Rust f32::asinh

Percentage Accurate: 37.1% → 99.4%

Time: 7.6s

Alternatives: 12

Speedup: 4.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sinh^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary32 (asinh x))

C

float code(float x) {
	return asinhf(x);
}

Julia

function code(x)
	return asinh(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asinh(x);
end

Initial Program: 37.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (copysign (log (+ (fabs x) (sqrt (+ (* x x) 1.0)))) x))

C

float code(float x) {
	return copysignf(logf((fabsf(x) + sqrtf(((x * x) + 1.0f)))), x);
}

Julia

function code(x)
	return copysign(log(Float32(abs(x) + sqrt(Float32(Float32(x * x) + Float32(1.0))))), x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sign(x) * abs(log((abs(x) + sqrt(((x * x) + single(1.0))))));
end

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right)\\ t_1 := \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right), x\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;t\_0 \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (copysign (log (+ (fabs x) (sqrt (+ (* x x) 1.0)))) x))
        (t_1 (copysign (log (+ (fabs x) (hypot 1.0 x))) x)))
   (if (<= t_0 -0.20000000298023224)
     t_1
     (if (<= t_0 0.20000000298023224)
       (copysign
        (*
         x
         (+
          -1.0
          (*
           (* x x)
           (+
            0.16666666666666666
            (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
        x)
       t_1))))

C

float code(float x) {
	float t_0 = copysignf(logf((fabsf(x) + sqrtf(((x * x) + 1.0f)))), x);
	float t_1 = copysignf(logf((fabsf(x) + hypotf(1.0f, x))), x);
	float tmp;
	if (t_0 <= -0.20000000298023224f) {
		tmp = t_1;
	} else if (t_0 <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = copysign(log(Float32(abs(x) + sqrt(Float32(Float32(x * x) + Float32(1.0))))), x)
	t_1 = copysign(log(Float32(abs(x) + hypot(Float32(1.0), x))), x)
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(-0.20000000298023224))
		tmp = t_1;
	elseif (t_0 <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sign(x) * abs(log((abs(x) + sqrt(((x * x) + single(1.0))))));
	t_1 = sign(x) * abs(log((abs(x) + hypot(single(1.0), x))));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(-0.20000000298023224))
		tmp = t_1;
	elseif (t_0 <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (copysign.f32 (log.f32 (+.f32 (fabs.f32 x) (sqrt.f32 (+.f32 (*.f32 x x) #s(literal 1 binary32))))) x) < -0.200000003 or 0.200000003 < (copysign.f32 (log.f32 (+.f32 (fabs.f32 x) (sqrt.f32 (+.f32 (*.f32 x x) #s(literal 1 binary32))))) x)

   1. Initial program 58.1%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. copysign-lowering-copysign.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), \color{blue}{x}\right) \]

      2. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right), x\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right), x\right) \]

      4. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \left(\sqrt{x \cdot x + 1}\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \left(\sqrt{1 + x \cdot x}\right)\right)\right), x\right) \]

      6. hypot-1-def N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \left(\mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f32 99.9%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{hypot.f32}\left(1, x\right)\right)\right), x\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \mathsf{hypot}\left(1, x\right)\right), x\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   if -0.200000003 < (copysign.f32 (log.f32 (+.f32 (fabs.f32 x) (sqrt.f32 (+.f32 (*.f32 x x) #s(literal 1 binary32))))) x) < 0.200000003

   1. Initial program 20.8%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 20.8%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 20.8%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 13.1%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.0% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + x \cdot \left(\left(\frac{0.5}{x \cdot x} + 1\right) + \frac{-0.125}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (if (<= x -10.0)
   (copysign (log (- (fabs x) x)) x)
   (if (<= x 0.20000000298023224)
     (copysign
      (*
       x
       (+
        -1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          0.16666666666666666
          (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
      x)
     (copysign
      (log
       (+
        (fabs x)
        (* x (+ (+ (/ 0.5 (* x x)) 1.0) (/ -0.125 (* x (* x (* x x))))))))
      x))))

