math.sin on complex, real part

Percentage Accurate: 99.9% → 99.9%

Time: 10.2s

Alternatives: 19

Speedup: 1.5×

• 49.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp((0.0d0 - im)) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp((0.0 - im)) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp((0.0d0 - im)) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp((0.0 - im)) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin re \cdot \cosh im \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* (sin re) (cosh im)))

C

double code(double re, double im) {
	return sin(re) * cosh(im);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = sin(re) * cosh(im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.sin(re) * Math.cosh(im);
}

Python

def code(re, im):
	return math.sin(re) * math.cosh(im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(sin(re) * cosh(im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = sin(re) * cosh(im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

   7. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   10. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   12. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

   5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 75.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin re \cdot 0.5\\ t_1 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\\ t_2 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-1 - t\_1\right)\\ t_3 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + t\_1\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 760000:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + t\_3 \cdot t\_2\right) \cdot t\_0}{2 + t\_2}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(t\_3 + 2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sin re) 0.5))
        (t_1
         (*
          (* im im)
          (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))
        (t_2 (* (* im im) (- -1.0 t_1)))
        (t_3 (* (* im im) (+ 1.0 t_1))))
   (if (<= im 760000.0)
     (/ (* (+ 4.0 (* t_3 t_2)) t_0) (+ 2.0 t_2))
     (if (<= im 6.2e+51)
       (* (cosh im) (* re (+ 1.0 (* (* re re) -0.16666666666666666))))
       (* t_0 (+ t_3 2.0))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = sin(re) * 0.5;
	double t_1 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_2 = (im * im) * (-1.0 - t_1);
	double t_3 = (im * im) * (1.0 + t_1);
	double tmp;
	if (im <= 760000.0) {
		tmp = ((4.0 + (t_3 * t_2)) * t_0) / (2.0 + t_2);
	} else if (im <= 6.2e+51) {
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = t_0 * (t_3 + 2.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(re) * 0.5d0
    t_1 = (im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))
    t_2 = (im * im) * ((-1.0d0) - t_1)
    t_3 = (im * im) * (1.0d0 + t_1)
    if (im <= 760000.0d0) then
        tmp = ((4.0d0 + (t_3 * t_2)) * t_0) / (2.0d0 + t_2)
    else if (im <= 6.2d+51) then
        tmp = cosh(im) * (re * (1.0d0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))))
    else
        tmp = t_0 * (t_3 + 2.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.sin(re) * 0.5;
	double t_1 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_2 = (im * im) * (-1.0 - t_1);
	double t_3 = (im * im) * (1.0 + t_1);
	double tmp;
	if (im <= 760000.0) {
		tmp = ((4.0 + (t_3 * t_2)) * t_0) / (2.0 + t_2);
	} else if (im <= 6.2e+51) {
		tmp = Math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = t_0 * (t_3 + 2.0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.sin(re) * 0.5
	t_1 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))
	t_2 = (im * im) * (-1.0 - t_1)
	t_3 = (im * im) * (1.0 + t_1)
	tmp = 0
	if im <= 760000.0:
		tmp = ((4.0 + (t_3 * t_2)) * t_0) / (2.0 + t_2)
	elif im <= 6.2e+51:
		tmp = math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = t_0 * (t_3 + 2.0)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(sin(re) * 0.5)
	t_1 = Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))
	t_2 = Float64(Float64(im * im) * Float64(-1.0 - t_1))
	t_3 = Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + t_1))
	tmp = 0.0
	if (im <= 760000.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(4.0 + Float64(t_3 * t_2)) * t_0) / Float64(2.0 + t_2));
	elseif (im <= 6.2e+51)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(t_3 + 2.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = sin(re) * 0.5;
	t_1 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	t_2 = (im * im) * (-1.0 - t_1);
	t_3 = (im * im) * (1.0 + t_1);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 760000.0)
		tmp = ((4.0 + (t_3 * t_2)) * t_0) / (2.0 + t_2);
	elseif (im <= 6.2e+51)
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = t_0 * (t_3 + 2.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 760000.0], N[(N[(N[(4.0 + N[(t$95$3 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(2.0 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 6.2e+51], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(t$95$3 + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 7.6e5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 93.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 93.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}{2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \sin re\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)}{\color{blue}{2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(2 \cdot 2 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)\right), \color{blue}{\left(2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}\right) \]

