
           (*
            im_m
            (*
             im_m
             (+
              -0.16666666666666666
              (*
               im_m
               (*
                im_m
                (+
                 -0.008333333333333333
                 (* (* im_m im_m) -0.0001984126984126984)))))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 350.0)
      t_0
      (if (<= im_m 9.5e+30)
        (-
         (*
          (* re re)
          (+ (* (* im_m (* re re)) -0.041666666666666664) (* im_m 0.5)))
         im_m)
        (if (<= im_m 2e+132)
          t_0
          (*
           (* im_m (* im_m im_m))
           (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 350.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 9.5e+30) {
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m;
	} else if (im_m <= 2e+132) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * ((-0.008333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    if (im_m <= 350.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 9.5d+30) then
        tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * (-0.041666666666666664d0)) + (im_m * 0.5d0))) - im_m
    else if (im_m <= 2d+132) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 350.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 9.5e+30) {
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m;
	} else if (im_m <= 2e+132) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 350.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 9.5e+30:
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m
	elif im_m <= 2e+132:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.008333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0001984126984126984)))))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 350.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 9.5e+30)
		tmp = Float64(Float64(Float64(re * re) * Float64(Float64(Float64(im_m * Float64(re * re)) * -0.041666666666666664) + Float64(im_m * 0.5))) - im_m);
	elseif (im_m <= 2e+132)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (-1.0 + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.0001984126984126984))))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 350.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 9.5e+30)
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m;
	elseif (im_m <= 2e+132)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.008333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 350.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 9.5e+30], N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.041666666666666664), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2e+132], t$95$0, N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 350 or 9.5000000000000003e30 < im < 1.99999999999999998e132

   1. Initial program 49.8%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot \cos re + \frac{-1}{5040} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right)\right)\right)\right)} \]

   5. Simplified 93.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\cos re \cdot \left(\left(-0.008333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot -0.0001984126984126984\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) + \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} + \color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 93.1%

      \[\leadsto im \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

       2. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sub-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{5040} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{120}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 60.4%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 350 < im < 9.5000000000000003e30

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 3.3%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right) - im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot im\right)\right), im\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 51.3%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, im\right)\right)\right), im\right) \]

   8. Simplified 51.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + 0.5 \cdot im\right) - im} \]

   if 1.99999999999999998e132 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 83.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 62.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 350:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.5 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + im \cdot 0.5\right) - im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.008333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 60.2% accurate, 11.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 420:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + im\_m \cdot 0.5\right) - im\_m\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 2 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 420.0)
      (*
       im_m
       (+
        (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666)))
        (* -0.008333333333333333 (* im_m t_0))))
      (if (<= im_m 4.9e+59)
        (-
         (*
          (* re re)
          (+ (* (* im_m (* re re)) -0.041666666666666664) (* im_m 0.5)))
         im_m)
        (if (<= im_m 2e+132)
          (*
           im_m
           (+ -1.0 (* (* im_m im_m) (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))
          (*
           t_0
           (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 420.0) {
		tmp = im_m * ((-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))) + (-0.008333333333333333 * (im_m * t_0)));
	} else if (im_m <= 4.9e+59) {
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m;
	} else if (im_m <= 2e+132) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	} else {
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * im_m)
    if (im_m <= 420.0d0) then
        tmp = im_m * (((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))) + ((-0.008333333333333333d0) * (im_m * t_0)))
    else if (im_m <= 4.9d+59) then
        tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * (-0.041666666666666664d0)) + (im_m * 0.5d0))) - im_m
    else if (im_m <= 2d+132) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))
    else
        tmp = t_0 * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 420.0) {
		tmp = im_m * ((-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))) + (-0.008333333333333333 * (im_m * t_0)));
	} else if (im_m <= 4.9e+59) {
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m;
	} else if (im_m <= 2e+132) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	} else {
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if im_m <= 420.0:
		tmp = im_m * ((-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))) + (-0.008333333333333333 * (im_m * t_0)))
	elif im_m <= 4.9e+59:
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m
	elif im_m <= 2e+132:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))
	else:
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 420.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666))) + Float64(-0.008333333333333333 * Float64(im_m * t_0))));
	elseif (im_m <= 4.9e+59)
		tmp = Float64(Float64(Float64(re * re) * Float64(Float64(Float64(im_m * Float64(re * re)) * -0.041666666666666664) + Float64(im_m * 0.5))) - im_m);
	elseif (im_m <= 2e+132)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 420.0)
		tmp = im_m * ((-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))) + (-0.008333333333333333 * (im_m * t_0)));
	elseif (im_m <= 4.9e+59)
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m;
	elseif (im_m <= 2e+132)
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	else
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 420.0], N[(im$95$m * N[(N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.008333333333333333 * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4.9e+59], N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.041666666666666664), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 2e+132], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 420