C

float code(float x) {
	float tmp;
	if (x <= -10.0f) {
		tmp = copysignf(logf((fabsf(x) - x)), x);
	} else if (x <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = copysignf(logf((fabsf(x) + (x * (((0.5f / (x * x)) + 1.0f) + (-0.125f / (x * (x * (x * x)))))))), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-10.0))
		tmp = copysign(log(Float32(abs(x) - x)), x);
	elseif (x <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = copysign(log(Float32(abs(x) + Float32(x * Float32(Float32(Float32(Float32(0.5) / Float32(x * x)) + Float32(1.0)) + Float32(Float32(-0.125) / Float32(x * Float32(x * Float32(x * x)))))))), x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-10.0))
		tmp = sign(x) * abs(log((abs(x) - x)));
	elseif (x <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = sign(x) * abs(log((abs(x) + (x * (((single(0.5) / (x * x)) + single(1.0)) + (single(-0.125) / (x * (x * (x * x)))))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -10

   1. Initial program 57.8%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}\right)\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f32 99.2%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{neg.f32}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \color{blue}{\left(-x\right)}\right), x\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right), x\right) \]

      3. copysign-lowering-copysign.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\log \left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right), \color{blue}{x}\right) \]

      4. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right)\right), x\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| - x\right)\right), x\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), x\right)\right), x\right) \]

      8. fabs-lowering-fabs.f32 99.2%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right)\right), x\right) \]

   8. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)} \]

   if -10 < x < 0.200000003

   1. Initial program 22.0%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 21.6%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 21.6%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 14.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

   if 0.200000003 < x

   1. Initial program 57.2%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)}\right)\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) - \frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{8}}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. distribute-neg-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{{x}^{2} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{8}}{{x}^{2} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(x \cdot {x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. *-lowering-*.f32 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \color{blue}{x \cdot \left(\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) + \frac{-0.125}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)}\right), x\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + x \cdot \left(\left(\frac{0.5}{x \cdot x} + 1\right) + \frac{-0.125}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + x \cdot \left(\frac{0.5}{x \cdot x} + 1\right)\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (if (<= x -10.0)
   (copysign (log (- (fabs x) x)) x)
   (if (<= x 0.20000000298023224)
     (copysign
      (*
       x
       (+
        -1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          0.16666666666666666
          (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
      x)
     (copysign (log (+ (fabs x) (* x (+ (/ 0.5 (* x x)) 1.0)))) x))))

C

float code(float x) {
	float tmp;
	if (x <= -10.0f) {
		tmp = copysignf(logf((fabsf(x) - x)), x);
	} else if (x <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = copysignf(logf((fabsf(x) + (x * ((0.5f / (x * x)) + 1.0f)))), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-10.0))
		tmp = copysign(log(Float32(abs(x) - x)), x);
	elseif (x <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = copysign(log(Float32(abs(x) + Float32(x * Float32(Float32(Float32(0.5) / Float32(x * x)) + Float32(1.0))))), x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-10.0))
		tmp = sign(x) * abs(log((abs(x) - x)));
	elseif (x <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = sign(x) * abs(log((abs(x) + (x * ((single(0.5) / (x * x)) + single(1.0))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -10

   1. Initial program 57.8%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}\right)\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f32 99.2%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{neg.f32}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \color{blue}{\left(-x\right)}\right), x\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right), x\right) \]

      3. copysign-lowering-copysign.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\log \left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right), \color{blue}{x}\right) \]

      4. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right)\right), x\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| - x\right)\right), x\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), x\right)\right), x\right) \]

      8. fabs-lowering-fabs.f32 99.2%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right)\right), x\right) \]