   7. Applied egg-rr 66.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(4 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sin re \cdot 0.5\right)}{2 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}} \]

   if 7.6e5 < im < 6.20000000000000022e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(\color{blue}{im}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 73.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \cosh im \]

   if 6.20000000000000022e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 73.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 760000:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sin re \cdot 0.5\right)}{2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right) + 2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 94.5% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right) + 2\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 760000:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* (sin re) 0.5)
          (+
           (*
            (* im im)
            (+
             1.0
             (*
              (* im im)
              (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))
           2.0))))
   (if (<= im 760000.0)
     t_0
     (if (<= im 6.2e+51)
       (* (cosh im) (* re (+ 1.0 (* (* re re) -0.16666666666666666))))
       t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (sin(re) * 0.5) * (((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))) + 2.0);
	double tmp;
	if (im <= 760000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 6.2e+51) {
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (sin(re) * 0.5d0) * (((im * im) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))) + 2.0d0)
    if (im <= 760000.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 6.2d+51) then
        tmp = cosh(im) * (re * (1.0d0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (Math.sin(re) * 0.5) * (((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))) + 2.0);
	double tmp;
	if (im <= 760000.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 6.2e+51) {
		tmp = Math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (math.sin(re) * 0.5) * (((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))) + 2.0)
	tmp = 0
	if im <= 760000.0:
		tmp = t_0
	elif im <= 6.2e+51:
		tmp = math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(sin(re) * 0.5) * Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778))))) + 2.0))
	tmp = 0.0
	if (im <= 760000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 6.2e+51)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (sin(re) * 0.5) * (((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))) + 2.0);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 760000.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 6.2e+51)
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 760000.0], t$95$0, If[LessEqual[im, 6.2e+51], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 7.6e5 or 6.20000000000000022e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 94.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   if 7.6e5 < im < 6.20000000000000022e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(\color{blue}{im}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 73.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Simplified 73.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \cosh im \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 760000:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right) + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right) + 2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 73.4% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 3.7e-9)
   (sin re)
   (if (<= im 2.6e+77)
     (* (cosh im) (* re (+ 1.0 (* (* re re) -0.16666666666666666))))
     (*
      (sin re)
      (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.7e-9) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 2.6e+77) {
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 3.7d-9) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 2.6d+77) then
        tmp = cosh(im) * (re * (1.0d0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))))
    else
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.7e-9) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 2.6e+77) {
		tmp = Math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 3.7e-9:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 2.6e+77:
		tmp = math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 3.7e-9)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 2.6e+77)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 3.7e-9)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 2.6e+77)
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 3.7e-9], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 2.6e+77], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3.7e-9

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 62.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 3.7e-9 < im < 2.6000000000000002e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(\color{blue}{im}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 69.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Simplified 69.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \cosh im \]

   if 2.6000000000000002e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 69.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.6 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 71.9% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+67}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 3.7e-9)
   (sin re)
   (if (<= im 1.2e+67)
     (* re (cosh im))
     (if (<= im 1.35e+154)
       (*
        (+
         2.0
         (*
          im
          (*
           im
           (+
            1.0
            (*
             im
             (*
              im
              (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))))))
        (* re (+ 0.5 (* (* re re) -0.08333333333333333))))
       (* (* (sin re) 0.5) (+ (* im im) 2.0))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.7e-9) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 1.2e+67) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else if (im <= 1.35e+154) {
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = (sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 3.7d-9) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 1.2d+67) then
        tmp = re * cosh(im)
    else if (im <= 1.35d+154) then
        tmp = (2.0d0 + (im * (im * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0)))))))) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * (-0.08333333333333333d0))))
    else
        tmp = (sin(re) * 0.5d0) * ((im * im) + 2.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.7e-9) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 1.2e+67) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else if (im <= 1.35e+154) {
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = (Math.sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 3.7e-9:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 1.2e+67:
		tmp = re * math.cosh(im)
	elif im <= 1.35e+154:
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)))
	else:
		tmp = (math.sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 3.7e-9)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.2e+67)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	elseif (im <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.08333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sin(re) * 0.5) * Float64(Float64(im * im) + 2.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 3.7e-9)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.2e+67)
		tmp = re * cosh(im);
	elseif (im <= 1.35e+154)
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	else
		tmp = (sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 3.7e-9], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.2e+67], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.35e+154], N[(N[(2.0 + N[(im * N[(im * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if im < 3.7e-9