   1. Initial program 43.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 35.1%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 35.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 58.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{6}\right) + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) + \left(im \cdot \color{blue}{im}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \left(\left(im \cdot \color{blue}{im}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot \color{blue}{im}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot \color{blue}{im}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{120} \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot im\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 58.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 58.6%

       \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

   if 420 < im < 4.90000000000000007e59

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 3.4%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right) - im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot im\right)\right), im\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 27.1%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, im\right)\right)\right), im\right) \]

   8. Simplified 27.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + 0.5 \cdot im\right) - im} \]

   if 4.90000000000000007e59 < im < 1.99999999999999998e132

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 66.7%

       \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

   if 1.99999999999999998e132 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 83.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 60.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 420:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + im \cdot 0.5\right) - im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 60.2% accurate, 11.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ t_1 := \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 400:\\ \;\;\;\;\left(-0.16666666666666666 + t\_1\right) \cdot t\_0 - im\_m\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + im\_m \cdot 0.5\right) - im\_m\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 7.8 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot t\_1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m im_m)))
        (t_1 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 400.0)
      (- (* (+ -0.16666666666666666 t_1) t_0) im_m)
      (if (<= im_m 4.9e+59)
        (-
         (*
          (* re re)
          (+ (* (* im_m (* re re)) -0.041666666666666664) (* im_m 0.5)))
         im_m)
        (if (<= im_m 7.8e+132)
          (* im_m (+ -1.0 (* (* im_m im_m) t_1)))
          (*
           t_0
           (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double t_1 = (im_m * im_m) * -0.008333333333333333;
	double tmp;
	if (im_m <= 400.0) {
		tmp = ((-0.16666666666666666 + t_1) * t_0) - im_m;
	} else if (im_m <= 4.9e+59) {
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m;
	} else if (im_m <= 7.8e+132) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * t_1));
	} else {
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * im_m)
    t_1 = (im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)
    if (im_m <= 400.0d0) then
        tmp = (((-0.16666666666666666d0) + t_1) * t_0) - im_m
    else if (im_m <= 4.9d+59) then
        tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * (-0.041666666666666664d0)) + (im_m * 0.5d0))) - im_m
    else if (im_m <= 7.8d+132) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * t_1))
    else
        tmp = t_0 * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double t_1 = (im_m * im_m) * -0.008333333333333333;
	double tmp;
	if (im_m <= 400.0) {
		tmp = ((-0.16666666666666666 + t_1) * t_0) - im_m;
	} else if (im_m <= 4.9e+59) {
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m;
	} else if (im_m <= 7.8e+132) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * t_1));
	} else {
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * im_m)
	t_1 = (im_m * im_m) * -0.008333333333333333
	tmp = 0
	if im_m <= 400.0:
		tmp = ((-0.16666666666666666 + t_1) * t_0) - im_m
	elif im_m <= 4.9e+59:
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m
	elif im_m <= 7.8e+132:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * t_1))
	else:
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))
	t_1 = Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 400.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(-0.16666666666666666 + t_1) * t_0) - im_m);
	elseif (im_m <= 4.9e+59)
		tmp = Float64(Float64(Float64(re * re) * Float64(Float64(Float64(im_m * Float64(re * re)) * -0.041666666666666664) + Float64(im_m * 0.5))) - im_m);
	elseif (im_m <= 7.8e+132)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * t_1)));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	t_1 = (im_m * im_m) * -0.008333333333333333;
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 400.0)
		tmp = ((-0.16666666666666666 + t_1) * t_0) - im_m;
	elseif (im_m <= 4.9e+59)
		tmp = ((re * re) * (((im_m * (re * re)) * -0.041666666666666664) + (im_m * 0.5))) - im_m;
	elseif (im_m <= 7.8e+132)
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * t_1));
	else
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 400.0], N[(N[(N[(-0.16666666666666666 + t$95$1), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4.9e+59], N[(N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im$95$m * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.041666666666666664), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 7.8e+132], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 400