   8. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)} \]

   if -10 < x < 0.200000003

   1. Initial program 22.0%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 21.6%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 21.6%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 14.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

   if 0.200000003 < x

   1. Initial program 57.2%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right)\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 98.5%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)}\right), x\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + x \cdot \left(\frac{0.5}{x \cdot x} + 1\right)\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(x \cdot \left(\frac{\left|x\right| - \frac{-0.5}{x}}{x} + 1\right)\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (if (<= x -10.0)
   (copysign (log (- (fabs x) x)) x)
   (if (<= x 0.20000000298023224)
     (copysign
      (*
       x
       (+
        -1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          0.16666666666666666
          (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
      x)
     (copysign (log (* x (+ (/ (- (fabs x) (/ -0.5 x)) x) 1.0))) x))))

C

float code(float x) {
	float tmp;
	if (x <= -10.0f) {
		tmp = copysignf(logf((fabsf(x) - x)), x);
	} else if (x <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = copysignf(logf((x * (((fabsf(x) - (-0.5f / x)) / x) + 1.0f))), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-10.0))
		tmp = copysign(log(Float32(abs(x) - x)), x);
	elseif (x <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = copysign(log(Float32(x * Float32(Float32(Float32(abs(x) - Float32(Float32(-0.5) / x)) / x) + Float32(1.0)))), x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-10.0))
		tmp = sign(x) * abs(log((abs(x) - x)));
	elseif (x <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = sign(x) * abs(log((x * (((abs(x) - (single(-0.5) / x)) / x) + single(1.0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -10

   1. Initial program 57.8%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}\right)\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f32 99.2%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{neg.f32}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \color{blue}{\left(-x\right)}\right), x\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right), x\right) \]

      3. copysign-lowering-copysign.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\log \left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right), \color{blue}{x}\right) \]

      4. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right)\right), x\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| - x\right)\right), x\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), x\right)\right), x\right) \]

      8. fabs-lowering-fabs.f32 99.2%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right)\right), x\right) \]

   8. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)} \]

   if -10 < x < 0.200000003

   1. Initial program 22.0%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 21.6%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 21.6%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 14.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

   if 0.200000003 < x

   1. Initial program 57.2%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}} + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}} + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right) + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right) + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{\left|x\right|}{x} + \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left|x\right|}{x}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 98.4%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{\left|x\right|}{x} + \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)\right)\right)}, x\right) \]

   6. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\left|x\right| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x} - 1\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \left(-1 \cdot \frac{\left|x\right| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x} - 1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \frac{\left|x\right| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x} - 1\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \frac{\left|x\right| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x} - 1\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 \cdot \frac{\left|x\right| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\left|x\right| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. distribute-neg-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\left(\left|x\right| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)}{x} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. distribute-neg-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)}{x} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}\right)\right)}{x} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left|x\right| - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left|x\right| - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x} + -1\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{neg}\left(\left(-1 + \frac{-1 \cdot \left|x\right| - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \left|x\right| - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \left|x\right| - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(1 - \frac{-1 \cdot \left|x\right| - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      15. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{-1 \cdot \left|x\right| - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}}{x}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 - \frac{\frac{-0.5}{x} - \left|x\right|}{x}\right)\right)}, x\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(x \cdot \left(\frac{\left|x\right| - \frac{-0.5}{x}}{x} + 1\right)\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 89.2% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -9999999827968:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(-x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left(-x\right) - \frac{x}{\frac{t\_0}{t\_0}}\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(x + \left|x\right|\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* x (* x x))))
   (if (<= x -9999999827968.0)
     (copysign (log (- x)) x)
     (if (<= x -10.0)
       (copysign (log (- (- x) (/ x (/ t_0 t_0)))) x)
       (if (<= x 0.20000000298023224)
         (copysign
          (*
           x
           (+
            -1.0
            (*
             (* x x)
             (+
              0.16666666666666666
              (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
          x)
         (copysign (log (+ x (fabs x))) x))))))