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 62.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 3.7e-9 < im < 1.20000000000000001e67

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 76.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   if 1.20000000000000001e67 < im < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 82.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)} \]

   if 1.35000000000000003e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 69.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+67}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 72.1% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 3.7e-9)
   (sin re)
   (if (<= im 1.35e+154)
     (* (cosh im) (* re (+ 1.0 (* (* re re) -0.16666666666666666))))
     (* (* (sin re) 0.5) (+ (* im im) 2.0)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.7e-9) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 1.35e+154) {
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = (sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 3.7d-9) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 1.35d+154) then
        tmp = cosh(im) * (re * (1.0d0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))))
    else
        tmp = (sin(re) * 0.5d0) * ((im * im) + 2.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.7e-9) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 1.35e+154) {
		tmp = Math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = (Math.sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 3.7e-9:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 1.35e+154:
		tmp = math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = (math.sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 3.7e-9)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sin(re) * 0.5) * Float64(Float64(im * im) + 2.0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 3.7e-9)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.35e+154)
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = (sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 3.7e-9], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.35e+154], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3.7e-9

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 62.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 3.7e-9 < im < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(\color{blue}{im}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 71.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Simplified 71.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)} \cdot \cosh im \]

   if 1.35000000000000003e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 68.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 68.6% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 3.7e-9) (sin re) (* re (cosh im))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.7e-9) {
		tmp = sin(re);
	} else {
		tmp = re * cosh(im);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 3.7d-9) then
        tmp = sin(re)
    else
        tmp = re * cosh(im)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 3.7e-9) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 3.7e-9:
		tmp = math.sin(re)
	else:
		tmp = re * math.cosh(im)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 3.7e-9)
		tmp = sin(re);
	else
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 3.7e-9)
		tmp = sin(re);
	else
		tmp = re * cosh(im);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 3.7e-9], N[Sin[re], $MachinePrecision], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 3.7e-9

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 62.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 3.7e-9 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 74.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 67.7% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\\ t_1 := im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - t\_0\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.02 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + t\_0\right)\right)\right) \cdot t\_1\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)}{2 + t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* im im)
          (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))
        (t_1 (* im (* im (- -1.0 t_0)))))
   (if (<= im 3.7e-9)
     (sin re)
     (if (<= im 1.02e+51)
       (/
        (*
         (+ 4.0 (* (* im (* im (+ 1.0 t_0))) t_1))
         (*
          re
          (+
           0.5
           (*
            (* re re)
            (+
             -0.08333333333333333
             (*
              re
              (*
               re
               (+
                0.004166666666666667
                (* (* re re) -9.92063492063492e-5)))))))))
        (+ 2.0 t_1))
       (*
        re
        (+
         1.0
         (*
          (* im im)
          (+
           0.5
           (*
            im
            (*
             im
             (+
              0.041666666666666664
              (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (im <= 3.7e-9) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 1.02e+51) {
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))) / (2.0 + t_1);
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))
    t_1 = im * (im * ((-1.0d0) - t_0))
    if (im <= 3.7d-9) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 1.02d+51) then
        tmp = ((4.0d0 + ((im * (im * (1.0d0 + t_0))) * t_1)) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * (0.004166666666666667d0 + ((re * re) * (-9.92063492063492d-5)))))))))) / (2.0d0 + t_1)
    else
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (im <= 3.7e-9) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 1.02e+51) {
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))) / (2.0 + t_1);
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))
	t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0))
	tmp = 0
	if im <= 3.7e-9:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 1.02e+51:
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))) / (2.0 + t_1)
	else:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))
	t_1 = Float64(im * Float64(im * Float64(-1.0 - t_0)))
	tmp = 0.0
	if (im <= 3.7e-9)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.02e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(4.0 + Float64(Float64(im * Float64(im * Float64(1.0 + t_0))) * t_1)) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * Float64(0.004166666666666667 + Float64(Float64(re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))) / Float64(2.0 + t_1));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 3.7e-9)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 1.02e+51)
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))) / (2.0 + t_1);
	else
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im * N[(im * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 3.7e-9], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.02e+51], N[(N[(N[(4.0 + N[(N[(im * N[(im * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * N[(0.004166666666666667 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -9.92063492063492e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 3.7e-9

