normal distribution

Percentage Accurate: 99.4% → 99.4%

Time: 12.1s

Alternatives: 5

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(0 \leq u1 \land u1 \leq 1\right) \land \left(0 \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\pi \cdot u2\right)\\ t_1 := \sin \left(\pi \cdot u2\right)\\ t_2 := \sqrt{-2 \cdot \log u1}\\ 0.5 + \left(\left(t\_0 - t\_1\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(t\_1 \cdot t\_2 + t\_0 \cdot t\_2\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* PI u2)))
        (t_1 (sin (* PI u2)))
        (t_2 (sqrt (* -2.0 (log u1)))))
   (+
    0.5
    (* (* (- t_0 t_1) 0.16666666666666666) (+ (* t_1 t_2) (* t_0 t_2))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	double t_0 = cos((((double) M_PI) * u2));
	double t_1 = sin((((double) M_PI) * u2));
	double t_2 = sqrt((-2.0 * log(u1)));
	return 0.5 + (((t_0 - t_1) * 0.16666666666666666) * ((t_1 * t_2) + (t_0 * t_2)));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	double t_0 = Math.cos((Math.PI * u2));
	double t_1 = Math.sin((Math.PI * u2));
	double t_2 = Math.sqrt((-2.0 * Math.log(u1)));
	return 0.5 + (((t_0 - t_1) * 0.16666666666666666) * ((t_1 * t_2) + (t_0 * t_2)));
}

Python

def code(u1, u2):
	t_0 = math.cos((math.pi * u2))
	t_1 = math.sin((math.pi * u2))
	t_2 = math.sqrt((-2.0 * math.log(u1)))
	return 0.5 + (((t_0 - t_1) * 0.16666666666666666) * ((t_1 * t_2) + (t_0 * t_2)))

Julia

function code(u1, u2)
	t_0 = cos(Float64(pi * u2))
	t_1 = sin(Float64(pi * u2))
	t_2 = sqrt(Float64(-2.0 * log(u1)))
	return Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(t_0 - t_1) * 0.16666666666666666) * Float64(Float64(t_1 * t_2) + Float64(t_0 * t_2))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	t_0 = cos((pi * u2));
	t_1 = sin((pi * u2));
	t_2 = sqrt((-2.0 * log(u1)));
	tmp = 0.5 + (((t_0 - t_1) * 0.16666666666666666) * ((t_1 * t_2) + (t_0 * t_2)));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(Pi * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[N[(Pi * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(0.5 + N[(N[(N[(t$95$0 - t$95$1), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}\right)\right) \]

   2. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right) \]

   3. difference-of-squares N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right), \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right), \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\left(\cos \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right), \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \left(\left(\cos \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right)\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right), \left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\left(\cos \left(\pi \cdot u2\right) + \sin \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\left(\cos \left(\pi \cdot u2\right) - \sin \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \left(\color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \frac{1}{6}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\left(\left(\cos \left(\pi \cdot u2\right) - \sin \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot u2\right) + \sin \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \color{blue}{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \color{blue}{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \color{blue}{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto 0.5 + \left(\left(\cos \left(\pi \cdot u2\right) - \sin \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \sin \left(\pi \cdot u2\right) + \sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]

11. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto 0.5 + \left(\left(\cos \left(\pi \cdot u2\right) - \sin \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} + \cos \left(\pi \cdot u2\right) \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{4}\right)}^{0.125}\right) \cdot \cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   (* 0.16666666666666666 (pow (pow (* -2.0 (log u1)) 4.0) 0.125))
   (cos (* (* PI u2) 2.0)))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + ((0.16666666666666666 * pow(pow((-2.0 * log(u1)), 4.0), 0.125)) * cos(((((double) M_PI) * u2) * 2.0)));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + ((0.16666666666666666 * Math.pow(Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 4.0), 0.125)) * Math.cos(((Math.PI * u2) * 2.0)));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + ((0.16666666666666666 * math.pow(math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 4.0), 0.125)) * math.cos(((math.pi * u2) * 2.0)))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(Float64(0.16666666666666666 * ((Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 4.0) ^ 0.125)) * cos(Float64(Float64(pi * u2) * 2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + ((0.16666666666666666 * (((-2.0 * log(u1)) ^ 4.0) ^ 0.125)) * cos(((pi * u2) * 2.0)));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(N[(0.16666666666666666 * N[Power[N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision], 0.125], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(Pi * u2), $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right), \left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right), \left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. log-lowering-log.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \frac{1}{4}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{0.25}}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(2 \cdot \frac{1}{8}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(2 \cdot {\frac{1}{2}}^{3}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left({\frac{1}{2}}^{3}\right)} \cdot {\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left({\frac{1}{2}}^{3}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. pow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right) \cdot \left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right)}^{\left({\frac{1}{2}}^{3}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right) \cdot \left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \left({\frac{1}{2}}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{2} \cdot \left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \left({\frac{1}{2}}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{2} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{2}\right), \left({\frac{1}{2}}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-prod-up N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(2 + 2\right)}\right), \left({\frac{1}{2}}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{4}\right), \left({\frac{1}{2}}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right), 4\right), \left({\frac{1}{2}}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right), 4\right), \left({\frac{1}{2}}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. log-lowering-log.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), 4\right), \left({\frac{1}{2}}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), 4\right), \frac{1}{8}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{4}\right)}^{0.125}}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

9. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot {\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{4}\right)}^{0.125}\right) \cdot \cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   (cos (* (* PI u2) 2.0))
   (* 0.16666666666666666 (sqrt (* -2.0 (log u1)))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (cos(((((double) M_PI) * u2) * 2.0)) * (0.16666666666666666 * sqrt((-2.0 * log(u1)))));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (Math.cos(((Math.PI * u2) * 2.0)) * (0.16666666666666666 * Math.sqrt((-2.0 * Math.log(u1)))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (math.cos(((math.pi * u2) * 2.0)) * (0.16666666666666666 * math.sqrt((-2.0 * math.log(u1)))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(cos(Float64(Float64(pi * u2) * 2.0)) * Float64(0.16666666666666666 * sqrt(Float64(-2.0 * log(u1))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (cos(((pi * u2) * 2.0)) * (0.16666666666666666 * sqrt((-2.0 * log(u1)))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(N[Cos[N[(N[(Pi * u2), $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto 0.5 + \cos \left(\left(\pi \cdot u2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ 0.5 (* (sqrt (log (/ 1.0 u1))) (* 0.16666666666666666 (sqrt 2.0)))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (sqrt(log((1.0 / u1))) * (0.16666666666666666 * sqrt(2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(u1, u2)
    real(8), intent (in) :: u1
    real(8), intent (in) :: u2
    code = 0.5d0 + (sqrt(log((1.0d0 / u1))) * (0.16666666666666666d0 * sqrt(2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (Math.sqrt(Math.log((1.0 / u1))) * (0.16666666666666666 * Math.sqrt(2.0)));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (math.sqrt(math.log((1.0 / u1))) * (0.16666666666666666 * math.sqrt(2.0)))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(sqrt(log(Float64(1.0 / u1))) * Float64(0.16666666666666666 * sqrt(2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (sqrt(log((1.0 / u1))) * (0.16666666666666666 * sqrt(2.0)));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(N[Sqrt[N[Log[N[(1.0 / u1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log u1} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2} \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\sqrt{-2}}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log u1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)\right) \]

   7. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\sqrt{-2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 0.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(-2\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{\log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \sqrt{\log u1} + \frac{1}{2} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{\log u1}\right) + \frac{1}{2} \]

   4. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} + \frac{1}{2} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \]

   6. pow1/2 N/A

      \[\leadsto {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \]

   8. pow-pow N/A

      \[\leadsto {\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \]

   9. pow2 N/A

      \[\leadsto {\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \]

   10. sqr-pow N/A

       \[\leadsto \left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)} \cdot {\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)}\right) \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto {\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)} \cdot \left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{6}\right) + \frac{1}{2} \]

   12. fma-define N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)}, \color{blue}{{\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{6}}, \frac{1}{2}\right) \]

   13. fma-lowering-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)}\right), \color{blue}{\left({\left(\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{4}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{6}\right)}, \frac{1}{2}\right) \]

9. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.25}, {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.25} \cdot 0.16666666666666666, 0.5\right)} \]

10. Taylor expanded in u1 around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)\right)}\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

    5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log \left(\frac{1}{u1}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

    6. log-lowering-log.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{u1}\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{2}} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \left(\sqrt{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right) \]

    9. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(2\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 98.6%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

13. Final simplification 98.6%

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.2% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ 0.5 (* 0.16666666666666666 (sqrt (* -2.0 (log u1))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * sqrt((-2.0 * log(u1))));
}

Fortran

real(8) function code(u1, u2)
    real(8), intent (in) :: u1
    real(8), intent (in) :: u2
    code = 0.5d0 + (0.16666666666666666d0 * sqrt(((-2.0d0) * log(u1))))
end function

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * Math.sqrt((-2.0 * Math.log(u1))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * math.sqrt((-2.0 * math.log(u1))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(0.16666666666666666 * sqrt(Float64(-2.0 * log(u1)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (0.16666666666666666 * sqrt((-2.0 * log(u1))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log u1} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2} \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\sqrt{-2}}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log u1}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log u1\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)\right) \]

   7. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\sqrt{-2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 0.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(-2\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \sqrt{\log u1} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log u1} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2}\right) \cdot \sqrt{\log u1} + \frac{1}{2} \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{\log u1}\right) + \frac{1}{2} \]

   4. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} + \frac{1}{2} \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right), \frac{1}{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. log-lowering-log.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

9. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} + 0.5} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    3. unpow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    4. unpow1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{1}}\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)}}\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    6. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}}\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    8. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{1}\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    10. unpow1 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

    12. log-lowering-log.f64 98.4%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right), \frac{1}{2}\right) \]

11. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666} + 0.5 \]

12. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024139 
(FPCore (u1 u2)
  :name "normal distribution"
  :precision binary64
  :pre (and (and (<= 0.0 u1) (<= u1 1.0)) (and (<= 0.0 u2) (<= u2 1.0)))
  (+ (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2))) 0.5))