C

float code(float x) {
	float t_0 = x * (x * x);
	float tmp;
	if (x <= -9999999827968.0f) {
		tmp = copysignf(logf(-x), x);
	} else if (x <= -10.0f) {
		tmp = copysignf(logf((-x - (x / (t_0 / t_0)))), x);
	} else if (x <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = copysignf(logf((x + fabsf(x))), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float32(x * Float32(x * x))
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-9999999827968.0))
		tmp = copysign(log(Float32(-x)), x);
	elseif (x <= Float32(-10.0))
		tmp = copysign(log(Float32(Float32(-x) - Float32(x / Float32(t_0 / t_0)))), x);
	elseif (x <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = copysign(log(Float32(x + abs(x))), x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * x);
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-9999999827968.0))
		tmp = sign(x) * abs(log(-x));
	elseif (x <= single(-10.0))
		tmp = sign(x) * abs(log((-x - (x / (t_0 / t_0)))));
	elseif (x <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = sign(x) * abs(log((x + abs(x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if x < -9999999830000

   1. Initial program 28.3%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f32 46.4%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(x\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 46.4%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(-x\right)}, x\right) \]

   if -9999999830000 < x < -10

   1. Initial program 99.9%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}\right)\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f32 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{neg.f32}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \color{blue}{\left(-x\right)}\right), x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. copysign-lowering-copysign.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\log \left(\left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \color{blue}{x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}} - x\right), x\right)} \]

   if -10 < x < 0.200000003

   1. Initial program 22.0%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 21.6%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 21.6%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 14.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

   if 0.200000003 < x

   1. Initial program 57.2%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \color{blue}{x}\right)\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 96.9%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \color{blue}{x}\right), x\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 92.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -9999999827968:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(-x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left(-x\right) - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(x + \left|x\right|\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.6% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(x + \left|x\right|\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (if (<= x -10.0)
   (copysign (log (- (fabs x) x)) x)
   (if (<= x 0.20000000298023224)
     (copysign
      (*
       x
       (+
        -1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          0.16666666666666666
          (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
      x)
     (copysign (log (+ x (fabs x))) x))))

C

float code(float x) {
	float tmp;
	if (x <= -10.0f) {
		tmp = copysignf(logf((fabsf(x) - x)), x);
	} else if (x <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = copysignf(logf((x + fabsf(x))), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-10.0))
		tmp = copysign(log(Float32(abs(x) - x)), x);
	elseif (x <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = copysign(log(Float32(x + abs(x))), x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-10.0))
		tmp = sign(x) * abs(log((abs(x) - x)));
	elseif (x <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = sign(x) * abs(log((x + abs(x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -10

   1. Initial program 57.8%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}\right)\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f32 99.2%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{neg.f32}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \color{blue}{\left(-x\right)}\right), x\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right), x\right) \]

      3. copysign-lowering-copysign.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\log \left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right), \color{blue}{x}\right) \]

      4. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| + -1 \cdot x\right)\right), x\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left|x\right| - x\right)\right), x\right) \]

      7. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), x\right)\right), x\right) \]

      8. fabs-lowering-fabs.f32 99.2%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right)\right), x\right) \]

   8. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)} \]

   if -10 < x < 0.200000003

   1. Initial program 22.0%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 21.6%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 21.6%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 14.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

   if 0.200000003 < x

   1. Initial program 57.2%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \color{blue}{x}\right)\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 96.9%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \color{blue}{x}\right), x\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| - x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(x + \left|x\right|\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 89.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -9999999827968:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(-x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left(-x\right) - \frac{x}{\frac{t\_0}{t\_0}}\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\frac{0.5}{x}\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* x (* x x))))
   (if (<= x -9999999827968.0)
     (copysign (log (- x)) x)
     (if (<= x -10.0)
       (copysign (log (- (- x) (/ x (/ t_0 t_0)))) x)
       (if (<= x 0.20000000298023224)
         (copysign
          (*
           x
           (+
            -1.0
            (*
             (* x x)
             (+
              0.16666666666666666
              (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
          x)
         (copysign (log (/ 0.5 x)) x))))))