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 62.9%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 3.7e-9 < im < 1.02e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 10.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 10.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 25.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 25.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 47.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(4 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]

   if 1.02e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 75.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 75.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 75.5%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 3.7 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.02 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)}{2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 44.8% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\\ t_1 := im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - t\_0\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 1.02 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + t\_0\right)\right)\right) \cdot t\_1\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)}{2 + t\_1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* im im)
          (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))
        (t_1 (* im (* im (- -1.0 t_0)))))
   (if (<= im 1.02e+51)
     (/
      (*
       (+ 4.0 (* (* im (* im (+ 1.0 t_0))) t_1))
       (*
        re
        (+
         0.5
         (*
          (* re re)
          (+
           -0.08333333333333333
           (*
            re
            (*
             re
             (+ 0.004166666666666667 (* (* re re) -9.92063492063492e-5)))))))))
      (+ 2.0 t_1))
     (*
      re
      (+
       1.0
       (*
        (* im im)
        (+
         0.5
         (*
          im
          (*
           im
           (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889)))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (im <= 1.02e+51) {
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))) / (2.0 + t_1);
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))
    t_1 = im * (im * ((-1.0d0) - t_0))
    if (im <= 1.02d+51) then
        tmp = ((4.0d0 + ((im * (im * (1.0d0 + t_0))) * t_1)) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * (0.004166666666666667d0 + ((re * re) * (-9.92063492063492d-5)))))))))) / (2.0d0 + t_1)
    else
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	double t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	double tmp;
	if (im <= 1.02e+51) {
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))) / (2.0 + t_1);
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))
	t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0))
	tmp = 0
	if im <= 1.02e+51:
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))) / (2.0 + t_1)
	else:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))
	t_1 = Float64(im * Float64(im * Float64(-1.0 - t_0)))
	tmp = 0.0
	if (im <= 1.02e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(4.0 + Float64(Float64(im * Float64(im * Float64(1.0 + t_0))) * t_1)) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * Float64(0.004166666666666667 + Float64(Float64(re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))) / Float64(2.0 + t_1));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778));
	t_1 = im * (im * (-1.0 - t_0));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1.02e+51)
		tmp = ((4.0 + ((im * (im * (1.0 + t_0))) * t_1)) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))))) / (2.0 + t_1);
	else
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(im * N[(im * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 1.02e+51], N[(N[(N[(4.0 + N[(N[(im * N[(im * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * N[(0.004166666666666667 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -9.92063492063492e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.02e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 86.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 57.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 57.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 37.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(4 - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)}{2 - im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}} \]