   1. Initial program 43.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 35.1%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 35.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 58.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im} \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)} \cdot im \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \left(0 - im\right) + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)} \cdot im \]

      4. mul0-lft N/A

         \[\leadsto \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - im\right) + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto 0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \color{blue}{\left(im - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im\right)} \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{\left(im - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im\right)}\right) \]

      7. mul0-lft N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\color{blue}{im} - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im\right)}\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 58.6%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 58.6%

       \[\leadsto \color{blue}{0 - \left(im - \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 400 < im < 4.90000000000000007e59

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 3.4%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 3.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right) - im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - \frac{-1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      5. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot im\right)\right), im\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) + \frac{1}{2} \cdot im\right)\right), im\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{24} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {re}^{2}\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2}\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)\right), im\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 27.1%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right), \frac{-1}{24}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, im\right)\right)\right), im\right) \]

   8. Simplified 27.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + 0.5 \cdot im\right) - im} \]

   if 4.90000000000000007e59 < im < 7.80000000000000002e132

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 66.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 66.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 66.7%

       \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

   if 7.80000000000000002e132 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 83.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 60.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 400:\\ \;\;\;\;\left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.9 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) \cdot -0.041666666666666664 + im \cdot 0.5\right) - im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7.8 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 58.5% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 1.1 \cdot 10^{+135}:\\ \;\;\;\;\left(-0.16666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot t\_0 - im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 1.1e+135)
      (-
       (* (+ -0.16666666666666666 (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333)) t_0)
       im_m)
      (* t_0 (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 1.1e+135) {
		tmp = ((-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)) * t_0) - im_m;
	} else {
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * im_m)
    if (im_m <= 1.1d+135) then
        tmp = (((-0.16666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))) * t_0) - im_m
    else
        tmp = t_0 * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	double tmp;
	if (im_m <= 1.1e+135) {
		tmp = ((-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)) * t_0) - im_m;
	} else {
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * im_m)
	tmp = 0
	if im_m <= 1.1e+135:
		tmp = ((-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)) * t_0) - im_m
	else:
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * im_m))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 1.1e+135)
		tmp = Float64(Float64(Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)) * t_0) - im_m);
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * im_m);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 1.1e+135)
		tmp = ((-0.16666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)) * t_0) - im_m;
	else
		tmp = t_0 * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 1.1e+135], N[(N[(N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.1e135

   1. Initial program 51.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 40.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 40.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 55.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto -1 \cdot im + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im} \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(im\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)} \cdot im \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \left(0 - im\right) + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right)} \cdot im \]

      4. mul0-lft N/A

         \[\leadsto \left(0 \cdot \left(im \cdot im\right) - im\right) + \left(\color{blue}{\left(im \cdot im\right)} \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto 0 \cdot \left(im \cdot im\right) - \color{blue}{\left(im - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im\right)} \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(0 \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{\left(im - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im\right)}\right) \]