C

float code(float x) {
	float t_0 = x * (x * x);
	float tmp;
	if (x <= -9999999827968.0f) {
		tmp = copysignf(logf(-x), x);
	} else if (x <= -10.0f) {
		tmp = copysignf(logf((-x - (x / (t_0 / t_0)))), x);
	} else if (x <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = copysignf(logf((0.5f / x)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float32(x * Float32(x * x))
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-9999999827968.0))
		tmp = copysign(log(Float32(-x)), x);
	elseif (x <= Float32(-10.0))
		tmp = copysign(log(Float32(Float32(-x) - Float32(x / Float32(t_0 / t_0)))), x);
	elseif (x <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = copysign(log(Float32(Float32(0.5) / x)), x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * x);
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-9999999827968.0))
		tmp = sign(x) * abs(log(-x));
	elseif (x <= single(-10.0))
		tmp = sign(x) * abs(log((-x - (x / (t_0 / t_0)))));
	elseif (x <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = sign(x) * abs(log((single(0.5) / x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if x < -9999999830000

   1. Initial program 28.3%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f32 46.4%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(x\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 46.4%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(-x\right)}, x\right) \]

   if -9999999830000 < x < -10

   1. Initial program 99.9%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}\right)\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f32 98.0%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), \mathsf{neg.f32}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \color{blue}{\left(-x\right)}\right), x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. copysign-lowering-copysign.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\log \left(\left|x\right| + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), \color{blue}{x}\right) \]

   7. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{copysign}\left(\log \left(\frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}} - x\right), x\right)} \]

   if -10 < x < 0.200000003

   1. Initial program 22.0%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 21.6%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 21.6%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 14.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

   if 0.200000003 < x

   1. Initial program 57.2%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}} + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}} + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right) + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right) + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{\left|x\right|}{x} + \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left|x\right|}{x}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 98.4%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{\left|x\right|}{x} + \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)\right)\right)}, x\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)}\right), x\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f32 96.9%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right), x\right) \]

   8. Simplified 96.9%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\frac{0.5}{x}\right)}, x\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 92.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -9999999827968:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(-x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left(-x\right) - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\frac{0.5}{x}\right), x\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 85.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(1 - x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(\frac{0.5}{x}\right), x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (if (<= x -10.0)
   (copysign (log (- 1.0 x)) x)
   (if (<= x 0.20000000298023224)
     (copysign
      (*
       x
       (+
        -1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          0.16666666666666666
          (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
      x)
     (copysign (log (/ 0.5 x)) x))))

C

float code(float x) {
	float tmp;
	if (x <= -10.0f) {
		tmp = copysignf(logf((1.0f - x)), x);
	} else if (x <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = copysignf(logf((0.5f / x)), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-10.0))
		tmp = copysign(log(Float32(Float32(1.0) - x)), x);
	elseif (x <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = copysign(log(Float32(Float32(0.5) / x)), x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-10.0))
		tmp = sign(x) * abs(log((single(1.0) - x)));
	elseif (x <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = sign(x) * abs(log((single(0.5) / x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -10

   1. Initial program 57.8%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 7.9%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 7.9%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 4.1%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)}\right), x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(1 - x\right)\right), x\right) \]

      3. --lowering--.f32 44.3%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, x\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 44.3%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(1 - x\right)}, x\right) \]

   if -10 < x < 0.200000003

   1. Initial program 22.0%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 21.6%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 21.6%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 14.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

   if 0.200000003 < x

   1. Initial program 57.2%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}} + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(1 + \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}} + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right) + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right) + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right) + \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{\left|x\right|}{x} + \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\left|x\right|}{x}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 98.4%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{\left|x\right|}{x} + \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)\right)\right)}, x\right) \]

   6. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{x}\right)}\right), x\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f32 96.9%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{2}, x\right)\right), x\right) \]

   8. Simplified 96.9%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\frac{0.5}{x}\right)}, x\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 71.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(1 - x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log x, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (if (<= x -10.0)
   (copysign (log (- 1.0 x)) x)
   (if (<= x 0.20000000298023224)
     (copysign
      (*
       x
       (+
        -1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          0.16666666666666666
          (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
      x)
     (copysign (log x) x))))