   if 1.02e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 75.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 75.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 75.5%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 45.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.02 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(4 + \left(im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)}{2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 45.4% accurate, 4.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := im \cdot \left(im \cdot im\right)\\ t_1 := \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\\ \mathbf{if}\;im \leq 6.4 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.0005787037037037037 + t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot 2.1433470507544582 \cdot 10^{-8}\right)\right)}{0.006944444444444444 + t\_1 \cdot \left(t\_1 - 0.08333333333333333\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot 0.5 + \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right) \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im (* im im))) (t_1 (* (* im im) 0.002777777777777778)))
   (if (<= im 6.4e+77)
     (*
      (*
       re
       (+
        0.5
        (*
         re
         (*
          re
          (+
           -0.08333333333333333
           (*
            (* re re)
            (+ 0.004166666666666667 (* (* re re) -9.92063492063492e-5))))))))
      (+
       2.0
       (*
        (* im im)
        (+
         1.0
         (/
          (*
           (* im im)
           (+ 0.0005787037037037037 (* t_0 (* t_0 2.1433470507544582e-8))))
          (+ 0.006944444444444444 (* t_1 (- t_1 0.08333333333333333))))))))
     (+
      re
      (*
       (* im im)
       (+
        (* re 0.5)
        (*
         (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))
         (* re (* im im)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (im * im);
	double t_1 = (im * im) * 0.002777777777777778;
	double tmp;
	if (im <= 6.4e+77) {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + (t_0 * (t_0 * 2.1433470507544582e-8)))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))));
	} else {
		tmp = re + ((im * im) * ((re * 0.5) + ((0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)) * (re * (im * im)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = im * (im * im)
    t_1 = (im * im) * 0.002777777777777778d0
    if (im <= 6.4d+77) then
        tmp = (re * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * (0.004166666666666667d0 + ((re * re) * (-9.92063492063492d-5))))))))) * (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037d0 + (t_0 * (t_0 * 2.1433470507544582d-8)))) / (0.006944444444444444d0 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333d0)))))))
    else
        tmp = re + ((im * im) * ((re * 0.5d0) + ((0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)) * (re * (im * im)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = im * (im * im);
	double t_1 = (im * im) * 0.002777777777777778;
	double tmp;
	if (im <= 6.4e+77) {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + (t_0 * (t_0 * 2.1433470507544582e-8)))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))));
	} else {
		tmp = re + ((im * im) * ((re * 0.5) + ((0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)) * (re * (im * im)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = im * (im * im)
	t_1 = (im * im) * 0.002777777777777778
	tmp = 0
	if im <= 6.4e+77:
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + (t_0 * (t_0 * 2.1433470507544582e-8)))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))))
	else:
		tmp = re + ((im * im) * ((re * 0.5) + ((0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)) * (re * (im * im)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(im * Float64(im * im))
	t_1 = Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)
	tmp = 0.0
	if (im <= 6.4e+77)
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.004166666666666667 + Float64(Float64(re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(0.0005787037037037037 + Float64(t_0 * Float64(t_0 * 2.1433470507544582e-8)))) / Float64(0.006944444444444444 + Float64(t_1 * Float64(t_1 - 0.08333333333333333))))))));
	else
		tmp = Float64(re + Float64(Float64(im * im) * Float64(Float64(re * 0.5) + Float64(Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889)) * Float64(re * Float64(im * im))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = im * (im * im);
	t_1 = (im * im) * 0.002777777777777778;
	tmp = 0.0;
	if (im <= 6.4e+77)
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (0.0005787037037037037 + (t_0 * (t_0 * 2.1433470507544582e-8)))) / (0.006944444444444444 + (t_1 * (t_1 - 0.08333333333333333)))))));
	else
		tmp = re + ((im * im) * ((re * 0.5) + ((0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)) * (re * (im * im)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(im * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 6.4e+77], N[(N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.004166666666666667 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -9.92063492063492e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.0005787037037037037 + N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * 2.1433470507544582e-8), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.006944444444444444 + N[(t$95$1 * N[(t$95$1 - 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(N[(re * 0.5), $MachinePrecision] + N[(N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 6.4000000000000003e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 87.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 57.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 57.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\frac{1}{12} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{{\frac{1}{12}}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}^{3}}{\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot im\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left({\frac{1}{12}}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}^{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{\color{blue}{\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({\frac{1}{12}}^{3} + {\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)}^{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} + \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right) - \frac{1}{12} \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{360}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 43.8%

       \[\leadsto \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(0.0005787037037037037 + \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot 2.1433470507544582 \cdot 10^{-8}\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}{0.006944444444444444 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778 - 0.08333333333333333\right)}}\right)\right) \]

   if 6.4000000000000003e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 80.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{24} \cdot re\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{24} \cdot re\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{24} \cdot re\right)\right)}\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot re} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{24} \cdot re\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot re} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{24} \cdot re\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot re\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{24} \cdot re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{24} \cdot re\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot re + \color{blue}{\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot re\right) + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \left({im}^{2} \cdot \left(re \cdot \frac{1}{24}\right) + {im}^{\color{blue}{2}} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \left(\left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \frac{1}{24} + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot re\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot re\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \left(\left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot re\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 80.0%

