Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.9% → 8.3%

Time: 1.8min

Alternatives: 7

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 8.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \frac{x}{-2}\\ t_1 := \cos^{-1} \left({t\_0}^{0.5}\right)\\ \frac{\left(\pi + 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left(\sqrt{t\_0}\right)\right)\right) + \frac{2}{\pi} \cdot \left({\left(t\_1 \cdot \left(0 - 2\right)\right)}^{2} - \pi \cdot \pi\right)}{\frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi + 2 \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (/ x -2.0))) (t_1 (acos (pow t_0 0.5))))
   (/
    (+
     (+ PI (* 2.0 (- (/ PI 2.0) (asin (sqrt t_0)))))
     (* (/ 2.0 PI) (- (pow (* t_1 (- 0.0 2.0)) 2.0) (* PI PI))))
    (* (/ 2.0 PI) (+ PI (* 2.0 t_1))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x / -2.0);
	double t_1 = acos(pow(t_0, 0.5));
	return ((((double) M_PI) + (2.0 * ((((double) M_PI) / 2.0) - asin(sqrt(t_0))))) + ((2.0 / ((double) M_PI)) * (pow((t_1 * (0.0 - 2.0)), 2.0) - (((double) M_PI) * ((double) M_PI))))) / ((2.0 / ((double) M_PI)) * (((double) M_PI) + (2.0 * t_1)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x / -2.0);
	double t_1 = Math.acos(Math.pow(t_0, 0.5));
	return ((Math.PI + (2.0 * ((Math.PI / 2.0) - Math.asin(Math.sqrt(t_0))))) + ((2.0 / Math.PI) * (Math.pow((t_1 * (0.0 - 2.0)), 2.0) - (Math.PI * Math.PI)))) / ((2.0 / Math.PI) * (Math.PI + (2.0 * t_1)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (x / -2.0)
	t_1 = math.acos(math.pow(t_0, 0.5))
	return ((math.pi + (2.0 * ((math.pi / 2.0) - math.asin(math.sqrt(t_0))))) + ((2.0 / math.pi) * (math.pow((t_1 * (0.0 - 2.0)), 2.0) - (math.pi * math.pi)))) / ((2.0 / math.pi) * (math.pi + (2.0 * t_1)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(x / -2.0))
	t_1 = acos((t_0 ^ 0.5))
	return Float64(Float64(Float64(pi + Float64(2.0 * Float64(Float64(pi / 2.0) - asin(sqrt(t_0))))) + Float64(Float64(2.0 / pi) * Float64((Float64(t_1 * Float64(0.0 - 2.0)) ^ 2.0) - Float64(pi * pi)))) / Float64(Float64(2.0 / pi) * Float64(pi + Float64(2.0 * t_1))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 0.5 + (x / -2.0);
	t_1 = acos((t_0 ^ 0.5));
	tmp = ((pi + (2.0 * ((pi / 2.0) - asin(sqrt(t_0))))) + ((2.0 / pi) * (((t_1 * (0.0 - 2.0)) ^ 2.0) - (pi * pi)))) / ((2.0 / pi) * (pi + (2.0 * t_1)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcCos[N[Power[t$95$0, 0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(Pi + N[(2.0 * N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[ArcSin[N[Sqrt[t$95$0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(2.0 / Pi), $MachinePrecision] * N[(N[Power[N[(t$95$1 * N[(0.0 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] - N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(2.0 / Pi), $MachinePrecision] * N[(Pi + N[(2.0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.3%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

6. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\pi + \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right) - \frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi \cdot \pi - {\left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi + \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. acos-asin N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right), \sin^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right), \sin^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \sin^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \sin^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\left(\frac{1}{4} \cdot 2\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \sin^{-1} \left({\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{4}}\right)}^{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   7. asin-lowering-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{4}}\right)}^{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\left(\frac{1}{4} \cdot 2\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{x}{-2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 7.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 7.7%

   \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\pi + \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\right)} \cdot 2\right) - \frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi \cdot \pi - {\left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi + \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)} \]