      7. mul0-lft N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\color{blue}{im} - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right) \cdot im\right)}\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(\left(\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right) \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{6} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{120}\right)\right), \left(\color{blue}{im} \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 55.3%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{\_.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 55.3%

       \[\leadsto \color{blue}{0 - \left(im - \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   if 1.1e135 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 83.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.1 \cdot 10^{+135}:\\ \;\;\;\;\left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 58.4% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 6.5 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 6.5e+132)
    (*
     im_m
     (+
      -1.0
      (*
       (* im_m im_m)
       (+ -0.16666666666666666 (* im_m (* im_m -0.008333333333333333))))))
    (*
     (* im_m (* im_m im_m))
     (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 6.5e+132) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333)))));
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 6.5d+132) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.16666666666666666d0) + (im_m * (im_m * (-0.008333333333333333d0))))))
    else
        tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 6.5e+132) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333)))));
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 6.5e+132:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333)))))
	else:
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 6.5e+132)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 6.5e+132)
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * (-0.16666666666666666 + (im_m * (im_m * -0.008333333333333333)))));
	else
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 6.5e+132], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 6.4999999999999994e132

   1. Initial program 51.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 40.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 40.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 55.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{120}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(im \cdot \frac{-1}{120}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \frac{-1}{120}\right), \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 55.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{120}\right), im\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 55.3%

       \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(im \cdot -0.008333333333333333\right) \cdot im}\right)\right) \]

   if 6.4999999999999994e132 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 83.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + im \cdot \left(im \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 58.2% accurate, 17.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 5.2 \cdot 10^{+132}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 5.2e+132)
    (* im_m (+ -1.0 (* (* im_m im_m) (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))
    (*
     (* im_m (* im_m im_m))
     (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.08333333333333333))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.2e+132) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 5.2d+132) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0))))
    else
        tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.08333333333333333d0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 5.2e+132) {
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	} else {
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 5.2e+132:
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))
	else:
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 5.2e+132)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.08333333333333333)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 5.2e+132)
		tmp = im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333)));
	else
		tmp = (im_m * (im_m * im_m)) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.08333333333333333));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 5.2e+132], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 5.2e132

   1. Initial program 51.6%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 40.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 40.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 55.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 54.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 54.7%

       \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

   if 5.2e132 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(re \cdot re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + -0.25 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \left({im}^{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left({im}^{3} \cdot \frac{-1}{3}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)} \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{3}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot {im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{3} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}}\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right)} \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \]

       12. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{4} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{4}\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right) \]

       14. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{12}}\right)\right)\right) \]

       17. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       18. *-lowering-*.f64 83.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 21: 53.6% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 7.8 \cdot 10^{+89}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot re\right)\right) - im\_m\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 7.8e+89)
    (* im_m (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))
    (- (* 0.5 (* im_m (* re re))) im_m))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 7.8e+89) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	} else {
		tmp = (0.5 * (im_m * (re * re))) - im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 7.8d+89) then
        tmp = im_m * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m)))
    else
        tmp = (0.5d0 * (im_m * (re * re))) - im_m
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 7.8e+89) {
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	} else {
		tmp = (0.5 * (im_m * (re * re))) - im_m;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 7.8e+89:
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)))
	else:
		tmp = (0.5 * (im_m * (re * re))) - im_m
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 7.8e+89)
		tmp = Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * Float64(im_m * Float64(re * re))) - im_m);
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 7.8e+89)
		tmp = im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m)));
	else
		tmp = (0.5 * (im_m * (re * re))) - im_m;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 7.8e+89], N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * N[(im$95$m * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im$95$m), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 7.80000000000000021e89

   1. Initial program 58.8%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      3. distribute-lft-neg-out N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      6. exp-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      10. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 47.6%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   5. Simplified 47.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 54.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

   if 7.80000000000000021e89 < re

   1. Initial program 49.1%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 56.6%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right) - im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot {re}^{2}\right)\right), im\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({re}^{2}\right)\right)\right), im\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot re\right)\right)\right), im\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 15.9%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right), im\right) \]