       \[\leadsto \color{blue}{re + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 \cdot re + \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 6.4 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.0005787037037037037 + \left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot 2.1433470507544582 \cdot 10^{-8}\right)\right)}{0.006944444444444444 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778 - 0.08333333333333333\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(re \cdot 0.5 + \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right) \cdot \left(re \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 45.4% accurate, 5.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\\ t_1 := \left(im \cdot im\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+67}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_1\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)}{1 - t\_1}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.9 \cdot 10^{+130}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0.002777777777777778 + \frac{0.08333333333333333}{im \cdot im}\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re + im \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664)))
        (t_1 (* (* im im) t_0)))
   (if (<= im 1.2e+67)
     (/
      (*
       (- 1.0 (* (* im im) (* t_0 t_1)))
       (*
        re
        (+
         1.0
         (*
          re
          (*
           re
           (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.008333333333333333)))))))
      (- 1.0 t_1))
     (if (<= im 1.9e+130)
       (*
        (*
         re
         (+
          0.5
          (*
           re
           (*
            re
            (+
             -0.08333333333333333
             (*
              (* re re)
              (+ 0.004166666666666667 (* (* re re) -9.92063492063492e-5))))))))
        (+
         2.0
         (*
          (* im im)
          (+
           1.0
           (*
            (* (* im im) (* im im))
            (+ 0.002777777777777778 (/ 0.08333333333333333 (* im im))))))))
       (+
        re
        (* im (* im (* re (+ 0.5 (* im (* im 0.041666666666666664)))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664);
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 1.2e+67) {
		tmp = ((1.0 - ((im * im) * (t_0 * t_1))) * (re * (1.0 + (re * (re * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333))))))) / (1.0 - t_1);
	} else if (im <= 1.9e+130) {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (im * im)) * (0.002777777777777778 + (0.08333333333333333 / (im * im)))))));
	} else {
		tmp = re + (im * (im * (re * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0)
    t_1 = (im * im) * t_0
    if (im <= 1.2d+67) then
        tmp = ((1.0d0 - ((im * im) * (t_0 * t_1))) * (re * (1.0d0 + (re * (re * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.008333333333333333d0))))))) / (1.0d0 - t_1)
    else if (im <= 1.9d+130) then
        tmp = (re * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * (0.004166666666666667d0 + ((re * re) * (-9.92063492063492d-5))))))))) * (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + (((im * im) * (im * im)) * (0.002777777777777778d0 + (0.08333333333333333d0 / (im * im)))))))
    else
        tmp = re + (im * (im * (re * (0.5d0 + (im * (im * 0.041666666666666664d0))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664);
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 1.2e+67) {
		tmp = ((1.0 - ((im * im) * (t_0 * t_1))) * (re * (1.0 + (re * (re * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333))))))) / (1.0 - t_1);
	} else if (im <= 1.9e+130) {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (im * im)) * (0.002777777777777778 + (0.08333333333333333 / (im * im)))))));
	} else {
		tmp = re + (im * (im * (re * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664)
	t_1 = (im * im) * t_0
	tmp = 0
	if im <= 1.2e+67:
		tmp = ((1.0 - ((im * im) * (t_0 * t_1))) * (re * (1.0 + (re * (re * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333))))))) / (1.0 - t_1)
	elif im <= 1.9e+130:
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (im * im)) * (0.002777777777777778 + (0.08333333333333333 / (im * im)))))))
	else:
		tmp = re + (im * (im * (re * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664))
	t_1 = Float64(Float64(im * im) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (im <= 1.2e+67)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(im * im) * Float64(t_0 * t_1))) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.008333333333333333))))))) / Float64(1.0 - t_1));
	elseif (im <= 1.9e+130)
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.004166666666666667 + Float64(Float64(re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(im * im)) * Float64(0.002777777777777778 + Float64(0.08333333333333333 / Float64(im * im))))))));
	else
		tmp = Float64(re + Float64(im * Float64(im * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664);
	t_1 = (im * im) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1.2e+67)
		tmp = ((1.0 - ((im * im) * (t_0 * t_1))) * (re * (1.0 + (re * (re * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333))))))) / (1.0 - t_1);
	elseif (im <= 1.9e+130)
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + (((im * im) * (im * im)) * (0.002777777777777778 + (0.08333333333333333 / (im * im)))))));
	else
		tmp = re + (im * (im * (re * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 1.2e+67], N[(N[(N[(1.0 - N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 1.9e+130], N[(N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.004166666666666667 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -9.92063492063492e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.002777777777777778 + N[(0.08333333333333333 / N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re + N[(im * N[(im * N[(re * N[(0.5 + N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 1.20000000000000001e67

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 78.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 51.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 51.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + re \cdot \left(re \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)} \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + re \cdot \left(re \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + re \cdot \left(re \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + re \cdot \left(re \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)}\right) \]