9. Final simplification 7.7%

   \[\leadsto \frac{\left(\pi + 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\right)\right) + \frac{2}{\pi} \cdot \left({\left(\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(0 - 2\right)\right)}^{2} - \pi \cdot \pi\right)}{\frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi + 2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\\ t_1 := \cos^{-1} t\_0\\ 0.5 \cdot \left(\left(\pi + \left(\left(\pi + -2 \cdot \sin^{-1} t\_0\right) + -2 \cdot \left(\pi + \frac{{t\_1}^{2} \cdot -4}{\pi}\right)\right)\right) \cdot \frac{\pi}{\pi + 2 \cdot t\_1}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (+ 0.5 (* x -0.5)))) (t_1 (acos t_0)))
   (*
    0.5
    (*
     (+
      PI
      (+
       (+ PI (* -2.0 (asin t_0)))
       (* -2.0 (+ PI (/ (* (pow t_1 2.0) -4.0) PI)))))
     (/ PI (+ PI (* 2.0 t_1)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sqrt((0.5 + (x * -0.5)));
	double t_1 = acos(t_0);
	return 0.5 * ((((double) M_PI) + ((((double) M_PI) + (-2.0 * asin(t_0))) + (-2.0 * (((double) M_PI) + ((pow(t_1, 2.0) * -4.0) / ((double) M_PI)))))) * (((double) M_PI) / (((double) M_PI) + (2.0 * t_1))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sqrt((0.5 + (x * -0.5)));
	double t_1 = Math.acos(t_0);
	return 0.5 * ((Math.PI + ((Math.PI + (-2.0 * Math.asin(t_0))) + (-2.0 * (Math.PI + ((Math.pow(t_1, 2.0) * -4.0) / Math.PI))))) * (Math.PI / (Math.PI + (2.0 * t_1))));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sqrt((0.5 + (x * -0.5)))
	t_1 = math.acos(t_0)
	return 0.5 * ((math.pi + ((math.pi + (-2.0 * math.asin(t_0))) + (-2.0 * (math.pi + ((math.pow(t_1, 2.0) * -4.0) / math.pi))))) * (math.pi / (math.pi + (2.0 * t_1))))

Julia

function code(x)
	t_0 = sqrt(Float64(0.5 + Float64(x * -0.5)))
	t_1 = acos(t_0)
	return Float64(0.5 * Float64(Float64(pi + Float64(Float64(pi + Float64(-2.0 * asin(t_0))) + Float64(-2.0 * Float64(pi + Float64(Float64((t_1 ^ 2.0) * -4.0) / pi))))) * Float64(pi / Float64(pi + Float64(2.0 * t_1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = sqrt((0.5 + (x * -0.5)));
	t_1 = acos(t_0);
	tmp = 0.5 * ((pi + ((pi + (-2.0 * asin(t_0))) + (-2.0 * (pi + (((t_1 ^ 2.0) * -4.0) / pi))))) * (pi / (pi + (2.0 * t_1))));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcCos[t$95$0], $MachinePrecision]}, N[(0.5 * N[(N[(Pi + N[(N[(Pi + N[(-2.0 * N[ArcSin[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-2.0 * N[(Pi + N[(N[(N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision] * -4.0), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(Pi / N[(Pi + N[(2.0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.3%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

6. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\pi + \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right) - \frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi \cdot \pi - {\left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi + \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. acos-asin N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \sin^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right), \sin^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right), \sin^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \sin^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \sin^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\left(\frac{1}{4} \cdot 2\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \sin^{-1} \left({\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{4}}\right)}^{2}\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   7. asin-lowering-asin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{4}}\right)}^{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\left(\frac{1}{4} \cdot 2\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{x}{-2}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 7.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right), 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 7.7%

   \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(\pi + \color{blue}{\left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\right)} \cdot 2\right) - \frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi \cdot \pi - {\left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi + \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right) - 2 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}} \]

11. Simplified 7.7%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(\pi + \left(\left(\pi + \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right) \cdot -2\right) + \left(\pi + \frac{{\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right)}^{2} \cdot -4}{\pi}\right) \cdot -2\right)\right) \cdot \frac{\pi}{\pi + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right)}\right)} \]

12. Final simplification 7.7%

    \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\left(\pi + \left(\left(\pi + -2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)\right) + -2 \cdot \left(\pi + \frac{{\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)}^{2} \cdot -4}{\pi}\right)\right)\right) \cdot \frac{\pi}{\pi + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right)\\ 0.5 \cdot \left(\pi \cdot \left(\frac{2 \cdot \left({t\_0}^{2} \cdot \frac{4}{\pi} - \pi\right)}{\pi + 2 \cdot t\_0} + 1\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (sqrt (- 0.5 (* 0.5 x))))))
   (*
    0.5
    (*
     PI
     (+
      (/ (* 2.0 (- (* (pow t_0 2.0) (/ 4.0 PI)) PI)) (+ PI (* 2.0 t_0)))
      1.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = acos(sqrt((0.5 - (0.5 * x))));
	return 0.5 * (((double) M_PI) * (((2.0 * ((pow(t_0, 2.0) * (4.0 / ((double) M_PI))) - ((double) M_PI))) / (((double) M_PI) + (2.0 * t_0))) + 1.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.acos(Math.sqrt((0.5 - (0.5 * x))));
	return 0.5 * (Math.PI * (((2.0 * ((Math.pow(t_0, 2.0) * (4.0 / Math.PI)) - Math.PI)) / (Math.PI + (2.0 * t_0))) + 1.0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.acos(math.sqrt((0.5 - (0.5 * x))))
	return 0.5 * (math.pi * (((2.0 * ((math.pow(t_0, 2.0) * (4.0 / math.pi)) - math.pi)) / (math.pi + (2.0 * t_0))) + 1.0))