   8. Simplified 15.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) - im} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 47.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 7.8 \cdot 10^{+89}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot re\right)\right) - im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 57.8% accurate, 23.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (* im_m (+ -1.0 (* (* im_m im_m) (* (* im_m im_m) -0.008333333333333333))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * ((-1.0d0) + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * (-0.008333333333333333d0)))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.008333333333333333)))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (-1.0 + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * -0.008333333333333333))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.3%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   4. unsub-neg N/A

      \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   12. exp-lowering-exp.f64 44.3%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

5. Simplified 44.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

6. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) - 1\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right) + -1\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 57.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 57.1%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in im around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{120} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{120}}\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 56.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 56.5%

    \[\leadsto im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 23: 53.4% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 235:\\ \;\;\;\;0 - im\_m\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 235.0)
    (- 0.0 im_m)
    (* im_m (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = 0.0 - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 235.0d0) then
        tmp = 0.0d0 - im_m
    else
        tmp = im_m * ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 235.0) {
		tmp = 0.0 - im_m;
	} else {
		tmp = im_m * (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 235.0:
		tmp = 0.0 - im_m
	else:
		tmp = im_m * (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = Float64(0.0 - im_m);
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 235.0)
		tmp = 0.0 - im_m;
	else
		tmp = im_m * (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 235.0], N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 235

   1. Initial program 43.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 63.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

      3. --lowering--.f64 36.1%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

   8. Simplified 36.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 36.1%

         \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(im\right) \]

   10. Applied egg-rr 36.1%

       \[\leadsto \color{blue}{-im} \]

   if 235 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 55.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 55.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{3} \cdot \cos re\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}\right)}\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {im}^{3}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{3}\right)}\right)\right) \]

      6. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot {im}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 55.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 55.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{3}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto {im}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

       2. cube-mult N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \frac{-1}{6} \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \left(im \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{-1}{6} \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 37.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 37.8%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 36.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 235:\\ \;\;\;\;0 - im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 24: 53.5% accurate, 34.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (* im_m (+ -1.0 (* -0.16666666666666666 (* im_m im_m))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * ((-1.0d0) + ((-0.16666666666666666d0) * (im_m * im_m))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(-1.0 + Float64(-0.16666666666666666 * Float64(im_m * im_m)))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (-1.0 + (-0.16666666666666666 * (im_m * im_m))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(-1.0 + N[(-0.16666666666666666 * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.3%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right)}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{im}\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   4. unsub-neg N/A

      \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2} - \color{blue}{e^{im} \cdot \frac{1}{2}} \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   6. exp-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{e^{im}}\right), \left(e^{\color{blue}{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(e^{im}\right)\right), \left(\color{blue}{e^{im}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   10. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \left(e^{im} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{im}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   12. exp-lowering-exp.f64 44.3%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(im\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

5. Simplified 44.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{e^{im}} - e^{im} \cdot 0.5} \]

6. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} - 1\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-1 + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 48.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 48.3%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

9. Final simplification 48.3%

   \[\leadsto im \cdot \left(-1 + -0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 25: 29.8% accurate, 103.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(0 - im\_m\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (- 0.0 im_m)))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - im_m);
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (0.0d0 - im_m)
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - im_m);
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (0.0 - im_m)

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(0.0 - im_m))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (0.0 - im_m);
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.3%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \cos re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \cos re\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \cos re} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \cos re\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\cos re}\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 48.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

5. Simplified 48.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \cos re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot im} \]
7. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im} \]

   3. --lowering--.f64 28.0%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{im}\right) \]

8. Simplified 28.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 28.0%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f64}\left(im\right) \]

10. Applied egg-rr 28.0%

    \[\leadsto \color{blue}{-im} \]

11. Final simplification 28.0%

    \[\leadsto 0 - im \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.8% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (cos re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(cos(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(cos(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (cos re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (cos re)) (- (exp (- 0 im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))