   10. Applied egg-rr 42.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)}} \]

   if 1.20000000000000001e67 < im < 1.9000000000000001e130

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 80.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 80.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{4} \cdot \left(\frac{1}{360} + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{360} + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{360} + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{360}} + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{360}} + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{360} + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{360} + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(im \cdot im\right)\right), \left(\frac{1}{360} + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \left(\frac{1}{360} + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{360}, \color{blue}{\left(\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{{im}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{360}, \left(\frac{\frac{1}{12} \cdot 1}{\color{blue}{{im}^{2}}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{360}, \left(\frac{\frac{1}{12}}{{\color{blue}{im}}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 80.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{360}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 80.0%

       \[\leadsto \left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(0.002777777777777778 + \frac{0.08333333333333333}{im \cdot im}\right)}\right)\right) \]

   if 1.9000000000000001e130 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)} + \frac{1}{2} \cdot re\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)\right)}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)\right)}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) + \frac{1}{2} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot re + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot re\right)\right)\right)\right) \]

       7. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2} + \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{24}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{24}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 86.7%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 86.7%

       \[\leadsto \color{blue}{re + im \cdot \left(im \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 58.6% accurate, 9.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 2e+155)
   (*
    (+
     2.0
     (*
      im
      (*
       im
       (+
        1.0
        (*
         im
         (* im (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))))))
    (* re (+ 0.5 (* (* re re) -0.08333333333333333))))
   (* re (+ 1.0 (* (* im im) 0.5)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2e+155) {
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 2d+155) then
        tmp = (2.0d0 + (im * (im * (1.0d0 + (im * (im * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0)))))))) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * (-0.08333333333333333d0))))
    else
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * 0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2e+155) {
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 2e+155:
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)))
	else:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 2e+155)
		tmp = Float64(Float64(2.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.08333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * 0.5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2e+155)
		tmp = (2.0 + (im * (im * (1.0 + (im * (im * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	else
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 2e+155], N[(N[(2.0 + N[(im * N[(im * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.00000000000000001e155

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 87.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)} \]

   if 2.00000000000000001e155 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 89.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{re + \frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto 1 \cdot re + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto 1 \cdot re + \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       3. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)} \]

       4. metadata-eval N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2}\right) \]

       5. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

       7. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 89.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 89.3%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2 \cdot 10^{+155}:\\ \;\;\;\;\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 58.2% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 1.9e+111)
   (*
    re
    (+
     1.0
     (*
      (* im im)
      (+
       0.5
       (*
        im
        (* im (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))
   (* re (* (* re re) -0.16666666666666666))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.9e+111) {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.9d+111) then
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.9e+111) {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 1.9e+111:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.9e+111)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.9e+111)
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 1.9e+111], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.89999999999999988e111

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 72.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 65.4%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 65.4%

       \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   if 1.89999999999999988e111 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 59.7%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 59.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 29.1%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 29.1%

       \[\leadsto re \cdot \left(1 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   12. Taylor expanded in re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 29.1%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 55.9% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 1.9e+111)
   (* re (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* (* im im) 0.041666666666666664)))))
   (* re (* (* re re) -0.16666666666666666))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.9e+111) {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.9d+111) then
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + ((im * im) * 0.041666666666666664d0))))
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.9e+111) {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 1.9e+111:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))))
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.9e+111)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * 0.041666666666666664)))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.9e+111)
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * 0.041666666666666664))));
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 1.9e+111], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.89999999999999988e111

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 80.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 59.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

   if 1.89999999999999988e111 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 59.7%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 59.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 29.1%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 29.1%

       \[\leadsto re \cdot \left(1 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   12. Taylor expanded in re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 29.1%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 54.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 49.9% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.1 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im \cdot im + 2\right) \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 4.1e+147)
   (* re (* (+ (* im im) 2.0) (+ 0.5 (* (* re re) -0.08333333333333333))))
   (* re (+ 1.0 (* (* im im) 0.5)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 4.1e+147) {
		tmp = re * (((im * im) + 2.0) * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 4.1d+147) then
        tmp = re * (((im * im) + 2.0d0) * (0.5d0 + ((re * re) * (-0.08333333333333333d0))))
    else
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * 0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 4.1e+147) {
		tmp = re * (((im * im) + 2.0) * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 4.1e+147:
		tmp = re * (((im * im) + 2.0) * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)))
	else:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 4.1e+147)
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(Float64(im * im) + 2.0) * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.08333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * 0.5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 4.1e+147)
		tmp = re * (((im * im) + 2.0) * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	else
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 4.1e+147], N[(re * N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 4.09999999999999966e147

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 87.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto {im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)} \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) + \color{blue}{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left({im}^{2} \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) + \left(2 \cdot re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)} \]

       4. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot re + 2 \cdot re\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right), \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot re + 2 \cdot re\right)}\right) \]