C

float code(float x) {
	float tmp;
	if (x <= -10.0f) {
		tmp = copysignf(logf((1.0f - x)), x);
	} else if (x <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = copysignf(logf(x), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-10.0))
		tmp = copysign(log(Float32(Float32(1.0) - x)), x);
	elseif (x <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = copysign(log(x), x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-10.0))
		tmp = sign(x) * abs(log((single(1.0) - x)));
	elseif (x <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = sign(x) * abs(log(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -10

   1. Initial program 57.8%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 7.9%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 7.9%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 4.1%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -1 \cdot x\right)}\right), x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(1 - x\right)\right), x\right) \]

      3. --lowering--.f32 44.3%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, x\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 44.3%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(1 - x\right)}, x\right) \]

   if -10 < x < 0.200000003

   1. Initial program 22.0%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 21.6%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 21.6%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 14.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

   if 0.200000003 < x

   1. Initial program 57.2%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right)\right)}, x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      2. log-rec N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\log x, x\right) \]

      4. log-lowering-log.f32 43.8%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(x\right), x\right) \]

   5. Simplified 43.8%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{\log x}, x\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 71.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -10:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log \left(-x\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log x, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (if (<= x -10.0)
   (copysign (log (- x)) x)
   (if (<= x 0.20000000298023224)
     (copysign
      (*
       x
       (+
        -1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          0.16666666666666666
          (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
      x)
     (copysign (log x) x))))

C

float code(float x) {
	float tmp;
	if (x <= -10.0f) {
		tmp = copysignf(logf(-x), x);
	} else if (x <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = copysignf(logf(x), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(-10.0))
		tmp = copysign(log(Float32(-x)), x);
	elseif (x <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = copysign(log(x), x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(-10.0))
		tmp = sign(x) * abs(log(-x));
	elseif (x <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = sign(x) * abs(log(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -10

   1. Initial program 57.8%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around -inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right), x\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f32 44.3%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(x\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 44.3%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(-x\right)}, x\right) \]

   if -10 < x < 0.200000003

   1. Initial program 22.0%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 21.6%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 21.6%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 14.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

   if 0.200000003 < x

   1. Initial program 57.2%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right)\right)}, x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      2. log-rec N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\log x, x\right) \]

      4. log-lowering-log.f32 43.8%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(x\right), x\right) \]

   5. Simplified 43.8%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{\log x}, x\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 62.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.20000000298023224:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{copysign}\left(\log x, x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (if (<= x 0.20000000298023224)
   (copysign
    (*
     x
     (+
      -1.0
      (*
       (* x x)
       (+
        0.16666666666666666
        (* x (* x (+ -0.075 (* (* x x) 0.044642857142857144))))))))
    x)
   (copysign (log x) x)))

C

float code(float x) {
	float tmp;
	if (x <= 0.20000000298023224f) {
		tmp = copysignf((x * (-1.0f + ((x * x) * (0.16666666666666666f + (x * (x * (-0.075f + ((x * x) * 0.044642857142857144f)))))))), x);
	} else {
		tmp = copysignf(logf(x), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = Float32(0.0)
	if (x <= Float32(0.20000000298023224))
		tmp = copysign(Float32(x * Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.075) + Float32(Float32(x * x) * Float32(0.044642857142857144))))))))), x);
	else
		tmp = copysign(log(x), x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = single(0.0);
	if (x <= single(0.20000000298023224))
		tmp = sign(x) * abs((x * (single(-1.0) + ((x * x) * (single(0.16666666666666666) + (x * (x * (single(-0.075) + ((x * x) * single(0.044642857142857144))))))))));
	else
		tmp = sign(x) * abs(log(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.200000003

   1. Initial program 31.8%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-lowering-*.f32 17.8%

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. Simplified 17.8%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. sqr-abs N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. pow-plus N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. inv-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      22. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      23. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      24. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. Applied egg-rr 11.3%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right)}, x\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) - 1\right)\right), x\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right) + -1\right)\right), x\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(-1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{6} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} - \frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      16. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2} + \frac{-3}{40}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      18. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \left(\frac{-3}{40} + \frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left(\frac{5}{112} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      20. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      21. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-3}{40}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{5}{112}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. Simplified 74.1%