Julia

function code(x)
	t_0 = acos(sqrt(Float64(0.5 - Float64(0.5 * x))))
	return Float64(0.5 * Float64(pi * Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64(Float64((t_0 ^ 2.0) * Float64(4.0 / pi)) - pi)) / Float64(pi + Float64(2.0 * t_0))) + 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = acos(sqrt((0.5 - (0.5 * x))));
	tmp = 0.5 * (pi * (((2.0 * (((t_0 ^ 2.0) * (4.0 / pi)) - pi)) / (pi + (2.0 * t_0))) + 1.0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 - N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(0.5 * N[(Pi * N[(N[(N[(2.0 * N[(N[(N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision] * N[(4.0 / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Pi + N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.3%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

6. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot \left(\pi + \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right) - \frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi \cdot \pi - {\left(-\cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}^{2}\right)}{\frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi + \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) - 2 \cdot \frac{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} - 4 \cdot {\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)}} \]

9. Simplified 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\pi \cdot \left(1 + \frac{2 \cdot \left({\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\pi} - \pi\right)}{\pi + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right)}\right)\right)} \]

10. Final simplification 7.6%

    \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\pi \cdot \left(\frac{2 \cdot \left({\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right)}^{2} \cdot \frac{4}{\pi} - \pi\right)}{\pi + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right)} + 1\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 8.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \frac{x}{-2}\\ \frac{\pi}{2} + \left(2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{0.25}\right) - \pi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (/ x -2.0))))
   (+ (/ PI 2.0) (- (* 2.0 (acos (pow (* t_0 t_0) 0.25))) PI))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x / -2.0);
	return (((double) M_PI) / 2.0) + ((2.0 * acos(pow((t_0 * t_0), 0.25))) - ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + (x / -2.0);
	return (Math.PI / 2.0) + ((2.0 * Math.acos(Math.pow((t_0 * t_0), 0.25))) - Math.PI);
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + (x / -2.0)
	return (math.pi / 2.0) + ((2.0 * math.acos(math.pow((t_0 * t_0), 0.25))) - math.pi)

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(x / -2.0))
	return Float64(Float64(pi / 2.0) + Float64(Float64(2.0 * acos((Float64(t_0 * t_0) ^ 0.25))) - pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 0.5 + (x / -2.0);
	tmp = (pi / 2.0) + ((2.0 * acos(((t_0 * t_0) ^ 0.25))) - pi);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(2.0 * N[ArcCos[N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], 0.25], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.3%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\left(2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   3. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   4. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\left({\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{x}{-2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{x}{-2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval 7.6%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right), \frac{1}{4}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \color{blue}{\left({\left(\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)\right)}^{0.25}\right)}\right) \cdot 2\right) \]

7. Final simplification 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} + \left(2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)\right)}^{0.25}\right) - \pi\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 8.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right) + \pi \cdot -0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* 2.0 (acos (sqrt (- 0.5 (* 0.5 x))))) (* PI -0.5)))

C

double code(double x) {
	return (2.0 * acos(sqrt((0.5 - (0.5 * x))))) + (((double) M_PI) * -0.5);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (2.0 * Math.acos(Math.sqrt((0.5 - (0.5 * x))))) + (Math.PI * -0.5);
}

Python

def code(x):
	return (2.0 * math.acos(math.sqrt((0.5 - (0.5 * x))))) + (math.pi * -0.5)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(2.0 * acos(sqrt(Float64(0.5 - Float64(0.5 * x))))) + Float64(pi * -0.5))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (2.0 * acos(sqrt((0.5 - (0.5 * x))))) + (pi * -0.5);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 - N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(Pi * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.3%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} - \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) \]

   2. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} - \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) \]

   3. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}, \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}, \mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   4. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), 2\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), 2\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 2\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 2\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 2\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   10. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 2\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left(0 - \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 2\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   12. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 2\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   13. fma-define N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 2\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 6.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}, \sqrt{\pi}, 0 - \left(\pi - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right) \cdot 2\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) - \mathsf{PI}\left(\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \left(2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   5. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. acos-lowering-acos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

9. Simplified 7.6%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 - 0.5 \cdot x}\right) + \pi \cdot -0.5} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 5.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} + \left(2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) - \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (/ PI 2.0) (- (* 2.0 (acos (sqrt 0.5))) PI)))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) + ((2.0 * acos(sqrt(0.5))) - ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) + ((2.0 * Math.acos(Math.sqrt(0.5))) - Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) + ((2.0 * math.acos(math.sqrt(0.5))) - math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) + Float64(Float64(2.0 * acos(sqrt(0.5))) - pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) + ((2.0 * acos(sqrt(0.5))) - pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.3%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 7.6%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

7. Simplified 5.4%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{0.5}\right)}\right) \cdot 2\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   4. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   5. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   8. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   9. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   13. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 5.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi}{2} - \left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \cdot 2\right)} \]

10. Final simplification 5.4%

    \[\leadsto \frac{\pi}{2} + \left(2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) - \pi\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 4.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt 0.5)))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(0.5)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(0.5)));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(0.5)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(0.5)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.3%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.2%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 4.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{0.5}\right)} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))