   11. Simplified 47.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(2 + im \cdot im\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)\right) + \color{blue}{re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)} \]

       2. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)}, re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(re, \frac{-1}{12} \cdot \left(\left(2 + {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{re}^{2}}\right), re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(re, \left(\frac{-1}{12} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{{re}^{2}}, re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)\right) \]

       5. fma-undefine N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right) \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)} \]

       6. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{12} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right) \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)} \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\frac{-1}{12} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right) \cdot {re}^{2}}\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{12} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right) \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       9. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \frac{-1}{12} \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + {im}^{2}\right) \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       11. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right) + \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(2 + {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\left(2 + {im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right) \]

   14. Simplified 47.0%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(2 + im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)} \]

   if 4.09999999999999966e147 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 89.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{re + \frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto 1 \cdot re + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto 1 \cdot re + \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       3. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)} \]

       4. metadata-eval N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2}\right) \]

       5. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

       7. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 89.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 89.3%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 4.1 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(im \cdot im + 2\right) \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 41.8% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 6.4 \cdot 10^{+124}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 6.4e+124)
   (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666))))
   (* re (+ 1.0 (* (* im im) 0.5)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 6.4e+124) {
		tmp = re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 6.4d+124) then
        tmp = re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))
    else
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * 0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 6.4e+124) {
		tmp = re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 6.4e+124:
		tmp = re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 6.4e+124)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * 0.5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 6.4e+124)
		tmp = re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 6.4e+124], N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 6.39999999999999986e124

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 53.7%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 38.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 38.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 35.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 35.2%

       \[\leadsto re \cdot \left(1 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   if 6.39999999999999986e124 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 86.7%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{re + \frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto 1 \cdot re + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto 1 \cdot re + \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       3. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)} \]

       4. metadata-eval N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2}\right) \]

       5. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

       7. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 83.5%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 83.5%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 40.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 6.4 \cdot 10^{+124}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 48.7% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 1.9e+111)
   (* re (+ 1.0 (* (* im im) 0.5)))
   (* re (* (* re re) -0.16666666666666666))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.9e+111) {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.9d+111) then
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * 0.5d0))
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.9e+111) {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 1.9e+111:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5))
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.9e+111)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * 0.5)));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.9e+111)
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 1.9e+111], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.89999999999999988e111

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 72.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \cosh im \]

   10. Taylor expanded in im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{re + \frac{1}{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto 1 \cdot re + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left({im}^{2} \cdot re\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto 1 \cdot re + \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       3. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)} \]

       4. metadata-eval N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2}\right) \]

       5. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

       7. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}}\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       11. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 51.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 51.0%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \]

   if 1.89999999999999988e111 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 59.7%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 59.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 29.1%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 29.1%

       \[\leadsto re \cdot \left(1 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   12. Taylor expanded in re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 29.1%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 47.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.9 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 30.3% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 1.6e+62) re (* re (* (* re re) -0.16666666666666666))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.6e+62) {
		tmp = re;
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 1.6d+62) then
        tmp = re
    else
        tmp = re * ((re * re) * (-0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 1.6e+62) {
		tmp = re;
	} else {
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 1.6e+62:
		tmp = re
	else:
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 1.6e+62)
		tmp = re;
	else
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(re * re) * -0.16666666666666666));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 1.6e+62)
		tmp = re;
	else
		tmp = re * ((re * re) * -0.16666666666666666);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 1.6e+62], re, N[(re * N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 1.59999999999999992e62

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 45.6%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 45.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 29.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \]

   if 1.59999999999999992e62 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 56.8%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 56.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 24.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 24.7%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 22.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 22.8%

       \[\leadsto re \cdot \left(1 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   12. Taylor expanded in re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. unpow3 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \color{blue}{re}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{6} \cdot \left({re}^{2} \cdot re\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right) \cdot \color{blue}{re} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)} \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 22.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 22.8%

       \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 28.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 1.6 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(re \cdot re\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 26.5% accurate, 309.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 re)

C

double code(double re, double im) {
	return re;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re;
}

Python

def code(re, im):
	return re

Julia

function code(re, im)
	return re
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re;
end

Wolfram

code[re_, im_] := re

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 47.7%

      \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

5. Simplified 47.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{re} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 24.8%

   \[\leadsto \color{blue}{re} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, real part"
  :precision binary64
  (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))