       \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{x \cdot \left(-1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.075 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.044642857142857144\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

   if 0.200000003 < x

   1. Initial program 57.2%

      \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right)\right)}, x\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), x\right) \]

      2. log-rec N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log x\right)\right)\right)\right), x\right) \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\log x, x\right) \]

      4. log-lowering-log.f32 43.8%

         \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(x\right), x\right) \]

   5. Simplified 43.8%

      \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{\log x}, x\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 12: 54.8% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{copysign}\left(-x, x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary32 (copysign (- x) x))

C

float code(float x) {
	return copysignf(-x, x);
}

Julia

function code(x)
	return copysign(Float32(-x), x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = sign(x) * abs(-x);
end

Derivation

1. Initial program 38.7%

   \[\mathsf{copysign}\left(\log \left(\left|x\right| + \sqrt{x \cdot x + 1}\right), x\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \left(\left|x\right| + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}\right), x\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\left(1 + \left|x\right|\right) + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right| + 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left|x\right|\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. fabs-lowering-fabs.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{8} + \frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{16} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   19. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   20. *-lowering-*.f32 15.7%

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{fabs.f32}\left(x\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

5. Simplified 15.7%

   \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \color{blue}{\left(\left(\left|x\right| + 1\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right)}, x\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left|x\right|\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|}{1 - \left|x\right|}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 \cdot 1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - \left|x\right| \cdot \left|x\right|\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   5. sqr-abs N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 - x \cdot x\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(1 - \left|x\right|\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right|\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   9. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot 1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{0}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot {x}^{\left(-1 + 1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   12. pow-plus N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left({x}^{-1} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   13. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left|x\right| \cdot \left(\frac{1}{x} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{x}\right) \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   15. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{\left|x\right|}{x} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{\left|x\right|}{x}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   17. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   18. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\frac{x}{\frac{x}{\left|x\right|}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   19. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   20. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{\mathsf{neg}\left(x\right)}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   21. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{\mathsf{neg}\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   22. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1 \cdot x}{-1 \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   23. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(\frac{-1}{-1} \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   24. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(x, \left(1 \cdot \frac{x}{\left|x\right|}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \frac{1}{16}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), x\right) \]

7. Applied egg-rr 9.9%

   \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\log \left(\color{blue}{\frac{1 - x \cdot x}{1 - \frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot x\right)}{-x \cdot \left(x \cdot x\right)}}}} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.125 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.0625\right)\right)\right), x\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot x\right)}, x\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right), x\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 57.0%

      \[\leadsto \mathsf{copysign.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(x\right), x\right) \]

10. Simplified 57.0%

    \[\leadsto \mathsf{copysign}\left(\color{blue}{-x}, x\right) \]
11. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.4% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ \mathsf{copysign}\left(\mathsf{log1p}\left(\left|x\right| + \frac{\left|x\right|}{\mathsf{hypot}\left(1, t\_0\right) + t\_0}\right), x\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x))))
   (copysign (log1p (+ (fabs x) (/ (fabs x) (+ (hypot 1.0 t_0) t_0)))) x)))

C

float code(float x) {
	float t_0 = 1.0f / fabsf(x);
	return copysignf(log1pf((fabsf(x) + (fabsf(x) / (hypotf(1.0f, t_0) + t_0)))), x);
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / abs(x))
	return copysign(log1p(Float32(abs(x) + Float32(abs(x) / Float32(hypot(Float32(1.0), t_0) + t_0)))), x)
end

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (x)
  :name "Rust f32::asinh"
  :precision binary32

  :alt
  (! :herbie-platform default (let* ((ax (fabs x)) (ix (/ 1 ax))) (copysign (log1p (+ ax (/ ax (+ (hypot 1 ix) ix)))) x)))

  (copysign (log (+ (fabs x) (sqrt (+ (* x x) 1.0)))) x))